人口增長(zhǎng)連續(xù)模型

1、1人口增長(zhǎng)連續(xù)模型 人口問(wèn)題是當(dāng)今世界人們最關(guān)心的問(wèn)題之一,從我們建國(guó)以來(lái)的歷史和當(dāng)前的現(xiàn)實(shí)已經(jīng)證明.這個(gè)問(wèn)題也是我們國(guó)家必須認(rèn)真思考和慎重對(duì)待的重大問(wèn)題.過(guò)去曾認(rèn)為人多好辦事,對(duì)呼吁人口增長(zhǎng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬寅初錯(cuò)誤地開(kāi)展批評(píng),結(jié)果造成人口超過(guò)13億,背上了沉重的包袱.因此要實(shí)現(xiàn)四個(gè)現(xiàn)代化,應(yīng)有效地控制人口增長(zhǎng),就必須制定正確的人口政策,為此就要建立人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型,用以描述人口增長(zhǎng)過(guò)程,通過(guò)分析對(duì)人口增長(zhǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè),制定相應(yīng)的人口政策以控制人口增長(zhǎng). 2 影響人口增長(zhǎng)的因素很多,人口的多少,出生率的高低,人口男女比例的大小,人口年齡組成情況,工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平高低,各民族的風(fēng)俗習(xí)慣,自然災(zāi)害,戰(zhàn)爭(zhēng),

2、人口遷移等等.如果一開(kāi)始把眾多因素全考慮,則無(wú)從下手.我們先把問(wèn)題簡(jiǎn)化,只考慮影響人口的主要因素增長(zhǎng)率(出生率減去死亡率),其余因素暫不考慮,建立一個(gè)較粗的數(shù)學(xué)模型.在這個(gè)模型的基礎(chǔ)上逐步考慮次要因素的影響,從而建立一個(gè)與實(shí)際更加吻合的數(shù)學(xué)模型. 初看起來(lái)人口增長(zhǎng)是按整數(shù)變化的,不是時(shí)間的可微函數(shù),是不能用微分方程來(lái)描述的.但是若人口總數(shù)很大時(shí),可以近似認(rèn)為它是時(shí)間的連續(xù)函數(shù),甚至是可微的函數(shù).所以人口增長(zhǎng)可以用微分方程來(lái)描述. 3設(shè) , 表示t時(shí)刻人口總數(shù)和增長(zhǎng)率, )(tx)(,(txtr只考慮增長(zhǎng)率,其它因素的影響不考慮. 則在t至t+ 這段時(shí)間內(nèi)人口總數(shù)增長(zhǎng)為 tttxtxtrtxtt

3、x)()(,()()(兩端同除以 ,并令 ,得 tt0)()()(,(1txtxtrdtdx我們將逐步深入討論上面這個(gè)模型 4一,馬爾薩斯(malthus)模型(指數(shù)增長(zhǎng)模型) 英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯(17661834)根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料,于1798年提出了著名的人口指數(shù)增長(zhǎng)模型. 基本假設(shè) 人口增長(zhǎng)率是常數(shù), 或者說(shuō),單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)人口成正比. 在（1）式中令 =r(常數(shù)) 得 )(,(txtr002xtxtxrdttdxtt)()()()(其解: (3)()(00ttrextx5 (2)式是一個(gè)線性方程,稱為馬爾薩斯人口模型,人口以 為公比,按幾何級(jí)數(shù)增加. re002x

4、txtxrdttdxtt)()()()( 據(jù)統(tǒng)計(jì),1961年世界人口總數(shù)為3.06 , 而在此之前的十來(lái)年間人口按每年2%的速率增長(zhǎng).因此 9109001961,3.0610 ,0.02txr)(.)()(.41006319610209tetx 公式(4)能非常準(zhǔn)確地反映了在1700-1961年間世界估計(jì)人口總數(shù), 6但當(dāng)t=2510年, = (2萬(wàn)億), x14102t=2635年, = (18萬(wàn)億), x151081.t=2670年, = (36萬(wàn)億), x151063. 顯然,這些數(shù)字說(shuō)明馬爾薩斯人口模型對(duì)長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)是不正確的. 由上可以看出,馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型對(duì)1700-1961年的

5、人口總數(shù)是對(duì)的,但對(duì)未來(lái)的人口總數(shù)預(yù)測(cè)不正確,應(yīng)予以修正. 二、logistic模型(阻滯增長(zhǎng)模型) 由上面分析,馬爾薩斯人口模型對(duì)1700-1961年間人口總數(shù)的檢驗(yàn)是對(duì)的,而未來(lái)的人口總數(shù)預(yù)測(cè)又是錯(cuò)的,原因何在? 7 產(chǎn)生上述現(xiàn)象的主要原因是:隨著人口的增加,自然資源,環(huán)境條件等因素對(duì)人口繼續(xù)增長(zhǎng)的阻滯作用越來(lái)越顯著.如果當(dāng)人口較少時(shí)(相對(duì)于資源而言),人口增長(zhǎng)率還可以看作常數(shù)的話,那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后,增長(zhǎng)率就會(huì)隨著人口的繼續(xù)增加而逐漸減少,許多國(guó)家人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況完全證實(shí)了這一點(diǎn). 看來(lái)為了使人口預(yù)報(bào),特別是長(zhǎng)期預(yù)報(bào)更好地符合實(shí)際情況,必須修改指數(shù)增長(zhǎng)模型關(guān)于人口增長(zhǎng)率是常數(shù)這

6、個(gè)基本假設(shè). 8 荷蘭生物學(xué)家Verhulst引入常數(shù) ,用來(lái)表示自然資源和環(huán)境條件所允許的最大人口,并假定人口增長(zhǎng)率 mx)()()(,(51mxtxrtxtr即人口增長(zhǎng)率隨著 的增加而減少,當(dāng) 時(shí)，人口增長(zhǎng)率趨于零 )(txmxtx)(其中： 是根據(jù)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)確定的常數(shù); mxr,因子 體現(xiàn)了對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用. )(mxtx1由此得：Logistic模型 )(| )()(6100 xtxxxxrdtdxttm9解之得： )()()()(71100ttrmmexxxtx 根據(jù)(6), (7)兩式可畫出 和 曲線圖如: 圖1及圖2： xdtdxtx 圖1 圖2 10 如圖1, 是一條拋物線，他表示人口增長(zhǎng)率 隨著人口數(shù)量的增加而先增后減，在 處達(dá)到最大值。 xdtdxdtdxx2mxx 如圖2， 是一條 型曲線 ，拐點(diǎn)在 處，當(dāng) 時(shí)， tx s2mxx tmxx 本世紀(jì)初人們?cè)眠@個(gè)模型預(yù)報(bào)美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較，直到1930年計(jì)算結(jié)果都相吻合，后來(lái)的誤差越來(lái)越大，一個(gè)明顯原因是到1960年美國(guó)實(shí)際人口已突破了過(guò)去確定最大人口 。 mx11 這個(gè)模型改進(jìn)了Mslthus模型，但不易準(zhǔn)確得到 ，事實(shí)上，隨著生產(chǎn)力的