線性代數(shù)練習冊答案

1、學院 班級 學號 姓名第一章 行列式二、三階行列式及階行列式的定義部分知識概要內(nèi)容概要：1.二階行列式的定義：.2.三階行列式的定義： .3.階行列式（1）階行列式是項的代數(shù)和；（2）每一項是取自不同行不同列的個元素的乘積（是的一個排列）；（3）當是偶排列時, 帶正號, 當是奇排列時, 帶負號.常用解題方法及注意事項：1.求排列的逆序數(shù)：（按自然數(shù)的從小到大次序為標準次序）的一個排列的逆序數(shù)記為.其中 是前面比大的數(shù)的個數(shù).2.確定行列式中的項及符號：（1）中的項是取自不同行不同列的個數(shù)的乘積，因此，行下標和列下標都沒有重復數(shù)字；（2）將中的因子交換順序使行下標是自然順序，即，該項符號為.二、

2、三階行列式及階行列式的定義部分習題1.計算下列二階行列式（1）； （2）；（3）； （4）.2.計算下列三階行列式（1）； (2)； （3）； 3.按自然數(shù)從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數(shù)：（1）； （2）.（3）4.確定，使6元排列為奇排列.5.寫出4階行列式中含有的項.6.按定義計算下列行列式：（1）； （2）.7. 求的展開式中和的系數(shù).行列式的性質(zhì)與展開部分知識概要內(nèi)容概要：行列式的性質(zhì)1.行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等(即).2.交換行列式的兩行(或列),行列式改變符號（即）.3.行列式中某行(或列)的公因子可以提到行列式符號外面做因子.（即（或）4.階行列式可以按第行(或列)拆成

3、兩個行列式與的和，即.其中的第行(或列)為與的第行(或列)的和；，的其余各行(或列)對應元素則同的完全一樣.5.把行列式某一行(或列)的元素同乘一數(shù)后加到另一行(或列)的對應位置元素上,行列式的值不變.（即或）行列式的展開1. 階行列式的某行（或列）元素與對應元素的代數(shù)余子式乘積之和為.2.行列式的某行（或列）元素與另一行（或列）對應元素的代數(shù)余子式乘積之和為0.即常用的解題方法及注意事項：行列式的計算：1.（1）利用性質(zhì)將行列式化為三角形行列式（三角形行列式的值等于對角線元素之積）.（2）利用依行、依列展開轉(zhuǎn)化為低階行列式的計算（或給出遞推公式、或利用數(shù)學歸納法）.（3）化簡與展開同時進行（

4、先化簡，再按零較多的行（或列）展開）.行列式化簡時注意1.盡量避免分數(shù)運算；2.展開時注意代數(shù)余子式與余子式相差的的符號. 行列式的性質(zhì)與展開部分習題1.計算下列行列式：（1）； (2) ；（3）； （4）.（5）.2.證明：（1）；（2）.3.計算階行列式 （1）=；（2）.4.利用范德猛行列式計算：. 克拉默法則部分知識概要內(nèi)容概要：1.設個變量，個方程的線性方程組為 如果該線性方程組的系數(shù)行列式，則方程組有唯一解：. 其中是中第列換成常數(shù)項其余各列不變得到的行列式，即： =, 2.設齊次線性方程組為 （1）如果系數(shù)行列式，則該齊次線性方程組只有零解；（2）如果該齊次線性方程組有非零解，那

5、么它的系數(shù)行列式常用解題方法及注意事項：1.用克拉默法則解線性方程組；2.利用系數(shù)行列式是否為零來判斷齊次線性方程組只有零解或有非零解.注意：克拉默法則只適合方程個數(shù)與未知量個數(shù)相同，且系數(shù)行列式不為零的線性方程組的求解. 克拉默法則部分習題1.用克拉默法則解線性方程組（1）； （2）.2.當為何值時，齊次線性方程組 (1) 僅有零解；(2) 有非零解 第一章自測題與答案 第一章自測題一.判斷題（每題3分，共15分）1. ( )2.在四階行列式 中，的余子式與代數(shù)余子式互為相反數(shù). ( )3.則.（ ）4.,則. （ ）5. . （ ） 二.填空題（每題4分，共16分）1.已知，則 .2.已知

6、，則 . .3. 由行列式確定的多項式中的系數(shù)分別為 .4. .三 .計算下列行列式（各10分，共40分）1.； 2.；3.； 4. .四（10分）設為階行列式， ,（為非零數(shù)）,1.討論的關(guān)系；2. 討論的關(guān)系.五.（10分）,求.六.（7分）設齊次線性方程組為用克拉默法則解討論應取何值時，方程組(1) 僅有零解；(2) 有非零解第一章自測題答案一1.錯；2.對；3.錯；4.錯；5.對.二1.； 2.；3.；4.三.1.；2.；3.；4. 各列加到第一列上，然后提取公因式.四1.；2. .五. .六. 系數(shù)行列式.（1）；（2）或.第二章 矩陣及其運算矩陣的運算部分知識概要內(nèi)容概要：1.矩陣

7、的線性運算（1）加法：兩同型矩陣與的和矩陣為.（2）數(shù)乘法：數(shù)與矩陣的數(shù)量乘積矩陣.2.矩陣乘法運算（1）矩陣稱為矩陣與的乘積.其中（）. (2）為階方陣的次冪，特別規(guī)定.(3）（為數(shù)）為方陣的多項式.3.矩陣的轉(zhuǎn)置以的行為列，列為行構(gòu)成的矩陣為的轉(zhuǎn)置矩陣.是階方陣，如果，稱為對稱矩陣；如果，稱為反對稱矩陣.4.方陣的行列式以階方陣的元素構(gòu)成的行列式稱為方陣的行列式.記為或.常用解題方法及注意事項：利用運算定義和運算律進行運算.注意（）第一個矩陣的列數(shù)與第二個矩陣的行數(shù)相等時兩矩陣乘積才有意義.（）由于乘法沒有交換律，在進行兩個矩陣乘積時，矩陣因子的順序不能變.（）矩陣的乘法不滿足消去律. 即

8、且，不一定有；且，不一定有.特別地， 且，不一定有.（）我們在做多個矩陣乘積時經(jīng)常使用乘法結(jié)合律.（）分別是矩陣，則.（）只有方陣才定義行列式；矩陣是數(shù)表，行列式是數(shù)值，這是它們之間的本章區(qū)別.矩陣的運算部分習題1. 已知，且,求.2.計算（1）,求，,及.（2）.（3），求.（4）3. , ,求及.4.，,，求及5.已知三個線性替換為，求從到的線性替換.6.如果,則稱矩陣與可交換,求與可交換的矩陣具有的形式.其中當時.7.如果,證明:當且僅當.8.設都是階對稱矩陣，證明：仍是對稱矩陣當且僅當.9.設維列向量滿足，,證明：1）是對稱矩陣；2）.10. 已知是3階方陣,且,計算(1)；(2) ；

9、(3).可逆矩陣部分知識概要內(nèi)容概要： 1.設是階方陣,如果存在階方陣，使得，稱為可逆矩陣，稱為的一個逆矩陣.2.可逆矩陣的逆矩陣唯一.3. 設,稱由以的第行元素在中的代數(shù)余子式為第列元素構(gòu)成的矩陣為的伴隨矩陣. 4.設是階方陣，是的伴隨矩陣，則.5. 階方陣是可逆的充分必要條件為.而且. 6.可逆矩陣具有如下運算性質(zhì)：（）是階可逆矩陣，的逆矩陣也可逆，且；（）是階可逆矩陣，是非零數(shù)，則可逆，且；（）都是階可逆矩陣,那么也可逆,且；（）是階可逆矩陣,也可逆，且；（）是階可逆矩陣，都是矩陣，且,則，是階可逆矩陣，都是矩陣，且,則.常用解題方法及注意事項：（設是階方陣）1.利用求可逆矩陣的逆矩陣：

10、（適用于具體給定的數(shù)字矩陣求逆）2.利用定義證明矩陣可逆，或求滿足給定方程的矩陣的逆矩陣：找到階方陣，使得，則可逆，且.注意 的第列元素是的第行元素在的代數(shù)余子式；的第行元素是的第列元素在的代數(shù)余子式.可逆矩陣部分習題 1.求下列矩陣的逆矩陣：（1）； （2）；(3)； (4).2.設,求矩陣使得. 3.設滿足,其中,求.4.設是階方陣,且滿足, 利用定義證明:可逆，并求.5. 設是階方陣,且（為正整數(shù)），利用定義證明：可逆，且6. 設是3階方陣，且,求(1) ；（2）；（3）.分塊矩陣及其運算部分知識概要內(nèi)容概要：用若干條橫線和縱線將矩陣分成若干小矩陣，以小矩陣為元素的矩陣表示形式稱為分塊矩

11、陣.我們將這些小塊稱為矩陣的子塊.1 加法 對兩個矩陣,進行同樣分塊，則為對應塊相加得到的分塊矩陣； 2 數(shù)乘法 設是一個矩陣，是一個數(shù)，將為由數(shù)乘每個子塊矩陣得到的分塊矩陣； 3乘法 設, ，將分塊為，則.其中為矩陣，為矩陣，.4 轉(zhuǎn)置 設是一個矩陣，將分塊為，則.常用解題方法及注意事項：1.利用分塊矩陣表示矩陣或進行矩陣運算只是為了表達簡便.分塊矩陣的運算與普通數(shù)字元素的運算法則和運算律是類似的；2.第一個矩陣列的分塊方式與第二個矩陣行的分塊方式必須相同，即列數(shù)必須等于的行數(shù)，這時兩分塊矩陣的乘積才有意義；3.由于矩陣乘法沒有交換律，作分塊矩陣乘法時，一定要注意子塊的前后順序不能換.即上面

12、的絕對不能寫成.4.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置不僅要將子塊為元素構(gòu)成的矩陣看成普通矩陣進行轉(zhuǎn)置，還要將每塊轉(zhuǎn)置.分塊矩陣及其運算部分習題1.將,進行適當分塊，并計算.2. ,都是階方陣，其中為矩陣，為零矩陣，為矩陣，為矩陣，求,及.3.設階矩陣和階矩陣都可逆，求（1） ； （2） .4. 利用分塊矩陣求下列矩陣的逆矩陣（1），求； （2），求. 第二章自測題與答案第二章自測題一判斷題（每題3分，共15分）1.是階方陣，如果,且, 則； （ ）2. 是階方陣,則； （ ）3.是階方陣,且可逆，則； （ ）4. 都是階方陣，則； （ ）5.都是階方陣，滿足,且可逆，則. （ ）二.填空題（每題4分，共20分）

13、1.=（1，1，2）,則 ,= , = ；2.已知，且,則= .3.，則 ；4.設,則 ；5.是3階方陣,是2階方陣,且,，則 ； . 三.矩陣計算（10分）：設，,求（1），（2）；（3）.四.(10分)已知，都是3階方陣,且，,求及.五.如果,則稱矩陣與可交換,求與矩陣可交換的矩陣具有的形式.（10分）； 六. 求矩陣的伴隨矩陣和逆矩陣（10分）. 七.（8分）設 其中，求.八.（7分）設是階方陣,且滿足, 利用定義證明:可逆，并求.九.（10分）設實矩陣,且,證明.*試將結(jié)論推廣到是階方陣的情況.第二章自測題答案一1.錯；2. 錯；3.錯；4.錯；5.對.二.1. ，；2.；3.；4.；

14、5.；.三.；.四.由，有，即得.五. .六. ；.七. .八. ,可逆，.九. ,所以的任意位置元素為零，利用對角線上元素為零，即得.第三章 矩陣的初等變換與線性方程組初等變換與初等矩陣部分知識概要內(nèi)容概要：初等變換1.對調(diào)兩行（或列）；2.以數(shù)乘矩陣某一行（或列）的所有元素；3.把矩陣的某行（或列）所有元素乘一個數(shù)加到另一行（或列）對應位置的元素上.矩陣的等價標準形1.稱具有如下特點矩陣為行階梯形矩陣：（）的前行，每行元素均不全為0，后行元素都為零；()第行的第一個非零元素為，且滿足.如果行階梯形矩陣還滿足：（）第行的第一個非零元素，且所在的列的其它元素都為0，就稱為行最簡形矩陣. 2.任

15、何矩陣都可以經(jīng)過初等行變換化為行階梯形矩陣，進而可以化為行最簡形矩陣.3.任何一個矩陣都可以通過初等變換化為型矩陣.初等矩陣1.由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.2.設一個矩陣，左乘一個階初等矩陣相當于對作一次相應的初等行變換，右乘一個階初等矩陣相當于對作一次相應的初等列變換.3.與等價當且僅當存在可逆矩陣與可逆矩陣，使得.4.階方陣可逆當且僅當可以寫成一些初等矩陣的乘積.5.階方陣可逆當且僅當可以只用初等行變換化為單位矩陣.常用解題方法及注意事項：1.用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣的求法：.2.用初等行變換求矩陣方程(可逆)的求法：則即可求得.初等變換與初等矩陣部分習題1.先

16、用初等行變換化下列矩陣為行最簡形，再用初等列變換將其化為等價標準形（1）； （2）；(3)； （4）.2. ,求: (1)； (2) .3.用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣.（1）； （2）4. 設，且，求 矩陣的秩部分知識概要內(nèi)容概要：1.設是一個矩陣，如果中存在階子式不為零，而所有階子式（如果有的話）全為零，我們稱為矩陣的秩，記為或秩.2. 矩陣的秩具有如下性質(zhì)：（）當且僅當；（）；（），其中為非零數(shù)；（）階方陣的秩的充分必要條件；（）階方陣可逆的充分必要條件為.3. 行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)等于的秩.4.初等變換不改變矩陣的秩.5.矩陣，可逆，則.6. 設是秩為的矩陣，則存在階可逆矩陣和

17、階可逆矩陣,使得.常用解題方法與注意事項：1.求矩陣的秩：利用矩陣的初等變換將矩陣化為階梯形矩陣，階梯數(shù)即為矩陣的秩.2.如果是階方陣，時.求元素含有參數(shù)的方陣的秩時，先求出時的參數(shù)取值，此時；對于使的參數(shù)再特別討論.注意：1.的一個階子式是一個行列式； 2.的秩為，則的高于階的子式（如果有的話）都為零；3.矩陣的秩就是矩陣非零子式的最高階數(shù).矩陣的秩部分習題1. 求下列矩陣的秩.（1）； （2）.2. 已知，討論為何值時（1）;(2) ;(3).3. ，討論取何值時，可使(1); (2).4.設是矩陣，證明：.5.設是矩陣，證明： 當且僅當存在維列向量矩陣和維行向量矩陣,使得.（提示：使用的

18、等價標準形） 線性方程組的解部分知識概要內(nèi)容概要：1.線性方程組（是維列向量）的系數(shù)矩陣為,增廣矩陣為，則：（）線性方程組無解的充分必要條件為；（）線性方程組有唯一解的充分必要條件為；（）線性方程組有無窮多解的充分必要條件為.2.齊次線性方程組（是維列向量）永遠有零解.（）只有零解的充分必要條件為；（）有非零解的充分必要條件為.3.矩陣方程（是矩陣）的系數(shù)矩陣為,增廣矩陣為,則關(guān)于方程的解有與1中相同的結(jié)論.常用解題方法與注意事項：1. 求解線性方程組（是維列向量）的步驟：（）對進行初等行變換，把化為行階梯形矩陣（是列向量）.利用與同解有：如果,則無解；如果，則有解.2.若，繼續(xù)初等行變換，將

19、化為行最簡形矩陣.3. 如果，解唯一，的最后一列對應的元素為方程組的解；如果，解無窮多，將的每個臺階的頭對應的未知量用其余未知量（其余的未知量即為自由未知量）表示出來，并令自由未知量取任意常數(shù)，即得含有個自由參數(shù)的通解.注意：1.解線性方程組時，對增廣矩陣的初等行變換實際上是方程之間的初等變換，因此不能利用對增廣矩陣進行初等列變換來解方程組. 2. 時，必須是的行最簡形，的最后一列對應的元素才為方程組的解. 線性方程組的解部分習題1.用初等行變換求解下列線性方程組（1）； （2）；（3）； （4）.2.用初等行變換求解下列齊次線性方程組（1）； （2）3.討論取何值時，下面線性方程組：（1）有

20、惟一解；（2）沒有解；（3）有無窮多個解？并在有解時求解. 第三章自測題與答案第三章自測題一.判斷題（每題3分，共15分）1.方程個數(shù)小于未知量個數(shù)的齊次線性方程組必有非零解. （ ）2.在秩為的矩陣中，所有階子式都不為零. （ ）3.設是矩陣，是階方陣，是階方陣，. （ ）4.是矩陣，且，則非齊次線性方程組有無窮多解. （ ）5.是矩陣，線性方程組滿足，用初等行變換將化為行階梯形矩陣，則的最后一列對應的元素為方程組的解. （ ）二.填空題（每題4分，共20分）：1.的行最簡形矩陣為 ；2.,則 ；3.設是階方陣，,是的伴隨矩陣，則 ;4. 矩陣的乘積 ；5.分別為矩陣，,則與的關(guān)系為 ，與的

21、關(guān)系為 .三.求下列矩陣的秩（第一題5分，第二題10分，共15分）1.； 2.四.用初等行變換求解下列線性方程組（每題10分，共20分）1.； 2.五. (10分)討論取何值時,下面線性方程組有解, 并在有解的情況下求其通解.六（10分）設，且 ，求.七.（10分）設是秩為1的3階方陣，證明:存在不全為零的數(shù)和不全為零的數(shù)，使得；并求第三章自測題答案一.1.對；2.錯；3.對；4.錯；5.錯二.1.；2.則；3. （利用,則）；4. （利用左乘相當交換的2，3兩行；右乘相當于的第3列乘加到第一列）；5.，.三.1.；（2）四.1.（ 為任意數(shù)）； 2. （ 為任意數(shù)）.五. 時，方程組無窮多解

22、（為任意數(shù)）；時，方程組有唯一解 ；時，方程組無解.六 ， .七.證明： 的秩為1，存在3階可逆矩陣，,使得，它們均為非零向量，且，則；其中.第四章 向量組的線性相關(guān)性 向量組及其線性關(guān)系部分知識概要內(nèi)容概要：1.，是一組維向量，存在數(shù)使得，則稱可由線性表示；設與是兩組維向量，如果兩個向量組能夠相互線性表示，稱這兩個向量組等價.2.設為一組維向量，如果齊次線性方程組有非零解，稱向量組是線性相關(guān)；如果有只有零解，稱向量組是線性無關(guān).4.等價定義：設是一組維向量，如果其中至少存在一個向量可以由其余的向量線性表示, 稱線性相關(guān)；如果任何一個向量都不能由其余向量線性表示,稱線性無關(guān). 單獨一個零向量稱

23、為線性相關(guān)的；單獨一個非零向量稱為線性無關(guān)的.5.向量組線性相關(guān)，則擴充組線性相關(guān)；向量組線性無關(guān)，則部分組也線性無關(guān).常用解題方法與注意事項：1.判斷是否可由線性表示：令, 可由線性表示當且僅當有解，當且僅當；2.令，,與等價當且僅當.3.討論向量組線性相關(guān)：設，解齊次線性方程組（*）.（）如果（*）只有零解，線性無關(guān)；（）如果（*）有非零解，線性相關(guān).向量組及其線性關(guān)系部分習題1.設，求向量，使得.2.設,問：是否能由線性表示？如能表示，判斷表示的方法是否唯一？3.設可由唯一的線性表示，求滿足的條件.4設是一組維向量，證明向量組與向量組等價.5.設 ，討論：（1）為何值時，不能由線性表示？

24、（2）為何值時，能由唯一的線性表示？（3）為何值時，能由線性表示，但表示方法不唯一？6.判斷下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)？（1）；（2）.7. 是一組維向量， ，證明：如果線性無關(guān)，則也線性無關(guān).*8. 設線性無關(guān)，且，討論為何值時線性無關(guān)，為何值時線性相關(guān).向量組的秩與極大線性無關(guān)組部分知識概要內(nèi)容概要：1.如果線性無關(guān)，則線性相關(guān)的充分必要條件是可由線性表示.并且表示方法唯一.2.向量組可由線性表示.（） 如果，則向量組必線性相關(guān)；（）如果向量組線性無關(guān)，則.3向量組的一個部份組是線性無關(guān)的,并且中任意個向量(如果有)都線性相關(guān)（或向量組中任一向量都可由線性表示），稱為的一個極大線性無

25、關(guān)組；向量組的極大線性無關(guān)組含向量的個數(shù)為向量組的秩.4.矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩，都等于矩陣的秩.向量組的極大線性無關(guān)組和秩具有：1. 向量組的任意一個極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價；2.向量組的兩個極大線性無關(guān)組等價；等價向量組的極大線性無關(guān)組等價（等價的傳遞性）；3.向量組可由向量組線性表示，則向量組的秩不超過的秩；等價的向量組秩相同.常用解題方法與注意事項: 利用方程組與的同解有：初等行變換保持矩陣列向量組的線性關(guān)系.求向量組的極大線性無關(guān)組和秩的步驟：1.以為列向量做矩陣；并對進行初等行變換，化為行最簡形矩陣；2.確定的列向量組的秩和極大線性無關(guān)組及之間的線性關(guān)系；3.利

26、用矩陣與的列向量組具有完全相同的線性關(guān)系，確定的列向量組的秩、極大線性無關(guān)組及之間的線性關(guān)系.5.如果討論矩陣的行向量組的線性關(guān)系，只需要討論矩陣的列向量組的線性關(guān)系即可.向量組的秩與極大線性無關(guān)組部分習題1.求下面向量組的秩和一個極大線性無關(guān)組，并用其線性表示向量組中其余向量.2.求下列矩陣的秩和列向量組的極大線性無關(guān)組，并用其表示向量組中其余向量.（1）； (2) .3.確定，使矩陣的秩為2，然后求此時的列向量組的一個極大線性無關(guān)組. 并用所的求極大線性無關(guān)組表示其余列向量.4. 證明：向量組與等價的充分必要條件是向量組與秩相同.5.證明：（1）線性無關(guān)，如果不能由線性表示，則也線性無關(guān)；

27、（2）向量組的秩為，則中任何個線性無關(guān)向量都是該向量組的一個極大線性無關(guān)組.線性方程組解的結(jié)構(gòu)部分知識概要內(nèi)容概要：1.向量使得或成立，稱是或的一個解；2.齊次線性方程組的解的線性組合仍是的解；3. 滿足：（1）是的解；（2）線性無關(guān)；（3）可以線性表示的任一個解. 稱為的一個基礎(chǔ)解系；基礎(chǔ)解系所含解的個數(shù)等于,這里是系數(shù)矩陣的秩.4.非齊次線性方程組對應的齊次線性方程組稱為的導出組；5.非齊次線性方程組的兩個解的差是它的導出組的解；6.是非齊次線性方程組 的一個特解,那么 的任一個解都可以表成,其中是的導出組的一個解.7.設是的導出組的一個基礎(chǔ)解系，如果是 的一個特解，則（）的通解為（為任意

28、數(shù)）；（）的通解為（為任意數(shù)）.常用解題方法與注意事項:1.求的通解一般步驟：（）增廣矩陣經(jīng)初等行變換，可將對應的部分化為行最簡形，不妨記為：()如果存在，則原方程組無解；如果，則原方程組有解，此時，對應的方程組為，()令，則的通解可以表示為：記為：，其中可取任意數(shù).2.求的一個基礎(chǔ)解系的步驟同上.由于常數(shù)列為0，所以只需對系數(shù)矩陣進行初等行變換.此時就是的一個基礎(chǔ)解系.的任意解可以表示為（為任意數(shù)）.注意：1.分別是對應自由未知量取時的線性無關(guān)解；2.非齊次線性方程組的解的線性組合一般不再是的解.因此，解非齊次線性方程組時，不能利用自由未知量取特殊值得到一組線性無關(guān)解，再用這組線性無關(guān)解的線

29、性組合表示的通解.線性方程組解的結(jié)構(gòu)部分習題1求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解.（1）； (2).2. 解下列線性方程組，用導出組的基礎(chǔ)解系表出線性方程組的通解.（1）； （2）.3.設都是非齊次線性方程組的解向量，是個數(shù)，證明：（1）是的解的充分必要條件是；（2）是的導出組的解的充分必要條件是.4.設是矩陣，且，已知是非齊次線性方程組的解向量，且，求的通解.*5. 設為矩陣，為矩陣，且.證明：.*向量空間部分知識概要內(nèi)容概要：1. 是維向量構(gòu)成的非空集合，對向量的加法和數(shù)乘法封閉，稱為一個向量空間.2.如果向量空間中存在個線性無關(guān)的向量,且中任何向量可由線性表示, 稱為的一組基，為的維數(shù)

30、.3. 稱為由向量生成的向量空間.4. 與是的兩組基，且，稱方陣為由 到的過渡矩陣.常用解題方法與注意事項:1.驗證給定的維向量構(gòu)成的集合是線性空間的步驟：（）非空；（）任意的，有.2.求的兩組基 到的過渡矩陣的步驟：（）將每個用線性表示；（）以用線性表示的表示系數(shù)為第列元素做成的矩陣，則為 到的過渡矩陣.向量空間部分習題1.證明：構(gòu)成向量空間的充分必要條件是.2.求的基到，的過渡矩陣.第四章自測題與答案第四章自測題一.判斷題（每題3分，共15分）1.向量組線性相關(guān)，則其中任何一個向量都可以由其余向量線性表示.（ ）2.有零解，所以線性無關(guān). （ ）3.如果可以由線性表示，則可以由線性表示.

31、（ ）4.方程組有解的時,解是唯一的充要條件是它的導出組只有零解.（ ）5.等價的向量組含向量個數(shù)相同. （ ）二.填空題（每題4分，共16分）1.線性相關(guān)，則= ；2.，且，則 ；3.，可由線性表示，則與的關(guān)系為 ；4. 是非齊次線性方程組的兩個線性無關(guān)解，則也是的解的充分必要條件為 .三.（10分）設，討論（1）為何值時，不能由線性表示？（2）為何值時，能由唯一的線性表示？（3）為何值時，能由線性表示，但表示方法不唯一？四（10分）求向量組，的極大無關(guān)組和秩，并用極大無關(guān)組表示向量組中其余向量.五.（10分）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解.六（10分）設矩陣的秩，是非齊次線性方程組的個線

32、性無關(guān)的解向量，（1）證明線性無關(guān)；（2）求導出組的基礎(chǔ)解系，及的通解.七.（10分）設向量可由向量組線性表示，證明：線性無關(guān)的充分必要條件是由線性表示的表示方法唯一.八. （10分）討論取何值時，線性方程組；（1）無解；（2）有唯一解；（3）有無窮多解，并求方程組的通解.九（9分）設的列向量組是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，證明：任意階可逆矩陣，的列向量組也是的基礎(chǔ)解系.第四章自測題答案一. 1.錯；2.錯；3.對；4.對；5.錯.二.1.或；3. ；4.； 5. .三.，時，不能由線性表示；，且時，能由唯一線性表示；當時，能由線性表示，且表示方法不唯一.四.極大無關(guān)組為前3列；秩為3且.（答案

33、不唯一）五.基礎(chǔ)解系；通解（為任意數(shù)）.六（1）提示：設，利用線性無關(guān)，得；（2）為的基礎(chǔ)解系；為的通解.七.提示：當 線性無關(guān)時，用反證法證明表示方法唯一；當由線性表示的表示方法唯一時，設，利用唯一性，證明只有零解.八. 時方程組無解；所以時方程組有唯一解；時,方程組有無窮多解，解為（為任意數(shù)） 九證明（提示）：令，由，及可逆，知與等價，所以的列向量組也是的基礎(chǔ)解系. 第五章 相似矩陣及二次型向量內(nèi)積、長度及正交性部分知識概要內(nèi)容概要：1.稱實數(shù)為與的內(nèi)積.2.非負實數(shù)稱為向量的長度,記為.長度為1的向量稱為單位向量.3.當時，稱與正交,記為.4.（柯西施瓦茲不等式）. 當且僅當線性相關(guān)時,

34、等號才成立.5.倆倆正交的非零向量構(gòu)成的向量組是線性無關(guān)的.6. 的一組基稱為的一個規(guī)范正交基，如果.7.設是階實方陣,如果,則稱為正交矩陣.常用解題方法與注意事項:1.從一組給定的基得到一組規(guī)范正交基的方法（施密特(schimidt)正交化）：（）正交化：?。?；， ，（）單位化，令,則為的一組標準正交基.注 由于與的單位化向量相同，所以在將單位化時，為計算簡便我們可以將單位化.2. 判斷階實方陣正交的方法（）利用定義，為正交矩陣當且僅當；（）為正交矩陣當且僅當?shù)牧校ㄐ校┫蛄拷M是維列（行）空間的標準正交基.向量內(nèi)積、長度及正交性部分習題1.設,求的內(nèi)積及夾角.2. 設（1）求使得正交；（2）

35、求一個單位向量，使兩兩正交.3.判斷下列矩陣是否是正交矩陣（1）； （2）.4.設, 是的一組基,用施密特(schimidt)正交化方法將這組基化為標準正交基.方陣的特征值與特征向量部分知識概要內(nèi)容概要：1. 設是一個階方陣，如果存在一個數(shù)及維非零向量，使，則稱為的一個特征值，稱為的屬于特征值的一個特征向量.2. 為的特征值當且僅當為的根.3.特征值與特征向量的性質(zhì):（）的一個特征向量只屬于的某一個特征值，不能屬于的不同特征值；（）階方陣的屬于同一特征值的特征向量的線性組合如果是非零向量，則該組合仍是的屬于特征值的特征向量.特別地，如果都是的屬于特征值的特征向量為兩個數(shù)，且，則仍是的屬于特征值

36、的特征向量；（）設是階方陣的屬于特征值的特征向量，是關(guān)于的多項式，則是的特征值，是的屬于的特征向量；（）設是階可逆方陣，是的特征值，則，且是的特征值；（）的屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)；（）方陣的屬于不同特征值的特征向量的和不再是的特征向量；（）是階方陣的個特征值：則（1）；（2）；（3）.常用解題方法與注意事項:求矩陣的特征值和特征向量的步驟1.求的不同根，這些根就是的互不相同的特征值；2.對每個特征值，解齊次線性方程組，求出基礎(chǔ)解系，則（為不全為零的數(shù)）為屬于的所有特征向量.2.利用特征值計算行列式的方法：先計算特征值，特征值的乘積即為行列式. 方陣的特征值與特征向量部分習題 1.設，

37、 .問（1）是否是的特征向量？如果是，它們分別屬于哪個特征值?2.求下列矩陣的特征值和特征向量（1）； （2）；（3）； （4）.3. 設3階方陣有特征值，求（1）的特征值；（2）的特征值；（3）的特征值.4. 已知3階方陣的特征值為，求(1)；（2）；(3)的特征值；（4）(其中為的伴隨矩陣).5.設階矩陣滿足，證明的特征值只能是或.相似矩陣與對角化部分知識概要內(nèi)容概要：1.設都是階方陣，如果存在階可逆矩陣，使得，則稱與相似.2. 如果階方陣與一個對角形矩陣相似，稱可對角化.3. 相似矩陣有相同的特征多項式，有相同的特征值.4.階方陣可對角化的充分必要條件是有個線性無關(guān)的特征向量.5. 階方

38、陣有個不同的特征值，則可對角化.6. 是實對稱矩陣，則（）的特征值都是實數(shù)；（）的屬于不同特征值的特征向量彼此正交；（）存在正交矩陣，使得為對角矩陣.常用解題方法與注意事項:求可逆矩陣，使得為對角矩陣的步驟.1.求的不同根，這些根就是的互不相同的特征值；2.對每個特征值，解齊次線性方程組，求出基礎(chǔ)解系； 3.屬于不同特征值的線性無關(guān)的特征向量放在一起構(gòu)成的向量組，還線性無關(guān).如果這些線性無關(guān)的特征向量個數(shù)之和，則可對角化；如果， 不可對角化.4.可對角化時，存在以的特征向量為列做成的可逆矩陣，使得，其中是的特征值，且的列向量（的特征向量）排列順序與對角線上的相應特征值對應.5. 是實對稱時，將

39、屬于每個特征值的特征向量進行施密特規(guī)范正交化，以規(guī)范正交化后的特征向量為列構(gòu)成正交矩陣，則是對角矩陣.相似矩陣與對角化部分習題1.求下列矩陣的特征值和特征向量，并判斷是否可對角化，如可對角化，求可逆矩陣，使得是對角矩陣.（1）； （2）；（3）. 2.已知4階矩陣相似，的特征值為，求(1)的特征值；（2）.3.設矩陣a= 與相似 求. 4.設與相似，與相似，證明與相似. 5.對下列矩陣,求正交矩陣，使得為對角形矩陣.(1)； (2)；(3) .6.設是階實對稱矩陣，且的特征值為，分別是屬于特征值的特征向量.（1）求屬于特征值的特征向量；（2）求出矩陣.二次型及其標準形部分知識概要內(nèi)容概要：1.

40、含有個變量的實二次齊次多次式： 稱為一個元二次型.簡稱二次型.2.稱只含平方項的二次型為標準形二次型. 3. ,其中是實對稱矩陣.元實二次型與階實對稱矩陣之間是一一對應的.4.設都是階方陣，如果存在階可逆矩陣，使得，則稱與合同.5.任意二次型都可以經(jīng)可逆線性替換化為標準形；任意實對稱矩陣都合同于對角矩陣.6.任意二次型都可以經(jīng)正交線性替換化為標準形；任意實對稱矩陣都既相似又合同于對角矩陣.7.如果對于任意一組不全為零的實數(shù)都有稱實二次型正定二次型；正定時，稱二次型的矩陣稱為正定矩陣.正定當且僅當?shù)臉藴市蝹€平方項的系數(shù)都為正.常用解題方法與注意事項:1.用配方法化二次型為標準形的步驟：（）如果二

41、次型含有某個變量的平方項，按該變量配方，使得第一次配方后余下的項中不再含有該變量.這樣一次配方后剩下的部分是一個少于元的二次型，繼續(xù)配方下去，每次變量的個數(shù)都在減少，有限步后就可以得到標準形.（） 如果二次型不含平方項，都是一些交叉乘積項，利用平方差公式制造平方項后再根據(jù)需要進行配方.2. 借助實對稱矩陣可以正交相似為對角矩陣的性質(zhì)來化簡二次型:是實對稱矩陣，定存在交矩陣，使得是對角陣.令,則.3.判斷二次型正定的方法：（利用下列等價命題判斷二次型正定）是實對稱矩陣，下列命題等價（）二次型是正定二次型；（）實對稱矩陣是正定矩陣；（）的標準形為，其中.（）與單位矩陣合同；（）的所有順序主子式全大

42、于零；（）的特征值都是正實數(shù). 二次型及其標準形部分習題1.用配方法化下列二次型為標準形，并判斷是否正定.（1）；（2）；2. 取何值時,下列二次型正定.（1）；（2）.3. 用正交替換化二次型為標準形.第五章自測題與答案第五章自測題一.判斷題（每題3分，共15分）1.階方陣可對角化，則必有不同的特征值. （ ）2.相似矩陣有相同的特征多項式，反之，特征多項式相同的方陣一定相似. （ ）3.是階方陣，是一個數(shù)，滿足的向量是的屬于的特征向量.（ ）4.階方陣可對角化，則必有線性無關(guān)的特征向量. （ ）5.二次型經(jīng)可逆的線性替換化為，則該二次型正定. （ ）二.填空題：（每空4分，共20分）1.有特征值 .2.3階方陣有特征值1，2，則的特征值為 ， .3.是3階方陣，是的屬于1的特征向量；，是的屬于的線性無關(guān)特征向量；向量，中，不是的特征向量的是 . 4.設,與都正交的單位向量為 .5.二次型的矩陣為 .三