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文檔簡介
1、三角函數(shù)綜合編稿:丁會敏 審稿:王靜偉 【學(xué)習(xí)目標】1.理解任意角的概念、弧度的意義,能正確地進行弧度與角度的換算.2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義,掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式,理解周期函數(shù)與最小正周期的意義.3.能正確運用三角公式,進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.4.會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡圖,理解的物理意義.5掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)并能靈活應(yīng)用6熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀,理解圖象平移變換、伸縮變換的意義,并會用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】
2、要點一:終邊相同的角1終邊相同的角凡是與終邊相同的角,都可以表示成的形式.要點詮釋:(1)終邊相同的前提是:原點,始邊均相同;(2)終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同;(3)終邊相同的角有無數(shù)多個,它們相差的整數(shù)倍.特例:終邊在x軸上的角集合,終邊在y軸上的角集合,終邊在坐標軸上的角的集合.在已知三角函數(shù)值的大小求角的大小時,通常先確定角的終邊位置,然后再確定大小.2弧度和角度的換算(1)角度制與弧度制的互化:弧度,弧度,弧度(2)弧長公式:(是圓心角的弧度數(shù)),扇形面積公式:.要點詮釋:(1)角有正負零角之分,它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負零之分,如等等,一般地, 正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)
3、,負角的弧度數(shù)是一個負數(shù),零角的弧度數(shù)是0,角的正負主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定.(2)角的弧度數(shù)的絕對值是:,其中,是圓心角所對的弧長,是半徑.要點二:任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號規(guī)律、特殊角的三角函數(shù)值、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式:1.三角函數(shù)定義:角終邊上任意一點為,設(shè)則:要點詮釋:三角函數(shù)的值與點在終邊上的位置無關(guān),僅與角的大小有關(guān).我們只需計算點到原點的距離,那么,2.三角函數(shù)符號規(guī)律:一全正,二正弦,三正切,四余弦(為正);要點詮釋:口訣的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正;在第二象限正弦值為正,在第三象限正切值為正,在第四象限余弦值為正3.特殊角的三角函數(shù)值02sin01
4、0-10cos10-101tan01不存在0不存在04.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:要點詮釋:(1)這里“同角”有兩層含義,一是“角相同”,二是對“任意”一個角(使得函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立;(2)是的簡寫;(3)在應(yīng)用平方關(guān)系時,常用到平方根,算術(shù)平方根和絕對值的概念,應(yīng)注意“”的選取5.誘導(dǎo)公式(奇變偶不變,符號看象限):sin()=sin,cos()=-cos,tan()=-tansin()=-sin,cos()=-cos,tan()=tansin()=-sin,cos()=cos,tan()=-tansin()=-sin,cos()=cos,tan()=-tansin()=sin,
5、cos()=cos,tan()=tan,sin()=cos,cos()=sinsin()=cos,cos()=-sin要點詮釋:(1)要化的角的形式為(為常整數(shù));(2)記憶方法:“奇變偶不變,符號看象限”;(3)必須對一些特殊角的三角函數(shù)值熟記,做到“見角知值,見值知角”;(4);.要點三:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì):y=sinxy=cosx定義域(-,+)(-,+)值域-1,1-1,1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間周期性最小正周期最小正周期最值當時,當時,當時,當時,對稱性對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心y=cosx的圖象是由y=sinx
6、的圖象左移得到的.2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì):y=tanx定義域值域R奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間周期性最值無最大值和最小值對稱性對稱中心要點四:函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1“五點法”作簡圖用“五點法”作的簡圖,主要是通過變量代換,設(shè),由z取來求出相應(yīng)的x,通過列表,計算得出五點坐標,描點后得出圖象.要點詮釋:用“五點法”作圖的關(guān)鍵是點的選取,其中橫坐標成等差數(shù)列,公差為.2的性質(zhì)(1)三角函數(shù)的值域問題三角函數(shù)的值域問題,實質(zhì)上大多是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問題,常用方法有:化為代數(shù)函數(shù)的值域或化為關(guān)于的二次函數(shù)式,再利用換元、配方等方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在限定區(qū)間上的值域.(2)三角函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)
7、區(qū)間的確定,基本思想是把看作一個整體,比如:由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間,由解出的范圍,所得區(qū)間即為減區(qū)間;要點詮釋:(1)注意復(fù)合函數(shù)的解題思想;(2)比較三角函數(shù)值的大小,往往是利用奇偶性或周期性在轉(zhuǎn)化為屬于同一單調(diào)區(qū)間上的兩個同名函數(shù)值,再利用單調(diào)性比較.3確定的解析式的步驟首先確定振幅和周期,從而得到;確定值時,往往以尋找“五點法”中第一個零點作為突破口,要注意從圖象的升降情況找準第一個零點的位置,同時要利用好最值點.要點五:正弦型函數(shù)的圖象變換方法先平移后伸縮的圖象的圖象的圖象的圖象的圖象.先伸縮后平移的圖象的圖象的圖象的圖象的圖象.【典型例題】類型一:三角函數(shù)的概念例1已知角的終
8、邊上一點,且,求的值.【思路點撥】【解析】由題設(shè)知,所以,得,從而,解得或.當時, ;當時, ;當時, .【總結(jié)升華】理解正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義,三角函數(shù)值是比值,是一個實數(shù),這個實數(shù)的大小和點在終邊上的位置無關(guān).舉一反三:【變式1】已知角的終邊過點P(8m,6sin 30),且cos ,則m的值為()A B. C D. 【答案】B【解析】r,cos ,m0,m.m0,m.例2.已知角;(1)在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角;(2)集合,那么兩集合的關(guān)系是什么?【答案】(1) 或(2) 【解析】(1)所有與角有相同終邊的角可表示為:,則令 ,得 解得 ,從而或代回或.(2)因為表示的是終邊
9、落在四個象限的平分線上的角的集合;而集合表示終邊落在坐標軸或四個象限平分線上的角的集合,從而:.【總結(jié)升華】(1)從終邊相同的角的表示入手分析問題,先表示出所有與角有相同終邊的角,然后列出一個關(guān)于的不等式,找出相應(yīng)的整數(shù),代回求出所求解;(2)可對整數(shù)的奇、偶數(shù)情況展開討論.舉一反三:【變式1】集合,則( )A、 B、 C、 D、【答案】C 【解析】( 法一) 取特殊值-1,-3,-2,-1,0,1,2,3,4(法二)在平面直角坐標系中,數(shù)形結(jié)合(法三)集合M變形,集合N變形,是的奇數(shù)倍,是的整數(shù)倍,因此.類型二:扇形的弧長和面積公式例3已知一半徑為r的扇形,它的周長等于所在圓的周長的一半,那
10、么扇形的中心角是多少弧度?合多少度?扇形的面積是多少?【答案】 【解析】設(shè)扇形的圓心角是,因為扇形的弧長是,所以扇形的周長是依題意,得【總結(jié)升華】弧長和扇形面積的核心公式是圓周長公式和圓面積公式,當用圓心角的弧度數(shù)代替時,即得到一般的弧長公式和扇形面積公式:類型三:同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 例4若sincos= ,(,),求cossin的值 【思路點撥】已知式為sin、cos的二次式,欲求式為sin、cos的一次式,為了運用條件,須將cossin進行平方 【解析】 (cossin)2=cos2+sin22sincos=1 = ( ,), cossin cossin= 【總結(jié)升華】 sincos,
11、cos+sin,cossin三者關(guān)系緊密,由其中之一,可求其余之二 舉一反三: 【變式1】已知是的一個內(nèi)角,且,求【思路點撥】根據(jù)可得的范圍:再結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系式求解.【答案】 【解析】為鈍角,由,平方整理得【變式2】已知cossin= , 求sincos,sin+cos的值 【答案】 【解析】 , ,類型四:三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式例5(1)sin 585的值為()A B. C D. (2)已知sin(2),則等于()A. B C7 D7【思路點撥】本題是對誘導(dǎo)公式和特殊三角函數(shù)值的考查,熟練掌握誘導(dǎo)公式即可.【答案】(1)A(2)A【解析】(1)sin 585sin(360225)sin(
12、18045).(2)sin(2)sin,sin.又,cos.【總結(jié)升華】誘導(dǎo)公式用角度和弧度制表示都成立,記憶方法可以概括為“奇變偶不變,符號看象限”,“變”與“不變”是相對于對偶關(guān)系的函數(shù)而言的,sin與cos對偶,“奇”、“偶”是對誘導(dǎo)公式中的整數(shù)k來講的,象限指中,將看作銳角時,所在象限,如將寫成,因為3是奇數(shù),則“cos”變?yōu)閷ε己瘮?shù)符號“sin”,又看作第四象限角,為“+”,所以有.舉一反三:【變式1】已知cos,且,則cos等于()A. B. C D【答案】D【解析】 coscossin.又,sin,cos.類型五:三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)例6. 函數(shù)y-xcosx的部分圖象是( )【
13、思路點撥】結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的正負,或采用特殊值法.【解析】因為函數(shù)y-xcosx是奇函數(shù),它的圖象關(guān)于原點對稱,所以排除A、C,當x(0,)時,y-xcosx0.答案為D.【總結(jié)升華】本題通過觀察四個選項A,C與B,D分別關(guān)于y軸和原點對稱,從而啟示我們從研究函數(shù)奇偶性入手考慮進行篩選,然后通過研究其函數(shù)值的符號進行確定,充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的應(yīng)用.舉一反三:【高清課堂:三角函數(shù)的綜合395043 例1】【變式1】函數(shù)在內(nèi) ( )A沒有零點 B有且僅有一個零點C有且僅有兩個零點 D有無窮多個零點【答案】B例7已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù) 的圖象,只要將的圖象( )
14、 A 向左平移個單位長度 B向右平移個單位長度 C向左平移個單位長度 D向右平移個單位長度【思路點撥】對于不同三角函數(shù)圖象之間的平移變換,一定要根據(jù)誘導(dǎo)公式將二者之間變換清楚【答案】A 【解析】由題知又,所以所以 = =顯然將的圖象向左平移個單位長度便可得到的圖象故選A舉一反三:【變式1】把函數(shù)的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度,再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變),得到的圖象所表示的函數(shù)是( )A.B.C.D.解析:,故選C.例8函數(shù)()的最大值為3, 其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為 (1)求函數(shù)的解析式;(2)設(shè),則,求的值.【思路點撥】由題意知,A=2,可求出(2)把代入函數(shù)解析式,求出的值
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