第2章-投影的基本知識(2)

1、1 1. 1.4 4 點(diǎn)、直線點(diǎn)、直線的投影的投影n直線直線的的投影投影n屬于直線的點(diǎn)屬于直線的點(diǎn)n重影點(diǎn)及其可見性重影點(diǎn)及其可見性2傾斜于三個(gè)投影面傾斜于三個(gè)投影面 一般位置直線一般位置直線平行于一個(gè)投影面平行于一個(gè)投影面投影面平行線投影面平行線垂直于一個(gè)投影面垂直于一個(gè)投影面投影面垂直線投影面垂直線 在三投影面體系中，直線對投影面的位置，可分為兩大類：在三投影面體系中，直線對投影面的位置，可分為兩大類：平行于平行于H面面水平線水平線平行于平行于V面面正平線正平線平行于平行于W面面?zhèn)绕骄€側(cè)平線垂直于垂直于H面面鉛垂線鉛垂線垂直于垂直于V面面正垂線正垂線垂直于垂直于W面面?zhèn)却咕€側(cè)垂線特特 殊殊

2、 位位 置置 直直 線線直直 線線直線對投影面的相對位置直線對投影面的相對位置3ABVWHXYZO 一般位置直線一般位置直線對三個(gè)投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。對三個(gè)投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。ZXabaOYHYWabbbbabaa4一般位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性：1）三面投影均不反映直線的實(shí)長（均小于實(shí)長）；2）直線與投影面之間的傾角在投影圖中均不反映實(shí)形。 事實(shí)上，只要空間直線的任意兩個(gè)投影都呈傾斜狀態(tài)，則該直線一定是一條一般位置直線。5求解一般位置直線的實(shí)長及傾角求解一般位置直線的實(shí)長及傾角 根據(jù)一般位置直線的投影求解其實(shí)長及傾角是畫法幾

3、何綜合習(xí)題中的常遇見的基本問題之一，也是工程實(shí)際中經(jīng)常需要解決的問題。而用直角三角形法直角三角形法求解實(shí)長及傾角最為簡便、快捷。6XOababABababXOB0直角三角形法直角三角形法(求直線的實(shí)長及對水平投影面的夾角)mmABABmAB0=abBB0=AB兩點(diǎn)的高度差mab7直角三角形法直角三角形法 直角三角形法的四要素：投影長、坐標(biāo)差、實(shí)長、傾角。已知四要素中的任意兩個(gè)，便可確定另外兩個(gè)。 解題時(shí)，直角三角形畫在任何位置都不影響解題結(jié)果，但用哪個(gè)長度來作直角邊不能搞錯。8ABVWHXYZO水平線水平線（平行H面，同時(shí)傾斜于V、W面的直線）aababb Xa b ab baOZYHYW水平

4、投影反映實(shí)長及傾角，正面投影及側(cè)面投影垂直于水平投影反映實(shí)長及傾角，正面投影及側(cè)面投影垂直于OZ軸軸 9VWHXYZOAB正平線正平線（平行V面，同時(shí)傾斜于H、W面的直線）aababb正面投影反映實(shí)長及傾角，水平投影及側(cè)面投影垂直于正面投影反映實(shí)長及傾角，水平投影及側(cè)面投影垂直于OY軸軸 Xabab baOZYHYW 10VWHXYZOAB側(cè)平線側(cè)平線（平行W面，同時(shí)傾斜于H、V面的直線）aa b a bb側(cè)面投影反映實(shí)長及傾角，水平投影及正面投影垂直于側(cè)面投影反映實(shí)長及傾角，水平投影及正面投影垂直于OX軸軸 bXZa b baOYHYWa11OZYXWHVba(b)aaBAbZY1YXOba

5、baa（b)鉛垂線的投影鉛垂線的投影鉛垂鉛垂線線（ab積聚成一點(diǎn)； a b OX，a b OY，a b = a b =AB）12OZYXWHVbaaBAba(b)ZY1YXOba(b)aab正垂正垂線線（ab積聚成一點(diǎn)； ab OX，a b OZ，ab= a b =AB）13OZYXWHVbaaBA(b)abZY1YXO(b)abaab側(cè)垂側(cè)垂線線（a b積聚成一點(diǎn)，abOY a bOZ，ab = a b =AB）14屬于直線的點(diǎn)屬于直線的點(diǎn)性質(zhì)：性質(zhì)： 1、屬于直線的點(diǎn)，它的三個(gè)投影均屬于直線的投影。、屬于直線的點(diǎn)，它的三個(gè)投影均屬于直線的投影。 反之，點(diǎn)的三個(gè)投影分別屬于直線的投影，反之，

6、點(diǎn)的三個(gè)投影分別屬于直線的投影，則該點(diǎn)屬于直線。則該點(diǎn)屬于直線。abaBAHVXObccC已知：已知：CAB則：則：cab ， c a b c a b屬于直線的點(diǎn)屬于直線的點(diǎn)2、屬于線段的點(diǎn)，分線段之比、屬于線段的點(diǎn)，分線段之比其投影后保持不變。其投影后保持不變。已知：已知：CAB則：則：AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb15例例 已知線段已知線段AB的投影圖，試將的投影圖，試將AB分成分成2 :3兩段，求分點(diǎn)兩段，求分點(diǎn)C的投的投影。影。babOaXcc解：用初等幾何作圖法先將一個(gè)投影分為2 : : 3，分點(diǎn)即為點(diǎn)C的一個(gè)投影，作投影連線，求出另一個(gè)投影即可。AC :CB=2 :

7、3例例 已知線段已知線段AB及點(diǎn)及點(diǎn)K的的投影，試判斷，點(diǎn)投影，試判斷，點(diǎn)K是否是否屬于屬于AB。判斷判斷K是否屬于是否屬于ABaabbOXkkabk解法一：作側(cè)面投影，則知K不屬于AB。解法二：因?yàn)閍k:kbak:kb則則K不屬于不屬于AB16為了更加直觀的理解一般位置直線在三個(gè)投影面的投影特性，同學(xué)們可以將三個(gè)投影面理解成教室中由地面（相當(dāng)于H 面）、側(cè)墻面（相當(dāng)于W 面）和前墻面（相當(dāng)于V 面）組成。其中地面和側(cè)墻面的交線為OY軸，地面和前墻面的交線為OX 軸，側(cè)墻面和前墻面的交線為OZ 軸，一般位置直線就相當(dāng)于在這三個(gè)投影面中的投影。下面我們在該三個(gè)投影面組成的立體空間中，分別講述空間

8、直線的實(shí)長及對各投影面傾角的求法。一般位置直線段實(shí)長及傾角一般位置直線段實(shí)長及傾角 直角三角形法直角三角形法17例1：求空間直線AB 的實(shí)長及對H 面的夾角。18例2：求空間直線AB 的實(shí)長及對V 面的夾角。19例3：求空間直線AB 的實(shí)長及對W 面的夾角。20習(xí)題1 已知直線A B 的兩投影，見圖4，求直線AB 對V 面的傾角和線段的實(shí)長。方法一：在方法一：在H 投影面上作圖，這里直投影面上作圖，這里直線線AB 的水平投影已知，可以直接得到的水平投影已知，可以直接得到Y(jié) 坐標(biāo)差。過坐標(biāo)差。過b 點(diǎn)作點(diǎn)作OX 軸的平行線，與軸的平行線，與a a 相交與相交與m ，則，則m a 的長度為的長度為

9、Y 坐標(biāo)坐標(biāo)差，延長使差，延長使mn=a b ，連接，連接na，得，得直角三角形直角三角形nma、。這里、。這里na 為為AB 的實(shí)的實(shí)長，直角邊長，直角邊ma 所對的夾角為空間直線所對的夾角為空間直線A B 與與V 面所成的傾角面所成的傾角。方法二：在方法二：在V 投影面上作圖，過投影面上作圖，過a 做做直線直線a k 垂直于垂直于a b ，并使，并使a k=am，連接，連接k b ，同樣可得直角三角，同樣可得直角三角形，三角形的各邊及角度含義同法一。形，三角形的各邊及角度含義同法一。21重影點(diǎn)重影點(diǎn)VHXOABCDaacdbcdbXOacdbacdbefm(n)mnf (e)NMEFm(n

10、)f (e)重影點(diǎn)：分屬不同直線，但位于同一條投影線上的點(diǎn)。22重影點(diǎn)的可見性判斷重影點(diǎn)的可見性判斷Oacdbacdbefm(n)mnf (e) （1）判別H面重影點(diǎn)的可見性，必須從H面投影向V面投影引垂線，較高的一點(diǎn)看得見，較低的一點(diǎn)則看不見。 （2）判別V面重影點(diǎn)的可見性，必須從V面投影向H面投影引垂線，較前的一點(diǎn)看得見，較后的一點(diǎn)則看不見。23 1.5 1.5 平面的投影平面的投影n平面的表示方法平面的表示方法n各類平面的投影特性各類平面的投影特性24 平面的表示方法平面的表示方法用幾何元素表示平面：（1）不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)；（2）一直線和直線外一點(diǎn)；（3）兩相交直線；（4）兩平行直

11、線；（5）任意平面圖形。VXWHYZACB25平面的表示方法平面的表示方法相應(yīng)地在投影圖中，空間平面可用下列五組幾何元素中的任意一組來表示。baacbcaabcbcbbaaccbaacbcbaacbcdd26 平面的表示方法平面的表示方法用跡線表示平面： 平面的空間位置還可以由它與投影面的交線來確定，平面與投影面的交線稱為該平面的跡線。VXWHYZPZPPXPY27 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性28投影面平行面投影面平行面 對一個(gè)投影面平行，同時(shí)垂直于其它兩個(gè)投影面的平面。水平面平行于H面，同時(shí)垂直于V、W的平面正平面平行于V面，同時(shí)垂直于H、W的平面?zhèn)绕矫嫫叫杏赪面，同時(shí)垂直

12、于H、V的平面29VXHWYZO水平面水平面ppp水平投影反映實(shí)形；正面投影和側(cè)面投影積聚為一條直線并平行于相應(yīng)的投影軸。XYWZOYHpppP30VXHWYZO 正平面正平面正面投影反映實(shí)形；水平投影和側(cè)面投影積聚為一條直線并平行于相應(yīng)的投影軸。pppXYWZOYHpppP31VXHWZOY側(cè)平面?zhèn)绕矫鎝pp側(cè)面投影反映實(shí)形；水平投影和正面投影積聚為一條直線并平行于相應(yīng)的投影軸。XYWZYHOpppP32投影面平行面的投影特投影面平行面的投影特性性 投影面平行面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形；（2）平面在另外兩個(gè)投影面上的投影積聚成直線，且分別平行于相應(yīng)的

13、投影軸。 事實(shí)上，在平面的兩面投影中，若有一面投影積聚為平行于某投影軸的直線，則此平面必為該投影軸相鄰的投影面的平行面。33投影面垂直面投影面垂直面 垂直于一個(gè)投影面，同時(shí)傾斜于其它兩個(gè)投影面的平面。鉛垂面垂直于H面，同時(shí)傾斜于V、W的平面正垂面垂直于V面，同時(shí)傾斜于H、W的平面?zhèn)却姑娲怪庇赪面，同時(shí)傾斜于H、V的平面34VXHWZOYXZOYHYW鉛垂面鉛垂面水平投影積聚為直線，并反映傾角,的實(shí)形，正面投影和側(cè)面投影均不反映實(shí)形且變小。35VXHWZOY正垂面正垂面正面投影積聚為直線，并反映傾角,的實(shí)形；水平投影和側(cè)面投影均不反映實(shí)形且變小。XZOYHYW36VXHWZOY側(cè)垂面?zhèn)却姑鎮(zhèn)让嫱队胺e聚為直線，并反映傾角、的實(shí)形；水平投影和正面投影均不反映實(shí)形且變小。XZOYHYW37投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所垂直的投影面上的投影積聚為一條斜線，該斜線與投影軸的夾角反映該平面與相應(yīng)投影面的夾角；（2）平面在另外兩個(gè)投影面上的投影不反映實(shí)形，且