線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)答案

1、學(xué)院 班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名第一章 行列式二、三階行列式及階行列式的定義部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：1.二階行列式的定義：.2.三階行列式的定義： .3.階行列式（1）階行列式是項(xiàng)的代數(shù)和；（2）每一項(xiàng)是取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積（是的一個(gè)排列）；（3）當(dāng)是偶排列時(shí), 帶正號(hào), 當(dāng)是奇排列時(shí), 帶負(fù)號(hào).常用解題方法及注意事項(xiàng)：1.求排列的逆序數(shù)：（按自然數(shù)的從小到大次序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)次序）的一個(gè)排列的逆序數(shù)記為.其中 是前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù).2.確定行列式中的項(xiàng)及符號(hào)：（1）中的項(xiàng)是取自不同行不同列的個(gè)數(shù)的乘積，因此，行下標(biāo)和列下標(biāo)都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字；（2）將中的因子交換順序使行下標(biāo)是自然順序，即，該項(xiàng)符號(hào)為.二、

2、三階行列式及階行列式的定義部分習(xí)題1.計(jì)算下列二階行列式（1）； （2）；（3）； （4）.2.計(jì)算下列三階行列式（1）； (2)； （3）； 3.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，求下列各排列的逆序數(shù)：（1）； （2）.（3）4.確定，使6元排列為奇排列.5.寫(xiě)出4階行列式中含有的項(xiàng).6.按定義計(jì)算下列行列式：（1）； （2）.7. 求的展開(kāi)式中和的系數(shù).行列式的性質(zhì)與展開(kāi)部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：行列式的性質(zhì)1.行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等(即).2.交換行列式的兩行(或列),行列式改變符號(hào)（即）.3.行列式中某行(或列)的公因子可以提到行列式符號(hào)外面做因子.（即（或）4.階行列式可以按第行(或列)拆成

3、兩個(gè)行列式與的和，即.其中的第行(或列)為與的第行(或列)的和；，的其余各行(或列)對(duì)應(yīng)元素則同的完全一樣.5.把行列式某一行(或列)的元素同乘一數(shù)后加到另一行(或列)的對(duì)應(yīng)位置元素上,行列式的值不變.（即或）行列式的展開(kāi)1. 階行列式的某行（或列）元素與對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為.2.行列式的某行（或列）元素與另一行（或列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為0.即常用的解題方法及注意事項(xiàng)：行列式的計(jì)算：1.（1）利用性質(zhì)將行列式化為三角形行列式（三角形行列式的值等于對(duì)角線元素之積）.（2）利用依行、依列展開(kāi)轉(zhuǎn)化為低階行列式的計(jì)算（或給出遞推公式、或利用數(shù)學(xué)歸納法）.（3）化簡(jiǎn)與展開(kāi)同時(shí)進(jìn)行（

4、先化簡(jiǎn)，再按零較多的行（或列）展開(kāi)）.行列式化簡(jiǎn)時(shí)注意1.盡量避免分?jǐn)?shù)運(yùn)算；2.展開(kāi)時(shí)注意代數(shù)余子式與余子式相差的的符號(hào). 行列式的性質(zhì)與展開(kāi)部分習(xí)題1.計(jì)算下列行列式：（1）； (2) ；（3）； （4）.（5）.2.證明：（1）；（2）.3.計(jì)算階行列式 （1）=；（2）.4.利用范德猛行列式計(jì)算：. 克拉默法則部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：1.設(shè)個(gè)變量，個(gè)方程的線性方程組為 如果該線性方程組的系數(shù)行列式，則方程組有唯一解：. 其中是中第列換成常數(shù)項(xiàng)其余各列不變得到的行列式，即： =, 2.設(shè)齊次線性方程組為 （1）如果系數(shù)行列式，則該齊次線性方程組只有零解；（2）如果該齊次線性方程組有非零解，那

5、么它的系數(shù)行列式常用解題方法及注意事項(xiàng)：1.用克拉默法則解線性方程組；2.利用系數(shù)行列式是否為零來(lái)判斷齊次線性方程組只有零解或有非零解.注意：克拉默法則只適合方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同，且系數(shù)行列式不為零的線性方程組的求解. 克拉默法則部分習(xí)題1.用克拉默法則解線性方程組（1）； （2）.2.當(dāng)為何值時(shí)，齊次線性方程組 (1) 僅有零解；(2) 有非零解 第一章自測(cè)題與答案 第一章自測(cè)題一.判斷題（每題3分，共15分）1. ( )2.在四階行列式 中，的余子式與代數(shù)余子式互為相反數(shù). ( )3.則.（ ）4.,則. （ ）5. . （ ） 二.填空題（每題4分，共16分）1.已知，則 .2.已知

6、，則 . .3. 由行列式確定的多項(xiàng)式中的系數(shù)分別為 .4. .三 .計(jì)算下列行列式（各10分，共40分）1.； 2.；3.； 4. .四（10分）設(shè)為階行列式， ,（為非零數(shù)）,1.討論的關(guān)系；2. 討論的關(guān)系.五.（10分）,求.六.（7分）設(shè)齊次線性方程組為用克拉默法則解討論應(yīng)取何值時(shí)，方程組(1) 僅有零解；(2) 有非零解第一章自測(cè)題答案一1.錯(cuò)；2.對(duì)；3.錯(cuò)；4.錯(cuò)；5.對(duì).二1.； 2.；3.；4.三.1.；2.；3.；4. 各列加到第一列上，然后提取公因式.四1.；2. .五. .六. 系數(shù)行列式.（1）；（2）或.第二章 矩陣及其運(yùn)算矩陣的運(yùn)算部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：1.矩陣

7、的線性運(yùn)算（1）加法：兩同型矩陣與的和矩陣為.（2）數(shù)乘法：數(shù)與矩陣的數(shù)量乘積矩陣.2.矩陣乘法運(yùn)算（1）矩陣稱為矩陣與的乘積.其中（）. (2）為階方陣的次冪，特別規(guī)定.(3）（為數(shù)）為方陣的多項(xiàng)式.3.矩陣的轉(zhuǎn)置以的行為列，列為行構(gòu)成的矩陣為的轉(zhuǎn)置矩陣.是階方陣，如果，稱為對(duì)稱矩陣；如果，稱為反對(duì)稱矩陣.4.方陣的行列式以階方陣的元素構(gòu)成的行列式稱為方陣的行列式.記為或.常用解題方法及注意事項(xiàng)：利用運(yùn)算定義和運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算.注意（）第一個(gè)矩陣的列數(shù)與第二個(gè)矩陣的行數(shù)相等時(shí)兩矩陣乘積才有意義.（）由于乘法沒(méi)有交換律，在進(jìn)行兩個(gè)矩陣乘積時(shí)，矩陣因子的順序不能變.（）矩陣的乘法不滿足消去律. 即

8、且，不一定有；且，不一定有.特別地， 且，不一定有.（）我們?cè)谧龆鄠€(gè)矩陣乘積時(shí)經(jīng)常使用乘法結(jié)合律.（）分別是矩陣，則.（）只有方陣才定義行列式；矩陣是數(shù)表，行列式是數(shù)值，這是它們之間的本章區(qū)別.矩陣的運(yùn)算部分習(xí)題1. 已知，且,求.2.計(jì)算（1）,求，,及.（2）.（3），求.（4）3. , ,求及.4.，,，求及5.已知三個(gè)線性替換為，求從到的線性替換.6.如果,則稱矩陣與可交換,求與可交換的矩陣具有的形式.其中當(dāng)時(shí).7.如果,證明:當(dāng)且僅當(dāng).8.設(shè)都是階對(duì)稱矩陣，證明：仍是對(duì)稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng).9.設(shè)維列向量滿足，,證明：1）是對(duì)稱矩陣；2）.10. 已知是3階方陣,且,計(jì)算(1)；(2) ；

9、(3).可逆矩陣部分知識(shí)概要內(nèi)容概要： 1.設(shè)是階方陣,如果存在階方陣，使得，稱為可逆矩陣，稱為的一個(gè)逆矩陣.2.可逆矩陣的逆矩陣唯一.3. 設(shè),稱由以的第行元素在中的代數(shù)余子式為第列元素構(gòu)成的矩陣為的伴隨矩陣. 4.設(shè)是階方陣，是的伴隨矩陣，則.5. 階方陣是可逆的充分必要條件為.而且. 6.可逆矩陣具有如下運(yùn)算性質(zhì)：（）是階可逆矩陣，的逆矩陣也可逆，且；（）是階可逆矩陣，是非零數(shù)，則可逆，且；（）都是階可逆矩陣,那么也可逆,且；（）是階可逆矩陣,也可逆，且；（）是階可逆矩陣，都是矩陣，且,則，是階可逆矩陣，都是矩陣，且,則.常用解題方法及注意事項(xiàng)：（設(shè)是階方陣）1.利用求可逆矩陣的逆矩陣：

10、（適用于具體給定的數(shù)字矩陣求逆）2.利用定義證明矩陣可逆，或求滿足給定方程的矩陣的逆矩陣：找到階方陣，使得，則可逆，且.注意 的第列元素是的第行元素在的代數(shù)余子式；的第行元素是的第列元素在的代數(shù)余子式.可逆矩陣部分習(xí)題 1.求下列矩陣的逆矩陣：（1）； （2）；(3)； (4).2.設(shè),求矩陣使得. 3.設(shè)滿足,其中,求.4.設(shè)是階方陣,且滿足, 利用定義證明:可逆，并求.5. 設(shè)是階方陣,且（為正整數(shù)），利用定義證明：可逆，且6. 設(shè)是3階方陣，且,求(1) ；（2）；（3）.分塊矩陣及其運(yùn)算部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：用若干條橫線和縱線將矩陣分成若干小矩陣，以小矩陣為元素的矩陣表示形式稱為分塊矩

11、陣.我們將這些小塊稱為矩陣的子塊.1 加法 對(duì)兩個(gè)矩陣,進(jìn)行同樣分塊，則為對(duì)應(yīng)塊相加得到的分塊矩陣； 2 數(shù)乘法 設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)數(shù)，將為由數(shù)乘每個(gè)子塊矩陣得到的分塊矩陣； 3乘法 設(shè), ，將分塊為，則.其中為矩陣，為矩陣，.4 轉(zhuǎn)置 設(shè)是一個(gè)矩陣，將分塊為，則.常用解題方法及注意事項(xiàng)：1.利用分塊矩陣表示矩陣或進(jìn)行矩陣運(yùn)算只是為了表達(dá)簡(jiǎn)便.分塊矩陣的運(yùn)算與普通數(shù)字元素的運(yùn)算法則和運(yùn)算律是類似的；2.第一個(gè)矩陣列的分塊方式與第二個(gè)矩陣行的分塊方式必須相同，即列數(shù)必須等于的行數(shù)，這時(shí)兩分塊矩陣的乘積才有意義；3.由于矩陣乘法沒(méi)有交換律，作分塊矩陣乘法時(shí)，一定要注意子塊的前后順序不能換.即上面

12、的絕對(duì)不能寫(xiě)成.4.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置不僅要將子塊為元素構(gòu)成的矩陣看成普通矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)置，還要將每塊轉(zhuǎn)置.分塊矩陣及其運(yùn)算部分習(xí)題1.將,進(jìn)行適當(dāng)分塊，并計(jì)算.2. ,都是階方陣，其中為矩陣，為零矩陣，為矩陣，為矩陣，求,及.3.設(shè)階矩陣和階矩陣都可逆，求（1） ； （2） .4. 利用分塊矩陣求下列矩陣的逆矩陣（1），求； （2），求. 第二章自測(cè)題與答案第二章自測(cè)題一判斷題（每題3分，共15分）1.是階方陣，如果,且, 則； （ ）2. 是階方陣,則； （ ）3.是階方陣,且可逆，則； （ ）4. 都是階方陣，則； （ ）5.都是階方陣，滿足,且可逆，則. （ ）二.填空題（每題4分，共20分）

13、1.=（1，1，2）,則 ,= , = ；2.已知，且,則= .3.，則 ；4.設(shè),則 ；5.是3階方陣,是2階方陣,且,，則 ； . 三.矩陣計(jì)算（10分）：設(shè)，,求（1），（2）；（3）.四.(10分)已知，都是3階方陣,且，,求及.五.如果,則稱矩陣與可交換,求與矩陣可交換的矩陣具有的形式.（10分）； 六. 求矩陣的伴隨矩陣和逆矩陣（10分）. 七.（8分）設(shè) 其中，求.八.（7分）設(shè)是階方陣,且滿足, 利用定義證明:可逆，并求.九.（10分）設(shè)實(shí)矩陣,且,證明.*試將結(jié)論推廣到是階方陣的情況.第二章自測(cè)題答案一1.錯(cuò)；2. 錯(cuò)；3.錯(cuò)；4.錯(cuò)；5.對(duì).二.1. ，；2.；3.；4.；

14、5.；.三.；.四.由，有，即得.五. .六. ；.七. .八. ,可逆，.九. ,所以的任意位置元素為零，利用對(duì)角線上元素為零，即得.第三章 矩陣的初等變換與線性方程組初等變換與初等矩陣部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：初等變換1.對(duì)調(diào)兩行（或列）；2.以數(shù)乘矩陣某一行（或列）的所有元素；3.把矩陣的某行（或列）所有元素乘一個(gè)數(shù)加到另一行（或列）對(duì)應(yīng)位置的元素上.矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形1.稱具有如下特點(diǎn)矩陣為行階梯形矩陣：（）的前行，每行元素均不全為0，后行元素都為零；()第行的第一個(gè)非零元素為，且滿足.如果行階梯形矩陣還滿足：（）第行的第一個(gè)非零元素，且所在的列的其它元素都為0，就稱為行最簡(jiǎn)形矩陣. 2.任

15、何矩陣都可以經(jīng)過(guò)初等行變換化為行階梯形矩陣，進(jìn)而可以化為行最簡(jiǎn)形矩陣.3.任何一個(gè)矩陣都可以通過(guò)初等變換化為型矩陣.初等矩陣1.由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.2.設(shè)一個(gè)矩陣，左乘一個(gè)階初等矩陣相當(dāng)于對(duì)作一次相應(yīng)的初等行變換，右乘一個(gè)階初等矩陣相當(dāng)于對(duì)作一次相應(yīng)的初等列變換.3.與等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆矩陣與可逆矩陣，使得.4.階方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)可以寫(xiě)成一些初等矩陣的乘積.5.階方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)可以只用初等行變換化為單位矩陣.常用解題方法及注意事項(xiàng)：1.用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣的求法：.2.用初等行變換求矩陣方程(可逆)的求法：則即可求得.初等變換與初等矩陣部分習(xí)題1.先

16、用初等行變換化下列矩陣為行最簡(jiǎn)形，再用初等列變換將其化為等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形（1）； （2）；(3)； （4）.2. ,求: (1)； (2) .3.用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣.（1）； （2）4. 設(shè)，且，求 矩陣的秩部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：1.設(shè)是一個(gè)矩陣，如果中存在階子式不為零，而所有階子式（如果有的話）全為零，我們稱為矩陣的秩，記為或秩.2. 矩陣的秩具有如下性質(zhì)：（）當(dāng)且僅當(dāng)；（）；（），其中為非零數(shù)；（）階方陣的秩的充分必要條件；（）階方陣可逆的充分必要條件為.3. 行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)等于的秩.4.初等變換不改變矩陣的秩.5.矩陣，可逆，則.6. 設(shè)是秩為的矩陣，則存在階可逆矩陣和

17、階可逆矩陣,使得.常用解題方法與注意事項(xiàng)：1.求矩陣的秩：利用矩陣的初等變換將矩陣化為階梯形矩陣，階梯數(shù)即為矩陣的秩.2.如果是階方陣，時(shí).求元素含有參數(shù)的方陣的秩時(shí)，先求出時(shí)的參數(shù)取值，此時(shí)；對(duì)于使的參數(shù)再特別討論.注意：1.的一個(gè)階子式是一個(gè)行列式； 2.的秩為，則的高于階的子式（如果有的話）都為零；3.矩陣的秩就是矩陣非零子式的最高階數(shù).矩陣的秩部分習(xí)題1. 求下列矩陣的秩.（1）； （2）.2. 已知，討論為何值時(shí)（1）;(2) ;(3).3. ，討論取何值時(shí)，可使(1); (2).4.設(shè)是矩陣，證明：.5.設(shè)是矩陣，證明： 當(dāng)且僅當(dāng)存在維列向量矩陣和維行向量矩陣,使得.（提示：使用的

18、等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形） 線性方程組的解部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：1.線性方程組（是維列向量）的系數(shù)矩陣為,增廣矩陣為，則：（）線性方程組無(wú)解的充分必要條件為；（）線性方程組有唯一解的充分必要條件為；（）線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件為.2.齊次線性方程組（是維列向量）永遠(yuǎn)有零解.（）只有零解的充分必要條件為；（）有非零解的充分必要條件為.3.矩陣方程（是矩陣）的系數(shù)矩陣為,增廣矩陣為,則關(guān)于方程的解有與1中相同的結(jié)論.常用解題方法與注意事項(xiàng)：1. 求解線性方程組（是維列向量）的步驟：（）對(duì)進(jìn)行初等行變換，把化為行階梯形矩陣（是列向量）.利用與同解有：如果,則無(wú)解；如果，則有解.2.若，繼續(xù)初等行變換，將

19、化為行最簡(jiǎn)形矩陣.3. 如果，解唯一，的最后一列對(duì)應(yīng)的元素為方程組的解；如果，解無(wú)窮多，將的每個(gè)臺(tái)階的頭對(duì)應(yīng)的未知量用其余未知量（其余的未知量即為自由未知量）表示出來(lái)，并令自由未知量取任意常數(shù)，即得含有個(gè)自由參數(shù)的通解.注意：1.解線性方程組時(shí)，對(duì)增廣矩陣的初等行變換實(shí)際上是方程之間的初等變換，因此不能利用對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等列變換來(lái)解方程組. 2. 時(shí)，必須是的行最簡(jiǎn)形，的最后一列對(duì)應(yīng)的元素才為方程組的解. 線性方程組的解部分習(xí)題1.用初等行變換求解下列線性方程組（1）； （2）；（3）； （4）.2.用初等行變換求解下列齊次線性方程組（1）； （2）3.討論取何值時(shí)，下面線性方程組：（1）有

20、惟一解；（2）沒(méi)有解；（3）有無(wú)窮多個(gè)解？并在有解時(shí)求解. 第三章自測(cè)題與答案第三章自測(cè)題一.判斷題（每題3分，共15分）1.方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)的齊次線性方程組必有非零解. （ ）2.在秩為的矩陣中，所有階子式都不為零. （ ）3.設(shè)是矩陣，是階方陣，是階方陣，. （ ）4.是矩陣，且，則非齊次線性方程組有無(wú)窮多解. （ ）5.是矩陣，線性方程組滿足，用初等行變換將化為行階梯形矩陣，則的最后一列對(duì)應(yīng)的元素為方程組的解. （ ）二.填空題（每題4分，共20分）：1.的行最簡(jiǎn)形矩陣為 ；2.,則 ；3.設(shè)是階方陣，,是的伴隨矩陣，則 ;4. 矩陣的乘積 ；5.分別為矩陣，,則與的關(guān)系為 ，與的

21、關(guān)系為 .三.求下列矩陣的秩（第一題5分，第二題10分，共15分）1.； 2.四.用初等行變換求解下列線性方程組（每題10分，共20分）1.； 2.五. (10分)討論取何值時(shí),下面線性方程組有解, 并在有解的情況下求其通解.六（10分）設(shè)，且 ，求.七.（10分）設(shè)是秩為1的3階方陣，證明:存在不全為零的數(shù)和不全為零的數(shù)，使得；并求第三章自測(cè)題答案一.1.對(duì)；2.錯(cuò)；3.對(duì)；4.錯(cuò)；5.錯(cuò)二.1.；2.則；3. （利用,則）；4. （利用左乘相當(dāng)交換的2，3兩行；右乘相當(dāng)于的第3列乘加到第一列）；5.，.三.1.；（2）四.1.（ 為任意數(shù)）； 2. （ 為任意數(shù)）.五. 時(shí)，方程組無(wú)窮多解

22、（為任意數(shù)）；時(shí)，方程組有唯一解 ；時(shí)，方程組無(wú)解.六 ， .七.證明： 的秩為1，存在3階可逆矩陣，,使得，它們均為非零向量，且，則；其中.第四章 向量組的線性相關(guān)性 向量組及其線性關(guān)系部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：1.，是一組維向量，存在數(shù)使得，則稱可由線性表示；設(shè)與是兩組維向量，如果兩個(gè)向量組能夠相互線性表示，稱這兩個(gè)向量組等價(jià).2.設(shè)為一組維向量，如果齊次線性方程組有非零解，稱向量組是線性相關(guān)；如果有只有零解，稱向量組是線性無(wú)關(guān).4.等價(jià)定義：設(shè)是一組維向量，如果其中至少存在一個(gè)向量可以由其余的向量線性表示, 稱線性相關(guān)；如果任何一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示,稱線性無(wú)關(guān). 單獨(dú)一個(gè)零向量稱

23、為線性相關(guān)的；單獨(dú)一個(gè)非零向量稱為線性無(wú)關(guān)的.5.向量組線性相關(guān)，則擴(kuò)充組線性相關(guān)；向量組線性無(wú)關(guān)，則部分組也線性無(wú)關(guān).常用解題方法與注意事項(xiàng)：1.判斷是否可由線性表示：令, 可由線性表示當(dāng)且僅當(dāng)有解，當(dāng)且僅當(dāng)；2.令，,與等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng).3.討論向量組線性相關(guān)：設(shè)，解齊次線性方程組（*）.（）如果（*）只有零解，線性無(wú)關(guān)；（）如果（*）有非零解，線性相關(guān).向量組及其線性關(guān)系部分習(xí)題1.設(shè)，求向量，使得.2.設(shè),問(wèn)：是否能由線性表示？如能表示，判斷表示的方法是否唯一？3.設(shè)可由唯一的線性表示，求滿足的條件.4設(shè)是一組維向量，證明向量組與向量組等價(jià).5.設(shè) ，討論：（1）為何值時(shí)，不能由線性表示？

24、（2）為何值時(shí)，能由唯一的線性表示？（3）為何值時(shí)，能由線性表示，但表示方法不唯一？6.判斷下列向量組是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)？（1）；（2）.7. 是一組維向量， ，證明：如果線性無(wú)關(guān)，則也線性無(wú)關(guān).*8. 設(shè)線性無(wú)關(guān)，且，討論為何值時(shí)線性無(wú)關(guān)，為何值時(shí)線性相關(guān).向量組的秩與極大線性無(wú)關(guān)組部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：1.如果線性無(wú)關(guān)，則線性相關(guān)的充分必要條件是可由線性表示.并且表示方法唯一.2.向量組可由線性表示.（） 如果，則向量組必線性相關(guān)；（）如果向量組線性無(wú)關(guān)，則.3向量組的一個(gè)部份組是線性無(wú)關(guān)的,并且中任意個(gè)向量(如果有)都線性相關(guān)（或向量組中任一向量都可由線性表示），稱為的一個(gè)極大線性無(wú)

25、關(guān)組；向量組的極大線性無(wú)關(guān)組含向量的個(gè)數(shù)為向量組的秩.4.矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩，都等于矩陣的秩.向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和秩具有：1. 向量組的任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià)；2.向量組的兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)；等價(jià)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)（等價(jià)的傳遞性）；3.向量組可由向量組線性表示，則向量組的秩不超過(guò)的秩；等價(jià)的向量組秩相同.常用解題方法與注意事項(xiàng): 利用方程組與的同解有：初等行變換保持矩陣列向量組的線性關(guān)系.求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和秩的步驟：1.以為列向量做矩陣；并對(duì)進(jìn)行初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形矩陣；2.確定的列向量組的秩和極大線性無(wú)關(guān)組及之間的線性關(guān)系；3.利

26、用矩陣與的列向量組具有完全相同的線性關(guān)系，確定的列向量組的秩、極大線性無(wú)關(guān)組及之間的線性關(guān)系.5.如果討論矩陣的行向量組的線性關(guān)系，只需要討論矩陣的列向量組的線性關(guān)系即可.向量組的秩與極大線性無(wú)關(guān)組部分習(xí)題1.求下面向量組的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并用其線性表示向量組中其余向量.2.求下列矩陣的秩和列向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，并用其表示向量組中其余向量.（1）； (2) .3.確定，使矩陣的秩為2，然后求此時(shí)的列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組. 并用所的求極大線性無(wú)關(guān)組表示其余列向量.4. 證明：向量組與等價(jià)的充分必要條件是向量組與秩相同.5.證明：（1）線性無(wú)關(guān)，如果不能由線性表示，則也線性無(wú)關(guān)；

27、（2）向量組的秩為，則中任何個(gè)線性無(wú)關(guān)向量都是該向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.線性方程組解的結(jié)構(gòu)部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：1.向量使得或成立，稱是或的一個(gè)解；2.齊次線性方程組的解的線性組合仍是的解；3. 滿足：（1）是的解；（2）線性無(wú)關(guān)；（3）可以線性表示的任一個(gè)解. 稱為的一個(gè)基礎(chǔ)解系；基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)等于,這里是系數(shù)矩陣的秩.4.非齊次線性方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組稱為的導(dǎo)出組；5.非齊次線性方程組的兩個(gè)解的差是它的導(dǎo)出組的解；6.是非齊次線性方程組 的一個(gè)特解,那么 的任一個(gè)解都可以表成,其中是的導(dǎo)出組的一個(gè)解.7.設(shè)是的導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，如果是 的一個(gè)特解，則（）的通解為（為任意

28、數(shù)）；（）的通解為（為任意數(shù)）.常用解題方法與注意事項(xiàng):1.求的通解一般步驟：（）增廣矩陣經(jīng)初等行變換，可將對(duì)應(yīng)的部分化為行最簡(jiǎn)形，不妨記為：()如果存在，則原方程組無(wú)解；如果，則原方程組有解，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的方程組為，()令，則的通解可以表示為：記為：，其中可取任意數(shù).2.求的一個(gè)基礎(chǔ)解系的步驟同上.由于常數(shù)列為0，所以只需對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換.此時(shí)就是的一個(gè)基礎(chǔ)解系.的任意解可以表示為（為任意數(shù)）.注意：1.分別是對(duì)應(yīng)自由未知量取時(shí)的線性無(wú)關(guān)解；2.非齊次線性方程組的解的線性組合一般不再是的解.因此，解非齊次線性方程組時(shí)，不能利用自由未知量取特殊值得到一組線性無(wú)關(guān)解，再用這組線性無(wú)關(guān)解的線

29、性組合表示的通解.線性方程組解的結(jié)構(gòu)部分習(xí)題1求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解.（1）； (2).2. 解下列線性方程組，用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表出線性方程組的通解.（1）； （2）.3.設(shè)都是非齊次線性方程組的解向量，是個(gè)數(shù)，證明：（1）是的解的充分必要條件是；（2）是的導(dǎo)出組的解的充分必要條件是.4.設(shè)是矩陣，且，已知是非齊次線性方程組的解向量，且，求的通解.*5. 設(shè)為矩陣，為矩陣，且.證明：.*向量空間部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：1. 是維向量構(gòu)成的非空集合，對(duì)向量的加法和數(shù)乘法封閉，稱為一個(gè)向量空間.2.如果向量空間中存在個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量,且中任何向量可由線性表示, 稱為的一組基，為的維數(shù)

30、.3. 稱為由向量生成的向量空間.4. 與是的兩組基，且，稱方陣為由 到的過(guò)渡矩陣.常用解題方法與注意事項(xiàng):1.驗(yàn)證給定的維向量構(gòu)成的集合是線性空間的步驟：（）非空；（）任意的，有.2.求的兩組基 到的過(guò)渡矩陣的步驟：（）將每個(gè)用線性表示；（）以用線性表示的表示系數(shù)為第列元素做成的矩陣，則為 到的過(guò)渡矩陣.向量空間部分習(xí)題1.證明：構(gòu)成向量空間的充分必要條件是.2.求的基到，的過(guò)渡矩陣.第四章自測(cè)題與答案第四章自測(cè)題一.判斷題（每題3分，共15分）1.向量組線性相關(guān)，則其中任何一個(gè)向量都可以由其余向量線性表示.（ ）2.有零解，所以線性無(wú)關(guān). （ ）3.如果可以由線性表示，則可以由線性表示.

31、（ ）4.方程組有解的時(shí),解是唯一的充要條件是它的導(dǎo)出組只有零解.（ ）5.等價(jià)的向量組含向量個(gè)數(shù)相同. （ ）二.填空題（每題4分，共16分）1.線性相關(guān)，則= ；2.，且，則 ；3.，可由線性表示，則與的關(guān)系為 ；4. 是非齊次線性方程組的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則也是的解的充分必要條件為 .三.（10分）設(shè)，討論（1）為何值時(shí)，不能由線性表示？（2）為何值時(shí)，能由唯一的線性表示？（3）為何值時(shí)，能由線性表示，但表示方法不唯一？四（10分）求向量組，的極大無(wú)關(guān)組和秩，并用極大無(wú)關(guān)組表示向量組中其余向量.五.（10分）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解.六（10分）設(shè)矩陣的秩，是非齊次線性方程組的個(gè)線

32、性無(wú)關(guān)的解向量，（1）證明線性無(wú)關(guān)；（2）求導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，及的通解.七.（10分）設(shè)向量可由向量組線性表示，證明：線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是由線性表示的表示方法唯一.八. （10分）討論取何值時(shí)，線性方程組；（1）無(wú)解；（2）有唯一解；（3）有無(wú)窮多解，并求方程組的通解.九（9分）設(shè)的列向量組是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，證明：任意階可逆矩陣，的列向量組也是的基礎(chǔ)解系.第四章自測(cè)題答案一. 1.錯(cuò)；2.錯(cuò)；3.對(duì)；4.對(duì)；5.錯(cuò).二.1.或；3. ；4.； 5. .三.，時(shí)，不能由線性表示；，且時(shí)，能由唯一線性表示；當(dāng)時(shí)，能由線性表示，且表示方法不唯一.四.極大無(wú)關(guān)組為前3列；秩為3且.（答案

33、不唯一）五.基礎(chǔ)解系；通解（為任意數(shù)）.六（1）提示：設(shè)，利用線性無(wú)關(guān)，得；（2）為的基礎(chǔ)解系；為的通解.七.提示：當(dāng) 線性無(wú)關(guān)時(shí)，用反證法證明表示方法唯一；當(dāng)由線性表示的表示方法唯一時(shí)，設(shè)，利用唯一性，證明只有零解.八. 時(shí)方程組無(wú)解；所以時(shí)方程組有唯一解；時(shí),方程組有無(wú)窮多解，解為（為任意數(shù)） 九證明（提示）：令，由，及可逆，知與等價(jià)，所以的列向量組也是的基礎(chǔ)解系. 第五章 相似矩陣及二次型向量?jī)?nèi)積、長(zhǎng)度及正交性部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：1.稱實(shí)數(shù)為與的內(nèi)積.2.非負(fù)實(shí)數(shù)稱為向量的長(zhǎng)度,記為.長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量.3.當(dāng)時(shí)，稱與正交,記為.4.（柯西施瓦茲不等式）. 當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時(shí),

34、等號(hào)才成立.5.倆倆正交的非零向量構(gòu)成的向量組是線性無(wú)關(guān)的.6. 的一組基稱為的一個(gè)規(guī)范正交基，如果.7.設(shè)是階實(shí)方陣,如果,則稱為正交矩陣.常用解題方法與注意事項(xiàng):1.從一組給定的基得到一組規(guī)范正交基的方法（施密特(schimidt)正交化）：（）正交化：??； ；， ，（）單位化，令,則為的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.注 由于與的單位化向量相同，所以在將單位化時(shí)，為計(jì)算簡(jiǎn)便我們可以將單位化.2. 判斷階實(shí)方陣正交的方法（）利用定義，為正交矩陣當(dāng)且僅當(dāng)；（）為正交矩陣當(dāng)且僅當(dāng)?shù)牧校ㄐ校┫蛄拷M是維列（行）空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基.向量?jī)?nèi)積、長(zhǎng)度及正交性部分習(xí)題1.設(shè),求的內(nèi)積及夾角.2. 設(shè)（1）求使得正交；（2）

35、求一個(gè)單位向量，使兩兩正交.3.判斷下列矩陣是否是正交矩陣（1）； （2）.4.設(shè), 是的一組基,用施密特(schimidt)正交化方法將這組基化為標(biāo)準(zhǔn)正交基.方陣的特征值與特征向量部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：1. 設(shè)是一個(gè)階方陣，如果存在一個(gè)數(shù)及維非零向量，使，則稱為的一個(gè)特征值，稱為的屬于特征值的一個(gè)特征向量.2. 為的特征值當(dāng)且僅當(dāng)為的根.3.特征值與特征向量的性質(zhì):（）的一個(gè)特征向量只屬于的某一個(gè)特征值，不能屬于的不同特征值；（）階方陣的屬于同一特征值的特征向量的線性組合如果是非零向量，則該組合仍是的屬于特征值的特征向量.特別地，如果都是的屬于特征值的特征向量為兩個(gè)數(shù)，且，則仍是的屬于特征值

36、的特征向量；（）設(shè)是階方陣的屬于特征值的特征向量，是關(guān)于的多項(xiàng)式，則是的特征值，是的屬于的特征向量；（）設(shè)是階可逆方陣，是的特征值，則，且是的特征值；（）的屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)；（）方陣的屬于不同特征值的特征向量的和不再是的特征向量；（）是階方陣的個(gè)特征值：則（1）；（2）；（3）.常用解題方法與注意事項(xiàng):求矩陣的特征值和特征向量的步驟1.求的不同根，這些根就是的互不相同的特征值；2.對(duì)每個(gè)特征值，解齊次線性方程組，求出基礎(chǔ)解系，則（為不全為零的數(shù)）為屬于的所有特征向量.2.利用特征值計(jì)算行列式的方法：先計(jì)算特征值，特征值的乘積即為行列式. 方陣的特征值與特征向量部分習(xí)題 1.設(shè)，

37、 .問(wèn)（1）是否是的特征向量？如果是，它們分別屬于哪個(gè)特征值?2.求下列矩陣的特征值和特征向量（1）； （2）；（3）； （4）.3. 設(shè)3階方陣有特征值，求（1）的特征值；（2）的特征值；（3）的特征值.4. 已知3階方陣的特征值為，求(1)；（2）；(3)的特征值；（4）(其中為的伴隨矩陣).5.設(shè)階矩陣滿足，證明的特征值只能是或.相似矩陣與對(duì)角化部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：1.設(shè)都是階方陣，如果存在階可逆矩陣，使得，則稱與相似.2. 如果階方陣與一個(gè)對(duì)角形矩陣相似，稱可對(duì)角化.3. 相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征值.4.階方陣可對(duì)角化的充分必要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.5. 階方

38、陣有個(gè)不同的特征值，則可對(duì)角化.6. 是實(shí)對(duì)稱矩陣，則（）的特征值都是實(shí)數(shù)；（）的屬于不同特征值的特征向量彼此正交；（）存在正交矩陣，使得為對(duì)角矩陣.常用解題方法與注意事項(xiàng):求可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣的步驟.1.求的不同根，這些根就是的互不相同的特征值；2.對(duì)每個(gè)特征值，解齊次線性方程組，求出基礎(chǔ)解系； 3.屬于不同特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量放在一起構(gòu)成的向量組，還線性無(wú)關(guān).如果這些線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)之和，則可對(duì)角化；如果， 不可對(duì)角化.4.可對(duì)角化時(shí)，存在以的特征向量為列做成的可逆矩陣，使得，其中是的特征值，且的列向量（的特征向量）排列順序與對(duì)角線上的相應(yīng)特征值對(duì)應(yīng).5. 是實(shí)對(duì)稱時(shí)，將

39、屬于每個(gè)特征值的特征向量進(jìn)行施密特規(guī)范正交化，以規(guī)范正交化后的特征向量為列構(gòu)成正交矩陣，則是對(duì)角矩陣.相似矩陣與對(duì)角化部分習(xí)題1.求下列矩陣的特征值和特征向量，并判斷是否可對(duì)角化，如可對(duì)角化，求可逆矩陣，使得是對(duì)角矩陣.（1）； （2）；（3）. 2.已知4階矩陣相似，的特征值為，求(1)的特征值；（2）.3.設(shè)矩陣a= 與相似 求. 4.設(shè)與相似，與相似，證明與相似. 5.對(duì)下列矩陣,求正交矩陣，使得為對(duì)角形矩陣.(1)； (2)；(3) .6.設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，且的特征值為，分別是屬于特征值的特征向量.（1）求屬于特征值的特征向量；（2）求出矩陣.二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形部分知識(shí)概要內(nèi)容概要：1.

40、含有個(gè)變量的實(shí)二次齊次多次式： 稱為一個(gè)元二次型.簡(jiǎn)稱二次型.2.稱只含平方項(xiàng)的二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二次型. 3. ,其中是實(shí)對(duì)稱矩陣.元實(shí)二次型與階實(shí)對(duì)稱矩陣之間是一一對(duì)應(yīng)的.4.設(shè)都是階方陣，如果存在階可逆矩陣，使得，則稱與合同.5.任意二次型都可以經(jīng)可逆線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形；任意實(shí)對(duì)稱矩陣都合同于對(duì)角矩陣.6.任意二次型都可以經(jīng)正交線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形；任意實(shí)對(duì)稱矩陣都既相似又合同于對(duì)角矩陣.7.如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)都有稱實(shí)二次型正定二次型；正定時(shí)，稱二次型的矩陣稱為正定矩陣.正定當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)形個(gè)平方項(xiàng)的系數(shù)都為正.常用解題方法與注意事項(xiàng):1.用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：（）如果二

41、次型含有某個(gè)變量的平方項(xiàng)，按該變量配方，使得第一次配方后余下的項(xiàng)中不再含有該變量.這樣一次配方后剩下的部分是一個(gè)少于元的二次型，繼續(xù)配方下去，每次變量的個(gè)數(shù)都在減少，有限步后就可以得到標(biāo)準(zhǔn)形.（） 如果二次型不含平方項(xiàng)，都是一些交叉乘積項(xiàng)，利用平方差公式制造平方項(xiàng)后再根據(jù)需要進(jìn)行配方.2. 借助實(shí)對(duì)稱矩陣可以正交相似為對(duì)角矩陣的性質(zhì)來(lái)化簡(jiǎn)二次型:是實(shí)對(duì)稱矩陣，定存在交矩陣，使得是對(duì)角陣.令,則.3.判斷二次型正定的方法：（利用下列等價(jià)命題判斷二次型正定）是實(shí)對(duì)稱矩陣，下列命題等價(jià)（）二次型是正定二次型；（）實(shí)對(duì)稱矩陣是正定矩陣；（）的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中.（）與單位矩陣合同；（）的所有順序主子式全大

42、于零；（）的特征值都是正實(shí)數(shù). 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形部分習(xí)題1.用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并判斷是否正定.（1）；（2）；2. 取何值時(shí),下列二次型正定.（1）；（2）.3. 用正交替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.第五章自測(cè)題與答案第五章自測(cè)題一.判斷題（每題3分，共15分）1.階方陣可對(duì)角化，則必有不同的特征值. （ ）2.相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，反之，特征多項(xiàng)式相同的方陣一定相似. （ ）3.是階方陣，是一個(gè)數(shù)，滿足的向量是的屬于的特征向量.（ ）4.階方陣可對(duì)角化，則必有線性無(wú)關(guān)的特征向量. （ ）5.二次型經(jīng)可逆的線性替換化為，則該二次型正定. （ ）二.填空題：（每空4分，共20分）1.有特征值 .2.3階方陣有特征值1，2，則的特征值為 ， .3.是3階方陣，是的屬于1的特征向量；，是的屬于的線性無(wú)關(guān)特征向量；向量，中，不是的特征向量的是 . 4.設(shè),與都正交的單位向量為 .5.二次型的矩陣為 .三