9.4直線、圓的位置關(guān)系

1、要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系 位置關(guān)系有三種：位置關(guān)系有三種： 、 、 . . 判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法：判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法： （1 1）代數(shù)法：）代數(shù)法： （2 2）幾何法）幾何法: :利用圓心到直線的距離利用圓心到直線的距離d d和圓半徑和圓半徑 r r的大小關(guān)系的大小關(guān)系: :d dr r 相交相交, ,d d= =r r 相切相切, ,d dr r 相離相離. .9.4 9.4 直線、圓的位置關(guān)系直線、圓的位置關(guān)系 基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)相離相離相交相交相切相切 判別式判別式 =b b2 2-4-4acac.

2、000相離相切相交2.2.計(jì)算直線被圓截得的弦長的常用方法計(jì)算直線被圓截得的弦長的常用方法 （1 1）幾何方法）幾何方法 運(yùn)用弦心距運(yùn)用弦心距( (即圓心到直線的距離即圓心到直線的距離) )、弦長的一、弦長的一 半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算. . （2 2）代數(shù)方法）代數(shù)方法 運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長公式運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長公式 | |ABAB|= |= |x xA A- -x xB B|=|= 說明：圓的弦長、弦心距的計(jì)算常用幾何方法說明：圓的弦長、弦心距的計(jì)算常用幾何方法. .21k. 4)(1 (22BABAxxxxk3.3.求過點(diǎn)求過點(diǎn)P P（x x0 0, ,y y0

3、 0）的圓）的圓x x2 2+ +y y2 2= =r r2 2的切線方程的切線方程 （1 1）若）若P P（x x0 0，y y0 0）在圓）在圓x x2 2+ +y y2 2= =r r2 2上，上， 則以則以P P為切點(diǎn)的圓的切線方程為：為切點(diǎn)的圓的切線方程為： . . （2 2）若）若P P（x x0 0，y y0 0）在圓）在圓x x2 2+ +y y2 2= =r r2 2外，則過外，則過P P的切的切 線方程可設(shè)為：線方程可設(shè)為：y y- -y y0 0= =k k（x x- -x x0 0），利用待定系數(shù)），利用待定系數(shù) 法求解法求解. . 說明：說明：k k為切線斜率，同時(shí)應(yīng)

4、考慮斜率不存在的為切線斜率，同時(shí)應(yīng)考慮斜率不存在的 情況情況. .x x0 0 x x+ +y y0 0y y= =r r2 24.4.圓與圓的位置關(guān)系的判定圓與圓的位置關(guān)系的判定 設(shè)設(shè)C C1 1：（：（x x- -a a1 1）2 2+ +（y y- -b b1 1）2 2= =r r （r r1 10 0）, , C C2 2:(:(x x- -a a2 2) )2 2+(+(y y- -b b2 2) )2 2= =r r ( (r r2 20),0),則有則有: : | |C C1 1C C2 2| |r r1 1+ +r r2 2 C C1 1與與C C2 ;2 ; | |C C1

5、 1C C2 2|=|=r r1 1+ +r r2 2 C C1 1與與C C2 2 ; ; | |r r1 1- -r r2 2| | |C C1 1C C2 2| |r r1 1+ +r r2 2 C C1 1與與C C2 2 ； | |C C1 1C C2 2|=|=|r r1 1- -r r2 2| |（r r1 1r r2 2）C C1 1與與C C2 2 ； | |C C1 1C C2 2| | |r r1 1- -r r2 2| | C C1 1與與C C2 2 . .2122相離相離外切外切相交相交內(nèi)切內(nèi)切內(nèi)含內(nèi)含基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1.1.（20082008陜西）陜西）直線直線

6、x x- -y y+ +m m=0=0與圓與圓x x2 2+ +y y2 2- - 2 2x x-2=0-2=0相切相切, ,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m m等于等于 （ ） A. A. 或或- B.- - B.- 或或3 3 C.-3 C.-3 或或 D.-3 D.-3 或或3 3 解析解析 將圓將圓x x2 2+ +y y2 2-2-2x x-2=0-2=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得化為標(biāo)準(zhǔn)方程得 + +y y2 2=3,=3,直線與圓相切說明圓心到直線的距離等直線與圓相切說明圓心到直線的距離等 于半徑于半徑, ,則有則有 m m=-3 =-3 或或 . .333333333C( (x x-1)-1)2 2. 32

7、3, 31313mm即332.2.圓圓x x2 2+ +y y2 2-4-4x x=0=0在點(diǎn)在點(diǎn)P P（1, 1, ）處的切線方程為（）處的切線方程為（ ） A.A.x x+ + y y-2=0 B.-2=0 B.x x+ + y y-4=0-4=0 C. C.x x- - y y+4=0 D.+4=0 D.x x- - y y+2=0+2=0 解析解析 圓方程為（圓方程為（x x-2-2）2 2+ +y y2 2=4=4，圓心（，圓心（2 2，0 0），）， 半徑為半徑為2 2，點(diǎn)，點(diǎn)P P在圓上，設(shè)切線方程為在圓上，設(shè)切線方程為y y- =- =k k( (x x-1),-1), 即即k

8、xkx- -y y- -k k+ =0, + =0, 解得解得k k= = 切線方程為切線方程為y y- (- (x x-1),-1),即即x x- - y y+2=0.+2=0.D33, 21322kkk.33333 3333333.3.（20092009陜西理，陜西理，4 4）過原點(diǎn)且傾斜角為過原點(diǎn)且傾斜角為6060的的 直線被圓直線被圓x x2 2+ +y y2 2-4-4y y=0=0所截得的弦長為所截得的弦長為 （ ） A. B.2 C. D.2 A. B.2 C. D.2 解析解析 過原點(diǎn)且傾斜角為過原點(diǎn)且傾斜角為6060的直線方程為的直線方程為 x x- -y y=0,=0, 圓

9、圓x x2 2+(+(y y-2)-2)2 2=4=4的圓心（的圓心（0 0，2 2）到直線的距離為）到直線的距離為d d= = 因此弦長為因此弦長為336D, 113203. 32142222dR34.4.圓圓C C1 1：x x2 2+ +y y2 2+2+2x x+2+2y y-2=0-2=0與圓與圓C C2 2：x x2 2+ +y y2 2-4-4x x-2-2y y+1=0+1=0 的公切線有且僅有的公切線有且僅有 （ ） A.1A.1條條 B.2B.2條條 C.3C.3條條 D.4D.4條條 解析解析 C C1 1：（：（x x+1+1）2 2+ +（y y+1+1）2 2=4=

10、4， 圓心圓心C C1 1（-1-1，-1-1），半徑），半徑r r1 1=2.=2. C C2 2：（：（x x-2-2）2 2+ +（y y-1-1）2 2=4=4，圓心，圓心C C2 2（2 2，1 1），）， 半徑半徑r r2 2=2.=2. | |C C1 1C C2 2|= |= ，00| |C C1 1C C2 2| |r r1 1+ +r r2 2=4,=4, 兩圓相交，有兩條公切線兩圓相交，有兩條公切線. .B135.5.若圓若圓x x2 2+ +y y2 2=4=4上僅有一個(gè)點(diǎn)到直線上僅有一個(gè)點(diǎn)到直線x x- -y y- -b b=0=0的距離的距離 為為1 1，則實(shí)數(shù)，則

11、實(shí)數(shù)b b= = . . 解析解析 由已知可得，圓心到直線由已知可得，圓心到直線x x- -y y- -b b=0=0的距離的距離 為為3 3， =3 =3，b b= =3 .3 .232b2題型一題型一 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系【例例1 1】已知圓】已知圓x x2 2+ +y y2 2-6-6mxmx-2-2（m m-1-1）y y+10+10m m2 2-2-2m m- - 24=0 24=0（m mR R）. . （1 1）求證：不論）求證：不論m m為何值，圓心在同一直線為何值，圓心在同一直線l l上；上； （2 2）與）與l l平行的直線中，哪些與圓相交、相切、平行的直線

12、中，哪些與圓相交、相切、 相離；相離； （3 3）求證：任何一條平行于）求證：任何一條平行于l l且與圓相交的直線且與圓相交的直線 被各圓截得的弦長相等被各圓截得的弦長相等. .題型分類題型分類 深度剖析深度剖析 用配方法將圓的一般方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，用配方法將圓的一般方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，消去求出圓心坐標(biāo)，消去m m就得關(guān)于圓心的坐標(biāo)間的關(guān)就得關(guān)于圓心的坐標(biāo)間的關(guān)系，就是圓心的軌跡方程；判斷直線與圓相交、系，就是圓心的軌跡方程；判斷直線與圓相交、相切、相離，只需比較圓心到直線的距離相切、相離，只需比較圓心到直線的距離d d與圓半與圓半徑的大小即可；證明弦長相等時(shí)，可用幾何法計(jì)徑的大小

13、即可；證明弦長相等時(shí)，可用幾何法計(jì)算弦長算弦長. .思維啟迪思維啟迪（1 1）證明證明 配方得：配方得：( (x x-3-3m m) )2 2+ +y y- -（m m-1-1）2 2=25=25，設(shè)圓心為（設(shè)圓心為（x x，y y），）， 消去消去m m得得x x-3-3y y-3=0-3=0，則圓心恒在直線，則圓心恒在直線l l：x x-3-3y y-3=0-3=0上上. .（2 2）解解 設(shè)與設(shè)與l l平行的直線是平行的直線是l l1 1：x x-3-3y y+ +b b=0=0，則圓心到直線則圓心到直線l l1 1的距離為的距離為圓的半徑為圓的半徑為r r=5=5，當(dāng)當(dāng)d dr r，即

14、，即-5 -3-5 -3b b5 5 -3-3時(shí)，直線與圓相交；時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)當(dāng)d d= =r r, ,即即b b= =5 -35 -3時(shí)，直線與圓相切；時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)當(dāng)d dr r，即，即b b-5 -3-5 -3或或b b5 -35 -3時(shí)，直線與圓時(shí)，直線與圓相離相離. .,13mymx則.10310) 1(33bbmmd1010101010（3 3）證明證明 對(duì)于任一條平行于對(duì)于任一條平行于l l且與圓相交的直且與圓相交的直 線線l l1 1：x x-3-3y y+ +b b=0=0，由于圓心到直線，由于圓心到直線l l1 1的距離的距離 d d= = 且且r r和和d d

15、均為常量均為常量. . 任何一條平行于任何一條平行于l l且與圓相交的直線被各圓截且與圓相交的直線被各圓截 得的弦長相等得的弦長相等. .,103b222dr 弦長探究提高探究提高 判斷直線與圓的位置關(guān)系可以看成它們判斷直線與圓的位置關(guān)系可以看成它們構(gòu)成的方程組有無實(shí)數(shù)解，也可以根據(jù)圓心到直線構(gòu)成的方程組有無實(shí)數(shù)解，也可以根據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關(guān)系進(jìn)行判斷的距離與半徑長的關(guān)系進(jìn)行判斷. .求圓的弦長有多種方法：一是直接求出直線與圓的求圓的弦長有多種方法：一是直接求出直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得出；二是不交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得出；二是不求交點(diǎn)坐標(biāo)，利用一元二次

16、方程根與系數(shù)的關(guān)系得求交點(diǎn)坐標(biāo)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，即設(shè)直線的斜率為出，即設(shè)直線的斜率為k k，直線與圓聯(lián)立消去，直線與圓聯(lián)立消去y y后所后所得方程兩根為得方程兩根為x x1 1、x x2 2, ,則弦長則弦長d d= |= |x x1 1- -x x2 2|;|;三是利用圓中半弦長、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三三是利用圓中半弦長、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形來求角形來求. .對(duì)于圓中的弦長問題，一般利用第三種方對(duì)于圓中的弦長問題，一般利用第三種方法比較簡捷法比較簡捷. .本題所用方法就是第三種方法本題所用方法就是第三種方法. .21k知能遷移知能遷移1 1 m m為何值時(shí)，直線

17、為何值時(shí)，直線2 2x x- -y y+ +m m=0=0與圓與圓x x2 2+ +y y2 2=5.=5.（1 1）無公共點(diǎn)；）無公共點(diǎn)；（2 2）截得的弦長為）截得的弦長為2 2；（3 3）交點(diǎn)處兩條半徑互相垂直）交點(diǎn)處兩條半徑互相垂直. . 解解 （1 1）由已知，圓心為）由已知，圓心為O O（0 0，0 0），半徑），半徑r r= ,= , 圓心到直線圓心到直線2 2x x- -y y+ +m m=0=0的距離的距離 直線與圓無公共點(diǎn)，直線與圓無公共點(diǎn)，d dr r, ,即即 m m5 5或或m m-5.-5. 故當(dāng)故當(dāng)m m5 5或或m m-5-5時(shí)，直線與圓無公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓無公

18、共點(diǎn). .5,5) 1(222mmd, 55m（2 2）如圖所示，由平面幾何垂徑定理知）如圖所示，由平面幾何垂徑定理知r r2 2- -d d2 2=1=12 2，即，即5- =1.5- =1.得得m m= =2 ,2 ,當(dāng)當(dāng)m m= =2 2 時(shí)，直線被圓截得的弦長為時(shí)，直線被圓截得的弦長為2.2.（3 3）如圖所示，由于交點(diǎn)處兩條半徑互相垂直，）如圖所示，由于交點(diǎn)處兩條半徑互相垂直，弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形，弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形，d d= = ，即，即解得解得m m= = 故當(dāng)故當(dāng)m m= = 時(shí)，直線與圓在兩交時(shí)，直線與圓在兩交點(diǎn)處的兩條半徑互相垂直點(diǎn)處的兩條

19、半徑互相垂直. .52m55r22, 5225m.225225題型二題型二 圓的切線及弦長問題圓的切線及弦長問題【例例2 2】已知點(diǎn)】已知點(diǎn)MM（3 3，1 1），直線），直線axax- -y y+4=0+4=0及圓及圓 ( (x x-1)-1)2 2+(+(y y-2)-2)2 2=4.=4.（1 1）求過）求過MM點(diǎn)的圓的切線方程；點(diǎn)的圓的切線方程；（2 2）若直線）若直線axax- -y y+4=0+4=0與圓相切，求與圓相切，求a a的值；的值；（3 3）若直線）若直線axax- -y y+4=0+4=0與圓相交于與圓相交于A A，B B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且 弦弦ABAB的長為的長為2 2

20、 ，求，求a a的值的值. .3思維啟迪思維啟迪解解 （1 1）圓心）圓心C C（1 1，2 2），半徑為），半徑為r r=2,=2,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為x x=3.=3.由圓心由圓心C C（1 1，2 2）到直線）到直線x x=3=3的距離的距離d d=3-1=2=3-1=2=r r知，知，此時(shí)，直線與圓相切此時(shí)，直線與圓相切. .當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y y-1=-1=k k( (x x-3),-3),即即kxkx- -y y+1-3+1-3k k=0.=0.由題意知由題意知 解得解得k k= .= .方程為方程為y y

21、-1= (-1= (x x-3),-3),即即3 3x x-4-4y y-5=0.-5=0.故過故過MM點(diǎn)的圓的切線方程為點(diǎn)的圓的切線方程為x x=3=3或或3 3x x-4-4y y-5=0.-5=0., 213122kkk4343（2 2）由題意有）由題意有 解得解得a a=0=0或或a a= .= .（3 3）圓心到直線圓心到直線axax- -y y+4=0+4=0的距離為的距離為 解得解得a a=- .=- ., 21422aa34,122aa, 423212222aa43探究提高探究提高 求過一點(diǎn)的圓的切線方程，首先要判斷求過一點(diǎn)的圓的切線方程，首先要判斷此點(diǎn)是否在圓上此點(diǎn)是否在圓上

22、. .若在圓上若在圓上, ,該點(diǎn)為切點(diǎn)；若不在圓該點(diǎn)為切點(diǎn)；若不在圓上，切線應(yīng)該有兩條，設(shè)切線的點(diǎn)斜式方程，用待上，切線應(yīng)該有兩條，設(shè)切線的點(diǎn)斜式方程，用待定系數(shù)法求解定系數(shù)法求解. .注意，需考慮無斜率的情況注意，需考慮無斜率的情況. .求弦長求弦長問題，要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)問題，要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì). .知能遷移知能遷移2 2 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A A（1 1，a a），圓），圓x x2 2+ +y y2 2=4.=4. （1 1）若過點(diǎn)）若過點(diǎn)A A的圓的切線只有一條，求的圓的切線只有一條，求a a的值及的值及 切線方程；切線方程； （2 2）若過點(diǎn)）若過點(diǎn)A A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直

23、線且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線 被圓截得的弦長為被圓截得的弦長為2 2 ，求，求a a的值的值. . 解解（1 1）由于過點(diǎn)）由于過點(diǎn)A A的圓的切線只有一條，則點(diǎn)的圓的切線只有一條，則點(diǎn) A A在圓上，故在圓上，故1 12 2+ +a a2 2=4=4，a a= = . . 當(dāng)當(dāng)a a= = 時(shí)時(shí), ,A A（1 1， ）, ,切線方程為切線方程為x x+ + y y-4=0-4=0； 當(dāng)當(dāng)a a=- =- 時(shí)時(shí), ,A A（1,- 1,- ）, ,切線方程為切線方程為x x- - y y-4=0-4=0， a a= = 時(shí)，切線方程為時(shí)，切線方程為x x+ + y y-4=0,-4=0,

24、a a=- =- 時(shí)，切線方程為時(shí)，切線方程為x x- - y y-4=0.-4=0.333333333333(2)(2)設(shè)直線方程為設(shè)直線方程為x x+ +y y= =b b, ,由于過點(diǎn)由于過點(diǎn)A A，1+1+a a= =b b，a a= =b b-1.-1.又圓心到直線的距離又圓心到直線的距離d d= = +3=4 +3=4，b b= = , ,a a= = -1. -1.,2b22 b22題型三題型三 圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系【例例3 3】已知兩圓】已知兩圓x x2 2+ +y y2 2-2-2x x-6-6y y-1=0-1=0和和x x2 2+ +y y2 2-10-10

25、x x- - 12 12y y+ +m m=0.=0. （1 1）m m取何值時(shí)兩圓外切？取何值時(shí)兩圓外切？ （2 2）m m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？ （3 3）求）求m m=45=45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和 公共弦的長公共弦的長. . 利用兩圓的連心線的長與兩圓半徑之利用兩圓的連心線的長與兩圓半徑之 間的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系間的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系. .思維啟迪思維啟迪解解 兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x x-1-1）2 2+(+(y y-3)-3)2 2=11,=11,( (x x-5)-5)2 2+(+(y y-6)-6)2

26、2=61-=61-m m, ,圓心分別為圓心分別為MM（1 1，3 3），），N N（5 5，6 6），），半徑分別為半徑分別為 和和 . .（1 1）當(dāng)兩圓外切時(shí)，）當(dāng)兩圓外切時(shí)， 解得解得m m=25+10 .=25+10 .（2 2）當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因定圓的半徑）當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因定圓的半徑 小于兩小于兩圓圓心間距離圓圓心間距離5 5，故只有故只有 - =5- =5，解得，解得m m=25-10 .=25-10 .11m61,6111)36() 15(22m1111m611111（3 3）兩圓的公共弦所在直線方程為）兩圓的公共弦所在直線方程為( (x x2 2+ +y y2 2-2-2x x

27、-6-6y y-1)-(-1)-(x x2 2+ +y y2 2-10-10 x x-12-12y y+45)=0,+45)=0,即即4 4x x+3+3y y-23=0,-23=0,公共弦長為公共弦長為應(yīng)注意兩圓位置由圓心距和兩半徑的應(yīng)注意兩圓位置由圓心距和兩半徑的和與差來確定，從而確定切線的條數(shù)和與差來確定，從而確定切線的條數(shù). .求公共弦方求公共弦方程時(shí)，只需將兩圓方程相減即可程時(shí)，只需將兩圓方程相減即可. . 723423334)11(22222探究提高探究提高知能遷移知能遷移3 3 圓圓O O1 1的方程為的方程為x x2 2+(+(y y+1)+1)2 2=4,=4,圓圓O O2

28、2的圓的圓 心心O O2 2（2 2，1 1）. . （1 1）若圓）若圓O O2 2與圓與圓O O1 1外切外切, ,求圓求圓O O2 2的方程的方程, ,并求內(nèi)并求內(nèi) 公切線方程；公切線方程； （2 2）若圓）若圓O O2 2與圓與圓O O1 1交于交于A A、B B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且| |ABAB|=2 |=2 ， 求圓求圓O O2 2的方程的方程. . 解解 （1 1）兩圓外切，兩圓外切， |O O1 1O O2 2|=|=r r1 1+ +r r2 2，r r2 2=|=|O O1 1O O2 2|-|-r r1 1=2=2（ -1-1），）， 故圓故圓O O2 2的方程是的方程是(

29、(x x-2)-2)2 2+(+(y y-1)-1)2 2=4( -1)=4( -1)2 2. . 兩圓的方程相減，即得兩圓內(nèi)公切線的方程兩圓的方程相減，即得兩圓內(nèi)公切線的方程 x x+ +y y+1-2 =0.+1-2 =0.2222（2 2）設(shè)圓）設(shè)圓O O2 2的方程為（的方程為（x x-2-2）2 2+(+(y y-1)-1)2 2= =r r , ,圓圓O O1 1的方程為：的方程為：x x2 2+(+(y y+1)+1)2 2=4,=4,此兩圓的方程相此兩圓的方程相減，即得兩圓公共弦減，即得兩圓公共弦ABAB所在直線的方程：所在直線的方程：4 4x x+4+4y y+ +r r -

30、8=0.-8=0. 作作O O1 1H HABAB，則，則| |AHAH|= |= |ABAB|= |= ，O O1 1H H= = ，由圓心（由圓心（0 0，-1-1）到直線）到直線的距離得的距離得得得r r =4=4或或r r =20, =20,故圓故圓O O2 2的方程為的方程為（x x-2-2）2 2+(+(y y-1)-1)2 2=4=4或或( (x x-2)-2)2 2+(+(y y-1)-1)2 2=20.=20.22222122, 2241222r2222題型四題型四 直線與圓的綜合應(yīng)用直線與圓的綜合應(yīng)用【例例4 4】（】（1212分）已知過點(diǎn)分）已知過點(diǎn)A A（0 0，1 1

31、）且斜率為）且斜率為k k 的直線的直線l l與圓與圓C C：（：（x x-2-2）2 2+(+(y y-3)-3)2 2=1=1相交于相交于MM、N N 兩點(diǎn)兩點(diǎn). . （1 1）求實(shí)數(shù)）求實(shí)數(shù)k k的取值范圍；的取值范圍； （2 2）求證：）求證： 為定值；為定值； （3 3）若）若O O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，且 =12,=12,求求k k的值的值. .AMOMONAN （1 1）由于直線與圓）由于直線與圓C C相交于相交于MM、N N兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，故利用直線與圓相交的條件即可求得故利用直線與圓相交的條件即可求得k k的范圍的范圍. .（2 2） =| | |cos =| | |cos

32、0 0 =| | | =| | |，故而想到切割線定理即可證得，故而想到切割線定理即可證得結(jié)論結(jié)論. .（3 3） = =x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2，聯(lián)想根與系數(shù)的關(guān)系即，聯(lián)想根與系數(shù)的關(guān)系即可解決可解決. .思維啟迪思維啟迪AMANAMANAMANOMON（1 1）解解 方法一方法一 直線直線l l過點(diǎn)過點(diǎn)A A（0 0，1 1）且斜率）且斜率為為k k，直線直線l l的方程為的方程為y y= =kxkx+1.+1. 2 2分分將其代入圓將其代入圓C C：（：（x x-2-2）2 2+(+(y y-3)-3)2 2=1,=1,得（得（1+1+k k2 2）x x2

33、 2-4(1+-4(1+k k) )x x+7=0.+7=0. 由題意：由題意：=-4-4（1+1+k k）2 2-4-4（1+1+k k2 2）7 70 0，得得 4 4分分.374374k方法二方法二 同方法一得直線方程為同方法一得直線方程為y y= =kxkx+1,+1,即即kxkx- -y y+1=0.+1=0. 2 2分分又圓心到直線距離又圓心到直線距離d=d= 4 4分分（2 2）證明證明 設(shè)過設(shè)過A A點(diǎn)的圓的切線為點(diǎn)的圓的切線為ATAT，T T為切點(diǎn)，為切點(diǎn)，則則| |ATAT| |2 2=|=|AMAM|ANAN| |，| |ATAT| |2 2= =（0-20-2）2 2+

34、 +（1-31-3）2 2-1=7-1=7，| | |=7.| | |=7. 6 6分分根據(jù)向量的運(yùn)算：根據(jù)向量的運(yùn)算： =| | |cos 0 =| | |cos 0=7=7為定值為定值. 8. 8分分,122113222kkkk374374, 11222kkkd解得AMANAMANAMAN（3 3）解解 設(shè)設(shè)MM（x x1 1，y y1 1），），N N（x x2 2，y y2 2），則由），則由得得 = =x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2= =（1+1+k k2 2）x x1 1x x2 2+ +k k（x x1 1+ +x x2 2）+1+1= =k k=1=1（

35、代入（代入檢驗(yàn)符合題意）檢驗(yàn)符合題意）. . 12 12分分xxkkxx1010分分OMON1281)1 (42kkk探究提高探究提高 本題涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，雖然含有向量，本題涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，雖然含有向量，但只是用到了平面向量最基本的知識(shí)，最后但只是用到了平面向量最基本的知識(shí)，最后還是很常規(guī)的用到點(diǎn)到直線的距離、根與系數(shù)的還是很常規(guī)的用到點(diǎn)到直線的距離、根與系數(shù)的關(guān)系等方法，能否將問題合理地轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵關(guān)系等方法，能否將問題合理地轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵. .已知圓已知圓C C：x x2 2+ +y y2 2+2+2x x-4-4y y+3=0.+3=0.（1 1）若圓

36、）若圓C C的切線在的切線在x x軸和軸和y y軸上的截距相等，求軸上的截距相等，求此切線的方程；此切線的方程；（2 2）從圓）從圓C C外一點(diǎn)外一點(diǎn)P P（x x1 1, ,y y1 1）向該圓引一條切線，）向該圓引一條切線，切點(diǎn)為切點(diǎn)為MM，O O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有| |PMPM|=|=|POPO| |，求，求使得使得| |PMPM| |取得最小值的點(diǎn)取得最小值的點(diǎn)P P的坐標(biāo)的坐標(biāo). .知能遷移知能遷移4 4解解（1 1）將圓）將圓C C配方得（配方得（x x+1+1）2 2+ +（y y-2-2）2 2=2.=2.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí)，設(shè)直線方當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上

37、的截距為零時(shí)，設(shè)直線方程為程為y y= =kxkx, ,由直線與圓相切得由直線與圓相切得 即即k k=2=2 ，從而切線方程為，從而切線方程為y y= =（2 2 ）x x. .當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為設(shè)直線方程為x x+ +y y- -a a=0,=0,由直線與圓相切得由直線與圓相切得x x+ +y y+1=0+1=0或或x x+ +y y-3=0.-3=0.（2 2）由）由| |POPO|=|=|PMPM| |得得x x + +y y =(=(x x1 1+1)+1)2 2+(+(y y1 1-2)-2)2 2-2 2-2 2x x1

38、 1-4-4y y1 1+3=0.+3=0.2122kk662121即點(diǎn)即點(diǎn)P P在直線在直線l l:2:2x x-4-4y y+3=0+3=0上，當(dāng)上，當(dāng)| |PMPM| |取最小值時(shí)取最小值時(shí)即即| |OPOP| |取得最小值，直線取得最小值，直線OPOPl l，直線直線OPOP的方程為的方程為2 2x x+ +y y=0.=0.解方程組解方程組得得P P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為, 0342, 02yxyx.53,103方法與技巧方法與技巧1.1.過圓外一點(diǎn)過圓外一點(diǎn)MM可以作兩條直線與圓相切，其直線可以作兩條直線與圓相切，其直線 方程的求法有兩種：方程的求法有兩種：（1 1）用待定系數(shù)法設(shè)出直線

39、方程，再利用圓心到）用待定系數(shù)法設(shè)出直線方程，再利用圓心到 切線的距離等于半徑列出關(guān)系式求出切線的斜率，切線的距離等于半徑列出關(guān)系式求出切線的斜率， 進(jìn)而求得直線方程進(jìn)而求得直線方程. .（2 2）用待定系數(shù)法設(shè)出直線方程，再利用直線與）用待定系數(shù)法設(shè)出直線方程，再利用直線與 圓相切時(shí)交點(diǎn)唯一列出關(guān)系式求出切線的斜率，圓相切時(shí)交點(diǎn)唯一列出關(guān)系式求出切線的斜率， 進(jìn)而求得直線方程進(jìn)而求得直線方程. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2.2.若兩圓相交時(shí)，把兩圓的方程作差消去若兩圓相交時(shí)，把兩圓的方程作差消去x x2 2和和y y2 2就就 得到兩圓的公共弦所在的直線方程得到兩圓的公共弦所在的直

40、線方程. .3.3.求弦長時(shí)，常利用圓心到弦所在的直線的距離求弦長時(shí)，常利用圓心到弦所在的直線的距離 求弦心距，再結(jié)合勾股定理求弦長求弦心距，再結(jié)合勾股定理求弦長. .4.4.求圓外一點(diǎn)求圓外一點(diǎn)P P到圓到圓O O上任意一點(diǎn)距離的最小值為上任意一點(diǎn)距離的最小值為 | |POPO|-|-r r, ,最大值為最大值為| |POPO|+|+r r（其中（其中r r為圓為圓O O的半徑）的半徑）. .失誤與防范失誤與防范1.1.求圓的弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用求圓的弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用 圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股 定

41、理或斜率之積為定理或斜率之積為-1-1列方程來簡化運(yùn)算列方程來簡化運(yùn)算. .2.2.注意利用圓的性質(zhì)解題，可以簡化計(jì)算注意利用圓的性質(zhì)解題，可以簡化計(jì)算. .例如，例如， 求圓外一點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的最小距離或最大求圓外一點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的最小距離或最大 距離利用兩點(diǎn)的距離減去或加圓半徑就很簡便距離利用兩點(diǎn)的距離減去或加圓半徑就很簡便. .一、選擇題一、選擇題1.1.（20092009重慶理，重慶理，1 1）直線直線y y= =x x+1+1與圓與圓x x2 2+ +y y2 2=1=1的的 位置關(guān)系是位置關(guān)系是 （ ） A.A.相切相切 B.B.相交但直線不過圓心相交但直線不過圓心 C.C.直

42、線過圓心直線過圓心 D.D.相離相離 解析解析 圓心到直線的距離圓心到直線的距離d d= = d dr r且且d d0,0, 直線與圓相交但不過圓心直線與圓相交但不過圓心. .定時(shí)檢測定時(shí)檢測B, 122212.2.（20082008遼寧理遼寧理 ，3 3）圓圓x x2 2+ +y y2 2=1=1與直線與直線y y= =kxkx+2+2 沒有公共點(diǎn)的充要條件是沒有公共點(diǎn)的充要條件是 （ ） A.A.k k(- , )(- , ) B. B.k k(-,- )( ,+)(-,- )( ,+) C. C.k k(- , )(- , ) D. D.k k(-,- )( ,+)(-,- )( ,+)

43、 解析解析 圓圓x x2 2+ +y y2 2=1=1的圓心為的圓心為O O（0 0，0 0），則），則O O到到 直線直線y y- -kxkx-2=0-2=0的距離為的距離為 由于直線和圓沒有公共點(diǎn)，因此由于直線和圓沒有公共點(diǎn)，因此 1+1+k k2 24, 4, k k . .22223333C.122k, 1122k333.3.設(shè)設(shè)O O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，C C為圓（為圓（x x-2-2）2 2+ +y y2 2=3=3的圓心，的圓心， 且圓上有一點(diǎn)且圓上有一點(diǎn)MM（x x, ,y y）滿足）滿足 =0 =0， 則則 等于等于 （ ） A. B.A. B. C. D. C. D.

44、解析解析 =0 =0，OMOMCMCM，OMOM是是 圓的切線圓的切線. . 設(shè)設(shè)OMOM的方程為的方程為y y= =kxkx, ,由由 得得k k= = ，即，即 = = . .xyCM333333或333或DCMOM, 3122kk3xy3OM4.4.已知點(diǎn)已知點(diǎn)P P（x x，y y）是直線）是直線kxkx+ +y y+4=0 (+4=0 (k k0)0)上一動(dòng)上一動(dòng) 點(diǎn)，點(diǎn)，PAPA、PBPB是圓是圓C C：x x2 2+ +y y2 2-2-2y y=0=0的兩條切線，的兩條切線，A A、 B B是切點(diǎn)，若四邊形是切點(diǎn)，若四邊形PACBPACB的最小面積是的最小面積是2 2，則，則k

45、 k的的 值為值為 （ ） A. B. C.2 D.2A. B. C.2 D.2 22212 解析解析 圓圓C C的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為x x2 2+(+(y y-1)-1)2 2=1,=1,圓心圓心C C（0 0，1 1），半徑為），半徑為1 1，|PCPC| |2 2=|=|PAPA| |2 2+1.+1.又又S S四邊形四邊形PACBPACB=2=2 | |PAPA| |1=|1=|PAPA| |，當(dāng)當(dāng)| |PAPA| |最小時(shí)，面積最小，而此時(shí)最小時(shí)，面積最小，而此時(shí)| |PCPC| |最小最小. .又又| |PCPC| |最小為最小為C C到直線到直線kxkx+ +y y+4=0+

46、4=0的距離的距離面積最小為面積最小為2 2時(shí)，有時(shí)，有2 22 2= =解得解得k k=2=2（k k0 0）. .21,152kd, 11522k答案答案 D5.5.過點(diǎn)（過點(diǎn)（0 0，-1-1）作直線）作直線l l與圓與圓x x2 2+ +y y2 2-2-2x x-4-4y y-20=0-20=0交于交于 A A、B B兩點(diǎn)，如果兩點(diǎn)，如果| |ABAB|=8|=8，則直線，則直線l l的方程為（的方程為（ ） A.3A.3x x+4+4y y+4=0+4=0 B.3 B.3x x-4-4y y-4=0-4=0 C.3 C.3x x+4+4y y+4=0+4=0或或y y+1=0+1=

47、0 D.3 D.3x x-4-4y y-4=0-4=0或或y y+1=0+1=0解析解析 圓：圓：( (x x-1)-1)2 2+(+(y y-2)-2)2 2=25,=25,易知直線斜率存在，易知直線斜率存在，設(shè)設(shè)l l: :y y+1=+1=k k( (x x-0)-0)，即，即kxkx- -y y-1=0-1=0，圓心（圓心（1 1，2 2）到）到l l的距離的距離d d= =由由 +4+42 2=5=52 2, ,得得4 4k k2 2+3+3k k=0,=0,k k=0=0或或k k=- =- ，當(dāng)，當(dāng)k k=0=0時(shí)，時(shí)，l l: :y y=-1;=-1;當(dāng)當(dāng)k k=- =- 時(shí)，

48、時(shí)，l l:3:3x x+4+4y y+4=0.+4=0.答案答案 C.132kk22)13(kk43436.6.已知直線已知直線x x+ +y y= =a a與圓與圓x x2 2+ +y y2 2=4=4交于交于A A、B B兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,且且 | +| + |=| |=| - - |,|,其中其中O O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a a的值為的值為 （ ） A.2 B.A.2 B.2 C.-2 D.2 C.-2 D. 解析解析 如圖，作平行四邊形如圖，作平行四邊形OADBOADB， 則則 + + = = ， - = - = ， | |=| |.| |=| |. 又又| |=| |

49、 |=| |， 四邊形四邊形OADBOADB為正方形，為正方形， 易知易知| | |為直線在為直線在y y軸上的截距的絕對(duì)值，軸上的截距的絕對(duì)值，a a= =2.2.2BOAOBOAOBOAOBODODOAOBBABAOAOBOA二、填空題二、填空題7.7.若直線若直線axax+ +byby=1=1與圓與圓x x2 2+ +y y2 2=1=1相切，則實(shí)數(shù)相切，則實(shí)數(shù)abab的取的取 值范圍是值范圍是 . . 解析解析 圓心（圓心（0,00,0）到直線的距離）到直線的距離 a a2 2+ +b b2 2=1.|=1.|abab| , 1122bad.21222ba.2121ab21,218.8

50、.（20092009四川理，四川理，1414）若若O O：x x2 2+ +y y2 2=5=5與與O O1 1: : ( (x x- -m m) )2 2+ +y y2 2=20(=20(m mR R) )相交于相交于A A、B B兩點(diǎn)，且兩圓兩點(diǎn)，且兩圓 在點(diǎn)在點(diǎn)A A處的切線互相垂直，則線段處的切線互相垂直，則線段ABAB的長度是的長度是 . . 解析解析 如圖所示，在如圖所示，在R Rt tOOOO1 1A A中，中， OAOA= = ，O O1 1A A=2 =2 ，OOOO1 1=5=5， ACAC= = ABAB=4.=4.4 455, 255259.9.（20092009天津理

51、，天津理，1414）若圓若圓x x2 2+ +y y2 2=4=4與圓與圓x x2 2+ +y y2 2+ + 2 2ayay-6=0(-6=0(a a0)0)的公共弦的長為的公共弦的長為2 ,2 ,則則a a= = . . 解析解析 x x2 2+ +y y2 2+2+2ayay=6,=6,x x2 2+ +y y2 2=4=4，兩式相減得，兩式相減得y y= .= . 聯(lián)立聯(lián)立 消去消去y y得得x x2 2= (= (a a0).0). 解得解得a a=1.=1.1 13a1, 4,122yxay2214aa , 321422aa三、解答題三、解答題10.10.自點(diǎn)自點(diǎn)A A（-3-3，3 3）發(fā)出的光線）發(fā)出的光線l l射到射到x x軸上，被軸上，被x x軸軸 反射，其反射光線所在直線與圓反射，其反射光線所在直線與圓x x2 2+ +y y2 2-4-4x x-4-4y y+7=0+