二次函數(shù)背景下的線段最值問題

1、漳州康橋?qū)W校九年級 吳瑕（2015漳州卷第漳州卷第25題）題）如圖，拋物線 與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，請解決下列問題（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ， ）， 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ， ）；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0）, 當(dāng)|PDPC|最大時，求a的值并在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位置；322xxy 如圖，拋物線 與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）.（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方上的動點(diǎn),過點(diǎn)M作 MN/y軸交直線BC于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；cbxxy2（2016漳州卷第漳州卷第24題）題）學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) 知識目標(biāo)：知識目標(biāo)： 掌握

2、幾何中的幾個重要定理及二次函數(shù)的有關(guān)知識，根據(jù)問題建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，解決二次函數(shù)背景下的線段和、差等最值問題。 能力目標(biāo)能力目標(biāo)： 通過觀察、分析、對比等方法，提高學(xué)生分析問題，解決問題的能力，進(jìn)一步強(qiáng)化分類歸納綜合的思想，提高綜合能力。 情感目標(biāo)：情感目標(biāo)： 通過自己的參與和教師的指導(dǎo)，體會及感悟化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想方法，享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。l模型一已知：如圖，A（-1,0）,B（3,0）,C（0,3）,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，拋物線的頂點(diǎn)為D求解析式和拋物線的頂點(diǎn)D；cbxaxy：2設(shè)二次函數(shù)的解析式為解3c2b-1a： 30390300301解得得代入

3、將ccbacba：，C，B，A413222xxxy41, 32：2，Dxxy頂點(diǎn)解析式為模型應(yīng)用模型應(yīng)用模型應(yīng)用模型應(yīng)用(2)點(diǎn) P 在對稱軸上，PA+PC取最小值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；變式：點(diǎn)P在對稱軸上，PAC周長最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【思維點(diǎn)撥】要使【思維點(diǎn)撥】要使PAC的周長最小的周長最小，已知已知AC為定值為定值，只需求一點(diǎn)只需求一點(diǎn)P使得使得PAPC最小即可最小即可步驟歸納： 1)找對稱點(diǎn)2)連線并求直線解析式3)求點(diǎn)坐標(biāo)P模型二：lABP 在 PAB中 P A-P B ABPA-PB=AB PA-PBPA-PB探究二探究二問題：在直線l上，找出一點(diǎn)P，使|PAPB|的值最大?；窘夥ǎ?/p>

4、使A、B、P三點(diǎn)共線 基本原理：三角形兩邊之差小于第三邊 基本思想：轉(zhuǎn)化（化折為直）模型應(yīng)用模型應(yīng)用(3) 點(diǎn)P在對稱軸上，|PAPC|最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；分析：第一步，應(yīng)用模型 找到點(diǎn)P的位置；第二步，求直線AC的解析式；第三步，將P點(diǎn)橫坐標(biāo)代入直線BC的解析式求出其縱坐標(biāo)。變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練(4) 點(diǎn)P在對稱軸上，|PAPC|最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；分析：第一步，找點(diǎn)P。要使|PAPC|最小，只要PA=PC即可，由線段垂直平分線的逆定理可知：點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上，因此線段AC垂直平分線與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P。第二步，解析法或幾何法求點(diǎn)P的坐標(biāo)。變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 (5)點(diǎn)P在線段BC

5、上，PA取最小值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；分析：第一步，找點(diǎn)P，利用直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短 。第二步，解析法或幾何法求點(diǎn)P的坐標(biāo)。鏈接中考鏈接中考（2015漳州）如圖，拋物線 與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，請解決下列問題（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ， ），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ， ）；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），當(dāng)|PDPC|最大時，求a的值并在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位置；322xxy413222xxxyC（0，3），D（1，4）0314規(guī)范答題不失分規(guī)范答題不失分解：在三角形中兩邊之差小于第三邊，延長DC交x軸于點(diǎn)P，設(shè)直線DC的解析式為y=kx+b，把

6、D、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得 ，解得 ，直線DC的解析式為y=x+3，將點(diǎn)P的坐標(biāo)（a，0）代入得a+3=0， 求得a=3， 如圖1，點(diǎn)P（3，0）即為所求 （2）設(shè)點(diǎn)）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（a，0），當(dāng)），當(dāng)|PDPC|最最大時，求大時，求a的值并在圖中標(biāo)出點(diǎn)的值并在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位置；的位置；探究三探究三(6)點(diǎn)P在第一象限的拋物線上，PQx軸交BC于Q，求PQ的最大值；分析：第一步，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步，求直線BC的解析式，得Q點(diǎn)坐標(biāo)；第三步，利用線段與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，得線段PQ的函數(shù)關(guān)系式，最后求出最值。豎直線段豎直線段水平線段水平線段xyxyAByx1，yx2,ABx1-x2AB=A

7、B=y1-y2(縱坐標(biāo)相減）縱坐標(biāo)相減）(橫坐標(biāo)相減）橫坐標(biāo)相減） 上減下上減下 右減左右減左OOyx,1yx,2=y1-y2=x2-x1函數(shù)模型鏈接中考鏈接中考(2016漳州)如圖，拋物線 與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）.（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方上的動點(diǎn),過點(diǎn)M作 MN/y軸交直線BC于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；cbxxy2解：（1）將點(diǎn)B（3，0）、C（0，3） 代入拋物線 中，得：，解得：拋物線的解析式為342xxycbxxy2鏈接中考鏈接中考（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方上的動點(diǎn),過點(diǎn)M作 MN/y軸交直線BC于點(diǎn)N，求線段MN的

8、最大值；MNy軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為拋物線的解析式為拋物線的對稱軸為點(diǎn)（1，0）在拋物線的圖象上，1m3線段解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為設(shè)直線BC的解析式為 ，把點(diǎn)B（3，0）代入，得：34,2 mmm3 kxy1k直線BC的解析式為3xy3,mm123422xxxy2x4923 34322mmmmMN當(dāng) 時，線段MN取最大值,最大值為 23m49v今天我們研究了什么?v我們得到了哪些成果?v在研究過程中有何體會?研線段最值問題，展其本質(zhì)學(xué)數(shù)學(xué)知識方法，取其精髓不變應(yīng)萬變學(xué)習(xí)梳理歸納方法，小結(jié)心得1.1.線段和（或三角形周長）的最值問題：線段和（或三角形周長）的最值問題：此類問題一般是利用軸此類問題一般是利用軸對稱對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短確定最短距離之間線段最短確定最短距離2.2.因動點(diǎn)而產(chǎn)生的因動點(diǎn)而產(chǎn)生的線段差線段差的最值問題，數(shù)的最值問題，數(shù)形結(jié)合求解：當(dāng)三點(diǎn)形結(jié)合求解：當(dāng)三點(diǎn)共線共線時有最值。時有最值。3.3.線段長度最值問題：把線段長用線段長度最值問題：把線段長用二次函二次函數(shù)數(shù)關(guān)系式表示出來再求最值（要注意自變關(guān)系式表示出來再