基于MATLAB的諧波分析FFT教材

1、目錄 錯誤！未定義書簽。 1) Matlab6.5 以上版本軟件； 緒論 1 1 公式分析及計算 2 1.1 傅里葉變換的原理 2 1.2 傅里葉變換的證明 3 1.3 周期信號的分解 .3 1.4 方波的分解 .5 2 建模與仿真 7 2.1 建模 7 2.2 仿真 8 3 仿真結(jié)果分析 10 4 小結(jié) 11 參考文獻 13 武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強化訓(xùn)練課程設(shè)計說明書 緒論 方波是一種非正弦曲線的波形，通常會于電子和訊號處理時出現(xiàn)。由于一般電 子零件只有 “高 (1) ”和“低 (0) ”兩個值， 方波就自然產(chǎn)生， 所以理想方波只有“高” 和“低”這兩個值。電流的波形為矩形的電流即為方波電流

2、。不論時間軸上下是不 是對稱的，只要是矩形就可叫方波，必要時，可加“對稱”，“不對稱”加以說明。 而在現(xiàn)實世界，方波只有有限的帶寬。因為方波可以快速從一個值轉(zhuǎn)至另一個(即 0 1或 10) ，所以方波就用作時鐘訊號來準(zhǔn)確地觸發(fā)同步電路。但是如果用頻率定 義域來表示方波，就會出然一連串的諧波。所以方波可用相應(yīng)頻率的基波及其奇次 諧波合成。 在電路信號系統(tǒng)的分析中，隨著電路規(guī)模的加大，微分方程的階數(shù)以及聯(lián)立后 所得的方程的個數(shù)也隨之加大，加上電器元件的多樣化，這些都給解題運算分析電 路系統(tǒng)帶來了一定的困難。傳統(tǒng)的計算機編程語言，如FORTRAN 、 C語言等，雖然 都可以幫助計算，但在處理高階微分

3、方程和大規(guī)模的聯(lián)立方程組的問題時大量的時 間和精力都花在矩陣處理和圖形的生成分析等繁瑣易錯的細節(jié)上。而MATLAB憑借其 強大的矩陣運算能力、簡便的繪圖功能、可視化的仿真環(huán)境以及豐富的算法工具箱， 已成為科研和工程技術(shù)人員的有力開發(fā)工具。利用 MATLAB 不僅可以簡單快速的求 解電路方程，同時， MAYLAB 提供的 Simulink 工具還可以直接建立電路模型，隨意改 變模型的參數(shù)，并且還可以快速得到仿真擬結(jié)果，進一步省去了編程的步驟。 MATLAB 具有數(shù)值計算功能；圖形處理及可視化功能；可視化建模及動態(tài)仿真功能 等等。它給用戶帶來的是最直觀，最簡潔的程序開發(fā)環(huán)境。它的語言簡潔緊湊，使

4、用方便靈活，程序書寫形式自由，利用起豐富的庫函數(shù)避開繁雜的子程序編程任務(wù)， 壓縮了一切不必要的編程工作。同時，它的運算符也很豐富。由于 MATLAB 是用 C 語言編寫的， MATLAB 提供了和 C語言幾乎一樣多的運算符，靈活使用MATLAB 的 運算符將使程序變得極為簡短。它的程序的可移植性，基本上不做修改就可以在各 種型號的計算機和操作系統(tǒng)上運行。 本文應(yīng)用 MATLAB 來驗證定理：方波可用相應(yīng)頻率的基波及其奇次諧波合成。 武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強化訓(xùn)練課程設(shè)計說明書 1 公式分析及計算 1.1 傅里葉變換的原理 任何具有性質(zhì)周期為 T的波函數(shù) f (t)都可以表示為三角函數(shù)所構(gòu)成的級數(shù)

5、之和， 即： 1) 1 f (t)a0(anc ons t bnsi n t) 其中： t 為時間， 為角頻率 2 n 1 =2 (T 為周期)，第一項 1a0為直流分量 T2 圖 1 方波 所謂周期性函數(shù)的傅里葉變換( Fourier transform )就是將周期性函數(shù)張凱成直 流分量，基波和所有 n 次諧波的疊加。 圖 1 所示的方波可以寫成函數(shù)形式： h (0 t T ) 2 f (t) -h (-T t 0) 2 在這里， h 為常數(shù) 2。很明顯，此方波為奇函數(shù)，并且它沒有常數(shù)項，同時，它 是一個周期為 T 的函數(shù)，所以我們可以用傅里葉級數(shù)來表示這個函數(shù)。 武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強化

6、訓(xùn)練課程設(shè)計說明書 4h 1 2) f(t) 4h n 1 ( 2n1 1)sin(2n 1) t 我們把它展開，可以得到： 3) 4h 1 1 1 (sin t sin3 t sin5 t sin7 t 357 1.2 傅里葉變換的證明 面，我們要從數(shù)學(xué)角度來證明為什么公式(3)能成立。由于這是一個奇函數(shù) 常數(shù)項 a0 可以用積分函數(shù)計算出來： a0=T2 T2 f (x)dt 0 TT 所以其常數(shù)項不存在，即 a0 =0，下面開始計算 an與bn : 2 T2 an=2T f ( x)cos( n t)dt T2 0T ( h)cos(n t)dt 2 T2T T 2 hcos(n t)d

7、t 2 h sin(n t) T 2 h sin(n t) 02 T n 2 Tn 0 0 2T bn= 2T f (x)sin( n t)dt T2 2 h 0 2 h cos(n t) T Tn 2 hT 2 h cos(n t) 02 T n0 2nh1 ( 1)n 由上式可知，當(dāng) n=2， 4， 6， 時， bn 0 ； 當(dāng) n=1，3，5， 時， bn n4h 。然 后我們將 an與bn 都帶入公式( 1)，就可以得到公式( 3)： f(t) 4h (sin t 1sin3 t 1sin5 t 1sin7 t ) 3 5 7 如果我們?nèi)〉捻椩蕉?，就會越逼近原本的方波函?shù)。 1.3 周

8、期信號的分解 武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強化訓(xùn)練課程設(shè)計說明書 周期信號是定義在( - ， )區(qū)間，每隔一定的時間 T，按相同規(guī)律重復(fù)變化 的信號，它可表示為 f(t)=f(t+mT) 式中 m為任意整數(shù)。時間 T 稱為該信號的重復(fù)周期，簡稱為周期。 需要指出的是，只有當(dāng)周期信號滿足狄里赫利條件時，才能展開為傅里葉級數(shù)。 狄里赫利條件是： 1)函數(shù)在任意有限區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或只有有限個第一類間斷點(當(dāng)t 從左或右趨于這 個間斷點時，函數(shù)有有限的左極限和右極限) 2)在一周期內(nèi)，函數(shù)有有限個極大值或極小值。 設(shè)有周期信號 f(t), 它的周期是 T，角頻率 =2 F=2 ，它可分解為 a0 T f (t)

9、 0 a1 cos t a2 cos 2 t a n cos n t b1 sin t b2 sin 2 tbn sin n t (2-1) 上式中系數(shù) an ,b n 稱為傅里葉系數(shù)。為簡便， 式 積分區(qū)間( t 0, t 0 +T)取為( - T，T )或( 0，T)?？紤]到正、余弦函數(shù)的正交條 22 件， 可得傅里葉系數(shù) a n = T 2 2 2T f (t)cos(n T T2 t)dt, n=0,1,2, (2-2) bn= 2 T2 2T f (t)sin(n T2 t)dt, n=0,1,2, (2-3) 式中 T 為函數(shù) f(t) 的周期， =2 為角頻率， T 由上述兩式，

10、傅里葉系數(shù) a n和 b n都 4 武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強化訓(xùn)練課程設(shè)計說明書 是 n 的函數(shù)，其中 an是 n的偶函數(shù)，即 a n= a n；而 bn是 n的奇函數(shù)，既有 將式（ 2-1 ）中同頻率項合并，可寫成如下形式 f(t)= A0 A1 cos( t 1) A2 cos(2 t 2) (2-4) = 0An cos(n t n ) 2 n 1 式中A0 a0 An = a2 b2 ， n=1,2, n =-arctan( bn ) an 如將式（ 2-4 ）的形式化為（ 2-1 ）的形式，他們系數(shù)之間的關(guān)系為 a 0 A0 a n An cos n ,n=1,2, bn An sin

11、 n , 式（2-4 ）表明，任何滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)可分解為直流和許多余弦（或正 弦）分量。其中第一項 A20 是常數(shù)項，它是周期信號中所包涵的直流分量；式中第 項 A1cos（ t 1） 稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同，A1是基波振 幅， 1是基波初相角；式中第三項A 2 cos（2 t 2） 稱為二次諧波，它的頻率是基波 頻率的兩倍， A2 是二次諧波振幅， 2 是其初相角。 以此類推， 還有三次、四次、 諧波。一般而言， An cos（n t n）稱為 n 次諧波， An是 n 次諧波的振幅， n是其初 相角。式（ 2-4 ）表明，周期函數(shù)可以分解為各諧波分量。

12、1.4 方波的分解 T 設(shè)方波信號 f（t） 的周期為 T，寬度為 2 ，將其展開為傅里葉級數(shù) 由式（ 2-2 ）和（ 2-3 ）可得 2T an2T f （t） cos（n t）dt T2 武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強化訓(xùn)練課程設(shè)計說明書 2 T ( 1) cos( n t)dt 2 2 =T 2 +T 0 (1) cos( n t)dt 02 sin n t T 2T T sin n t 2 0 考慮到 T ，可得 an 0 bn 2 0 2 T 1 sin n t dt2 sin n t dt cos 1 n T cos n t 2 0 cos n 將它們代入到式（ 2-1 ），得到信號的傅里

13、葉級數(shù)展開式為 ，n=1，3，5， 4 1 1 1 f （t） sin t sin 3 t sin 5 t sin n t 35 由圖可見，當(dāng)它包含的諧波分量愈多時， 它只含一、三、五奇次諧波分量 下圖中畫出了一個周期的方波組成情況， 波形就愈接近原來的方波信號 f t （圖中虛線所示） ，其均方誤差愈小， 還可以看出， 頻率較低的諧波，其振幅較大，他們組成方波的主體，而頻率較高的高次諧波振幅 較小，它們主要影響波形的細節(jié)，波形中所包含的高次諧波愈多，波形的邊緣愈陡 峭。 b）基波“ +”三次諧波 武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強化訓(xùn)練課程設(shè)計說明書 ( c)基波 +三次諧波 +五次諧波(d)基波 +三

14、次諧波 +五次諧波 +七次諧波 由圖中還可以看出，合成波形所包含的諧波，除間斷點附近外，它愈接近于原方 波信號。在間斷點附近，隨著所含諧波次數(shù)的增高，合成波形的尖峰愈靠近間斷點， 但尖峰幅度并未明顯減小?？梢宰C明，即使合成波形所含諧波次數(shù) n 時，在間 斷點處仍有約 9%的偏差，這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。在傅里葉級數(shù)的項數(shù)取得很大 時，間斷點處尖峰下的面積非常小以致趨近于零，因而在均方的意義上合成波形同 原方波的真值之間沒有區(qū)別。 2 建模與仿真 2.1 建模 上文中，我們證明了一個以原點為奇對稱中心的方波可以用奇次正弦波的疊加 來逼近。 f (t )可以簡化為 y(t) ： 1 1 1 y(t

15、) sint sin3t sin5t sin(2 k 1)t 3 5 2k 1 如果我們能驗證 y(t)是方波，那么我們可以得出 f(t)也是方波，只是 f (t )的方波的 4) 幅值是 y(t)幅值的 4h 倍。 已知方波的寬度為 ，周期為 2 ，我們可以用 MATLAB 程序來檢驗這種逼近 的程度與特征。 程序如下： t = 0:.01:2*pi; % 設(shè)定一個時間數(shù)組 , 有 101 個點 y = sin(t);plot(t,y),figure(gcf),pause % 頻率為 w=1(f=1/2 ) 的正弦基波 % 疊加三次諧波 y = sin(t) + sin(3*t)/3; pl

16、ot(t,y), pause y = sin(t) + sin(3*t)/3 + sin(5*t)/5 + sin(7*t)/7 + sin(9*t)/9; plot(t,y) % 用 1, 3, 5, 7, 9 次諧波疊加 y, % 為了繪制三維曲面 , 要把各次波形數(shù)據(jù)存為一個三維數(shù)組 , 因此必須重新定義 重編程。 y = zeros(10,max(size(t); x = zeros(size(t); for k=1:2:19 武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強化訓(xùn)練課程設(shè)計說明書 x = x + sin(k*t)/k; y(k+1)/2,: ) = x; end pause, figure(1)

17、,plot(t,y(1:9,: ),grid % 將各波形迭合繪出 line(0,pi+0.5,pi/4,pi/4) % 加上方波幅度線及標(biāo)注 text(pi+0.5,pi/4, pi/4 ) halft=ceil(length(t)/2); pause, figure(2), mesh(t(1:halft),1:10,y(:,1:halft), % 只用正半周波形 pause,clc 2.2 仿真 仿真結(jié)果如圖 2 至圖 6 所示，其中所有的橫坐標(biāo)為時間t，縱坐標(biāo)為幅值 y： 圖 2 頻率為 1 f 1 的正弦基波 2 武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強化訓(xùn)練課程設(shè)計說明書 圖 3 疊加三次諧波 圖 4

18、 用 1, 3, 5, 7, 9 次諧波疊加 圖 5 諧波合成的二維曲線 武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強化訓(xùn)練課程設(shè)計說明書 圖 6 諧波合成的三維曲面 從圖 6 可以看出，所取的階次越高，合成結(jié)果就越接近與方波。至于總是消除 不了邊緣上的尖峰，這個就是吉布斯效應(yīng)。 3 仿真結(jié)果分析 根據(jù)周期信號的傅里葉展開式可知，任何方波周期性信號，只要滿足公式（1） 條件，都可以分解為一個直流分量和由基波及奇次諧波分量的疊加。 通過數(shù)學(xué)工具 MATLAB 中編程可得，在正弦波（圖 2）的基礎(chǔ)上實現(xiàn)三次諧波 的疊加出現(xiàn)波形如圖 3 所示。依次對正弦波信號進行奇次諧波疊加過程（圖4），最 終結(jié)果我們看到了圖 5 中的

19、圖像，波形穩(wěn)定在了 y 4 的周期性方波。圖六為圖五 的的三維圖像分布圖。通過圖像的特性我們證明了：當(dāng)奇次諧波的次數(shù)越高時，方 波可由正弦波形產(chǎn)生諧波構(gòu)成。同理可知，一定條件下，周期性方波信號可由相應(yīng) 頻率的基波和奇次諧波合成。 10 武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強化訓(xùn)練課程設(shè)計說明書 4 小結(jié) 通過這次基礎(chǔ)強化訓(xùn)練讓我認識了 MATLAB 這個有著強大功能的軟件。 經(jīng)過這 一段時間的學(xué)習(xí)，我對 MATLAB 有了較為系統(tǒng)的了解。它的應(yīng)用領(lǐng)域相當(dāng)廣泛：微 積分、矩陣代數(shù)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)、信號與系統(tǒng)、電子線路、電機學(xué)、機械 振動、自動控制和通信技術(shù)等。它只需幾筆簡單的程序，就可以完成繁瑣的計算。

20、它的擴展性強，在學(xué)好其基礎(chǔ)部分之后，還有幾十種工具箱可以用于各類科研需要， 這可以縮短學(xué)習(xí)和實踐工作的距離。 拿到老師給的題目后，我針對題目進行了分析。方波可用相應(yīng)頻率的基波及其 奇次諧波合成，并用 MATLAB 實現(xiàn)仿真。仔細思考了課題，發(fā)現(xiàn)相應(yīng)頻率的基波及 其奇次諧波的合成，就是傅里葉的展開式。顯然，這要求我要深入研究傅里葉級數(shù) 展開分析的理論知識，利用 MATLAB 強大的圖形處理功能，符號運算功能以及數(shù)值 計算功能，實現(xiàn)相應(yīng)頻率的基波及其奇次諧波合成方波。 在這次訓(xùn)練中，我用 MATLAB 實現(xiàn)方波信號的傅里葉級數(shù)分解與綜合，繪出包 含不同諧波次數(shù)的合成波形， 觀察合成波形與原矩形波形

21、之間的關(guān)系及吉布斯現(xiàn)象， 證明課題的正確性。 于是我使用 MATLAB ，輸入相關(guān)的程序，并且運行它，檢查它的正確性，并且 修正。在程序的調(diào)試過程中遇到很多的問題。有的程序我根本就不知道它錯在哪里， 也不知道怎么去改正。只有不斷的翻書，不斷的修改程序，不斷的調(diào)試。終于繪制 出了所需要的圖像。 在寫相關(guān)源程序的時候，我還收索了大量的網(wǎng)站，在網(wǎng)上收索了很多關(guān)于 MATLAB 的資料。在這個過程中我發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上有很多有用的知識。以后應(yīng)該多注意， 充分合理的利用網(wǎng)絡(luò)，通過網(wǎng)絡(luò)來學(xué)習(xí)東西。 這次基礎(chǔ)強化訓(xùn)練使我明白了在知識的領(lǐng)域里我還有很多很多的不足，并且再 一次的深深的體會到理論和實踐之間還有很到的差別。

22、在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)該多多的 注意實踐知識的訓(xùn)練和積累。在以后的學(xué)習(xí)生活中要不斷的開拓自己的動手能力， 不斷的訓(xùn)練自己的動手能力。 11 武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強化訓(xùn)練課程設(shè)計說明書 這次基礎(chǔ)強化訓(xùn)練讓我學(xué)習(xí)了了數(shù)字信號系統(tǒng)處理里的相關(guān)知識，也復(fù)習(xí)了高 數(shù)中的相關(guān)知識，并且我還對 mathtype 數(shù)學(xué)公式編輯器有了一定的了解，并且會用 它編輯公式。 21 世紀(jì)人類的知識正以指數(shù)規(guī)律飛速增長，我們已經(jīng)借助計算機輔助設(shè)計和制 造，設(shè)計業(yè)和制造業(yè)已經(jīng)大大的提高了效率，創(chuàng)造了空前的財富。但是在我們的教 和學(xué)的過程中，我們還在做繁瑣重復(fù)的計算這種機械勞動，如何從其中解放出來？ 就成了提高學(xué)習(xí)效率的關(guān)鍵環(huán)節(jié)?，F(xiàn)在我們雖然在大學(xué)中學(xué)習(xí)計算機課程，也只是 為了以后的就業(yè)需要，很少對學(xué)生在學(xué)校學(xué)習(xí)有直接幫助。目前我們還處在“計算 器水平”。 正因為這樣，我們沒有足夠時間用于概念的思考，知識的擴充和思維的 創(chuàng)新。 就像學(xué)習(xí)信號與系統(tǒng)一樣，傅里葉變換，拉普拉斯變換等，都是很復(fù)