復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式

1、第四講復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式在中學(xué)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)復(fù)數(shù)及其用代數(shù)形式a+bi表達(dá)的 四則運(yùn)算法則及算律。初等數(shù)事題研究在大學(xué)數(shù)學(xué)中我們學(xué)習(xí)過(guò)建立在實(shí)數(shù)集合上的微積 分稱為實(shí)分析；同樣，在復(fù)數(shù)集合上也可以討論函數(shù)、 導(dǎo)數(shù)、微分、積分等問(wèn)題，這就是大學(xué)數(shù)學(xué)本科（或研究 生）專業(yè)里一門必修課復(fù)變函數(shù)因此我們有必要對(duì)復(fù)數(shù)了解得更多些。本講講三個(gè)問(wèn)題4.1復(fù)數(shù)的三角形式4.2復(fù)數(shù)的指數(shù)形式4.3復(fù)數(shù)的應(yīng)用4.1、復(fù)數(shù)的三角形式、復(fù)數(shù)的幅角與楔我們知道復(fù)數(shù)Q+勿對(duì)應(yīng)著復(fù)平 面上的點(diǎn)也對(duì)應(yīng)復(fù)平面 上一個(gè)向量(如右圖所示)初等數(shù)題研究這個(gè)向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)d+bi 的模，記為a+bi, 一般情況 下，復(fù)數(shù)的

2、模用字母I表示。同時(shí)，這個(gè)向量針對(duì)x軸的正方向有一個(gè)方向角，我們稱為 幅角，記為arg(a+bi),幅角一般情形下用希臘字母&表示。顯然a =r cos b =rsin把它們代入復(fù)數(shù)的代數(shù)形式得：a +bi =/cos&+i/sin0 = /(cos&+isin&)4.1 復(fù)數(shù)的三角形式這樣，我們把NcosO + isinO)叫做復(fù)數(shù)+勿的三角形式a+bi = r cos +zr sin = r (cos +z sin O)二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則初等數(shù)事題研究引入復(fù)數(shù)三角形式的一個(gè)重要原因在于用三角形式進(jìn)行乘 除法、乘方、開(kāi)方相對(duì)于代數(shù)形式較為簡(jiǎn)單。所以這里只介紹三角形式的乘法、除法、乘方

3、與開(kāi)方的運(yùn) 算法則。1、復(fù)數(shù)的乘法設(shè) Z =/(cosq+isinq)z2 =r2(cosft+isin)那么 BQ = (cos6X + isinq)比(cosq +isin)4.1、復(fù)數(shù)的三角形式二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則1、復(fù)數(shù)的乘法平？ = (cos +ism)-r2(cos +isin)=中2 (cos 0x cos 02 - sin sin g)初等數(shù)事題研究+ ir/2 (sin 0 cos 02 + cos 0x sin $)=甲2【cos(0 + g) + i sin(q + 0)即 ZZ2 =茁2【cos(q + g)+Z sin + $)這說(shuō)明，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相

4、乘而幅角相加 這個(gè)運(yùn)算在兒何上可以用下面的方法進(jìn)行： 將向量可的模擴(kuò)大為原來(lái)的抵倍，然后再將它繞原點(diǎn)逆時(shí) 針旋轉(zhuǎn)箱備就得到ZiZ2o4.1 復(fù)數(shù)的三角形式、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則2、復(fù)數(shù)的除法r (cos 0. +isinQ) 十6 = !為(cosg + isin ft)初等數(shù)事題研究打(cos +1 sin 0x )(cos 02-i sin 02)(cos $ + i sin 2)(cos 02-i sin 02)=(cos q cos 32 + sin q sin g) r2+1 (sin cos $ cos 0x sin 2)=cos - g) + i sin(q - 0)4.1 復(fù)

5、數(shù)的三角形式、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則2、復(fù)數(shù)的除法即 =丄cos（q -如+詁訕紹一02）5 r2這說(shuō)明，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除而幅角相減這個(gè)運(yùn)算在兒何上可以用下面的方法進(jìn)行:將向量Z的?？s小為原來(lái)的D分之一,然后再將它繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角就得到Z4-Z2o3、復(fù)數(shù)的乘方。初等數(shù)事題研究利用復(fù)數(shù)的乘法不難得到z = r11 （cos nO+i sin這說(shuō)明，復(fù)數(shù)的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。4.1、復(fù)數(shù)的三角形式二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則3、復(fù)數(shù)的乘方。zn = rn (cos nO-i sinn)這個(gè)運(yùn)算在兒何上可以用下面的方法進(jìn)行：初等數(shù)事題研究將向量可的模變?yōu)樵瓉?lái)的n次方，然

6、后再將它繞原點(diǎn)逆時(shí)針 旋轉(zhuǎn)角nB,就得到z11。4、復(fù)數(shù)的開(kāi)方對(duì)于復(fù)數(shù)z=Hcos0 + isin0),根據(jù)代數(shù)基本定理及其 推論知，任何一個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)都有n個(gè)不同的n次方 根。設(shè) z = r(cos&+isin0)的一個(gè)n次方根為 G) = p(cos(p + isin(p)4.1 復(fù)數(shù)的三角形式二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則4、復(fù)數(shù)的開(kāi)方那 么 cd1 = p(cos 0+i sin 0) = pn (cos n(p+i sin n(p) 所以 r = p9“0 = 0+%兀,仇= 0,l,2,)初等數(shù)事題研究廠0 + 2氐龍 0 2k/r門門丄丄c、即 p = d八(p = + = 0

7、，1，2, )n n n顯然,當(dāng)k從0依次取到n 1,所得到的角的終邊互不相同, 但k從n開(kāi)始取值后，前面的終邊又周期性出現(xiàn)。因此，復(fù)數(shù)Z的n個(gè)n次方根為=如(cos ?+兀 + i sin &+%兀),仇=0,1,2,兀一1)4.1 復(fù)數(shù)的三角形式二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則4、復(fù)數(shù)的開(kāi)方廠3 + lkn: . . 0 + 2氐兀 門 ci cixa)k =/(cos+ zsm)， (k =，一1)nn從求根公式可以看岀，相鄰兩個(gè)根之間幅角相差初等數(shù)事題研究n所以復(fù)數(shù)z的n個(gè)n次方根均勻地分布在以原點(diǎn)為圓心， 以它的模的n次算術(shù)根為半徑的圓周上。因此:一求一個(gè)復(fù)數(shù)z的全部n次方根，可以用下面的

8、幾何手段進(jìn)行:z = /(cos 0 + i sin 0)先作出圓心在原點(diǎn)，半徑為咖的圓，然后作出角？的終邊以這條終邊與圓的交點(diǎn)為分點(diǎn)，將圓周n等分，那么，每個(gè)等分點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是復(fù)數(shù)Z的n次方根。4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式在對(duì)復(fù)數(shù)三角形式的乘法規(guī)則討論中，我們發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)的三 角形式將復(fù)數(shù)的乘法“部分地”轉(zhuǎn)變成加法（模相乘，幅角 相加）這種改變運(yùn)算等級(jí)的現(xiàn)象在初等函數(shù)中有過(guò)體現(xiàn)：對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)axay =ax+ylog“（Q）= lg“ 兀+噸 “ J前者將兩個(gè)同底幕的乘積變成同底的指數(shù)相加；后者將 兩個(gè)真數(shù)積的對(duì)數(shù)變成兩個(gè)同底對(duì)數(shù)的和。從形式上看，復(fù)數(shù)的乘法與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系更為密切些：初等數(shù)

9、早題研究z&2 =打乙cos +g） + isin（q +g）（方礦）如）=（妙2）嚴(yán)根據(jù)運(yùn)個(gè)牛寸點(diǎn)，復(fù)數(shù)z=r(cos0+isin&)應(yīng)該可以表示成 某種指數(shù)形式即復(fù)數(shù)應(yīng)該可以表示成J的形式這里有三個(gè)問(wèn)題需要解決：(1) 反映復(fù)數(shù)本質(zhì)特征的三個(gè)因素：模r、幅角6、虛數(shù) 單位2應(yīng)各自擺放在什么位置？(2) 在這些位置上它們應(yīng)呈現(xiàn)什么形態(tài)？(3) 作為指數(shù)形式的底應(yīng)該用什么常數(shù)？初等數(shù)事題研究先來(lái)研究第一個(gè)問(wèn)題.4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式再重新觀察下面的等式ZjZ2 = rr2 cos + $） + i sin（ + $）（方礦）（耐）=（妙2）嚴(yán)初等數(shù)事題研究首先,顯然模r應(yīng)該占據(jù)ys”中系數(shù)y的

10、位置， 其次，幅角。應(yīng)該占據(jù)V 年指數(shù)x的位置，對(duì)于虛數(shù)單位i,如果放到系數(shù)y的位置會(huì)怎樣？由于（irax）2 =-r2a2x等式右邊是實(shí)數(shù)，對(duì)于任意虛數(shù)而言，這是不可能的。因此幅角。也應(yīng)該占據(jù)指數(shù)的位置。這樣第二個(gè)問(wèn)題就產(chǎn)生了：它與幅角一起在指數(shù)的位置上 是什么關(guān)系？（相加？相乘？）4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式幅角。與虛數(shù)單位i是相加的關(guān)系會(huì)怎樣?先考察模為1的復(fù)數(shù)cos0 + isin0初等數(shù)事題研究如果寫(xiě)成才我的形式 _方面，由于與（訃）的形式差別不是很大，其次（/+&）=/+&在復(fù)數(shù)的乘方法則中，應(yīng)該僅是幅角的n倍而沒(méi)有虛數(shù)單 位也要n倍，所以虛數(shù)單位與幅角不應(yīng)該是相加關(guān)系，而 應(yīng)該是相乘關(guān)

11、系z(mì) ra現(xiàn)在來(lái)審查乘法、除法和乘方法則是否吻合4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式*2 =（邙嚴(yán)）（公戶）=（甲2鬼吃）Zl -S-Z2 =（邙嚴(yán)）*（空嚴(yán)）=（打子eW殲初等數(shù)事題研究乘除法保持“模相乘除、幅角相加減”、乘方保持“模的 n次方、幅角的n倍”的本質(zhì)特征下面來(lái)解決最后一個(gè)問(wèn)題：應(yīng)該選用哪個(gè)常數(shù)作為底數(shù)？我們暫時(shí)將z =/（cos&+Esin&）形式化地看做r與e的“二元函數(shù)”數(shù)學(xué)是“形式化的科學(xué)”，因此，一些形式化的性質(zhì)應(yīng) 該“形式化”地保持不變。下面我們將r（cosO+isinO） = rai0等式兩邊對(duì)。形式化地求“偏微分”ddOr(cosO + isin0)= r(-sin + ico

12、s 0) =r(cos & + i sin &)i = zidai0dO= iral0lna =zi Ina于是由 iz = izhia 二lna = l =a=e這樣我們利用不太嚴(yán)格的推理得到了復(fù)數(shù)的第三種表 現(xiàn)形式一一指數(shù)式z =a+bi = r (cos +1 sin ) = re10初等數(shù)早題研究從復(fù)數(shù)的模與幅角的角度看，復(fù)數(shù)的指數(shù)形式其實(shí)是三角 形式的簡(jiǎn)略化對(duì)于指數(shù)形式的嚴(yán)格證明可以參讀復(fù)數(shù)的指數(shù)形式的證明4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式將函數(shù)cosx,sinx寫(xiě)成泰勒級(jí)數(shù)形式: 兀 兀？兀ex =1 + +1! 2!n*2464w44w2COS X = 112!4!6!(4w-4)I (4一

13、2)!初等數(shù)事題研究片3 y57r 4/1-3r4w-l.smx = xhd+ 3!5!7!(4m-3)! (4w-l)!將兀=iz代入可得：(iz)2(iz)3 (iz)n te =l + iz +2!3!n_2_3_4_5671 ZZ ZZ ZZ =l + ZZ1 H111 +2!3!4!5!6!7!_2_4_6_3_5_7Z1 Z Z Zx z Z Z Z、=(1+ ) + (Z+ )!2!4!6!3!5!7!= cosz + isinz由復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式，我們很容易得到下面的 兩個(gè)公式：翻+伽嚴(yán)cos 0 - i sin 0 = eieei0 +eieeie -eie二 cos

14、 0 =， sin 0 =22i這兩個(gè)公式被統(tǒng)稱為歐拉公式初等數(shù)事題研究在復(fù)數(shù)的指數(shù)形式中，令r= l,0=7r,就得到下面的等式產(chǎn)=一1 或 e+l = 04.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式在復(fù)數(shù)的指數(shù)形式中，令r=l,e=7T,就得到下面的等式= 1 或 e +1 = 0它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的五 個(gè)數(shù)字就這么神秘地聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)自然對(duì) 數(shù)的底6圓周率兀；三個(gè)單位 虛數(shù)單位i、自然數(shù)的乘法 單位1和加法單位0。初等數(shù)事題研究關(guān)于自然對(duì)數(shù)的底e和圓周率兀，這里我想多說(shuō)那么兒句：它 們是迄今為止人類所發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)彼此獨(dú)立的超越數(shù)，盡管從 理論上我們知道，超越數(shù)比有理數(shù)、代

15、數(shù)數(shù)（可以表示為有 理系數(shù)一元多項(xiàng)式的根的數(shù)）要多得多，但為人類所認(rèn)識(shí)的 超越數(shù)卻僅此兩個(gè)！令人不可思議的是，它們居然憑借這么一個(gè)簡(jiǎn)單關(guān)系彼此聯(lián) 系著。數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看著它但 卻不能理解它。4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用初等數(shù)早題研究2z+z+ +z利用復(fù)數(shù)的三角形式，我們可以比較容易地解決一些數(shù)學(xué)其 他領(lǐng)域里的問(wèn)題。由于我們這門課的特點(diǎn)，我們僅限于在初 等數(shù)學(xué)領(lǐng)域里舉兩個(gè)例子。例1：三角級(jí)數(shù)求和cosa + cos 2a + + cos nasina + sin 2a + + sin na解： 令z = cosa + isina 那么對(duì)任何自然數(shù)k,有zk =coska +

16、 isinka=(cos a + isina) + (cos 2a+ i sin 2a) + + (cos na + i sin na) =(cos a + cos 2a+ + cos na) + i (sin cr + sin 2a + + sin na)4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用例1:三角級(jí)數(shù)求和cos a + cos 2a + + cos nasin a + sin 2a + + sin na+14.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用例1:三角級(jí)數(shù)求和cos a + cos 2a + + cos nasin a + sin 2a + + sin na解:另一方面z + z* 2 + + zz(l - z)1-z+1

17、4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用例1:三角級(jí)數(shù)求和cos a + cos 2a + + cos nasin a + sin 2a + + sin na初等數(shù)事題研究_ (cosa+ isina)l一(cosna + isinna) l-(cosa + isina)(cos a +1 sm a)(2 snr2 smcos )2 sin。a sm 2 -2i sincos 2 2 2.na z、/ na-n na-兀、sin (cos a +1 sin a)(cos+1 sin)+14.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用例1:三角級(jí)數(shù)求和cos a + cos 2a + + cos nasin a + sin 2a + + sin

18、 na解:初等數(shù)事題研究 na . n+1sm sma2 2。asm 2 nasin2 r / na-n a 冗、.z na-n a_冗、 cos(a +) +1 sin(a +).a2222sm 2 nasm2 z w + 1- n + 1 、(cosa +1 sina).a 22sm 2.na n+1 smcosa2 2+14.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用例1:三角級(jí)數(shù)求和cos a + cos 2a + + cos nasin a + sin 2a + + sin na初等數(shù)事題研究 na n+1. na . n+1smcosa sinsinaZ + /+ + z=22_ + j_22_ a. asin sin 2 2所以 + 1smcosacos a + cos 2a + + cos na = a sm 2 na . n + 1 smsmasin a + sin 2a + + sin na = asin 2+14.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用例2：設(shè)M是單位圓周好+ y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N與定點(diǎn)A(2, 0) 和點(diǎn)M構(gòu)成一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)，并且MNAM成