向量及其線性運(yùn)算(1)精編版

1、高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：1M2M a21MM向量的方向：向量的方向：箭頭的方向箭頭的方向. .一、向量的概念一、向量的概念或或|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .或或向量的大?。合蛄康拇笮。合蛄块L(zhǎng)度的值向量長(zhǎng)度的值. .模長(zhǎng)為模長(zhǎng)為1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模長(zhǎng)為模長(zhǎng)為0 0的向量的向量, ,其方向任意其方向任意. .0單位向量：?jiǎn)挝幌蛄浚夯蚧蚋吒?等等

2、數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations自由向量：自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量不考慮起點(diǎn)位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向徑：向徑：aba a空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn) 與原點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成的向量構(gòu)成的向量. . OMM向量平行：向量平行：k( 2)k( 2)個(gè)有公共起點(diǎn)的向量的個(gè)有公共起點(diǎn)的向量的k k個(gè)終點(diǎn)和起點(diǎn)在一個(gè)平面上個(gè)終點(diǎn)和起點(diǎn)在一個(gè)平面上. .兩個(gè)非零向量

3、的方向相同或者相反兩個(gè)非零向量的方向相同或者相反. .k k個(gè)向量共面：個(gè)向量共面：高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1 加法：加法：cba abc（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分為同向和反向分為同向和反向bac|bac （平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則）（平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則）1. 向量的加減法向量的加減法abba高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute

4、 of Industrial Relations向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 減法減法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations, 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反反向向，|aa aa2a21 2. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法高高 等等 數(shù)

5、數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa，使一的實(shí)數(shù)分必要條件是：存在唯的充平行于，那么向量設(shè)向量定理兩個(gè)向量的平行關(guān)系兩個(gè)向量的平行關(guān)系高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations證證充分性顯然；充分性顯然；必要性必要性ab設(shè)設(shè),ab 取取取取正正值

6、值，同同向向時(shí)時(shí)與與當(dāng)當(dāng) ab取取負(fù)負(fù)值值，反反向向時(shí)時(shí)與與當(dāng)當(dāng) ab.ab 即有即有.同向同向與與此時(shí)此時(shí)ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，設(shè)設(shè)ab ，又又設(shè)設(shè)ab 兩式相減，得兩式相減，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations同同方方向向的的單單位位向向量量，表表示示與與非非零零向向量量設(shè)設(shè)aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一上式表明：一

7、個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量個(gè)與原向量同方向的單位向量.點(diǎn)點(diǎn)POPxx= xi實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) xOP向量向量此定理是建立數(shù)軸的理論依據(jù)此定理是建立數(shù)軸的理論依據(jù)數(shù)軸：點(diǎn)、方向、單位長(zhǎng)度數(shù)軸：點(diǎn)、方向、單位長(zhǎng)度軸上點(diǎn)軸上點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為x的充分必要條件是的充分必要條件是 .= xiOPi1另外另外高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations例例1 1 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院

8、中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations例例2 2 試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形必是平行四邊形四邊形必是平行四邊形.證證AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD與與 平行且相等平行且相等,BC結(jié)論得證結(jié)論得證.ABCDMab高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations例例3用向量的方法證明梯形兩腰中點(diǎn)的連線用向量的方法證明梯形兩腰中點(diǎn)的連線平行于底邊且等于兩底邊之和的一半平行于底邊且等于兩底邊

9、之和的一半證證ABCDEFDFEDEF DFCDEC BFEBEF BFABEA )()(2BFDFEAECCDABEF 0 0 CDAB/CDAB CDCDABEF)1(21)(21 CDEF /高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations例例4已知三個(gè)非零向量已知三個(gè)非零向量cba,中任意兩個(gè)向量中任意兩個(gè)向量都不平行都不平行平平行行與與平平行行與與但但acbcba ,試證試證0 cba證證由題設(shè)由題設(shè)存在存在0, 0 使使cba acb ccba)1( acba)1( ac)1()1( 1, 1 若不

10、然若不然則則ca/與題設(shè)矛盾與題設(shè)矛盾故故0 cba高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸: :取空間一個(gè)定點(diǎn)取空間一個(gè)定點(diǎn)O, ,作三作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè) 為原點(diǎn)且一般具有相同的長(zhǎng)度單為原點(diǎn)且一般具有相同的長(zhǎng)度單位，這三條軸分別叫作位，這三條軸分別叫作 x 軸軸( (橫橫軸軸) )、y軸軸( (縱軸縱軸) )、z軸軸( (豎軸豎軸););點(diǎn)點(diǎn)O叫作坐標(biāo)原點(diǎn)叫作坐標(biāo)原點(diǎn)( (或原點(diǎn)或原點(diǎn)).).通常取通常取x軸、軸、

11、y軸水平放置；軸水平放置； z軸豎直放軸豎直放置置, ,它們的正向符合右手法則它們的正向符合右手法則. .Oxyz坐標(biāo)系可坐標(biāo)系可記作記作O； ， ， 坐標(biāo)系坐標(biāo)系ijkx橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations坐標(biāo)面坐標(biāo)面：空直角間坐標(biāo)系中任兩軸確定的平面：空直角間坐標(biāo)系中任兩軸確定的平面. . xOy面、面、 yOz面、面、xOz面面. .卦限卦限：坐標(biāo)面將空間分為八個(gè)卦限，用字母：坐標(biāo)面將空間分為八個(gè)卦限，用字母、 、表示表示.

12、.xoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限八個(gè)卦限xyoz高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點(diǎn)的表示特殊點(diǎn)的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),P,Q,R坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),A,B,C高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Ins

13、titute of Industrial Relationszxoy1M2M1P2P1Q2Q1R2RABijk這六個(gè)平面與這六個(gè)平面與 x , y , z軸分別相交于軸分別相交于212121,;,;,RRQQPP向量在坐標(biāo)軸上的分向量向量在坐標(biāo)軸上的分向量高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations稱有向線段稱有向線段21PP的值的值12xx 為向量為向量21MM在在 x 軸上的投影軸上的投影有向線段有向線段21QQ的值的值12yy 為向量為向量21MM在在 y 軸上的投影軸上的投影有向線段有向線段21RR

14、的值的值12zz 為向量為向量21MM在在 z 軸軸 上的投影上的投影依次記作依次記作zyxaaa,即即12xxax 12yyay 12zzaz xoy1M2M1P2P1Q2Q1R2RABijk高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations由圖上可以看出由圖上可以看出21MMa 21BMBM 21BMABAM 而而211PPAM 21QQAB 212RRBM 21212121RRQQPPMM 以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量.稱為基本單位向量稱為基本單位向量xoy1M2

15、M1P2P1Q2Q1R2RABijk高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial RelationsiaPPx 21jaQQy 21kaRRz 21向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量kzzjyyixxMM)()()(12121221 kajaiazyx 向量的分解式向量的分解式向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影zyxaaa,稱為向量的坐標(biāo)稱為向量的坐標(biāo)向量可用它的坐標(biāo)表示為向量可用它的坐標(biāo)表示為,zyxaaaa 向量的坐標(biāo)表示式向量的坐標(biāo)表示式xoy1M2M1P2P1Q2Q1R2RABijk高高

16、 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations以以),(1111zyxM為為起起點(diǎn)點(diǎn)、),(2222zyxM為為終終點(diǎn)點(diǎn)的的向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示式式為為： ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 稱為向徑稱為向徑高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算),(zzyyxxbababa ),(zzyyxxbababa ;)()()(kba

17、jbaibabazzyyxx ),(zyxaaa .)()()(kajaiaazyx ),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 設(shè)設(shè)( ( 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)) ) zzyyxxbabababa /推論：推論：;)()()(kbajbaibabazzyyxx 則則高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations例例5 求解以向量為未知元的線性方程組求解以向量為未知元的線性方程組 ,23,35byxayx其中其中).2, 1 , 1(),2 , 1 , 2( ba解解 如同解以實(shí)數(shù)為未知元的線性方程組一樣，如同解以實(shí)

18、數(shù)為未知元的線性方程組一樣， 可解得可解得.53,32baybax 以以 的坐標(biāo)表示式代入，即得的坐標(biāo)表示式代入，即得ba,),10, 1, 7()2, 1 , 1(3)2 , 1 , 2(2 x).16, 2,11()2, 1 , 1(5)2 , 1 , 2(3 y高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations解解設(shè)設(shè)),(zyxM為直線上的點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，xyzoABM),(111zzyyxxOAOMAM ),(222zzyyxxOMOBMB 由題意知由題意知：MBAM ),(111zzyyxx ),(2

19、22zzyyxx ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM 為中點(diǎn)時(shí)為中點(diǎn)時(shí)， ,2(21xxM ,221yy ).221zz 這就是點(diǎn)這就是點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo).例例6 MBAM 已知已知和和以及實(shí)數(shù)以及實(shí)數(shù)AB直線上求點(diǎn)直線上求點(diǎn)M, ,使使)(Bx2,y2,z2)(Ax1,y1,z11- - ，在在高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影1. 1. 兩點(diǎn)的距離公式與向量的模兩點(diǎn)的距離公式與向量的模設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222z

20、yxM為為空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為特殊地：若兩點(diǎn)分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2

21、M向量的模向量的模高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原結(jié)論成立原結(jié)論成立.高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations解解設(shè)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為),0 , 0 ,(x因因?yàn)闉镻在在x軸軸上上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 222

22、11 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求點(diǎn)為所求點(diǎn)為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations例例10 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)A(4,0,5)和和B(7,1,3),求與求與AB 方向相同得方向相同得 單位向量單位向量 .e解解 因?yàn)橐驗(yàn)锳B=OB-OA=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,-2),所以所以14)2(13222 AB于是于是)2, 1 , 3(141 ABABe例例9 在在z軸上求與兩點(diǎn)軸上求與兩點(diǎn)A(-4,1

23、,7)和和B(3,5,-2)等距離的點(diǎn)等距離的點(diǎn).解解 因?yàn)樗蟮狞c(diǎn)因?yàn)樗蟮狞c(diǎn)M在在z軸上軸上,所以設(shè)所以設(shè)M(0,0,z),依題義有依題義有MBMA |即即222222)2()05()03()7() 10()40(zz 兩邊去根號(hào)兩邊去根號(hào), 解得解得 z=914所求的點(diǎn)所求的點(diǎn)M(0,0, ).914高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations2. 2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦兩向量的夾角的概念：兩向量的夾角的概念：特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，

24、規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. ),(ba ),(ab 0() , 0 a, 0 b設(shè)設(shè) aAbB類似地，可定義類似地，可定義向量與一軸向量與一軸或或空間兩軸空間兩軸的夾角的夾角.高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 oxyz 1M 2M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz

25、方向余弦方向余弦向量的向量的高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向. .222|zyxaaaa 向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式21212121RMQMPMMM 0222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of In

26、dustrial Relations1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟樘厥獾兀簡(jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟?1MM例例11 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn) 和和 ，計(jì)算向量，計(jì)算向量 的模、方向余弦和方向角的模、方向余弦和方向角. )2, 2 , 2(1M)0 , 3 , 1(2M解解)20 , 23 , 21(21 MM);2, 1 , 1( ; 2)2(1)1(22221 MM;22cos,21cos,21cos .43,3,32 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of I

27、ndustrial Relations解解所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與 同向，一個(gè)反向同向，一個(gè)反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations解解 依題意有依題意有.4,3 由關(guān)系式由關(guān)系式, 1coscoscos222 得得,41)22()21(1cos222 因點(diǎn)因點(diǎn)A在第在第 卦限卦限, 知知 ，故，故 0cos .21cos 于是于是這就是點(diǎn)這就是點(diǎn)A的坐標(biāo)的坐標(biāo).例

28、例13 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A位于第位于第 卦限卦限,向徑向徑OA與與x軸、軸、y 軸的夾角軸的夾角依次為依次為 和和 ，且，且 ，求點(diǎn)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。3 4 6 OA),3 ,23 , 3()21,22,21(6 OAeOAOA高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations解解設(shè)設(shè)向向量量21PP的的方方向向角角為為 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Indus

29、trial Relations.32,3 設(shè)設(shè)2P的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations3. 3. 向量在軸上的投影向量在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影: MM .uOe ru設(shè)設(shè) ，則數(shù)，則數(shù) 稱為向量稱為向量 在在 軸上的軸上的投影投影，記作

30、，記作 或或 . eOM rrjuPrur)(設(shè)設(shè)),(zyxaaaa 則則,Prajaxx ,Prajazz ,Prajayy 或記作或記作,)(xxaa ,)(yyaa .)(zzaa 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) 作軸作軸 的垂直平面，的垂直平面，交點(diǎn)交點(diǎn) 即為點(diǎn)即為點(diǎn) 在軸在軸 上的上的投影投影.MMuMu高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院China Institute of Industrial Relations(即即 ), 性質(zhì)性質(zhì)1 1 cos)(aau cos|Praaju 其中其中 為向量為向量 與與 軸的夾角軸的夾角; au性質(zhì)性質(zhì)2 2uuubaba)()()( (即即 );bjajbajuuuPrPr)(Pr (即即 ). 性質(zhì)性質(zhì)3 3uuaa)()( ajajuuPr)(Pr 例例15 設(shè)立方體的一條對(duì)角線為設(shè)立方體的一條對(duì)角線為OM, 一條棱為一條棱為OA, 且且 , 求求OA在在OM方向上的投影方向上的投影Prj . aOA OAOM解解 記記 , MOA有有,31cos OMOA 于是于是Prj OAOM.3cosaOA OAM 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院中國(guó)勞