原子物理學(xué)課件_3第三章

1、第三章第三章 量子力學(xué)導(dǎo)論量子力學(xué)導(dǎo)論 3.1 波粒二象性波粒二象性 德布羅意物質(zhì)波德布羅意物質(zhì)波 3.2 波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋 3.3 不確定關(guān)系不確定關(guān)系 3.4 力學(xué)量的算符表示及其本征值方程力學(xué)量的算符表示及其本征值方程 3.5 薛定諤方程薛定諤方程 3.6 一維問題的薛定諤方程解一維問題的薛定諤方程解 我們知道玻爾理論獲得了很大的成功：量子態(tài)得到實驗驗我們知道玻爾理論獲得了很大的成功：量子態(tài)得到實驗驗 證；解釋了氫原子光譜，算出里德伯經(jīng)驗常量等等。但是證；解釋了氫原子光譜，算出里德伯經(jīng)驗常量等等。但是 這個理論無論在邏輯上還是在對實際問題的處理上都存在這個理論無論在邏

2、輯上還是在對實際問題的處理上都存在 嚴重的缺陷與不足：嚴重的缺陷與不足： 理論上理論上，由于玻爾理論仍然沒有擺脫經(jīng)典理論的束縛，把，由于玻爾理論仍然沒有擺脫經(jīng)典理論的束縛，把 微觀粒子作為質(zhì)點直接應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律，所以存在著微觀粒子作為質(zhì)點直接應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律，所以存在著 難以解決的內(nèi)在矛盾。如，為什么原子核與電子之間有靜難以解決的內(nèi)在矛盾。如，為什么原子核與電子之間有靜 電力作用，而電子在定態(tài)加速運動時卻不能發(fā)射電磁波？電力作用，而電子在定態(tài)加速運動時卻不能發(fā)射電磁波？ 定態(tài)之間躍遷吸收和發(fā)射輻射的原因是什么定態(tài)之間躍遷吸收和發(fā)射輻射的原因是什么? ?躍起過程是躍起過程是 怎么樣的？等等

3、怎么樣的？等等 盧瑟福質(zhì)疑：盧瑟福質(zhì)疑：“當(dāng)電子從一個能態(tài)跳到另一能態(tài)時，您必當(dāng)電子從一個能態(tài)跳到另一能態(tài)時，您必 須假設(shè)電子事先就知道它要往哪里跳！須假設(shè)電子事先就知道它要往哪里跳！” 薛定諤的非難：薛定諤的非難：“糟糕的躍遷！糟糕的躍遷！” 因此玻爾理論也稱為因此玻爾理論也稱為“舊量子理論舊量子理論”，而只有完全拋棄經(jīng)，而只有完全拋棄經(jīng) 典理論的約束，才能對這些問題進行解釋，這就是量子理典理論的約束，才能對這些問題進行解釋，這就是量子理 論。量子力學(xué)對原子問題的處理開辟了一個新的門徑。論。量子力學(xué)對原子問題的處理開辟了一個新的門徑。 實際問題上實際問題上，它無法解釋氫原子光譜的強度及精細結(jié)

4、構(gòu)；，它無法解釋氫原子光譜的強度及精細結(jié)構(gòu)； 無法解釋復(fù)雜程度僅高于氫原子的氦原子光譜；無法說明無法解釋復(fù)雜程度僅高于氫原子的氦原子光譜；無法說明 原子如何組成分子及構(gòu)成液體和固體的；等等原子如何組成分子及構(gòu)成液體和固體的；等等 3.1 波粒二象性波粒二象性 德布羅意物質(zhì)波德布羅意物質(zhì)波 1. . 光的波粒二象性光的波粒二象性 2. . 德布羅意假設(shè)德布羅意假設(shè) 3. . 德布羅意關(guān)系式的應(yīng)用德布羅意關(guān)系式的應(yīng)用 4. . 德布羅意關(guān)系式的實驗驗證德布羅意關(guān)系式的實驗驗證 波和粒子是經(jīng)典物理中兩個非常重要且截然不同的概念，它波和粒子是經(jīng)典物理中兩個非常重要且截然不同的概念，它 們是兩種僅有的且

5、又完全不同的能量傳播方式。如聲波、沖們是兩種僅有的且又完全不同的能量傳播方式。如聲波、沖 擊波是以波的形式傳遞能量的；子彈、運行中的汽車是以粒擊波是以波的形式傳遞能量的；子彈、運行中的汽車是以粒 子的形式傳遞能量的。子的形式傳遞能量的。 從而它在空間的位置是從而它在空間的位置是 可以無限精確地被測定可以無限精確地被測定 的，也可以說粒子被約的，也可以說粒子被約 束在某一點；而對于波，束在某一點；而對于波， 原則上同樣可以無限精原則上同樣可以無限精 確地確定它的特征量波確地確定它的特征量波 長和頻率，而這要求波長和頻率，而這要求波 不能被約束，必須是在不能被約束，必須是在 空間無限擴展的。空間無

6、限擴展的。 對于粒子，原則上可以無限精確地確定它的質(zhì)量、動量和電對于粒子，原則上可以無限精確地確定它的質(zhì)量、動量和電 荷，粒子可以看成質(zhì)點，荷，粒子可以看成質(zhì)點， 1. 光的波粒二象性光的波粒二象性 稱稱為為波波矢矢 或或 /2 5)-(12 / 4)-(12 k kPhP hE 關(guān)于光的本性歷史上曾經(jīng)一直存在兩種觀點，一是關(guān)于光的本性歷史上曾經(jīng)一直存在兩種觀點，一是 牛頓牛頓1672年提出的光的微粒說；另一種是荷蘭的惠更斯年提出的光的微粒說；另一種是荷蘭的惠更斯 (C. Huygens)1678年提出的光的波動說。兩種觀點都能年提出的光的波動說。兩種觀點都能 說明光的某種特性，但都不能完全解

7、釋光的性質(zhì)。說明光的某種特性，但都不能完全解釋光的性質(zhì)。 后來，后來，1905年愛恩斯坦提出光的量子說，并成功地解釋年愛恩斯坦提出光的量子說，并成功地解釋 了光電效應(yīng)，了光電效應(yīng)，1917年他又提出光子也具有動量的觀點，年他又提出光子也具有動量的觀點， 從而認為光是粒子性和波動性的矛盾統(tǒng)一體，及光具有從而認為光是粒子性和波動性的矛盾統(tǒng)一體，及光具有 波粒二象性波粒二象性，并由愛因斯坦關(guān)系式描述為：，并由愛因斯坦關(guān)系式描述為： 光的這種特性在光的這種特性在1923年的康普頓散射實驗中得到十分清晰年的康普頓散射實驗中得到十分清晰 的體現(xiàn)：在實驗中，用晶體譜儀測定的體現(xiàn)：在實驗中，用晶體譜儀測定X射

8、線波長，它的根據(jù)是射線波長，它的根據(jù)是 波動的衍射現(xiàn)象；而散射對波長的影響方式又只能把波動的衍射現(xiàn)象；而散射對波長的影響方式又只能把X射線當(dāng)射線當(dāng) 作粒子來解釋作粒子來解釋( (關(guān)于關(guān)于X射線的知識我們第六章再講射線的知識我們第六章再講) )。 可見，可見，光在傳播時顯示出波性，在轉(zhuǎn)移能量時顯示出粒子性。光在傳播時顯示出波性，在轉(zhuǎn)移能量時顯示出粒子性。 光既能顯示出波的特性，又能顯示出粒子的特性；但是在任何光既能顯示出波的特性，又能顯示出粒子的特性；但是在任何 一個特定的事例中，光一個特定的事例中，光要么顯出波性，要么顯出粒子性要么顯出波性，要么顯出粒子性，兩者，兩者 決不會同時出現(xiàn)。決不會同

9、時出現(xiàn)。 2. 德布羅意假設(shè)德布羅意假設(shè) 德布羅意指出任何物體都伴隨以波，不可能將物體的運德布羅意指出任何物體都伴隨以波，不可能將物體的運 動和波的傳播分拆開來。這種波稱動和波的傳播分拆開來。這種波稱德布羅意物質(zhì)波德布羅意物質(zhì)波。德布羅。德布羅 意還給出了動量為意還給出了動量為P的粒子所伴隨波的波長的粒子所伴隨波的波長與與P的關(guān)系式，的關(guān)系式， 這就是著名的這就是著名的德布羅意關(guān)系式德布羅意關(guān)系式。 6)-(12 P h 光的波粒二象性是否具有更深刻的普遍意義呢？年輕的法光的波粒二象性是否具有更深刻的普遍意義呢？年輕的法 國人德布羅意反向思考了這一問題。他指出國人德布羅意反向思考了這一問題。他

10、指出:“:“在整個世紀以在整個世紀以 來，人們在輻射理論上，比起關(guān)注波動的研究方法來，是過來，人們在輻射理論上，比起關(guān)注波動的研究方法來，是過 于忽視了粒子的研究方法；在實物理論上，是否發(fā)生了相反于忽視了粒子的研究方法；在實物理論上，是否發(fā)生了相反 的錯誤呢？是否我們關(guān)于粒子的圖象想的太多，而過分忽略的錯誤呢？是否我們關(guān)于粒子的圖象想的太多，而過分忽略 了波的圖象呢？了波的圖象呢？”于是他將光的波粒二象性大膽地賦予了電于是他將光的波粒二象性大膽地賦予了電 子這樣的實物粒子上，即承認子這樣的實物粒子上，即承認實物粒子也具有波粒二象性實物粒子也具有波粒二象性。 P h 德布羅意關(guān)系式德布羅意關(guān)系式

11、 和質(zhì)能關(guān)系式和質(zhì)能關(guān)系式 是近代是近代 2 mcE 物理學(xué)中最重要的兩個關(guān)系式。物理學(xué)中最重要的兩個關(guān)系式。 P h 通過普朗克常量把粒子性和波性聯(lián)系起來；通過普朗克常量把粒子性和波性聯(lián)系起來； 2 mcE 通過光速把能量和質(zhì)量聯(lián)系起來。通過光速把能量和質(zhì)量聯(lián)系起來。 在表面形式上完全不同的物理量之間能找到內(nèi)在的聯(lián)在表面形式上完全不同的物理量之間能找到內(nèi)在的聯(lián) 系，不能不說是物理學(xué)的一大勝利。系，不能不說是物理學(xué)的一大勝利。 普朗克常量的意義普朗克常量的意義: : ( (1) )量子化的量度，即它是不連續(xù)性量子化的量度，即它是不連續(xù)性( (分立性分立性) )程度的量程度的量 度單位。度單位。

12、 ( (2) )聯(lián)系在物質(zhì)的波性和粒子性之間的橋梁。聯(lián)系在物質(zhì)的波性和粒子性之間的橋梁。 3. 德布羅意關(guān)系式的應(yīng)用德布羅意關(guān)系式的應(yīng)用 (1) 推導(dǎo)波爾角動量量子化條件推導(dǎo)波爾角動量量子化條件 若將德布羅意關(guān)系若將德布羅意關(guān)系 式應(yīng)用與氫原子上，原子定態(tài)假設(shè)便和駐波聯(lián)系起來，十式應(yīng)用與氫原子上，原子定態(tài)假設(shè)便和駐波聯(lián)系起來，十 分自然地給出角動量量子化條件。電子要想作穩(wěn)定運動，分自然地給出角動量量子化條件。電子要想作穩(wěn)定運動， 與電子運動對應(yīng)的波就應(yīng)該是一個注波，即電子回轉(zhuǎn)一周與電子運動對應(yīng)的波就應(yīng)該是一個注波，即電子回轉(zhuǎn)一周 的周長應(yīng)為其波長整數(shù)倍。的周長應(yīng)為其波長整數(shù)倍。 這正是玻爾曾用

13、過的角動量量子化條件。這正是玻爾曾用過的角動量量子化條件。 于是有于是有n h nmvr 2 11)-(12 2 , 1,2 n mv h n p h nnr 即即 即即12)-(12 2 , 1, nnL 由此可以看出，一個波要被束縛起來，就必須是一個駐由此可以看出，一個波要被束縛起來，就必須是一個駐 波，而波，而駐波的條件就是角動量量子化條件駐波的條件就是角動量量子化條件。 這正是玻爾的量子化的軌道半徑。這正是玻爾的量子化的軌道半徑。 （2）推導(dǎo)玻爾的量子化軌道半徑推導(dǎo)玻爾的量子化軌道半徑 如果把如果把 代入氫原子總能量表達式中代入氫原子總能量表達式中 r n r nh p 2 16)-(

14、12 4242 2 2 2222 r e mr n r e m p E 17)-(12 053. 0 4 0/ 22 1 2 2 2 nmnnan em r drdE n 給給出出由由 考慮在一個一維剛性匣考慮在一個一維剛性匣 子中的運動粒子（如圖）子中的運動粒子（如圖） 粒子在匣中的動能為粒子在匣中的動能為mv2/2，運動周期為運動周期為T2d/v （3）解決在剛性匣子中的運動粒子問題解決在剛性匣子中的運動粒子問題 于是粒子的動量為于是粒子的動量為 14)-(12 2/ dnhp 按照物質(zhì)波的觀點，物質(zhì)波來回反射形成駐波，駐波波長按照物質(zhì)波的觀點，物質(zhì)波來回反射形成駐波，駐波波長 滿足滿足

15、13)-(12 , 2 , 1 2/2/ npnhnd 15)-(12 8/2/ 2222 mdhnmpEk 動能為動能為 可見匣中的粒子的動量和能量可見匣中的粒子的動量和能量 都是量子化的，都是量子化的，定域的波必然定域的波必然 導(dǎo)致量子化行為導(dǎo)致量子化行為。 4. 德布羅意關(guān)系式的實驗驗證德布羅意關(guān)系式的實驗驗證 德布羅意曾指出由德布羅意曾指出由 于實物粒子的波粒二于實物粒子的波粒二 象性，當(dāng)加速后的電象性，當(dāng)加速后的電 子穿過晶體時，將會子穿過晶體時，將會 發(fā)生電子波的衍射現(xiàn)發(fā)生電子波的衍射現(xiàn) 象。象。1925年戴維孫年戴維孫 革末在一次偶然的事革末在一次偶然的事 故中將鎳單晶化，電故中

16、將鎳單晶化，電 子穿過鎳單晶時，觀子穿過鎳單晶時，觀 察到電子的衍射圖象察到電子的衍射圖象 結(jié)論結(jié)論： 當(dāng)加速電當(dāng)加速電 壓為壓為54 V， 散射角為散射角為 50度時反度時反 射束強度射束強度 出現(xiàn)了一出現(xiàn)了一 個極大值個極大值 電子在單晶金上的衍射圖樣電子在單晶金上的衍射圖樣 射線在晶格中散射示意圖射線在晶格中散射示意圖 圖中，散射平面既圖中，散射平面既 是一個鏡面，也是是一個鏡面，也是 一個晶面，稱這種一個晶面，稱這種 面為面為布喇格面布喇格面， 所所 產(chǎn)生的散射叫做產(chǎn)生的散射叫做布布 喇格散射喇格散射，設(shè)其中，設(shè)其中 橫豎晶格常數(shù)都是橫豎晶格常數(shù)都是 a，入射與出射方，入射與出射方 向

17、的夾角為向的夾角為，兩兩 個相鄰布喇格面的個相鄰布喇格面的 間距間距 sinad 8)-(12 sin na 如右圖，兩條電子波束的波程差為：如右圖，兩條電子波束的波程差為： sinsin2 cossin2cos2 aa ad 存在強波射出的條件是波程差為波存在強波射出的條件是波程差為波 長的整數(shù)倍，即長的整數(shù)倍，即 p h 根據(jù)德布羅意假設(shè)根據(jù)德布羅意假設(shè) ，非相對論近似下，有，非相對論近似下，有 k mE h 2 k Emc hc 2 2 9)-(12 nm )eV( 226. 1 k E 由上述兩式有：由上述兩式有：10)-(12 )eV( nm226. 1 sin k Ea n a n

18、 對鎳，對鎳，a=0.215nm，若入射電子能量為，若入射電子能量為E=54eV，則有，則有 n776. 0sin 一般情況下，一般情況下，n取幾個值（整數(shù)），就有幾個極大值出現(xiàn)在取幾個值（整數(shù)），就有幾個極大值出現(xiàn)在 相應(yīng)的相應(yīng)的 方向上，方向上，n=1,對應(yīng)一級布拉格衍射，對應(yīng)一級布拉格衍射，n=2對應(yīng)二級布對應(yīng)二級布 拉格衍射，等等；上式要有意義拉格衍射，等等；上式要有意義n只能取只能取1，即只有一級布拉，即只有一級布拉 格衍射極大值，計算得：格衍射極大值，計算得： 9 .50776. 0sin 1 又由于電子進入晶格后，在晶格內(nèi)其速度要增大，從而能量又由于電子進入晶格后，在晶格內(nèi)其速度

19、要增大，從而能量 增大，由（增大，由（12-10）式可知角度減小，所以上面得到的理論）式可知角度減小，所以上面得到的理論 值比實驗值要大一些。值比實驗值要大一些。 波長與波長與X射線相同射線相同 的電子衍射圖與的電子衍射圖與X 光衍射圖的比較光衍射圖的比較: : 同年湯姆遜給出電子穿過多晶薄膜的衍射圖同年湯姆遜給出電子穿過多晶薄膜的衍射圖 1961年約恩還給出了電子的單縫和多縫衍射圖年約恩還給出了電子的單縫和多縫衍射圖 隨后人們從實驗還發(fā)現(xiàn)質(zhì)子、中子、原子、分子都具隨后人們從實驗還發(fā)現(xiàn)質(zhì)子、中子、原子、分子都具 有波動性。德布羅意假設(shè)被大量事實證實，為此獲有波動性。德布羅意假設(shè)被大量事實證實，

20、為此獲1929 年諾貝爾物理獎年諾貝爾物理獎。 3.2 波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋 1. . 波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋 2. . 波函數(shù)幾率幅的性質(zhì)波函數(shù)幾率幅的性質(zhì) 3. . 波函數(shù)統(tǒng)計意義的實驗說明波函數(shù)統(tǒng)計意義的實驗說明 1. 波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋 為此，德布羅意引入物質(zhì)波，物質(zhì)波需用為此，德布羅意引入物質(zhì)波，物質(zhì)波需用波函數(shù)波函數(shù)(rt)描描 述。為了給出物質(zhì)波的波函數(shù)的物理意義，述。為了給出物質(zhì)波的波函數(shù)的物理意義，1926年玻恩提年玻恩提 出波函數(shù)的出波函數(shù)的幾率解釋幾率解釋，他指出波振幅的模方與該處發(fā)現(xiàn)粒，他指出波振幅的模方與該處發(fā)現(xiàn)粒 子的幾率成正

21、比。因此德布羅意波函數(shù)是子的幾率成正比。因此德布羅意波函數(shù)是幾率幅幾率幅。這個假。這個假 設(shè)得到散射實驗的支持，取得了人們的認可，玻恩因此獲設(shè)得到散射實驗的支持，取得了人們的認可，玻恩因此獲 得得1954年諾貝爾物理獎。年諾貝爾物理獎。 宏觀世界中采用經(jīng)典物理中的宏觀世界中采用經(jīng)典物理中的“決定性觀念決定性觀念”或者說或者說“嚴嚴 格的因果律格的因果律”解決物理問題。經(jīng)典力學(xué)中，一個受到已知解決物理問題。經(jīng)典力學(xué)中，一個受到已知 力的系統(tǒng)的運動方程及初始條件知道后，就可以求出物體力的系統(tǒng)的運動方程及初始條件知道后，就可以求出物體 任何時刻的運動狀態(tài)任何時刻的運動狀態(tài) 微觀世界中，遇到的問題將與

22、宏觀世界中的截然不同，對微觀世界中，遇到的問題將與宏觀世界中的截然不同，對 此，經(jīng)典物理學(xué)中的觀點也不再成立。此，經(jīng)典物理學(xué)中的觀點也不再成立。 我們知道，波長為我們知道，波長為 ，頻率為，頻率為 ，在，在 方向運動的正弦電磁方向運動的正弦電磁 波的電場強度可以寫成波的電場強度可以寫成： x )(2sin 0 t x EE 相應(yīng)地，在相應(yīng)地，在 方向以恒定線動量運動的粒子，其德布羅意波方向以恒定線動量運動的粒子，其德布羅意波 可以寫成：可以寫成： x )(2sin 0 t x )( 0 trki e 或或 2 2 k ，其其中中 這樣，與物質(zhì)波相聯(lián)系的不僅有一個波長，而且還有個振這樣，與物質(zhì)波

23、相聯(lián)系的不僅有一個波長，而且還有個振 幅幅 ，稱之為稱之為波函數(shù)波函數(shù)。玻恩把玻恩把 解釋為在給定時間、在解釋為在給定時間、在r 處的單位體積中發(fā)現(xiàn)一個粒子的幾率。處的單位體積中發(fā)現(xiàn)一個粒子的幾率。 2 2. 波函數(shù)波函數(shù)幾率幅的性質(zhì)幾率幅的性質(zhì) 首先指出，在量子力學(xué)中，引入波函數(shù)是用來描述量子首先指出，在量子力學(xué)中，引入波函數(shù)是用來描述量子 系統(tǒng)狀態(tài)的，所以波函數(shù)就是系統(tǒng)狀態(tài)的，所以波函數(shù)就是態(tài)函數(shù)態(tài)函數(shù)。玻恩又賦予波函數(shù)以。玻恩又賦予波函數(shù)以 統(tǒng)計詮釋，按照玻恩的觀點：統(tǒng)計詮釋，按照玻恩的觀點： 波函數(shù)波函數(shù)(x)是概率波振幅，簡稱是概率波振幅，簡稱概率幅概率幅； 2 )(x波函數(shù)的模方波

24、函數(shù)的模方 是是幾率密度幾率密度 ( (*代表復(fù)共軛代表復(fù)共軛) )； |(x)|2dx是粒子出現(xiàn)在是粒子出現(xiàn)在xx+dx間隔內(nèi)的概率；間隔內(nèi)的概率； dx x x 2 1 2 粒子出現(xiàn)在粒子出現(xiàn)在x1 x2間隔內(nèi)的概率可表示為間隔內(nèi)的概率可表示為 dxxxxdxxxx)()(*| )(| 2 由于由于|2代表粒子出現(xiàn)的幾率密度，這意味著微觀粒子的代表粒子出現(xiàn)的幾率密度，這意味著微觀粒子的 位置（坐標位置（坐標x）是隨機的，）是隨機的，只能由波函數(shù)給出坐標只能由波函數(shù)給出坐標x的平均的平均 值：值： 2 2 2 2 222 )()(*)()(* )()( )(* )()()()( dxxxxd

25、xxxx dxxxxx dxxxxxxx 相應(yīng)的漲落相應(yīng)的漲落( (偏差偏差) ) 玻恩對波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，還賦予波函數(shù)有如下一些玻恩對波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，還賦予波函數(shù)有如下一些基本基本 性質(zhì)性質(zhì)： 它們描述的相對概率是一樣的。然而對于經(jīng)典的波函數(shù)，它們描述的相對概率是一樣的。然而對于經(jīng)典的波函數(shù)， 這完全對應(yīng)兩種不同的狀態(tài)。這完全對應(yīng)兩種不同的狀態(tài)。 2 2 1 2 2 1 )( )( )( )( x x xc xc 1| )(| 2 dxx 1| | 22 dxc )(x c c i e )(x )(xc ( (2) )波函數(shù)滿足歸一化條件，即波函數(shù)滿足歸一化條件，即 , ,即即 全空間找到

26、粒子的幾率為全空間找到粒子的幾率為1。對于不歸一的波函數(shù)如對于不歸一的波函數(shù)如 ， 總可以乘以一個常數(shù)總可以乘以一個常數(shù)c成成 ，使使 歸一歸一，即即 即使這樣波函數(shù)仍允許差一個即使這樣波函數(shù)仍允許差一個 因子。就幾率因子。就幾率分布而言，分布而言， 重要的是相對幾率分布，不難看出重要的是相對幾率分布，不難看出 與與 ( (c為常為常 數(shù)數(shù)) )所描述的相對幾率分布是完全相同的，因為在空間兩所描述的相對幾率分布是完全相同的，因為在空間兩 點點x1和和x2，的相對幾率為的相對幾率為: : ( (1) )波函數(shù)是單值，連續(xù)，有限的波函數(shù)是單值，連續(xù)，有限的； 3. 波函數(shù)統(tǒng)計意義的實驗說明波函數(shù)統(tǒng)

27、計意義的實驗說明 讓我們再回到對光的認識上，人們用光子概念出奇地解讓我們再回到對光的認識上，人們用光子概念出奇地解 釋了光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)，并發(fā)現(xiàn)了光的波粒二象性，即釋了光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)，并發(fā)現(xiàn)了光的波粒二象性，即 在上述的物理過程中光的能量和動量都是以一份一份進行交在上述的物理過程中光的能量和動量都是以一份一份進行交 換的。那么用光子觀點將如何解釋光波的波動性，如干涉和換的。那么用光子觀點將如何解釋光波的波動性，如干涉和 衍射現(xiàn)象呢衍射現(xiàn)象呢? ?為此人們減弱光強觀察干涉和衍射這些代表波為此人們減弱光強觀察干涉和衍射這些代表波 動性的現(xiàn)象?，F(xiàn)代技術(shù)允許將光強減弱到每次只接收單個光動性的

28、現(xiàn)象。現(xiàn)代技術(shù)允許將光強減弱到每次只接收單個光 子的精度，這稱子的精度，這稱單光子干涉、衍射實驗單光子干涉、衍射實驗。結(jié)果發(fā)現(xiàn)。結(jié)果發(fā)現(xiàn): : 在每次實驗中每個光子的去向完全是隨機的，然而當(dāng)把在每次實驗中每個光子的去向完全是隨機的，然而當(dāng)把 長時間記錄的大量的單光子圖片拼集在一塊時，發(fā)現(xiàn)這種集長時間記錄的大量的單光子圖片拼集在一塊時，發(fā)現(xiàn)這種集 合圖樣正是用一束強光合圖樣正是用一束強光( (大量光子大量光子) )在瞬間顯示的干涉圖樣。在瞬間顯示的干涉圖樣。 由一個一個光子在多次實驗所表現(xiàn)出的總累積效果與大由一個一個光子在多次實驗所表現(xiàn)出的總累積效果與大 量光子在一次實驗所表現(xiàn)出的整體效果完全一

29、模一樣，深刻量光子在一次實驗所表現(xiàn)出的整體效果完全一模一樣，深刻 地揭示出地揭示出光的干涉，衍射光的干涉，衍射并不是不同光子間的相互作用的結(jié)并不是不同光子間的相互作用的結(jié) 果，而果，而是大量偶然事件總體表現(xiàn)出來的一種統(tǒng)計行為是大量偶然事件總體表現(xiàn)出來的一種統(tǒng)計行為。 如果將頻率為如果將頻率為v的光波看作是具有能量的光波看作是具有能量( (hv) )光子的集合光子的集合， 那么光強那么光強I或光波振幅的模方等于光子能量或光波振幅的模方等于光子能量hv與光子通量密與光子通量密 度的乘積，這樣光波振幅模方度的乘積，這樣光波振幅模方|(x)|2可理解為光子出現(xiàn)在某可理解為光子出現(xiàn)在某 處的幾率密度。處

30、的幾率密度。 如果將對光波的這如果將對光波的這 種認識移植到德布羅意種認識移植到德布羅意 物質(zhì)波上，那么對玻恩物質(zhì)波上，那么對玻恩 賦予波函數(shù)統(tǒng)計詮釋也賦予波函數(shù)統(tǒng)計詮釋也 就不難理解了。人們用就不難理解了。人們用 同樣的思想進行電子的同樣的思想進行電子的 雙縫干涉實驗，發(fā)現(xiàn)當(dāng)雙縫干涉實驗，發(fā)現(xiàn)當(dāng) 大量電子通過雙縫后，大量電子通過雙縫后， 在屏上的電子強度分布在屏上的電子強度分布 圖圖( (c) )與光束的兩縫干與光束的兩縫干 涉圖樣涉圖樣（a）是相同的，是相同的， 與子彈穿過雙孔的分布與子彈穿過雙孔的分布 圖圖（b）完全不同。完全不同。 實驗已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，不論我們把入射光強減弱到什么程度，實驗已

31、經(jīng)發(fā)現(xiàn)，不論我們把入射光強減弱到什么程度， 只要屏幕的曝光時間足夠長，我們?nèi)匀豢梢杂^察到雙縫干涉只要屏幕的曝光時間足夠長，我們?nèi)匀豢梢杂^察到雙縫干涉 的圖象。當(dāng)光強非常弱時，從光量子的觀點看，入射光已弱的圖象。當(dāng)光強非常弱時，從光量子的觀點看，入射光已弱 到使光子一個一個地通過狹縫！到使光子一個一個地通過狹縫！ 同時，現(xiàn)代的實驗技術(shù)已可使電子流減弱到如此程度，同時，現(xiàn)代的實驗技術(shù)已可使電子流減弱到如此程度， 使電子發(fā)射的間隔時間使電子發(fā)射的間隔時間( (或者，電子到達屏幕的間隔時間或者，電子到達屏幕的間隔時間) )比比 個別電子通過狹縫的時間長千萬倍，當(dāng)我們在屏幕上記錄電個別電子通過狹縫的時間

32、長千萬倍，當(dāng)我們在屏幕上記錄電 子時，雖然在開始時得到的電子分布似乎是毫無規(guī)律的，但子時，雖然在開始時得到的電子分布似乎是毫無規(guī)律的，但 是，積累的時間長了，我們?nèi)匀坏玫搅穗p縫干涉圖象是，積累的時間長了，我們?nèi)匀坏玫搅穗p縫干涉圖象! ! 另外，不論光子、電子、還是中子、質(zhì)子，我們都得到另外，不論光子、電子、還是中子、質(zhì)子，我們都得到 了類似的結(jié)果。這些結(jié)果充分表明干涉圖象的出現(xiàn)體現(xiàn)了微了類似的結(jié)果。這些結(jié)果充分表明干涉圖象的出現(xiàn)體現(xiàn)了微 觀粒了的共同特性，而且它并不是由微觀粒子相互之間作用觀粒了的共同特性，而且它并不是由微觀粒子相互之間作用 產(chǎn)生的，而是個別微觀粒子屬性的集體質(zhì)獻。產(chǎn)生的，而是

33、個別微觀粒子屬性的集體質(zhì)獻。 我們一般認為，一個電子通過縫我們一般認為，一個電子通過縫 1(2)時，縫時，縫2(1)是否打開對它沒有是否打開對它沒有 任何影響，這樣的話縫任何影響，這樣的話縫1、2同時同時 打開時屏上的強度應(yīng)該是分別打打開時屏上的強度應(yīng)該是分別打 開時強度之和，事實卻非如此，開時強度之和，事實卻非如此， 即兩個縫對同一電子都有影響，即兩個縫對同一電子都有影響， 難道難道 如右圖，如右圖，P1、P2為光源，如果有為光源，如果有 電子通過，則通過的電子把光子電子通過，則通過的電子把光子 散射到相應(yīng)的探測器散射到相應(yīng)的探測器D1、D2中，中， 從而就探測出電子的具體路徑。從而就探測出

34、電子的具體路徑。 但是最終結(jié)果卻是：當(dāng)我們在狹但是最終結(jié)果卻是：當(dāng)我們在狹 縫旁邊窺視到電子的行為時，干縫旁邊窺視到電子的行為時，干 涉就消失了；不窺視的時候，干涉就消失了；不窺視的時候，干 涉現(xiàn)象又產(chǎn)生了！涉現(xiàn)象又產(chǎn)生了！ 電子分身電子分身！ 這顯然是不可能的。這顯然是不可能的。 為了理解電子干涉圖樣是怎么形成的，人們也用單個電子為了理解電子干涉圖樣是怎么形成的，人們也用單個電子 進行實驗，右圖是六張電子雙縫干涉的比較圖，圖進行實驗，右圖是六張電子雙縫干涉的比較圖，圖( (a) )是僅一個是僅一個 電子通過雙縫在屏上出現(xiàn)的圖樣，電子通過雙縫在屏上出現(xiàn)的圖樣， 圖（圖（b）和（）和（c）分別是

35、幾個電子）分別是幾個電子 通過雙縫后的干涉圖樣，圖（通過雙縫后的干涉圖樣，圖（d） 和（和（c）和（）和（f）則是更多的電子）則是更多的電子 通過雙縫后形成的干涉圖樣。這通過雙縫后形成的干涉圖樣。這 些干涉圖說明這樣一個事實：就些干涉圖說明這樣一個事實：就 單個電子而言，出現(xiàn)何處是隨機單個電子而言，出現(xiàn)何處是隨機 的，但大量電子通過雙縫后總體的，但大量電子通過雙縫后總體 表現(xiàn)出一種統(tǒng)計規(guī)律，顯示出干表現(xiàn)出一種統(tǒng)計規(guī)律，顯示出干 涉圖樣。這些實驗，都是用任何涉圖樣。這些實驗，都是用任何 經(jīng)典方法所絕對不能解釋的，但經(jīng)典方法所絕對不能解釋的，但 是，量子力學(xué)的核心正是包含在是，量子力學(xué)的核心正是包

36、含在 這些實驗之中。這些實驗之中。 上式中的后兩項代表相干項，顯示出波動性。所以微觀世界的統(tǒng)上式中的后兩項代表相干項，顯示出波動性。所以微觀世界的統(tǒng) 計規(guī)律是計規(guī)律是幾率幅相加律幾率幅相加律( (不是經(jīng)典幾率直接相加不是經(jīng)典幾率直接相加) )。物理學(xué)大師費。物理學(xué)大師費 曼把幾率幅疊加稱為曼把幾率幅疊加稱為“量子力學(xué)的第一原理量子力學(xué)的第一原理”。他這樣寫到。他這樣寫到“如如 果一個事件可能有幾種方式實現(xiàn)，則該事件的幾率幅就是各種單果一個事件可能有幾種方式實現(xiàn)，則該事件的幾率幅就是各種單 獨實現(xiàn)的幾率幅之和，于是出現(xiàn)了干涉獨實現(xiàn)的幾率幅之和，于是出現(xiàn)了干涉”。顯示了波動性。顯示了波動性。 *|

37、 2121 2 2 2 1 2 21 2 P 另一個問題是，既然微觀粒子服從統(tǒng)計規(guī)律，為什么不引入幾率另一個問題是，既然微觀粒子服從統(tǒng)計規(guī)律，為什么不引入幾率 直接進行描述，卻要借用波函數(shù)直接進行描述，卻要借用波函數(shù)幾率幅來描述呢幾率幅來描述呢? ?按照幾率按照幾率 論，一個事件假若有兩種可能發(fā)生，其幾率分別是論，一個事件假若有兩種可能發(fā)生，其幾率分別是P1和和P2 ，那么，那么 該事件出現(xiàn)的幾率是該事件出現(xiàn)的幾率是P= P1+P2 。顯然這種幾率相加不會出現(xiàn)干。顯然這種幾率相加不會出現(xiàn)干 涉效應(yīng)，不顯示微觀粒子的波動性，完全是經(jīng)典的描述圖象。反涉效應(yīng)，不顯示微觀粒子的波動性，完全是經(jīng)典的描述

38、圖象。反 之，若一個事件有兩種可能發(fā)生的幾率幅之，若一個事件有兩種可能發(fā)生的幾率幅1 和和2 ，該事件發(fā)生，該事件發(fā)生 的幾率幅是的幾率幅是1和和2之疊加，即之疊加，即= 1 + 2 那么相應(yīng)的幾率是那么相應(yīng)的幾率是 波函數(shù)是幾率幅，波函數(shù)又是描述量子體系的態(tài)函數(shù)，所波函數(shù)是幾率幅，波函數(shù)又是描述量子體系的態(tài)函數(shù)，所 以波的疊加就是以波的疊加就是態(tài)的疊加態(tài)的疊加。波的疊加導(dǎo)致了干涉、衍射的波動。波的疊加導(dǎo)致了干涉、衍射的波動 性。態(tài)的疊加更深刻的含義是，如果態(tài)性。態(tài)的疊加更深刻的含義是，如果態(tài)1是系統(tǒng)的一個可能是系統(tǒng)的一個可能 態(tài)，態(tài)，2也是系統(tǒng)的另一個可能態(tài)，那么也是系統(tǒng)的另一個可能態(tài)，那么

39、c11+c22 也是系統(tǒng) 也是系統(tǒng) 的可能態(tài)的可能態(tài)。這個態(tài)既不完全是。這個態(tài)既不完全是1，也不完全是態(tài)，也不完全是態(tài)2。而是它。而是它 們的混合態(tài)。這種混合態(tài)導(dǎo)致了量子干涉效應(yīng)。也導(dǎo)致了在疊們的混合態(tài)。這種混合態(tài)導(dǎo)致了量子干涉效應(yīng)。也導(dǎo)致了在疊 加態(tài)下測量結(jié)果的不確定性。加態(tài)下測量結(jié)果的不確定性。 總之，從微觀客體的波粒二象性，人們悟出了波函數(shù)的統(tǒng)總之，從微觀客體的波粒二象性，人們悟出了波函數(shù)的統(tǒng) 計意義。波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋又把波粒二象性有機地聯(lián)系起來；計意義。波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋又把波粒二象性有機地聯(lián)系起來； 幾率幅即波函數(shù)的模方幾率幅即波函數(shù)的模方 |2 代表微觀粒子出現(xiàn)的幾率密度，代表微觀粒

40、子出現(xiàn)的幾率密度， 而幾率幅即波函數(shù)的疊加，導(dǎo)致干涉、衍射等效應(yīng)，顯示出波而幾率幅即波函數(shù)的疊加，導(dǎo)致干涉、衍射等效應(yīng)，顯示出波 動性。幾率幅有兩大特征量：模和相位，而后者在量子力學(xué)中動性。幾率幅有兩大特征量：模和相位，而后者在量子力學(xué)中 伴演著重要的角色。伴演著重要的角色。 3.3 不確定關(guān)系不確定關(guān)系 1. 不確定關(guān)系不確定關(guān)系 2. 不確定關(guān)系的例舉不確定關(guān)系的例舉 1. 不確定關(guān)系不確定關(guān)系 8)-(13 2 x px 接受了波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，完全摒棄了經(jīng)典粒子的軌道概接受了波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，完全摒棄了經(jīng)典粒子的軌道概 念，即排除了粒子每時每刻有確定的位置和確定的動量。由于念，即排除了

41、粒子每時每刻有確定的位置和確定的動量。由于 表示粒子出現(xiàn)在表示粒子出現(xiàn)在xx+dx間隔的概率，所以由波函數(shù)間隔的概率，所以由波函數(shù) 只能給出粒子位置的平均值只能給出粒子位置的平均值 ，同樣對粒子的動，同樣對粒子的動 量也只能知道其統(tǒng)計平均值量也只能知道其統(tǒng)計平均值 。海森伯還進一步。海森伯還進一步 指出，平均偏差指出，平均偏差 乘積有一個最小的限制，即乘積有一個最小的限制，即 2 xx 及及其其偏偏差差 2 xx pp 及其漲落及其漲落 x px dx 2 |(x)| 這個關(guān)系稱這個關(guān)系稱不確定關(guān)系不確定關(guān)系。以前的文獻中也稱為測不準關(guān)系。以前的文獻中也稱為測不準關(guān)系 2 x px 上式表明，

42、當(dāng)粒子被局限在上式表明，當(dāng)粒子被局限在x方向的一個有限范圍方向的一個有限范圍 內(nèi)時，內(nèi)時， 它所相應(yīng)的動量分量它所相應(yīng)的動量分量Px必然有一個不確定的數(shù)值范圍必然有一個不確定的數(shù)值范圍 ， 兩者的乘積滿足兩者的乘積滿足 。換言之，假如。換言之，假如x的位置完全的位置完全 確定確定( )( )，那么粒子可以具有的動量，那么粒子可以具有的動量Px的數(shù)值就完全的數(shù)值就完全 不確定不確定( )( )；當(dāng)粒子處于一個；當(dāng)粒子處于一個Px數(shù)值充全確定的狀數(shù)值充全確定的狀 態(tài)時態(tài)時( )( )，我們就無法在，我們就無法在x方向把粒子固定住，即粒方向把粒子固定住，即粒 子在子在x方向的位置是完全不確定的（方向

43、的位置是完全不確定的（ ）。）。 x x p 2/ x px 0 x x p 0 x p x 粒子在客觀上不能同時具有確定的坐標位置及相應(yīng)的動量。粒子在客觀上不能同時具有確定的坐標位置及相應(yīng)的動量。 在量子力學(xué)中我們將學(xué)習(xí)到任何兩個不對易的力學(xué)量，在量子力學(xué)中我們將學(xué)習(xí)到任何兩個不對易的力學(xué)量， 在任何量子態(tài)下的平均漲落都有相應(yīng)的不確定關(guān)系。從在任何量子態(tài)下的平均漲落都有相應(yīng)的不確定關(guān)系。從 而時間和能量的不確定關(guān)系是：而時間和能量的不確定關(guān)系是： 9)-(13 2 Et 上式表明，若一粒子在能量狀態(tài)上式表明，若一粒子在能量狀態(tài)E只能停留只能停留 時間，那時間，那 么，在這段時間內(nèi)粒子的能量狀

44、態(tài)并非完全確定，它有么，在這段時間內(nèi)粒子的能量狀態(tài)并非完全確定，它有 一個彌散一個彌散 ；只有當(dāng)粒子的停留時間為無；只有當(dāng)粒子的停留時間為無 限長時限長時( (即處于即處于穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)) )，它的能量狀態(tài)才是完全確定的，它的能量狀態(tài)才是完全確定的 ( )( )。 t tE 2/ 0 E 不確定關(guān)系十分有用，利用這個簡單的不確定關(guān)系式，不確定關(guān)系十分有用，利用這個簡單的不確定關(guān)系式， 常?？梢苑奖愕貙σ恍┪锢砹孔鞒鰯?shù)量級上的估算。下常?？梢苑奖愕貙σ恍┪锢砹孔鞒鰯?shù)量級上的估算。下 面以幾個具體例子加以說明。面以幾個具體例子加以說明。 x p 0 x x p 不確定關(guān)系是量子力學(xué)的又一條重要規(guī)律。它定

45、量地揭不確定關(guān)系是量子力學(xué)的又一條重要規(guī)律。它定量地揭 示了粒子坐標和動量的不確定度。這樣經(jīng)典的軌道概念示了粒子坐標和動量的不確定度。這樣經(jīng)典的軌道概念 在這里完全失去了意義，不確定關(guān)系是波粒二象性的必在這里完全失去了意義，不確定關(guān)系是波粒二象性的必 然結(jié)果。因為，粒子作一定的軌道運動時，它的位置然結(jié)果。因為，粒子作一定的軌道運動時，它的位置x 是完全確定的，即是完全確定的，即 ，那么根據(jù)，那么根據(jù)（13-8）式，其式，其 具有的動量具有的動量 就是完全不確定的了，即就是完全不確定的了，即 ，就，就 顯然是不可能發(fā)生的！顯然是不可能發(fā)生的！ 2. 不確定關(guān)系的例舉不確定關(guān)系的例舉 d 1 hp

46、px ox 例題例題1 討論單縫衍射的不確定關(guān)系討論單縫衍射的不確定關(guān)系 如圖所示，位置的不確定，由縫寬模如圖所示，位置的不確定，由縫寬模x=d 給出。給出。x方向方向 的動量不確定的動量不確定度度px用衍射一級極小的半角寬度用衍射一級極小的半角寬度表示，即表示，即 是入射光子動量。按照波的衍射理論，是入射光子動量。按照波的衍射理論， 第一級衍射極小的角位置為第一級衍射極小的角位置為 oox ppppp,/ 1 于是有于是有 例題例題2 束縛粒子的最小動能束縛粒子的最小動能 假設(shè)粒子被束縛在線度為假設(shè)粒子被束縛在線度為r的范圍內(nèi)，則的范圍內(nèi)，則x=r 那么，由不確定關(guān)系，粒子的動能至少為：那么

47、，由不確定關(guān)系，粒子的動能至少為： rx px 22 平平均均 又又因因為為)( 2 xxx ppp 三維空間中，三維空間中，平均平均平均平均 )( 3 1 )( 22 ppx 所以，粒子的最小平均動能為所以，粒子的最小平均動能為 13)-(13 8 3 2 )( 2 2 2 mrm p Ek 平平均均 這就是粒子的最小平均動能這就是粒子的最小平均動能E不為零的結(jié)論不為零的結(jié)論 又因為束縛在空間的粒子的動量在任何方向上的平均分量又因為束縛在空間的粒子的動量在任何方向上的平均分量 都為零，即都為零，即 ，所以，所以 平均平均 )()( 22 xx pp 0 _ x p 解：對于數(shù)量級為解：對于數(shù)

48、量級為10 14m大小的核，位置的不確定度取為 大小的核，位置的不確定度取為 按照不確定關(guān)系，動量不確定度為按照不確定關(guān)系，動量不確定度為 p m p s m kg10 10 20 14 動能約為動能約為Mev20 24222 cmcmpcE ook 例例題題3 在在 衰變中，若電子是從原子核中逃逸出來衰變中，若電子是從原子核中逃逸出來 的，試估計它在核中的動能的，試估計它在核中的動能 通常通常 衰變的動能遠小于該值。所以簡單的估算排除衰變的動能遠小于該值。所以簡單的估算排除 了電子在核內(nèi)的可能性，在原子核內(nèi)只能存放質(zhì)子和中子。了電子在核內(nèi)的可能性，在原子核內(nèi)只能存放質(zhì)子和中子。 電子可以被束

49、縛在線度為電子可以被束縛在線度為0.05nm的原子內(nèi)是可能的。的原子內(nèi)是可能的。 mx 14 10 解：以高爾夫球為例，一個質(zhì)量解：以高爾夫球為例，一個質(zhì)量45g的高爾夫球，以的高爾夫球，以 40m/s的速度飛行，如果動量的不確定度是的速度飛行，如果動量的不確定度是1%，位置的不，位置的不 確定度可估算為確定度可估算為 數(shù)值是極其微小的，因此，球類運動員大可不必為球數(shù)值是極其微小的，因此，球類運動員大可不必為球 的波動性而擔(dān)憂。的波動性而擔(dān)憂。 m104 %1m/s40kg1045 sJ106 32 3 34 x 例題例題4 估算宏觀物體的不確定性估算宏觀物體的不確定性 原子所發(fā)射的光是由電子

50、在兩個能級之間躍遷產(chǎn)生的。原子所發(fā)射的光是由電子在兩個能級之間躍遷產(chǎn)生的。 如果兩個能級有確定的值，那么由頻率條件將得到有確定頻如果兩個能級有確定的值，那么由頻率條件將得到有確定頻 率率( (或波長或波長) )的譜線。但是，由于處在激發(fā)態(tài)能級上的電子壽的譜線。但是，由于處在激發(fā)態(tài)能級上的電子壽 命命( (t) )有限，即有限，即t不能是無限長，按照不確定關(guān)系，這意味不能是無限長，按照不確定關(guān)系，這意味 著能級存在著一定的能級寬度著能級存在著一定的能級寬度EE，這導(dǎo)致輻射光譜不再是，這導(dǎo)致輻射光譜不再是 單一頻率，而有一定頻率寬度，稱之為單一頻率，而有一定頻率寬度，稱之為譜線自然寬度譜線自然寬度

51、。如果。如果 激發(fā)態(tài)的壽命為激發(fā)態(tài)的壽命為t=10-8s 那么那么 eV103 . 3 )eV( 103102 1010197 22 8 88 615 tc c t E 例題例題5 光譜線的自然寬度光譜線的自然寬度 則，譜線的自然寬度為則，譜線的自然寬度為 總之應(yīng)用不確定關(guān)系的例子不勝枚舉，它是微觀世界總之應(yīng)用不確定關(guān)系的例子不勝枚舉，它是微觀世界 中的一條基本規(guī)律。中的一條基本規(guī)律。 我們稱之為我們稱之為“不確定關(guān)系不確定關(guān)系”，但是它帶來的卻是微觀，但是它帶來的卻是微觀 世界的精確性！只是它與經(jīng)典物理學(xué)的世界的精確性！只是它與經(jīng)典物理學(xué)的“精確性精確性”有有 著質(zhì)的區(qū)別。著質(zhì)的區(qū)別。 不過

52、能級的壽命還常常受外界條件的影響，如氣體中不過能級的壽命還常常受外界條件的影響，如氣體中 原子彼此之間不斷地碰撞可以增大躍遷譜線的寬度，原子彼此之間不斷地碰撞可以增大躍遷譜線的寬度， 且增大的值遠遠大于自然寬度，所以為了減少這種增且增大的值遠遠大于自然寬度，所以為了減少這種增 寬，研究中光源常處在低氣壓狀態(tài)。寬，研究中光源常處在低氣壓狀態(tài)。 。MHz0 . 8seV151014. 4/eV103 . 3/ 8 hE 3.4 力學(xué)量的算符表示及其本征值方程力學(xué)量的算符表示及其本征值方程 1. 力學(xué)量算符的引出力學(xué)量算符的引出 2. 力學(xué)量算符的表示及其力學(xué)量算符的表示及其 本征值方程本征值方程

53、1. 力學(xué)量算符的引出力學(xué)量算符的引出 dxxxpxp xx )()()(* dppppp)()(* 考慮一個問題：如何在坐標表象的態(tài)函數(shù)考慮一個問題：如何在坐標表象的態(tài)函數(shù) 中求粒子中求粒子的的 動量動量px的平均值的呢？若寫成的平均值的呢？若寫成 )(x 式中的式中的px( (x) )是在坐標取是在坐標取x值的動量值。海森伯不確定關(guān)系指出值的動量值。海森伯不確定關(guān)系指出 這是不可能的，這是不可能的， px(x)是沒有意義的。我們必須引入動量是沒有意義的。我們必須引入動量( (表象表象) ) 波函數(shù)波函數(shù) 是粒子動量在是粒子動量在p p+dp間隔內(nèi)的幾率，間隔內(nèi)的幾率， 那么動量的平均值方可

54、寫成那么動量的平均值方可寫成 dppp 2 | )(|),( 但又出現(xiàn)了一個問題，如果物理量既含動量又含坐標，但又出現(xiàn)了一個問題，如果物理量既含動量又含坐標， 如能量如能量E=p2/2m+V(x) ，又如何求能量的平均值呢，又如何求能量的平均值呢? ?所以我們所以我們 必須給出一個更一般的表達式。其實必須給出一個更一般的表達式。其實(x) 和和(px)之間有一之間有一 種變換關(guān)系種變換關(guān)系傅立葉變換，即傅立葉變換，即 2 )()( 2 )()( / / dx exp dp epx hxip x x hxip x x x 那么：那么： dx dp pepx pdpp dx expdpppp x

55、x hxip x xxx hxp i xxxxx x x 2 )()(* )()( 2 )()()()(* / * / dxx x ix dx dp ep x ix dx dp pe x ixp x hxip x x x hxip x x x )()(* 2 )()(* 2 )()(* / / _ 利用算符作用關(guān)系利用算符作用關(guān)系 ，上式寫為：，上式寫為： hxip x hxip xx epe x i / 上式指出，如果把動量上式指出，如果把動量px改換成算符形式改換成算符形式 ，那么，那么 用坐標表象的波函數(shù)用坐標表象的波函數(shù)(x)，也可求動量的平均值。上面的，也可求動量的平均值。上面的 推

56、導(dǎo)還給出推導(dǎo)還給出動量算符動量算符px的的本征值方程式本征值方程式: : x i hxip x hxip xx epe x i / dx dp pepxp x x hxip xx x 2 )()(* / 2. 力學(xué)量算符的表示及其本征值方程力學(xué)量算符的表示及其本征值方程 量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)相比有兩個顯著的區(qū)別，一個是專門量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)相比有兩個顯著的區(qū)別，一個是專門 引入態(tài)函數(shù)引入態(tài)函數(shù)( (波函數(shù)波函數(shù)) )描述體系的狀態(tài)，另一個是用算符表示力描述體系的狀態(tài)，另一個是用算符表示力 學(xué)量。在坐標表象中即在學(xué)量。在坐標表象中即在(x)中求動量的平均值中求動量的平均值, ,須把須把px換成換成

57、 算符形式算符形式 , ,記為記為 , , x i x ipx z ipp y ipp xx yy 類似的類似的 ipp動量的算符是動量的算符是 2 22 2 2 m T m p Ek 動能的算符是動能的算符是 在坐標表象中，凡在坐標表象中，凡x函數(shù)的力學(xué)量，其算符就是本身。如勢函數(shù)的力學(xué)量，其算符就是本身。如勢 能能V(x)的算符就是的算符就是V(x) 。這樣總能量。這樣總能量( (動能加勢能動能加勢能) )的算符是的算符是 )( 2 2 2 rV m H 在經(jīng)典力學(xué)中，由位置矢量和動量可組合成其他力學(xué)量，在經(jīng)典力學(xué)中，由位置矢量和動量可組合成其他力學(xué)量， 如角動量力學(xué)量如角動量力學(xué)量L=r

58、p。在量子力學(xué)里，相應(yīng)的角動量算符在量子力學(xué)里，相應(yīng)的角動量算符 是是 riirprL )( 在直角坐標系中在直角坐標系中 )( )( )( x y y xipypxL z x x zipxpzL y z z yipzpyL xyz zxy yzx 在球坐標系在球坐標系 (r,) ) 中，借助于直角坐標和球坐標之間的中，借助于直角坐標和球坐標之間的 如下關(guān)系（見下圖）如下關(guān)系（見下圖） x y rz r z ry zyxrrx tancos cossinsin cossin 2222 不難給出角動量各分量表達式：不難給出角動量各分量表達式： iLiL iL zy x ),sincot(cos

59、)coscot(sin 角動量平方算符在球坐標系的表示是角動量平方算符在球坐標系的表示是 2 2 2 2222 2 sin 1 sin sin 1 zyx LLLL 力學(xué)量算符有一個重要的性質(zhì)，即代表力學(xué)量的兩個算符力學(xué)量算符有一個重要的性質(zhì)，即代表力學(xué)量的兩個算符 的乘積一般是不對易的。用符號的乘積一般是不對易的。用符號 的的 對易關(guān)系對易關(guān)系，若，若 兩個算符對易，即滿足交換率；若兩個算符對易，即滿足交換率；若 ，兩個算符不對易。很容易證明，兩個算符不對易。很容易證明 FGGFFGFG , , 表表示示 0 , FG 0 , FG 0, , yxzxzy zyx pzpzpypypxpx

60、ipzpypx 利用以上關(guān)系式和角動量直角坐標分量算符的表達式利用以上關(guān)系式和角動量直角坐標分量算符的表達式, ,也也 不難證明不難證明 0 , , 0L , , , , 22 zyxz xzyzyx LLLLiLL LiLLLiLL 例例如如 角動量平方算符的本征方程是角動量平方算符的本征方程是 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f與與g只差一個常數(shù)只差一個常數(shù)時時, ,即即 ,該方程稱函數(shù)該方程稱函數(shù)f 的本征方程，的本征方程，f 稱本征函數(shù)稱本征函數(shù), ,一組數(shù)一組數(shù)稱本征值。例如能量的本稱本征值。例如能量的本 征方程是征方程是 ff nnn EH ),()1(),(),( 22 lll YllaYYL 角動