幾何非線性基礎(chǔ)

1、幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ)第五章第五章 - 附錄附錄Basic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-2幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ) G. 附錄附錄大應(yīng)變理論大應(yīng)變理論該附錄中所包含的知識(shí)對(duì)于成功地使用該附錄中所包含的知識(shí)對(duì)于成功地使用 ANSYS 中的幾何非線性不中的幾何非線性不是必需的是必需的, 因此因此, 通常不在課程中講解通

2、常不在課程中講解. 它作為附加的背景知識(shí)提供給那些希望更深入地理解它作為附加的背景知識(shí)提供給那些希望更深入地理解 ANSYS 大位大位移特征的用戶移特征的用戶.Basic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-3幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ) 附錄附錄將非線性應(yīng)變定義推廣到一般的三維情況將非線性應(yīng)變定義推廣到一般的三維情況 在二維和三維

3、中在二維和三維中, 當(dāng)一個(gè)元件經(jīng)歷大應(yīng)變變形時(shí)當(dāng)一個(gè)元件經(jīng)歷大應(yīng)變變形時(shí), 不僅長(zhǎng)度元素不僅長(zhǎng)度元素改變改變, 厚度厚度、面積和體積也改變面積和體積也改變.AA0PBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-4幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ) 附錄附錄運(yùn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)和變形物體在外載荷的作用下會(huì)移動(dòng)和變形物體在外載荷的作用下會(huì)移動(dòng)和變

4、形.如果考察該物體上某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)如果考察該物體上某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng), 它的初始位置為它的初始位置為 X , 最終位置最終位置為為 x , 則位移量為則位移量為 u , 圖中圖中 XY X u x XxuBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-5幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ) 附錄附錄變形梯度變形梯度變形梯度是物體變形程度的度量變形梯

5、度是物體變形程度的度量, 定義為定義為變形梯度變形梯度 F 包含如下信息包含如下信息: 體積改變體積改變 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 由于應(yīng)變而引起的形狀改變由于應(yīng)變而引起的形狀改變 XxFBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-6幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ) 附錄附錄 變形梯度變形梯度注意由定義注意由定義, 變形梯度變形梯度 F 消除了平動(dòng)

6、消除了平動(dòng); 是應(yīng)變定義的必要條件是應(yīng)變定義的必要條件.當(dāng)定義應(yīng)變時(shí)當(dāng)定義應(yīng)變時(shí), 還應(yīng)排除轉(zhuǎn)動(dòng)部分還應(yīng)排除轉(zhuǎn)動(dòng)部分 (因?yàn)樗鼘?duì)應(yīng)變沒(méi)有貢獻(xiàn)因?yàn)樗鼘?duì)應(yīng)變沒(méi)有貢獻(xiàn)), 并提并提取形狀改變部分取形狀改變部分. 這可以通過(guò)應(yīng)用這可以通過(guò)應(yīng)用極分解定理極分解定理 實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn).Basic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-7幾何非線性基礎(chǔ)幾何

7、非線性基礎(chǔ) 附錄附錄極分解極分解變形梯度變形梯度 F 可以用極分解定理分解為轉(zhuǎn)動(dòng)部分和變形部分可以用極分解定理分解為轉(zhuǎn)動(dòng)部分和變形部分: F = R U R U = 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣, 包含物質(zhì)點(diǎn)象剛體一樣轉(zhuǎn)動(dòng)的量和方向包含物質(zhì)點(diǎn)象剛體一樣轉(zhuǎn)動(dòng)的量和方向的信息的信息.= 伸長(zhǎng)矩陣伸長(zhǎng)矩陣, 包含在物質(zhì)點(diǎn)處物體的應(yīng)變信息包含在物質(zhì)點(diǎn)處物體的應(yīng)變信息.Basic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctob

8、er 15, 2001Inventory # 0015655a-8幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ) 附錄附錄應(yīng)變定義中應(yīng)變定義中 U 的構(gòu)造的構(gòu)造知道了伸長(zhǎng)矩陣知道了伸長(zhǎng)矩陣 U , 對(duì)一維對(duì)數(shù)應(yīng)變對(duì)一維對(duì)數(shù)應(yīng)變 e el 和一維和一維 Green-Lagrange應(yīng)變應(yīng)變 e eG 進(jìn)行推廣進(jìn)行推廣, 可以構(gòu)造出三維一般應(yīng)變可以構(gòu)造出三維一般應(yīng)變. Basic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctob

9、er 15, 2001Inventory # 0015655a-9幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ) 附錄附錄Hencky應(yīng)變應(yīng)變對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) (Hencky) 應(yīng)變按下式計(jì)算應(yīng)變按下式計(jì)算:式中式中 e eH 是按矩陣形式表示的應(yīng)變張量是按矩陣形式表示的應(yīng)變張量. 在此情況下在此情況下, e eH 是一維對(duì)數(shù)或真實(shí)應(yīng)變是一維對(duì)數(shù)或真實(shí)應(yīng)變 e el 的三維等效的三維等效. UHlneBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Traini

10、ng ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-10幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ) 附錄附錄Green-Lagrange應(yīng)變應(yīng)變?cè)谌S中在三維中, 可以按下式所示直接由伸長(zhǎng)矩陣可以按下式所示直接由伸長(zhǎng)矩陣 U 計(jì)算計(jì)算 Green-Lagrange 應(yīng)變應(yīng)變:該度量從應(yīng)變場(chǎng)估算中直接忽略轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣該度量從應(yīng)變場(chǎng)估算中直接忽略轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 R . e eG 可以用位移場(chǎng)可以用位移場(chǎng)的梯度項(xiàng)重寫為下式的梯度項(xiàng)重寫為下式:前兩項(xiàng)是線性小應(yīng)變項(xiàng)前兩項(xiàng)是線性小應(yīng)變項(xiàng), 最后一項(xiàng)是對(duì)應(yīng)變度量的非線性貢獻(xiàn)最后一項(xiàng)是對(duì)應(yīng)變度量的非線性貢獻(xiàn). IUUTG21e XuXuXuX

11、uTTGeBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-11幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ) 附錄附錄將非線性應(yīng)力定義推廣到一般三維情況將非線性應(yīng)力定義推廣到一般三維情況與一維中的情況一樣與一維中的情況一樣, 在二維和三維中有共軛應(yīng)力度量在二維和三維中有共軛應(yīng)力度量, 它可以對(duì)它可以對(duì)每一種非線性應(yīng)變定義每一種非線性應(yīng)變定義.Basi

12、c StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-12幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ) 附錄附錄Cauchy應(yīng)力應(yīng)力Cauchy 或真實(shí)應(yīng)力張量或真實(shí)應(yīng)力張量 t t (此處寫為矩陣形式此處寫為矩陣形式) 給出變形構(gòu)件中給出變形構(gòu)件中單位變形面積的當(dāng)前力單位變形面積的當(dāng)前力. 如果令如果令那么那么, 在三維中在三維中, Cauchy應(yīng)力張量應(yīng)力張

13、量 t t 把把 dP 與與 dA 聯(lián)系起來(lái)聯(lián)系起來(lái)Cauchy 應(yīng)力是容易解釋的物理量應(yīng)力是容易解釋的物理量.= 定義變形體中單元面積分量的矢量定義變形體中單元面積分量的矢量= 作用的相應(yīng)單元力作用的相應(yīng)單元力 dA dP dAdPtBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-13幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ) 附錄附錄第二第二

14、 Piola-Kirchhoff 應(yīng)力應(yīng)力令令 代表由變換形式代表由變換形式 推導(dǎo)出的力分量推導(dǎo)出的力分量還令還令第二第二 Piola-Kirchhoff 應(yīng)力張量應(yīng)力張量 S 把把 和和 聯(lián)系起來(lái)聯(lián)系起來(lái) S 是對(duì)稱應(yīng)力張量是對(duì)稱應(yīng)力張量, 常常用于有限應(yīng)變彈性公式中常常用于有限應(yīng)變彈性公式中, 是是 Green-Lagrange 應(yīng)變應(yīng)變 e eG 的共軛應(yīng)力張量的共軛應(yīng)力張量. S 是個(gè)非物理的應(yīng)力張量是個(gè)非物理的應(yīng)力張量 (一一個(gè)偽應(yīng)力張量個(gè)偽應(yīng)力張量). 不能直接對(duì)不能直接對(duì)S 進(jìn)行物理解釋進(jìn)行物理解釋. Pd dPFPd1= 定義未變形體中單元面積的矢量定義未變形體中單元面積的矢量

15、, 這里這里 0dAdAdAndeformatio0 Pd0dA 0dASPdBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-14幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ) 附錄附錄t t 和和 S 的關(guān)系的關(guān)系物理的物理的 Cauchy t t 應(yīng)力可以通過(guò)下式直接與非物理的第二應(yīng)力可以通過(guò)下式直接與非物理的第二 Piola-Kirchhof

16、f偽應(yīng)力偽應(yīng)力 S 聯(lián)系起來(lái)聯(lián)系起來(lái) : TFSFFdet1t tBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-15幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ) 附錄附錄完全一致非線性切向剛度矩陣完全一致非線性切向剛度矩陣眾所周知眾所周知, 在大多數(shù)非線性結(jié)構(gòu)問(wèn)題中在大多數(shù)非線性結(jié)構(gòu)問(wèn)題中, 應(yīng)用一致非線性切向剛度應(yīng)用一致非線性切向剛度矩陣可以迅

17、速提高基于矩陣可以迅速提高基于 Newton-Raphson 求解過(guò)程的收斂速度求解過(guò)程的收斂速度.一致或完全切向剛度矩陣通常在迭代求解過(guò)程中產(chǎn)生二次方的收斂一致或完全切向剛度矩陣通常在迭代求解過(guò)程中產(chǎn)生二次方的收斂速度速度.Basic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-16幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ) 附錄附錄何謂一致非線性剛度

18、矩陣何謂一致非線性剛度矩陣?一致非線性剛度矩陣一致非線性剛度矩陣 通過(guò)對(duì)離散化的有限元方程求導(dǎo)得到通過(guò)對(duì)離散化的有限元方程求導(dǎo)得到, 它是單元內(nèi)力矢量它是單元內(nèi)力矢量 和單元施加的載荷矢量和單元施加的載荷矢量 的函數(shù)的函數(shù). nleK inteF aeFBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-17幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ)

19、 附錄附錄離散化的非線性靜態(tài)有限元方程離散化的非線性靜態(tài)有限元方程求解的離散化的非線性靜態(tài)有限元方程可以在單元層次上描述為求解的離散化的非線性靜態(tài)有限元方程可以在單元層次上描述為:式中式中 01eNeaeinteTnFFT= 單元總數(shù)單元總數(shù)= 單元坐標(biāo)系中的單元內(nèi)力矢量單元坐標(biāo)系中的單元內(nèi)力矢量= 轉(zhuǎn)換矩陣將轉(zhuǎn)換矩陣將 變換到全局坐標(biāo)系變換到全局坐標(biāo)系= 全局坐標(biāo)系中全局坐標(biāo)系中, 在單元層次上施加的載荷矢量在單元層次上施加的載荷矢量eNinteFaeFnTinteFBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities

20、 Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-18幾何非線性基礎(chǔ)幾何非線性基礎(chǔ) 附錄附錄單元內(nèi)力矢量單元內(nèi)力矢量單元內(nèi)力矢量單元內(nèi)力矢量 由下式給出由下式給出inteF eVTvintedVBFe式中式中= 單元應(yīng)變單元應(yīng)變 - 節(jié)點(diǎn)位移矩陣節(jié)點(diǎn)位移矩陣= 單元應(yīng)力矢量單元應(yīng)力矢量= 單元體積單元體積vB eV按照上面給出的內(nèi)力定義按照上面給出的內(nèi)力定義, 離散化的非線性有限元方程離散化的非線性有限元方程 (力平衡力平衡) 可以重寫為可以重寫為: 01eeNeaeVevTnFdVBTBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-19幾何非線