微分中值定理的證明及其應用論文設計

1、1 微分中值定理基本內容及其幾何意義1.1 羅爾(Rolle)中值定理若函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間上可導；（iii）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即，則在上至少存在一點，使得.羅爾定理的幾何意義：在每一點都可導的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點高度相等，則至少存在一條水平切線。注：定理中三個條件缺少任何一個，結論將不一定成立。1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理若函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間內可導，則在上至少存在一點，使得.拉格朗日中值定理的幾何意義：在滿足定理條件的曲線上至少存在一點，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩點的連線。拉格

2、朗日公式有下面幾種等價表示形式：值得注意的是，拉格朗日公式無論對于，還是都成立，而則是介于與之間的某一定數(shù)。1.3 柯西（Cauchy）中值定理設函數(shù)和滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間上都連續(xù)；（ii）在開區(qū)間上都可導；（iii）和不同時為零；（iv），則存在，使得.柯西中值定理的幾何意義：把，這兩個函數(shù)寫作以為參量的參數(shù)方程滿足定理條件，由參數(shù)方程所確定的曲線上至少有一點，在這一點處的切線平行于連接兩個端點連線。1.4 三大中值定理的聯(lián)系三大中值定理是層層遞進的關系，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特殊形式，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊形式：在拉格朗日中值定理中增加條件，即得到羅爾中值定

3、理；在柯西中值定理中令，即得到拉格朗日中值定理。三大中值定理的幾何意義具有一個共同點，即符合中值定理條件的函數(shù)曲線上至少存在一點，在這一點處的切線平行于曲線所處區(qū)間的兩個區(qū)間端點的連線。綜上所述，三大中值定理既是獨立存在的，又是相互聯(lián)系的。他們反映了導數(shù)的局部性與函數(shù)的整體性之間的關系，是研究函數(shù)的有力工具，應用十分廣泛，其中羅爾中值定理是這一系列的基礎內容，拉格朗日中值定理是這一系列的核心內容，柯西中值定理是這一系列的推廣應用。2 微分中值定理的證明對于微分中值定理的證明，通常來說都是運用費馬引理證明出羅爾中值定理，然后運用構造輔助函數(shù)的方法再去證明在證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并且

4、輔助函數(shù)的構造有很多種方法。因此本文將闡述這一通常證明方法，并且還總結了一些微分中值定理的其他證明方法。首先引入費馬（Fermat）引理：設是的一個極值點，且在處導數(shù)存在，則.證明羅爾中值定理：因為在上連續(xù)，所以有最大值和最小值，分別用和表示，現(xiàn)在分為兩種情況進行討論：（1）若，則在上必為常數(shù)，從而結論顯然成立。（2）若，則因，使得最大值和最小值至少有一個在上的某點處取得，從而是的極值點.由條件（ii），在點處可導。故由費馬引理可知，.2.1 構造輔助函數(shù)2.1.1 證明拉格朗日中值定理作輔助函數(shù)，顯然，且在上滿足羅爾定理的另外兩個條件.故存在，使得，移項后即得.2.1.2 證明柯西中值定理作

5、輔助函數(shù)，顯然，且在上滿足羅爾定理的另外兩個條件.故存在，使得.因為（否則上式也為零），所以可把上式改寫成.2.2 常數(shù)K值法我們規(guī)定：（i）等式一端是只與區(qū)間端點、及其函數(shù)值、導數(shù)值有關的常數(shù)，另一端只含導函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間內某點(中值點)的值，就稱該式是分離的。（ii）如果把式中的換作時，原式呈形，就稱該式是對稱的。常數(shù)值法也屬于構造輔助函數(shù)方法的一種，對于一般的相關證明題，它的主要思路是先將需證式化成分離形式，令等式一端的常數(shù)等于；再把原式化為對稱式，把含有中值的導數(shù)式換為, 把換成未知量，將右端移到左端，記所得式為，這就是作出的輔助函數(shù)。由的取法及的作法可知，必有，再使用羅爾中值定理即可

6、證出需證結論。若原式中含有二階導數(shù),可由解出后，再用一次中值定理就可得到欲證的結果；若含有在中值點處更高階的導數(shù)，可仿此繼續(xù)，直到所要的結果。而用常數(shù)值法對中值定理的證明，則是最簡單的情況，證明如下。2.2.1 證明拉格朗日中值定理由上述規(guī)定可知是分離的，是對稱的.令，于是有，即.令，易知在上連續(xù)，在上可導，且.由羅爾定理可知，至少存在一點，使得，即，于是，故有.2.2.2 證明柯西中值定理由上述規(guī)定可知是分離的，是對稱的.令，于是有.令，易知在上連續(xù)，在上可導，且.由羅爾定理可知，至少存在一點，使得，即，于是，故有.2.3 行列式法首先給出行列式的求導法則：設為可導函數(shù)，則=.2.3.1 證

7、明拉格朗日中值定理構造行列式.顯然在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內可導，且.由羅爾中值定理可知，在內至少存在一點，使得，即，故.2.3.2 證明柯西中值定理構造行列式.顯然在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內可導，且.由羅爾中值定理可知，在內至少存在一點，使得，即，故.2.4 積分法在我們的教材中，雖然微分中值定理和積分中值定理是相互獨立的兩個板塊，但是它們之間存在著必然的內在聯(lián)系，因此我們可以嘗試用積分法來證明微分中值定理。2.4.1 證明拉格朗日中值定理由定理可知，即證方程在內存在根.方程左邊對積分有.取，則在上連續(xù)，在內可導，且.由羅爾定理可知，至少存在一點，使得，即.2.4.2 證明柯西中值定理由定理可知

8、，即證方程在內存在根.方程左邊對積分有取，則在上連續(xù)，在內可導，且.由羅爾定理可知，至少存在一點，使得，即.3 微分中值定理的應用3.1 函數(shù)的重要性態(tài)3.1.1 函數(shù)的單調性函數(shù)的單調性是函數(shù)在其定義區(qū)間內變化的一種整體性態(tài)，我們通常會利用導數(shù)來對函數(shù)的單調性進行判斷，若題目給的是抽象函數(shù)，沒有辦法求解導數(shù)的時候，我們就要想到結合已知條件和微分中值定理進行判斷，例題如下。例1設函數(shù)，在上連續(xù)，在內可導，且 .求證：如果嚴格單調增加，則對，和都嚴格單調增加.證：不妨設，由柯西中值定理可知，使得.又因為嚴格單調增加，所以.從而有，因此，即可知嚴格單調增加.同理可證嚴格單調增加.3.1.2 函數(shù)的

9、極值與最值函數(shù)的極值是函數(shù)局部性態(tài)的一個重要特征，函數(shù)的最值是函數(shù)整體性態(tài)的一個重要特征，利用極值來確定最值在實際問題中有著廣泛的應用，因此應當理解并掌握極值的三個充分條件和最值的求解方法，從而能更好地應用于實際數(shù)學問題中。極值的第一充分條件：設在點處連續(xù)，在某鄰域.（i）若當時，當時，則在點取得極小值.（ii）若當時，當時，則在點取得極大值.極值的第二充分條件：設在的某鄰域上一階可導，在處二階可導，且.（i）若，則在點取得極大值.（ii）若，則在點取得極小值.極值的第三充分條件：設在的某鄰域內存在直到階導函數(shù)，在處階可導，且，則（i）當為偶數(shù)時，在點取得極值，且當時取極大值，時取極小值.（i

10、i）當為奇數(shù)時，在點不取極值.例2求函數(shù)的極值.解：一階導數(shù)：，則是的三個穩(wěn)定點.二階導數(shù)：，則，因此在時取得極小值.三階導數(shù)：，則，此時，在處不取極值.四階導數(shù)：，則，此時，因此在時取得極大值.綜上所述，為極大值，為極小值.例3求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.解：一階導數(shù)，因此是的穩(wěn)定點，時不存在.且可以判斷出與時，；與時.因此為極大值，為極小值.而區(qū)間端點值.綜上比較可得最大值為4，最小值為0.3.1.3 函數(shù)的凸性設是定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點和任意實數(shù)，總有，則稱為上的凸函數(shù).反之，如果總有，則稱為上的凹函數(shù).若不等號嚴格成立，即“”號成立，則相應的函數(shù)稱為嚴格凸函數(shù)和嚴格凹

11、函數(shù).例4應用凸函數(shù)概念證明不等式，其中均為正數(shù).證明：設.由的一階和二階導數(shù)可知，在時為嚴格凸函數(shù).由詹森不等式可得，因此，即.又因為，所以.3.2 求函數(shù)極限對于求極限的一些問題，通常會使用洛必達法則對其進行形式變換來求解，但也會出現(xiàn)一些特殊復雜的情況難以求解，此時可以考慮通過微分中值定理來分析或構造輔助函數(shù)進行求解，例題如下。洛必達法則適用于兩個無窮小量之比（）或兩個無窮大量之比的極限（不定式極限），其建立的理論依據是柯西中值定理，而不定式極限還有等類型，他們經過簡單的變換都可以化成型和型的極限。例5求極限.解：令，則.令，則.利用洛必達法則可得，因此.例6求極限.解：顯然，函數(shù)在其定義

12、域內連續(xù)可導，滿足拉格朗日中值定理的條件，因此使得.由迫斂性定理可知.3.3 近似計算泰勒公式是一類多項式函數(shù)，多項式函數(shù)是各類函數(shù)張最簡單的一種，用多項式逼近函數(shù)是近似計算和理論分析的一個重要內容。我們一般根據泰勒公式求近似值時，會選擇拉格朗日余項的泰勒公式進行展開，因為它的余項能準確的計算出其相應誤差，例題如下。例7計算的值，并使其誤差不大于.解：令，則的泰勒展開式為.當時，有，所以，因此除去從而求得的近似值為.3.4 證明等式與不等式不等式的證明是高等數(shù)學中的重點部分，一些具有特殊形式的不等式可以利用微分中值定理來求解，例題如下。例8求證：當時，.證明：令，則在上滿足拉格朗日中值定理的條

13、件，因此有.即.因為，所以，因此.例9求證：當時，.證明：令，顯然在上均滿足柯西中值定理的條件，因此有.而，則，因此.整理即得.本題還可以利用函數(shù)的單調性進行證明，但計算會相對復雜一些。例10設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導，且，證明：對任意的有。證明：假設，若，則由拉格朗日中值定理，顯然有，.若，則由拉格朗日中值定理，顯然有 ，其中.對于一些特定的等式，可以利用微分中值定理來求解，例題如下。例11設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導，且。試證：對任意給定的正數(shù)在內有不同的使。證明：由于，所以.又由于在上連續(xù)且，由介值性定理可知，存在使得，在上分別用拉格朗日中值定理有，.即，.于是由上述兩式可知，將兩式相加得，即

14、.3.5 證明根的存在性對于方程根的存在性問題，我們可以通過構造合適的輔助函數(shù)并利用羅爾中值定理來進行分析判斷，但要注意函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性、可導性問題，例題如下。例12若在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，證明：在內至少存在一個根。證明：構造輔助函數(shù)，則有，滿足羅爾中值定理的條件，則至少存在一點使得，即在內至少存在一個根.例13已知在上可導，且.證明：方程在內有唯一實數(shù)根.證明：首先證明根的存在性.顯然在上滿足拉格朗日中值定理的條件，且，則，即，因此，故使得，而已知，由零點定理可知，使得.然后證明根的唯一性.由可知，是上的單調增函數(shù)，因此若存在根，則根一定唯一.3.6 證明函數(shù)的一致連續(xù)性對于函

15、數(shù)一致連續(xù)性我們通常根據定義來進行證明，定義在上的函數(shù)，當時，有，尋找滿足條件的，即證明函數(shù)一致連續(xù)，例題如下。例14證明：若函數(shù)于有窮或無窮的區(qū)間內存在有節(jié)的導函數(shù)，則于中一致連續(xù)。證明：已知導函數(shù)在上有界，設有，對于，由拉格朗日中值定理可知使得，故對，取，當，且時，有.由一致連續(xù)性定義可知，在內一致連續(xù).3.7 證明級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)收斂問題主要通過級數(shù)收斂的判定條件來進行證明，在利用判定條件的過程中，我們可以通過構造函數(shù)并利用拉格朗日中值定理進行判斷，也可以借用泰勒公式進行判斷，例題如下。例15判斷級數(shù)的斂散性.證明：由于在上滿足拉格朗日中值定理的條件，所以存在，有，從而有，因為級數(shù)是

16、發(fā)散的，由比較判別法可知也是發(fā)散的.例16判斷級數(shù)的斂散性.證明： 由于在處的泰勒公式為，.令，移項得，而級數(shù)是收斂的，由比較判別法可知也是收斂的.由上可知，當級數(shù)通項中含有自然對數(shù)，可以考慮用微分中值定理對其斂散性進行判斷。若級數(shù)是單調的，我們可以通過構造輔助函數(shù)，并利用微分中值定理找到有關級數(shù)通項的一組不等式，根據比較判別法對級數(shù)的斂散性進行判斷。掌握一些常見級數(shù)的斂散性對構造輔助函數(shù)和不等式會有一定的幫助。4總結微分中值定理的研究從1637年著名法國數(shù)學家費馬在求最大值和最小值的方法中給出費馬定理時就開始了，經過了法國數(shù)學家羅爾在方程的解法一文中給出多項式形式的羅爾定理和法國數(shù)學家拉格朗日在解析函數(shù)論一書中給出拉格朗日定理，并給出最初的證明這兩個發(fā)展階段，最終對微分中值定理進行系統(tǒng)研究是法國數(shù)學家柯西他首先賦予中值定理以重要作用，使其成為微分學的核心定理。在無窮小計算教程概論中，柯西首先嚴格地證明了拉格朗日定理，又在微分計算教程中將其推廣為廣義中值定理柯西定理。學習了解了微分中值定理的發(fā)展歷程，更能深刻體會到微分中值定理在微積分中的重要地位。微分中值定理是研究函數(shù)特性的一個有力工具，它不僅是微分學中最重要的結論之一，而且在數(shù)學分析中的積分學