全等三角形的證明技巧與方法

1、1、如圖，已知拋物線與x軸交于a、b兩點(diǎn)（點(diǎn)a在點(diǎn)b的左邊），與y軸交于點(diǎn)c，連接bc。（1）求a、b、c三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)p為線段bc上的一點(diǎn)（不與b、c重合），pmy軸，且pm交拋物線于點(diǎn)m，交x軸于點(diǎn)n，當(dāng)bcm的面積最大時(shí)，求bpn的周長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)bcm的面積最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)q，使得cnq為直角三角形，求點(diǎn)q的坐標(biāo)。全等三角形問題中常見的輔助線的作法三角形輔助線做法圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來添。 角平分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，

2、延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。 三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2) 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法

3、是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖abc中，ab=5，ac=3，則中線ad的取值范圍是_.本題的關(guān)鍵是如何把a(bǔ)b,ac,ad三條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形當(dāng)中.【經(jīng)驗(yàn)總結(jié):見中線,延長(zhǎng)加倍.】例2、如圖，abc中，e、f分別在ab、ac上，dedf，d是中點(diǎn)，試比較be+cf與ef的大小.例3、如圖，a

4、bc中，bd=dc=ac，e是dc的中點(diǎn)，求證：ad平分bae.應(yīng)用：1、（09崇文二模）以的兩邊ab、ac為腰分別向外作等腰rt和等腰rt，連接de，m、n分別是bc、de的中點(diǎn)探究：am與de的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，am與de的位置關(guān)系是 ，線段am與de的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰rt繞點(diǎn)a沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0ad+ae.四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在abc中，b=60，abc的角平分線ad,ce相交于點(diǎn)o，求證：oe=od在ac上取點(diǎn)f，使af=ae2、如圖，abc中，ad平分bac，dgbc且平分bc，deab于e，dfac于f. （1）說明b

5、e=cf的理由；（2）如果ab=，ac=，求ae、be的長(zhǎng).五、旋轉(zhuǎn)例1。 正方形abcd中，e為bc上的一點(diǎn)，f為cd上的一點(diǎn)，be+df=ef，求eaf的度數(shù).例2 .d為等腰斜邊ab的中點(diǎn)，dmdn,dm,dn分別交bc,ca于點(diǎn)e,f。（1） 當(dāng)繞點(diǎn)d轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證de=df。（2） 若ab=2，求四邊形decf的面積。例3 。如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以d為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交ab于點(diǎn)m，交ac于點(diǎn)n，連接mn，則的周長(zhǎng)為 ；應(yīng)用：1、已知四邊形中，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種

6、情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明（圖1）（圖2）（圖3）25解：（1）令x=0，解得y=3點(diǎn)c的坐標(biāo)為（0,3）令y=0，解得x1=-1，x2=3點(diǎn)a的坐標(biāo)為（-1,0） 點(diǎn)b的坐標(biāo)為（3,0）（2）由a，b兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線bc的解析式為y=-x+3設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x，-x+3）（0x3）pmy軸pnb=90，點(diǎn)m的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3）pm=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x當(dāng)x=時(shí)的面積最大此時(shí)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為（，）pn=，bn=，bp=.（3）求得拋物線對(duì)稱軸為x=1 設(shè)點(diǎn)q的坐標(biāo)為（1，） 當(dāng)

7、cnq=90時(shí)， 如圖1所示即 解得： q1（1，）當(dāng)ncq=90時(shí)，如圖2所示 即 解得： q2（1，）當(dāng)cqn=90時(shí)，如圖3所示即解得：q3（1，）q4（1，）25.解：（1）由拋物線y=x22x+3可知，c（0，3），令y=0，則0=x22x+3，解得x=3或x=1，a（3，0），b（1，0）（2）由拋物線y=x22x+3可知，對(duì)稱軸為x=1，設(shè)m點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則pm=m22m+3，mn=（m1）2=2m2，pmnq的周長(zhǎng)=2（pm+mn）=（m22m+32m2）2=2m28m+2=2（m+2）2+10，當(dāng)m=2時(shí)矩形的周長(zhǎng)最大a（3，0），c（0，3），設(shè)直線ac解析式為；y=kx+b，解得k=1，b=3，解析式y(tǒng)=x+3，當(dāng)x=2時(shí)，則e（2，1），em=1，am=1，s=amem=（3）m點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，拋物線的對(duì)稱軸為x=1，n應(yīng)與原點(diǎn)重合，q點(diǎn)與c點(diǎn)重合，dq=dc，把x=1代