自動控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析

1、 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由其閉環(huán)極點唯一確定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由其閉環(huán)極點唯一確定 ，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的基本特性與系統(tǒng)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的基本特性與系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點在平面上分布的位置有關(guān)。的閉環(huán)零、極點在平面上分布的位置有關(guān)。因此因此,在分析系統(tǒng)性能時在分析系統(tǒng)性能時,需要定量研究系統(tǒng)的需要定量研究系統(tǒng)的一個或者多個參量在一定范圍內(nèi)變化時一個或者多個參量在一定范圍內(nèi)變化時,系統(tǒng)系統(tǒng)閉環(huán)極點的位置變化以及對系統(tǒng)性能的影響。閉環(huán)極點的位置變化以及對系統(tǒng)性能的影響。 第四章第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡分析線性系統(tǒng)的根軌跡分析1948年年,伊萬斯（伊萬斯（W.R.Evans）根據(jù)反饋系統(tǒng)開、閉）根

2、據(jù)反饋系統(tǒng)開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系環(huán)傳遞函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,提出了直接由開環(huán)傳遞提出了直接由開環(huán)傳遞函數(shù)尋求閉環(huán)特征根（即閉環(huán)極點）移動軌跡的方法函數(shù)尋求閉環(huán)特征根（即閉環(huán)極點）移動軌跡的方法,建立了一套繪制根軌跡的規(guī)則建立了一套繪制根軌跡的規(guī)則,這就是被廣泛應(yīng)用的這就是被廣泛應(yīng)用的根軌跡法。該方法可以簡便、直觀地分析系統(tǒng)特征根根軌跡法。該方法可以簡便、直觀地分析系統(tǒng)特征根與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。適用于單閉環(huán)系統(tǒng)與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。適用于單閉環(huán)系統(tǒng),也可用也可用于多閉環(huán)系統(tǒng)。于多閉環(huán)系統(tǒng)。根軌跡法作為經(jīng)典控制理論的基本方法根軌跡法作為經(jīng)典控制理論的基本方法,與頻率特性法與頻率特性法互為補

3、充互為補充,是分析和研究自動控制系統(tǒng)的有效工具。是分析和研究自動控制系統(tǒng)的有效工具。實際上，我們可以利用實際上，我們可以利用matlab方便地繪制系統(tǒng)的根軌方便地繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。跡圖。第一節(jié)第一節(jié) 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念第二節(jié)第二節(jié) 繪制根軌跡的方法繪制根軌跡的方法第三節(jié)第三節(jié) 參量根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡參量根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡第四節(jié)第四節(jié) 正反饋系統(tǒng)和零度根軌跡正反饋系統(tǒng)和零度根軌跡第五節(jié)第五節(jié) 利用根軌跡分析系統(tǒng)的暫態(tài)性能利用根軌跡分析系統(tǒng)的暫態(tài)性能第六節(jié)第六節(jié) 延遲系統(tǒng)的根軌跡延遲系統(tǒng)的根軌跡本章小結(jié)、重點和習(xí)題本章小結(jié)、重點和習(xí)題本章內(nèi)容例如圖所示的閉環(huán)傳函為：例如

4、圖所示的閉環(huán)傳函為：特征方程特征方程 的根為的根為KSSKSRSC2)()(02KSSKS4121211KS4121212圖圖4-1 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)第一節(jié)第一節(jié) 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念如果系統(tǒng)的開環(huán)增益如果系統(tǒng)的開環(huán)增益K（根軌跡（根軌跡增益增益K1）從）從0向向 變化時，系統(tǒng)閉環(huán)變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在復(fù)平面上的變化情況繪制為特征根在復(fù)平面上的變化情況繪制為曲線，如圖所示。曲線，如圖所示。 這樣獲得的曲線稱為這樣獲得的曲線稱為K1從從0向向 變變化時系統(tǒng)的根軌跡?；瘯r系統(tǒng)的根軌跡。K=0.25K=0.25K=0K=0K=0K=0K KK K-1-1jj 定義定義：當(dāng)系統(tǒng)中某一參數(shù)

5、當(dāng)系統(tǒng)中某一參數(shù)( (一般以增益為變化一般以增益為變化參數(shù)參數(shù)) )發(fā)生變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在發(fā)生變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在s平面上描平面上描繪的曲線稱系統(tǒng)的根軌跡。繪的曲線稱系統(tǒng)的根軌跡。 一般地，繪制系統(tǒng)根軌跡時選擇的可變一般地，繪制系統(tǒng)根軌跡時選擇的可變參量可以是系統(tǒng)的任意參量。以系統(tǒng)根軌跡參量可以是系統(tǒng)的任意參量。以系統(tǒng)根軌跡增益增益K1為可變參量繪制的根軌跡稱為為可變參量繪制的根軌跡稱為常規(guī)根常規(guī)根軌跡軌跡。以其它參數(shù)為變量繪制的根軌跡稱為。以其它參數(shù)為變量繪制的根軌跡稱為參量根軌跡參量根軌跡。 暫態(tài)性能暫態(tài)性能 （）當(dāng)（）當(dāng) .25時，閉環(huán)特征根為實時，閉環(huán)特征根為實根，系統(tǒng)是過阻

6、尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為非周期過程。根，系統(tǒng)是過阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為非周期過程。 （）當(dāng)（）當(dāng).25時，兩特征根會重合，均時，兩特征根會重合，均為為0.5，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。 （）當(dāng)（）當(dāng).25時，兩特征根變?yōu)楣曹棌?fù)時，兩特征根變?yōu)楣曹棌?fù)根，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為衰減震蕩過根，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為衰減震蕩過程。程。 K=0.25K=0K=0KK-1j從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息: . .穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：因為根軌跡全部位于左半因為根軌跡全部位于左半平面，故閉環(huán)系平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對所有的值都是穩(wěn)定的。統(tǒng)對所有的值都是穩(wěn)

7、定的。圖圖4-2 二階系統(tǒng)的根軌跡二階系統(tǒng)的根軌跡 . .穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)態(tài)性能：因為開環(huán)傳函有一個位于坐標(biāo)原點的極點，因為開環(huán)傳函有一個位于坐標(biāo)原點的極點，所以為所以為I I型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。由以上分析得知：由以上分析得知： 根軌跡表明了系統(tǒng)參數(shù)對閉環(huán)極點分布的影響，通過它可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)性能與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。 利用根軌跡，可對系統(tǒng)動態(tài)特性進行下述分析：利用根軌跡，可對系統(tǒng)動態(tài)特性進行下述分析：（1 1）判斷該系統(tǒng)在）判斷該系統(tǒng)在K1從從0到到 變化時變化時的穩(wěn)定性；的穩(wěn)定性；（2 2）判斷系統(tǒng)在）判斷系統(tǒng)在K1從從0到到 變化時

8、變化時根軌跡的條數(shù)；根軌跡的條數(shù)；（3 3）判斷該系統(tǒng)）判斷該系統(tǒng)K1取值在取值在何范圍時處于過阻尼、何范圍時處于過阻尼、 臨界阻尼和臨界阻尼和欠阻尼狀態(tài)；欠阻尼狀態(tài)； （4 4）判斷系統(tǒng)的）判斷系統(tǒng)的“型型”，從而計算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性；，從而計算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性； （5 5）當(dāng)）當(dāng)K1值確定后，在根軌跡上找到閉環(huán)極點，從而計算系值確定后，在根軌跡上找到閉環(huán)極點，從而計算系統(tǒng)閉環(huán)性能指標(biāo)；或反之；統(tǒng)閉環(huán)性能指標(biāo)；或反之；一、繪制根軌跡的基本條件一、繪制根軌跡的基本條件 討論圖討論圖4-34-3所示系統(tǒng)所示系統(tǒng) ，特征方程為特征方程為 1G(s)H(s)=0 或或 G(s)H(s)=-1 根據(jù)復(fù)數(shù)等式兩

9、邊的幅值和相角根據(jù)復(fù)數(shù)等式兩邊的幅值和相角 應(yīng)分別相等的原則，可得繪制系統(tǒng)應(yīng)分別相等的原則，可得繪制系統(tǒng) 根軌跡的基本條件根軌跡的基本條件，即即：幅值條件和相角條件幅值條件和相角條件： 以上條件是判斷復(fù)平面上某點是否在系統(tǒng)根以上條件是判斷復(fù)平面上某點是否在系統(tǒng)根軌跡上的充要條件。軌跡上的充要條件。 圖圖4-3 系統(tǒng)方框圖系統(tǒng)方框圖第二節(jié)第二節(jié) 繪制根軌跡的基本方法繪制根軌跡的基本方法， 210q),12(180)()(qSHSG1)()(SHSG 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)通?？梢詫懗蓛煞N因子形式，即系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)通常可以寫成兩種因子形式，即時間常數(shù)表達式時間常數(shù)表達式和和零極點表達式。零極點表達式。

10、（1）時間常數(shù)表達式：）時間常數(shù)表達式：（2）零極點表達式：）零極點表達式：此時幅值條件和相角條件分別為：此時幅值條件和相角條件分別為：1111niimjjpszsK180) 12()()(11mjniijqpszs,2, 1 ,0q（）（）一、繪制一、繪制根軌跡的根軌跡的條件條件njjmiissTKsHsG11) 1() 1()()(njjmiipszsKsHsG111)()()()(miinjjzspsK111 在實際繪制根軌跡時，只要依據(jù)相角條件就可以繪制根在實際繪制根軌跡時，只要依據(jù)相角條件就可以繪制根軌跡，而幅值條件主要用于確定根軌跡上各點對應(yīng)的根軌跡軌跡，而幅值條件主要用于確定根軌

11、跡上各點對應(yīng)的根軌跡增益增益K K1 1值。值?！纠?- -1】單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán) 傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為: : 試檢驗試檢驗S1 1=-1.5+j2.5=-1.5+j2.5是否為該系統(tǒng)根軌跡上的點；如果是否為該系統(tǒng)根軌跡上的點；如果是，則確定與它相對應(yīng)的是，則確定與它相對應(yīng)的K1 1值是多少。值是多少。滿足相角條件滿足相角條件, ,s1 1=-1.5+j2.5=-1.5+j2.5是該系統(tǒng)根軌跡上的點。是該系統(tǒng)根軌跡上的點。) 6 . 6)(2() 4()(1ssssKsG解解: :（1 1）確定開環(huán)零、極點）確定開環(huán)零、極點, ,并標(biāo)注到復(fù)平面上并標(biāo)注到復(fù)平面上p1 1=0

12、,=0,p2 2=-2, =-2, p3 3=-6.6, =-6.6, z1 1=-4=-4，76.18011.2669.7896.12045)5 . 21 . 5()5 . 25 . 0()5 . 25 . 1()5 . 25 . 2()6 . 6()2()4(1111jjjjssss （2 2）將）將s1 1坐標(biāo)帶入相角條件坐標(biāo)帶入相角條件：根據(jù)相角條件確定根軌跡上的點根據(jù)相角條件確定根軌跡上的點S1 1 ：以以S1 1到各零極點連直線到各零極點連直線； 用量角器量用量角器量 s1p1,等各個角將量好的值代入等各個角將量好的值代入相角條件相角條件，若等式成立，則，若等式成立，則s1 1就是

13、根軌跡上的點就是根軌跡上的點本例說明的是一種試探法繪制系統(tǒng)根軌跡的例子本例說明的是一種試探法繪制系統(tǒng)根軌跡的例子, ,十分煩瑣。十分煩瑣。圖4-4 例4-1圖（3 3）利用幅值條件求得與）利用幅值條件求得與s1 1相對應(yīng)的相對應(yīng)的K1 1值。值。11111(2) (6.6)(4)sssKs1.52.5 0.52.5 5.12.52.52.5jjjj11.94 在繪制根軌跡時，在感興趣的區(qū)段，要比較細致在繪制根軌跡時，在感興趣的區(qū)段，要比較細致地繪制，可用試探法，根據(jù)相角條件確定幾個根軌跡地繪制，可用試探法，根據(jù)相角條件確定幾個根軌跡上的點。允許有一定的誤差，比如上的點。允許有一定的誤差，比如。

14、而其它區(qū)。而其它區(qū)段的根軌跡則可根據(jù)一些規(guī)則迅速的勾畫出來。段的根軌跡則可根據(jù)一些規(guī)則迅速的勾畫出來。 繪制根軌跡圖時，繪制根軌跡圖時，平面虛軸和實軸的坐標(biāo)比平面虛軸和實軸的坐標(biāo)比例應(yīng)取得一致。例應(yīng)取得一致。 繪制根軌跡的基本規(guī)則實際上是系統(tǒng)根軌跡的一些基本繪制根軌跡的基本規(guī)則實際上是系統(tǒng)根軌跡的一些基本性質(zhì)，掌握了這些基本規(guī)則，將能幫助我們更準(zhǔn)確、更迅速性質(zhì)，掌握了這些基本規(guī)則，將能幫助我們更準(zhǔn)確、更迅速的繪制根軌跡。的繪制根軌跡。二、繪制根軌跡的基本規(guī)則二、繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則規(guī)則2 2：根軌跡的起點與終點。根軌跡的起點與終點。 起始點起始點： K1=0時的閉環(huán)極點，即系統(tǒng)的開環(huán)極時的

15、閉環(huán)極點，即系統(tǒng)的開環(huán)極點。起始點與終止點個數(shù)相等，均為點。起始點與終止點個數(shù)相等，均為n； 終止點終止點：（：（1 1）有限值終止點：當(dāng)）有限值終止點：當(dāng)K1時，有時，有m條分支趨向開環(huán)零點；（條分支趨向開環(huán)零點；（2 2）無限遠終止點：）無限遠終止點：n-m條條分支趨向無窮遠處分支趨向無窮遠處, ,需要確定其方位和走向。需要確定其方位和走向。 規(guī)則規(guī)則1 1：根軌跡的分支數(shù)和對稱性。根軌跡的分支數(shù)和對稱性。 根軌跡的分支數(shù)等于特征方程的階數(shù)根軌跡的分支數(shù)等于特征方程的階數(shù)n；根軌；根軌跡對稱于實軸。跡對稱于實軸。 1111)()(Kpszsniimjj幅值條件改寫幅值條件改寫當(dāng)，必有，即起

16、點是開環(huán)極點。當(dāng)，必有，即起點是開環(huán)極點。當(dāng)，必有，即終點是開環(huán)零點。當(dāng)，必有，即終點是開環(huán)零點。01K1Kipjz但在控制系統(tǒng)中，總有但在控制系統(tǒng)中，總有nm，所以根軌跡從，所以根軌跡從n個開環(huán)極點處個開環(huán)極點處起始，到起始，到m個開環(huán)零點處終止，剩下的個開環(huán)零點處終止，剩下的nm條根軌跡將趨條根軌跡將趨于無窮遠處。于無窮遠處。舉例如題，起點：，無零點，舉例如題，起點：，無零點，n=，m=0，nm=2，有兩條根軌跡，有兩條根軌跡) 1()(SSKSGK=0.25K=0.25K=0K=0K=0K=0K KK K-1-1jj 規(guī)則規(guī)則3 3: 實軸上的根軌跡。實軸上的根軌跡。 實軸上某線段右邊的

17、實零點和實極點總數(shù)為奇數(shù)時，實軸上某線段右邊的實零點和實極點總數(shù)為奇數(shù)時，這些線段就是根軌跡的一部分。如圖這些線段就是根軌跡的一部分。如圖4-54-5所示。所示。 圖4-5 實軸上的根軌跡證明證明：s1左邊每個開環(huán)極點或零點左邊每個開環(huán)極點或零點提供的相角為提供的相角為0， s1右邊每個開環(huán)極右邊每個開環(huán)極點或零點提供的相角為點或零點提供的相角為180， 每對共軛極點和零點提供的相每對共軛極點和零點提供的相角之和為角之和為0或或360，互相抵消。因此，互相抵消。因此開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點、零點對實軸上開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點、零點對實軸上根軌跡的位置沒有影響，僅取決于根軌跡的位置沒有影響，僅取決于實軸上的開

18、環(huán)零、極點。實軸上的開環(huán)零、極點。 故，只有其右邊開環(huán)零點、極故，只有其右邊開環(huán)零點、極點的總數(shù)為奇數(shù)的實軸線段才滿足點的總數(shù)為奇數(shù)的實軸線段才滿足相角條件。相角條件。-2-4joo-3-1例例2：（單位反饋）（單位反饋）有三個極點，根軌跡有三個極點，根軌跡有三條分支有三條分支n=3,m=2有條根有條根軌跡軌跡，條終止于開，條終止于開環(huán)零點。環(huán)零點。在實軸上的根軌跡如圖在實軸上的根軌跡如圖 規(guī)則規(guī)則4 4:根軌跡的漸近線。根軌跡的漸近線。 當(dāng)系統(tǒng)的根軌跡增益當(dāng)系統(tǒng)的根軌跡增益K1 1時，趨向無窮遠處的時，趨向無窮遠處的根軌跡共有根軌跡共有n- -m條，它們趨向無窮遠處的方位可由條，它們趨向無窮

19、遠處的方位可由漸近線決定。漸近線決定。（1 1）漸近線與實軸的傾角為：）漸近線與實軸的傾角為：（2 2）漸近線與實軸的交點坐標(biāo)為：）漸近線與實軸的交點坐標(biāo)為： 當(dāng)當(dāng)q=0時，求得的漸進線傾角最小，時，求得的漸進線傾角最小，q增大，傾角值將重增大，傾角值將重復(fù)出現(xiàn)，而獨立的漸進線只有（復(fù)出現(xiàn)，而獨立的漸進線只有（nm）條）條mnqa180) 12(mnzpnimjjia11 在計算時，考在計算時，考慮到共軛復(fù)數(shù)極點、慮到共軛復(fù)數(shù)極點、零點的虛部總是相零點的虛部總是相互抵消，只須把開互抵消，只須把開環(huán)零、極點的實部環(huán)零、極點的實部代入即可代入即可【例例4- -3】設(shè)系統(tǒng)的設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳

20、遞函數(shù)為為： 當(dāng)當(dāng)K K1 1由由0 0變化到變化到 時，試按一般步驟與規(guī)則繪制時，試按一般步驟與規(guī)則繪制其根軌跡圖。其根軌跡圖。 解解: （1 1）本系統(tǒng)為）本系統(tǒng)為3 3階系統(tǒng)，有階系統(tǒng)，有3 3條根軌跡；條根軌跡； （2 2）起始點：系統(tǒng)沒有開環(huán)零點，只有三個開環(huán)）起始點：系統(tǒng)沒有開環(huán)零點，只有三個開環(huán)極點，分別為極點，分別為p p1 1=0=0，p p2 2=-1=-1，p p3 3=-2=-2。 （3）漸近線：）漸近線：K1時，時， 有有3 3條根軌跡趨向無窮遠處，條根軌跡趨向無窮遠處，其漸近線與實軸的交點其漸近線與實軸的交點和和傾角傾角分別分別為為： ) 2)(1()()(1SSS

21、KSHSG180, 160, 03180) 12(180) 12(103210321aaaaqqqmnqmnppp（4）實軸上的根軌跡：）實軸上的根軌跡：在在S平面實軸上平面實軸上 0，-1和和 - ，-2線段上存在根軌跡線段上存在根軌跡。根軌跡草圖如圖根軌跡草圖如圖4-64-6所示所示 其中一條從其中一條從p3=-2出發(fā)出發(fā),隨著隨著K1的增加的增加,沿著負實軸趨向無窮遠處。沿著負實軸趨向無窮遠處。另兩條分支分別從另兩條分支分別從p1=0和和p2=-1出出發(fā)發(fā),沿著負實軸向沿著負實軸向a點移動。當(dāng)點移動。當(dāng)K1值達到某一數(shù)值時值達到某一數(shù)值時,這兩條分支相這兩條分支相交于實軸上的交于實軸上的

22、a點點,這時系統(tǒng)處于這時系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。當(dāng)臨界阻尼狀態(tài)。當(dāng)K1繼續(xù)增大時繼續(xù)增大時,這兩條分支離開負實軸分別趨近這兩條分支離開負實軸分別趨近60o和和-60o的漸近線的漸近線，向無窮遠處向無窮遠處延伸。在延伸。在KaK1Kc時時,系統(tǒng)處于系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài),出現(xiàn)衰減振蕩。而當(dāng)出現(xiàn)衰減振蕩。而當(dāng)K1Kc時時,，系統(tǒng)成為不穩(wěn)定狀態(tài)。，系統(tǒng)成為不穩(wěn)定狀態(tài)。 圖圖4-6 例例4-3的根軌跡圖的根軌跡圖Kc規(guī)則規(guī)則5 5：根軌跡的分離點、會合點和分離角。根軌跡的分離點、會合點和分離角。 幾條根軌跡在幾條根軌跡在s s平面上相遇后又分開的點稱為根軌跡的分平面上相遇后又分開的點稱為根軌跡的分

23、離點（或會合點）。離點（或會合點）。分離點在兩極點之間，會合點在兩零點之分離點在兩極點之間，會合點在兩零點之間。分離點間。分離點(會合點會合點)是閉環(huán)特征方程的重根點，在是閉環(huán)特征方程的重根點，在K1的變化過的變化過程中，分離點程中，分離點(會合點會合點)是是K1取得極大值或極小值的點，在特征取得極大值或極小值的點，在特征方程中，將方程中，將K1用用s及其各次冪的形式表達出來，再根據(jù)求極值及其各次冪的形式表達出來，再根據(jù)求極值的方法尋找分離點的方法尋找分離點(會合點會合點)處的處的s值，即值，即分離點與會合點必須滿分離點與會合點必須滿足方程足方程: : 上述方程是求取分離點或會合點的必要條件，

24、是否確實為上述方程是求取分離點或會合點的必要條件，是否確實為分離點或分離點或會會合點，需要用相角條件進行判斷。分離點或會合點合點，需要用相角條件進行判斷。分離點或會合點可能在可能在s s平面上任何一點平面上任何一點01dsdK繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制根軌跡的基本規(guī)則例例4，求分離點上的坐標(biāo)。，求分離點上的坐標(biāo)。系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為或或0) 2)(1(1)(11sssKsG)2)(1(1sssK0)263(21ssdsdK上式的根上式的根577. 1,423. 06243662, 1s因為分離點在至之間，故因為分離點在至之間，故為分離點的坐標(biāo)，而舍棄為分離點的坐標(biāo)，而舍棄423. 0

25、1s577. 12s用幅值條件確定分離點的增益：用幅值條件確定分離點的增益：385.0577.1577.0423.02101sssk分離角分離角：根軌跡離開重根點處的切線與實軸正方向的夾角被根軌跡離開重根點處的切線與實軸正方向的夾角被稱為分離角稱為分離角, ,其計算公式為：其計算公式為：r為分離點處根軌跡的分支數(shù)為分離點處根軌跡的分支數(shù)r180用Matlab繪制根軌跡： n=1; d=conv(1,1,1,2),0; rlocus(n,d)圖圖4-7 例例4-4的根軌圖的根軌圖Matlab繪制繪制規(guī)則規(guī)則6 6：根軌跡與虛軸的交點：根軌跡與虛軸的交點當(dāng)增加到一定數(shù)值時，根軌跡可能穿過虛軸，當(dāng)增

26、加到一定數(shù)值時，根軌跡可能穿過虛軸，進入右半平面，這表示將出現(xiàn)實部為正的特征根，進入右半平面，這表示將出現(xiàn)實部為正的特征根，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。必須確定根軌跡與虛軸的交點，并系統(tǒng)將不穩(wěn)定。必須確定根軌跡與虛軸的交點，并計算對應(yīng)的使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)的開環(huán)增益。計算對應(yīng)的使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)的開環(huán)增益。1K1K 在根軌跡與虛軸的交點處，在系統(tǒng)中出現(xiàn)虛根。在根軌跡與虛軸的交點處，在系統(tǒng)中出現(xiàn)虛根。因此可以根據(jù)這一特點確定根軌跡與虛軸的交點。因此可以根據(jù)這一特點確定根軌跡與虛軸的交點。通常用以下兩種根軌跡與虛軸交點。通常用以下兩種根軌跡與虛軸交點。（1）勞斯判據(jù)法勞斯判據(jù)法；（；（2）復(fù)數(shù)相等方法復(fù)數(shù)

27、相等方法 將將 代入特征方程。代入特征方程。js0230)23(0)2)(1(123121KjjKjjKjjj當(dāng)時，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛當(dāng)時，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛虛根，此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)虛根，此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。定狀態(tài)。2j61K實部實部虛部虛部63,2020321321KK續(xù)例續(xù)例3，用復(fù)數(shù)相等方法求：，用復(fù)數(shù)相等方法求：也可用也可用勞斯判據(jù)法勞斯判據(jù)法求系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點。求系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點。 若陣列中的若陣列中的S1 1行等于零，行等于零，則系統(tǒng)就處于穩(wěn)定邊界上，則系統(tǒng)就處于穩(wěn)定邊界上，特征方程具有純虛根，由此特征方程具有純虛根，由此可得：可得：K1 1=6=6時，時，s= = j1.4

28、14;j1.414;K1 1=0=0時，時，s=j0=j0。 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：求出系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為求出系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：列出勞斯表列出勞斯表： 在確定根軌跡與虛軸在確定根軌跡與虛軸的交點，求出分離點，并的交點，求出分離點，并做出漸近線以后，根軌跡做出漸近線以后，根軌跡的大概趨勢就知道了，為的大概趨勢就知道了，為了能較精確的畫出根軌跡，了能較精確的畫出根軌跡，需在分離點附近取幾個試需在分離點附近取幾個試驗點，使其滿足相角條件。驗點，使其滿足相角條件。然后連成光滑曲線，最后然后連成光滑曲線，最后逐漸靠近漸近線。逐漸靠近漸近線。規(guī)則規(guī)則7 7：根軌跡的出射角和入射

29、角。根軌跡的出射角和入射角。 當(dāng)系統(tǒng)存在共軛復(fù)數(shù)極點（或零點）時，為了準(zhǔn)當(dāng)系統(tǒng)存在共軛復(fù)數(shù)極點（或零點）時，為了準(zhǔn)確地做出根軌跡的起始段（或終止段），必須確定根確地做出根軌跡的起始段（或終止段），必須確定根軌跡的出射角（或入射角）軌跡的出射角（或入射角） 根軌跡從開環(huán)復(fù)數(shù)極點出發(fā)的角度根軌跡從開環(huán)復(fù)數(shù)極點出發(fā)的角度（出射點的切線出射點的切線與實軸正方向的夾角與實軸正方向的夾角）稱為出射角；進入開環(huán)復(fù)數(shù)零稱為出射角；進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點的角度點的角度（入射點的切線與實軸正方向的夾角入射點的切線與實軸正方向的夾角）稱為稱為入射角。入射角。 (出射角對復(fù)極點、入射角對復(fù)零點出射角對復(fù)極點、入射角對復(fù)零點

30、)。出射角：出射角： 入射角：入射角：其中：其中： 為其它開環(huán)零點、極點對出射點或入射點提供為其它開環(huán)零點、極點對出射點或入射點提供的相角，即：的相角，即：11()()mnzpkjkijii kpzpp 180p 180z求從出發(fā)根軌跡的出射角。求從出發(fā)根軌跡的出射角。5p35)904070130(105180)(18043215ppppzp用量角器量后，得，用量角器量后，得，在圖上標(biāo)出。在圖上標(biāo)出。的出射角和對稱。的出射角和對稱。5p5p4p5p規(guī)則規(guī)則8 8：閉環(huán)極點的和與積。閉環(huán)極點的和與積。 根據(jù)代數(shù)方程的根與系數(shù)關(guān)系根據(jù)代數(shù)方程的根與系數(shù)關(guān)系系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：閉環(huán)

31、極點之和：閉環(huán)極點之和：閉環(huán)極點之積：閉環(huán)極點之積：特別地特別地，當(dāng)當(dāng)n- -m 2 2時，有時，有: :即閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和。即閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和。 這這些些表明在開環(huán)極點確定的情況下，隨著表明在開環(huán)極點確定的情況下，隨著K K1 1的變化，的變化，若有一些閉環(huán)特征根增大，則另一些特征根必然減小。若有一些閉環(huán)特征根增大，則另一些特征根必然減小。即一些根軌跡右行時，另一些根軌跡必左行。即一些根軌跡右行時，另一些根軌跡必左行。niias11nniias )(1111apsniinii【例例4- -4】已知已知一一開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為 其根軌跡與虛軸的交點為其根軌跡與虛

32、軸的交點為s1,21,2= = j1.414,1.414,試求交點試求交點處的臨界處的臨界K1 1值及第三個特征根值及第三個特征根。解：系統(tǒng)的特征方程為：解：系統(tǒng)的特征方程為： 由閉環(huán)極點之和公式易得由閉環(huán)極點之和公式易得 s3 3=-3=-3 由閉環(huán)極點之積公式易得由閉環(huán)極點之積公式易得 K1 1=6=6【例例4- -5】已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試繪制試繪制K1 1變化時的根軌跡。變化時的根軌跡。解解：按以下步驟繪制系統(tǒng)的根軌跡：按以下步驟繪制系統(tǒng)的根軌跡：（1 1）開環(huán)極點為）開環(huán)極點為p1 1=0=0，p2 2=-3=-3， p3,43,4=-

33、1=-1 j, ,無開環(huán)零點；無開環(huán)零點；（2 2）根軌跡分支數(shù)）根軌跡分支數(shù)n=4=4條；條；（3 3）在實軸上）在實軸上-3-3，00之間為根軌跡段；之間為根軌跡段；（4 4）漸近線）漸近線, ,n- -m=4=4條：條：（5 5）由特征方程求分離點）由特征方程求分離點 k1 1=-s(s+3)(s2+2s+2)=-(s4+5s3+8s2+6s) dk1 1/ds=-4(s3+3.75s2+4s+1.5)=0解得解得s1 1=-2.3=-2.3，s2,32,3=0.725=0.725 j0.3650.365。s1 1為分離點。分離角為為分離點。分離角為 9090o o。 )22)(3()(

34、)(21SSSSKSHSG25. 14113315,225,135,454180) 12(aaq 利用根軌跡的幅值條件可求得對應(yīng)于分離點利用根軌跡的幅值條件可求得對應(yīng)于分離點s1 1=-2.3=-2.3的的K1 1值為值為4.334.33。（6）求出射角）求出射角根據(jù)對稱性可知：根據(jù)對稱性可知： p4 =71.6 （7）求根軌跡與虛軸的交點。）求根軌跡與虛軸的交點。 由特征方程由特征方程列出勞斯表：列出勞斯表：令令 得得K1=8.16。根據(jù)表中根據(jù)表中s2行的系數(shù)寫出輔助方程行的系數(shù)寫出輔助方程: 令令s=j ，K1=8.16代入上式，求得代入上式，求得 = 1.1。根軌跡的兩條分支與。根軌跡

35、的兩條分支與虛軸交于虛軸交于 = 1.1j處對應(yīng)的處對應(yīng)的K1=8.16。06851234Kssss0534552041K0)534(12 KS6 .71906 .26135180)()()(1804323133ppppppp圖圖4-8 4-8 例例4-54-5的根軌跡圖的根軌跡圖最后，得到系最后，得到系統(tǒng)的根軌跡如統(tǒng)的根軌跡如圖圖4-84-8所示所示p1 1=0=0，p2 2=-3=-3， p3,43,4=-1=-1 j p3 =-71.6 用Matlab繪制根軌跡： n=1; d=conv(1,3,1,2,2),0; g=tf(n,d); rlocus(g)圖圖4-9 4-9 例例4-54

36、-5的根軌跡圖的根軌跡圖MatlabMatlab繪制繪制 根據(jù)上述規(guī)則，可以簡便地繪制系統(tǒng)根軌跡的根據(jù)上述規(guī)則，可以簡便地繪制系統(tǒng)根軌跡的大致圖形。當(dāng)需要比較準(zhǔn)確地確定某些局部圖形時，大致圖形。當(dāng)需要比較準(zhǔn)確地確定某些局部圖形時，可用相角條件逐點繪出?？捎孟嘟菞l件逐點繪出。當(dāng)當(dāng)K1值滿足幅值條件時，值滿足幅值條件時，對應(yīng)的根軌跡上的點，就是閉環(huán)極點。有兩個方面對應(yīng)的根軌跡上的點，就是閉環(huán)極點。有兩個方面的工作要做：的工作要做：（1 1）利用幅值條件，可以確定根軌跡上任一點所對）利用幅值條件，可以確定根軌跡上任一點所對應(yīng)的應(yīng)的K1值，也可在根軌跡上標(biāo)出一些點的值，也可在根軌跡上標(biāo)出一些點的K1值

37、。值。（2 2）在在一一些情況下，給出一對主導(dǎo)共軛極點的阻尼些情況下，給出一對主導(dǎo)共軛極點的阻尼比，要求確定閉環(huán)極點及相應(yīng)的根軌跡增益。為此比，要求確定閉環(huán)極點及相應(yīng)的根軌跡增益。為此可先畫一條給定的可先畫一條給定的 線，根據(jù)它與復(fù)平面上根軌跡線，根據(jù)它與復(fù)平面上根軌跡的交點確定一對共軛閉環(huán)極點，然后再求相應(yīng)的根的交點確定一對共軛閉環(huán)極點，然后再求相應(yīng)的根軌跡增益和實數(shù)極點。軌跡增益和實數(shù)極點。 三、閉環(huán)極點的確定三、閉環(huán)極點的確定在例在例4-5中，若給定一對主導(dǎo)極點的阻尼比中，若給定一對主導(dǎo)極點的阻尼比 =0.5, ,確定閉環(huán)極點確定閉環(huán)極點。1.畫出畫出 線線2 2. .根據(jù)根據(jù) =0.5

38、線與根軌跡的交點，可以確定一對共軛極點為線與根軌跡的交點，可以確定一對共軛極點為 -0.4 j0.7。主導(dǎo)極點處對應(yīng)的主導(dǎo)極點處對應(yīng)的K1值用幅值條件求值用幅值條件求 K1 =0.841.86 2.74 0.68=2.91或或= =cos-1-1 用試探法可找到另兩個閉環(huán)極點用試探法可找到另兩個閉環(huán)極點S1 =-1.4和和 S2 =-2.85當(dāng)當(dāng)K1=2.91時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為【例【例4-6】已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制閉環(huán)】已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。系統(tǒng)的根軌跡。 解：從開環(huán)傳遞函數(shù)公式中求出開環(huán)極點：解：從開環(huán)傳遞函數(shù)公式中求出開環(huán)極點

39、： p1=0，p2=-4，p3,4=-2 j4 （1 1）根軌跡分支數(shù)）根軌跡分支數(shù)n=4=4條。條。（2 2）實軸上）實軸上-4-4，0 0區(qū)間為根軌跡段。區(qū)間為根軌跡段。（3）漸近線）漸近線 n-m=4條條：（4 4）出射角為）出射角為： 由對稱性知由對稱性知 p4p4=90=90o o。909064116180)()()(1804323133ppppppp242240225,45aa（5 5）求分離點。由特征方程）求分離點。由特征方程s4+8+8s3+36+36s2+80+80s+k+k1=0=0 令：令：d dk k1 /ds= -(4/ds= -(4s3+24+24s2+72+72s

40、+80)=0+80)=0 解得分離點為：解得分離點為： s1=-2,s2,3=-2 j2.449 因為因為s1=-2時，時，k k1 =640 s2,3=-2 j2.449時，時， k k1 =1000 所以，所以， s1 、 s2,3皆為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的分離點。皆為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的分離點。 （6）求根軌跡與虛軸的交點。）求根軌跡與虛軸的交點。由特征方程列出勞斯表并計算：由特征方程列出勞斯表并計算：令表中令表中S1行的首項為零，求得行的首項為零，求得K1=260，根據(jù)表中，根據(jù)表中S2行的系數(shù)行的系數(shù)得到輔助方程得到輔助方程 ： 2626s2 + k+ k1 = 26= 26s2 + 260

41、= 0+ 260 = 0 求解得到根軌跡與虛軸的交求解得到根軌跡與虛軸的交點：點： 10js 根據(jù)幅值根據(jù)幅值條件可得到根條件可得到根軌跡圖上的幾軌跡圖上的幾個特殊點對應(yīng)個特殊點對應(yīng)的的K1值值。系統(tǒng)。系統(tǒng)根軌跡如圖根軌跡如圖4-10所示所示:圖圖4-10 4-10 例例4-64-6的根軌跡圖的根軌跡圖p1=0， p2=-4，p3,4=-2 j4圖圖4-11 4-11 例例4-64-6的根軌跡圖的根軌跡圖MatlabMatlab繪制繪制用Matlab繪制根軌跡： d= conv(1,4,1,4,20),0; g=tf(1,d); rlocus(g)根軌跡法分析系統(tǒng)的一般步驟：繪制系統(tǒng)的根軌跡圖

42、繪制系統(tǒng)的根軌跡圖分析根軌跡圖，估計系統(tǒng)增益分析根軌跡圖，估計系統(tǒng)增益K1對閉環(huán)對閉環(huán) 零、極點分布的影響零、極點分布的影響根據(jù)閉環(huán)零、極點的分布估算系統(tǒng)暫態(tài)根據(jù)閉環(huán)零、極點的分布估算系統(tǒng)暫態(tài) 響應(yīng)指標(biāo)響應(yīng)指標(biāo)對高階系統(tǒng)要盡可能準(zhǔn)確地找出它的閉對高階系統(tǒng)要盡可能準(zhǔn)確地找出它的閉 環(huán)主導(dǎo)極點環(huán)主導(dǎo)極點表表4-1列出了繪制根軌跡的基本規(guī)則：列出了繪制根軌跡的基本規(guī)則：表表4-2中列出了一些系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布及其相應(yīng)中列出了一些系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布及其相應(yīng)的根的根軌跡圖軌跡圖表表4-2 4-2 一些系統(tǒng)的根軌跡一些系統(tǒng)的根軌跡一、參量根軌跡一、參量根軌跡 前述以根軌跡增益前述以根軌跡增益K K

43、1 1為可變參量的根軌跡稱為常規(guī)根軌為可變參量的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。實際上任何參數(shù)均可選擇為系統(tǒng)的可變參量，如開環(huán)零、跡。實際上任何參數(shù)均可選擇為系統(tǒng)的可變參量，如開環(huán)零、極點、時間常數(shù)和反饋系數(shù)等。這種以非極點、時間常數(shù)和反饋系數(shù)等。這種以非K K1 1為參變量的根軌為參變量的根軌跡稱為參量根軌跡，又稱廣義根軌跡。跡稱為參量根軌跡，又稱廣義根軌跡。 第二節(jié)所講根軌跡的繪制方法和規(guī)則依然適用于繪制參第二節(jié)所講根軌跡的繪制方法和規(guī)則依然適用于繪制參量根軌跡，但需要預(yù)先將可變參量演化到相當(dāng)于常規(guī)根軌跡量根軌跡，但需要預(yù)先將可變參量演化到相當(dāng)于常規(guī)根軌跡增益增益K K1 1的位置上。下面舉例說明參

44、數(shù)演化和參量根軌跡的繪的位置上。下面舉例說明參數(shù)演化和參量根軌跡的繪制方法。制方法。第三節(jié)第三節(jié) 參量根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡參量根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡【例【例4-74-7】設(shè)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為】設(shè)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)以試繪制系統(tǒng)以a為參變量的根軌跡。為參變量的根軌跡。 解：對給定系統(tǒng)特征方程進行以下變換：解：對給定系統(tǒng)特征方程進行以下變換：)(4)()(assSHSG 右式的特點：左邊寫成兩部分之和，參變量右式的特點：左邊寫成兩部分之和，參變量a只只包含在第二部分中，且是第二部分的一個單獨因子。包含在第二部分中，且是第二部分的一個單獨因子。現(xiàn)用第一部分除以方程兩邊，則得

45、現(xiàn)用第一部分除以方程兩邊，則得：0412sas 這是原系統(tǒng)特征方程的等效特征方程，由此可這是原系統(tǒng)特征方程的等效特征方程，由此可得到一個等效的開環(huán)傳遞函數(shù)，用得到一個等效的開環(huán)傳遞函數(shù)，用G*(s)H*(s)表示：表示：)2)(2(4)()(2jsjsassassHsG 根據(jù)前述根軌跡繪制規(guī)則，由上式的極點和根據(jù)前述根軌跡繪制規(guī)則，由上式的極點和零點分布情況繪制零點分布情況繪制a從零變化到無窮大時的根軌跡，從零變化到無窮大時的根軌跡，如圖如圖4-12所示。所示。 這種這種獲得等效特征方獲得等效特征方程程及及等效開環(huán)傳遞函數(shù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)G*(s)H*(s)的方法，稱為的方法，稱為黃金法則（黃

46、金法則（Golden Golden rulerule）。有時在同一個問）。有時在同一個問題中，這個法則可適用多題中，這個法則可適用多次。次。 對于具有兩個可變參對于具有兩個可變參數(shù)的情況，這一法則同樣數(shù)的情況，這一法則同樣適用，此時所得到的是適用，此時所得到的是根根軌跡族。軌跡族。 例例4-84-8說明了跟軌跡說明了跟軌跡族的繪制方法。族的繪制方法。圖圖4-12 4-12 例例4-74-7的參量根軌跡的參量根軌跡例例4-74-7用Matlab繪制根軌跡：g=tf(1,0,1,0,4) rlocus(g)圖圖4-13 4-13 例例4-74-7的參量根軌跡，的參量根軌跡，matlabmatlab

47、繪制繪制【例【例4-8】已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，要求以開環(huán)極點已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，要求以開環(huán)極點a為連為連續(xù)可變參數(shù)，以續(xù)可變參數(shù)，以K1為參變量繪制該系統(tǒng)的根軌跡族。為參變量繪制該系統(tǒng)的根軌跡族。解解：系統(tǒng)特征方程為：系統(tǒng)特征方程為： 或：或：應(yīng)用黃金法則，得應(yīng)用黃金法則，得：其等效開環(huán)傳遞函數(shù)為其等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：求出求出G*（s）H*（s）的極點，即方程的極點，即方程 的根，的根，例例4-8)(1()()(1asssKsHsG0)(1(11asssK0) 1() 1(12Ksasss0)1()1(112Ksssas12) 1() 1()()(KsssassHsG0) 1(12K

48、ss（確切地說是根軌跡，因為（確切地說是根軌跡，因為K1為變量）為變量）。為了作出為了作出 s s2 2(s+1)+k(s+1)+k1 1=0=0的根軌跡，再一次應(yīng)用黃金法則，的根軌跡，再一次應(yīng)用黃金法則， 即有即有：從而得到另一個等效開環(huán)傳遞函數(shù)從而得到另一個等效開環(huán)傳遞函數(shù)： 根據(jù)根據(jù)G1 1* *( (s) )H1 1* *( (s),),繪出不同繪出不同K K1 1值時的根軌跡，如圖值時的根軌跡，如圖4-144-14。在圖在圖4-154-15中用虛線表示這個根軌跡圖。注意，這些虛線上的中用虛線表示這個根軌跡圖。注意，這些虛線上的點就是點就是G* *( (s) )H* *( (s) )對

49、應(yīng)于不同對應(yīng)于不同K K1 1值的極點，也就是按值的極點，也就是按G* *( (s) ) H* *( (s) )作出的根軌跡（當(dāng)作出的根軌跡（當(dāng)a=0=0 ）的起點。）的起點。 這樣這樣，給定一個給定一個K K1 1值，即可按值，即可按G* *( (s) )H* *( (s) )描繪出描繪出a=0=0 時的一組根軌跡；給定另一個時的一組根軌跡；給定另一個K1 1值，就得到另一組這樣的根值，就得到另一組這樣的根軌跡軌跡，這就是要求繪制的根軌跡族，如圖，這就是要求繪制的根軌跡族，如圖4-154-15中實線所中實線所示。由圖可見，示。由圖可見，a=0=0時系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)時系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)a增大至一定數(shù)

50、值時，增大至一定數(shù)值時，系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定。系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定。) 1()()(2111ssKsHsG0) 1(121ssKa的臨界值可用勞斯判據(jù)確定。的臨界值可用勞斯判據(jù)確定。系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界條件為系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界條件為K1 1= =a( (a1)1)。 圖圖4-14 4-14 的根軌跡的根軌跡圖圖4-15 4-15 根軌跡族根軌跡族2110ssK2110s sK 根軌跡分析方法不僅適用于單回路系統(tǒng)，也適根軌跡分析方法不僅適用于單回路系統(tǒng)，也適用于多回路系統(tǒng)。用于多回路系統(tǒng)。 繪制多回路系統(tǒng)根軌跡的步驟：繪制多回路系統(tǒng)根軌跡的步驟：（1 1）首先根據(jù)內(nèi)反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制內(nèi)）首先根據(jù)內(nèi)反饋回路的開環(huán)

51、傳遞函數(shù)，繪制內(nèi)反饋回路的根軌跡，確定內(nèi)反饋回路的極點分布。反饋回路的根軌跡，確定內(nèi)反饋回路的極點分布。（2 2）由內(nèi)反饋回路的零、極點和內(nèi)回路外的零、極）由內(nèi)反饋回路的零、極點和內(nèi)回路外的零、極點構(gòu)成整個多回路系統(tǒng)的開環(huán)零、極點。再按照單點構(gòu)成整個多回路系統(tǒng)的開環(huán)零、極點。再按照單回路根軌跡的基本法則，繪制整個系統(tǒng)的根軌回路根軌跡的基本法則，繪制整個系統(tǒng)的根軌跡。跡。二、多回路系統(tǒng)的根軌跡二、多回路系統(tǒng)的根軌跡【例【例4-94-9】設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖】設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4-164-16所示，試繪所示，試繪制多回路系統(tǒng)的跟軌跡。制多回路系統(tǒng)的跟軌跡。 解：解：（1 1）首先確定內(nèi)回路的根軌

52、跡）首先確定內(nèi)回路的根軌跡內(nèi)回路閉環(huán)傳遞函數(shù)為內(nèi)回路閉環(huán)傳遞函數(shù)為：內(nèi)回路特征方程為內(nèi)回路特征方程為： D1 1(s)=s(s+1)(s+2)+2 a s=0 繪制繪制a變化時內(nèi)環(huán)系統(tǒng)特變化時內(nèi)環(huán)系統(tǒng)特 征方程的根軌跡征方程的根軌跡, ,需要根據(jù)需要根據(jù)D1 1( (s) )構(gòu)造一個等效系統(tǒng)構(gòu)造一個等效系統(tǒng), ,新系統(tǒng)新系統(tǒng)的特征方程與的特征方程與D1（s）一樣，而參數(shù)）一樣，而參數(shù)a相當(dāng)于開環(huán)增益，故等相當(dāng)于開環(huán)增益，故等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)為效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)為：注意：注意：在繪制根軌跡時，開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母中若有相同在繪制根軌跡時，開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母中若有相同因子時，不能相

53、消，相消后將會丟掉閉環(huán)極點。因子時，不能相消，相消后將會丟掉閉環(huán)極點。 圖圖4-16 4-16 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖例例4-9assSssRsC2)2)(1(2)()(1)2)(1()2)(1(2)()(111sSssasSsassHsG 當(dāng)當(dāng)a變化時內(nèi)回路的根軌跡如圖變化時內(nèi)回路的根軌跡如圖4-174-17所示。當(dāng)所示。當(dāng)a1 1=2.5=2.5，a1.25時，對應(yīng)的內(nèi)回路閉環(huán)極點分別為時，對應(yīng)的內(nèi)回路閉環(huán)極點分別為 p1 1=0=0； p2,32,3=-l.5=-l.5 j1.51.5，此時內(nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)，此時內(nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：為： （2 2）繪制）繪制K變化時的多回路系統(tǒng)根軌跡變化時

54、的多回路系統(tǒng)根軌跡多回路系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為多回路系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：按照前述繪制常規(guī)根軌跡按照前述繪制常規(guī)根軌跡的方法求出出射角、根軌的方法求出出射角、根軌跡與虛軸交點等，繪制根跡與虛軸交點等，繪制根軌跡如圖軌跡如圖4-184-18所示所示)5 . 15 . 1)(5 . 15 . 1(2)()(1jsjSssRsC) 5 . 15 . 1)(5 . 15 . 1() 5 . 15 . 1)(5 . 15 . 1(2)()(122jsjSsKjsjSsKsHsG圖圖4-17 4-17 內(nèi)環(huán)根軌跡圖內(nèi)環(huán)根軌跡圖當(dāng)當(dāng)a1 1為約為約2.52.5時，時，內(nèi)環(huán)閉環(huán)極點為內(nèi)環(huán)閉環(huán)極點為p1 1=0=

55、0； p2,32,3=-l.5=-l.5 j1.51.5 當(dāng)當(dāng)a取取l.25l.25，K6.256.25時，此多回路系統(tǒng)將有兩時，此多回路系統(tǒng)將有兩個閉環(huán)極點分布在右半個閉環(huán)極點分布在右半S平面，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。平面，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。 繪制多回路反饋控制繪制多回路反饋控制系統(tǒng)根軌跡的方法：從內(nèi)系統(tǒng)根軌跡的方法：從內(nèi)環(huán)開始，分層繪制，逐步環(huán)開始，分層繪制，逐步擴展到整個系統(tǒng)。擴展到整個系統(tǒng)。圖圖4-184-18多回路系統(tǒng)根軌跡多回路系統(tǒng)根軌跡 復(fù)雜的控制系統(tǒng)中可能出現(xiàn)局部正反饋的結(jié)構(gòu)，如圖復(fù)雜的控制系統(tǒng)中可能出現(xiàn)局部正反饋的結(jié)構(gòu)，如圖4-19所所示。這種局部正反饋的結(jié)構(gòu)可能是控制對象本身的特性，

56、也示。這種局部正反饋的結(jié)構(gòu)可能是控制對象本身的特性，也可能是為滿足系統(tǒng)的某種性能要求在設(shè)計系統(tǒng)時加進的。可能是為滿足系統(tǒng)的某種性能要求在設(shè)計系統(tǒng)時加進的。 具有局部正反饋的系統(tǒng)可以由主回路的負反饋使之穩(wěn)定，但具有局部正反饋的系統(tǒng)可以由主回路的負反饋使之穩(wěn)定，但在利用根軌跡法對系統(tǒng)進行分析時必須求出正反饋回路的零、在利用根軌跡法對系統(tǒng)進行分析時必須求出正反饋回路的零、極點。下面討論正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制方法。極點。下面討論正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制方法。 圖圖4-29所示的局部正反饋回所示的局部正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)，即路的閉環(huán)傳遞函數(shù)，即：相應(yīng)的特征方程為相應(yīng)的特征方程為： 1-G(s)H(s)

57、1-G(s)H(s)=0=0圖圖4-19 4-19 具有局部正反饋的系統(tǒng)具有局部正反饋的系統(tǒng)第四節(jié)第四節(jié) 正反饋系統(tǒng)和零度根軌跡正反饋系統(tǒng)和零度根軌跡)()(1)()()(1sHsGsGsRSC其幅值條件和相角條件分別為其幅值條件和相角條件分別為： 與負反饋系統(tǒng)的幅值條件和相角條件相比與負反饋系統(tǒng)的幅值條件和相角條件相比, ,可見可見繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件沒有變，相角條繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件沒有變，相角條件發(fā)生了改變。件發(fā)生了改變。 負反饋系統(tǒng)的相角條件是負反饋系統(tǒng)的相角條件是180o等相角條件，正等相角條件，正反饋系統(tǒng)則是反饋系統(tǒng)則是0o等相角條件。等相角條件。 所以通常稱負

58、反饋系統(tǒng)的根軌跡為所以通常稱負反饋系統(tǒng)的根軌跡為180o根軌跡根軌跡，稱正反饋系統(tǒng)的根軌跡為稱正反饋系統(tǒng)的根軌跡為零度根軌跡零度根軌跡。 niimjjniimjjqqpszssHsGpszsKsHsG111112 , 1 , 0)2()()()()(1)()( 根據(jù)根據(jù)正反饋的正反饋的相角條件，在繪制正反饋回路的相角條件，在繪制正反饋回路的根軌跡時需對表根軌跡時需對表4-14-1中的與相角條件有關(guān)的規(guī)則作中的與相角條件有關(guān)的規(guī)則作如下修改，其余規(guī)則不變。如下修改，其余規(guī)則不變。 規(guī)則規(guī)則3 3：實軸上的線段存在根軌跡的條件是其右邊：實軸上的線段存在根軌跡的條件是其右邊的開環(huán)零、極點數(shù)目之和為偶

59、數(shù)。的開環(huán)零、極點數(shù)目之和為偶數(shù)。 規(guī)則規(guī)則4 4：（：（n- -m）條漸近線的傾角為）條漸近線的傾角為： 規(guī)則規(guī)則6：根軌跡的出射角和入射角為：根軌跡的出射角和入射角為：【例【例4-10】圖圖 4-24所示正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為所示正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試繪制其零度根軌跡。試繪制其零度根軌跡。 例例4-10)2)(1()()(1sSsKsHsG2 , 1 , 02qmnqa解解：（1 1）開環(huán)極點）開環(huán)極點p1 1=0=0，p2 2=-1=-1，p3 3=-2=-2，有三條根軌，有三條根軌跡起于開環(huán)極點，終點均在無窮遠處。跡起于開環(huán)極點，終點均在無窮遠處。 （2 2）實軸上區(qū)間）

60、實軸上區(qū)間-2-2，-1-1和和0 0， 為根軌跡段。為根軌跡段。 （3 3）漸近線與實軸相交于）漸近線與實軸相交于-1-1點，點，傾斜角由傾斜角由傾角公式傾角公式計算計算, ,取取q=0=0、1 1、2 2，得，得 a=0=0o o、120 120 o o、240 240 o o。 （4 4）分離點的求法與負反饋情況完全一樣。在例）分離點的求法與負反饋情況完全一樣。在例4-4-4 4中已解出兩個分離點：中已解出兩個分離點：s1 1=0.423=0.423，s2 2=-1.577=-1.577，并，并且已確定且已確定-0.423-0.423是負反饋情況下的分離點，這里可是負反饋情況下的分離點，