概率論自學(xué)報(bào)告

1、 上海大學(xué)20132014學(xué)年秋季學(xué)期本科生課程自學(xué)報(bào)告課程名稱： 概率論與隨機(jī)過程 課程編號(hào)： 07275061 題目: 學(xué)生姓名: 王鵬 學(xué) 號(hào): 12123398 評(píng)語:成 績: 任課教師: 曾祥龍 評(píng)閱日期: 概率論與隨機(jī)過程課程自學(xué)報(bào)告 2014年10月17日摘要： 在概率論和隨機(jī)信號(hào)課程的學(xué)習(xí)中，我們?cè)诨A(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)上進(jìn)行了自學(xué)總結(jié)及應(yīng)用的拓展。本文介紹隨機(jī)變量的特征函數(shù)、大數(shù)定理和中心極限定理、隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)特性，功率譜密度及其通過線性系統(tǒng)，并介紹大數(shù)定理和中心極限定理的應(yīng)用，在保險(xiǎn)行業(yè)中的應(yīng)用。1、 自學(xué)小結(jié)1、隨機(jī)變量的特征函數(shù)小結(jié) 設(shè)c（u）=為隨機(jī)變量x的特征函數(shù)，其中f

2、(x)為隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)。對(duì)于離散隨機(jī)變量x，e總是存在的，對(duì)于離散隨機(jī)變量x，特征函數(shù)為c（u）=e總是存在的，對(duì)于離散隨機(jī)變量x，特征函數(shù)為c（u）=e=。px=xi，隨機(jī)變量的特征函數(shù)和其概率密度函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)的關(guān)系。 隨機(jī)變量的特征函數(shù)具有很多性質(zhì)，其中應(yīng)用最為廣泛的就是相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于各隨機(jī)變量特征函數(shù)之積，即若y=，式中xn為n個(gè)兩兩互相獨(dú)立的隨機(jī)變量。則r（t）=。它能把尋求獨(dú)立隨機(jī)變量和的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換成乘法運(yùn)算。2、大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定理：古典的大數(shù)定律表明事件發(fā)生的頻率依概率1收斂于事件的概率，所以當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)可以用事件的頻率代替

3、概率。但古典大數(shù)定理用處有限，更多的時(shí)候我們要用強(qiáng)大數(shù)定理來代替。xk是相互獨(dú)立的且具有公共分布的隨機(jī)變量序列，如果其期望u=e（xk）存在，則對(duì)0,總有，說明平均數(shù)與期望之間的偏差小于任意給定的輸?shù)母怕授呌?，即無限次試驗(yàn)的樣本均值以概率1收斂于總體均值。 大數(shù)定理討論了隨機(jī)變量的樣本均值的幾乎處處收斂的依概率收斂，而中心極限定理研究當(dāng)n較大時(shí)，隨機(jī)變量的部分和sn的概率分布問題，即隨機(jī)變量的分布函數(shù)f（x）。 中心極限定理：設(shè)從均值為、方差為2;（有限）的任意一個(gè)總體中抽取樣本量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為2/n 的正態(tài)分布。3、隨機(jī)序列 將連續(xù)隨機(jī)過

4、程xt以ts為間隔進(jìn)行等間隔抽樣，即得到隨機(jī)序列x（n）。一個(gè)n點(diǎn)的隨機(jī)序列可以看成是一個(gè)n維的隨機(jī)向量。隨機(jī)序列的一維概率分布函數(shù)和一維概率密度函數(shù)只描述隨機(jī)序列在某一時(shí)刻n的統(tǒng)計(jì)特稱。常用如均值，方差，自相關(guān)函數(shù)等容易得到的數(shù)字特性描述隨機(jī)序列。估值問題是從有限的樣本出發(fā)找到總體的統(tǒng)計(jì)特性。經(jīng)過抽樣的量化得到代表原過程的隨機(jī)序列，抽樣時(shí)間足夠小，損失的信息量可以忽略。 隨機(jī)序列的功率譜密度可以定義為自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。隨機(jī)序列的離散自相關(guān)函數(shù)可表示為：兩邊取傅里葉變換：gx（w）=易知上式為連續(xù)函數(shù)，若只考慮（-/ts,/ts）上的值，再令ts=1可得：rx（k）=1/2，gx（w）=

5、，可以看出，隨機(jī)序列的功率譜密度是一個(gè)非負(fù)的實(shí)偶函數(shù)。 隨機(jī)序列在時(shí)間上離散取值，自相關(guān)函數(shù)也是在時(shí)間離散點(diǎn)上定義。隨機(jī)序列通過一階fir濾波器，聲音和噪聲通過平均器處理，信號(hào)功率保持不變，噪聲功率減少一半，信噪比增加了3db。隨機(jī)序列x（n）通過離散線性系統(tǒng)h（n）后得到y(tǒng)（n），則y（n）為：x（n）和h（n）的卷積；輸入序列平穩(wěn)，則輸出序列也是平穩(wěn)的，且與輸入序列聯(lián)合平穩(wěn)；對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程來說，通過離散線性系統(tǒng)后，y（n）的數(shù)學(xué)期望=,功率譜密度。許多的隨機(jī)序列可以看作典型的白噪聲序列激勵(lì)一個(gè)線性系統(tǒng)所產(chǎn)生的，而白噪聲可以看作是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)序列。2、 應(yīng)用范例大數(shù)定律與中心極限定理與保

6、險(xiǎn)的關(guān)系 如果您隨機(jī)地向上拋一枚硬幣，很難判斷這枚硬幣落地后是正面朝上還是反面朝上。如果您拋了10次硬幣，可能有五次正面朝上，也可能3次朝上，甚至有可能沒有一次正面朝上。但是如果您不嫌累，一直不停地拋下去，拋了1000次、10000次、1000000次，您就會(huì)發(fā)現(xiàn)，硬幣正面朝上和反面朝上的次數(shù)越來越近，近似等于總次數(shù)的一半；而且拋的次數(shù)越多，正面朝上的次數(shù)越穩(wěn)定地接近于總次數(shù)的一半。這就是數(shù)學(xué)上所說的略帶神秘色彩的“大數(shù)定律”。這個(gè)定律說的是隨著隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的大量增加，某隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，逐漸趨于某個(gè)常數(shù)。比如上面的拋硬幣試驗(yàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的大量增加，硬幣正面朝上的頻率逐漸趨于二分

7、之一，也即拋一枚硬幣落地后正面朝上的概率為二分之一?？梢哉f，基于大數(shù)定律，我們對(duì)一些不確定性很強(qiáng)的個(gè)別事件，可以從總體上作出比較確定的預(yù)測(cè)。 大數(shù)定律對(duì)于保險(xiǎn)經(jīng)營來說至關(guān)重要。大數(shù)定律說明，當(dāng)保險(xiǎn)標(biāo)的的數(shù)量足夠大時(shí)，我們可以根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算出某種損失發(fā)生的估計(jì)概率，這個(gè)概率比較穩(wěn)定，與這種損失未來實(shí)際發(fā)生的概率非常接近，我們就可以根據(jù)這個(gè)概率來計(jì)算可能發(fā)生的損失并確定要收取多少保費(fèi)。比如，我們無法預(yù)測(cè)某棟房屋未來一年內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的概率，因?yàn)榭赡芤l(fā)火災(zāi)的因素實(shí)在太多。如果保險(xiǎn)公司只為一棟房屋提供保險(xiǎn)，這無異于一場(chǎng)賭博。但是根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，假如發(fā)現(xiàn)一年內(nèi)10000棟房屋就有20棟房屋失火

8、，那么，基本可以有把握地說，每棟房屋失火的概率為0.2%，據(jù)此，我們可以計(jì)算每棟房屋未來一年可能發(fā)生的損失。如果有數(shù)量足夠大的房屋投?；馂?zāi)保險(xiǎn)，我們還可以根據(jù)可能發(fā)生的損失厘定應(yīng)收取的保費(fèi)。房屋投保的數(shù)量越大，損失發(fā)生的概率越穩(wěn)定，越與實(shí)際發(fā)生的情況接近，越便于保險(xiǎn)公司厘定保費(fèi)和管理風(fēng)險(xiǎn)。 我們常說保險(xiǎn)就像蓄水池，每個(gè)人拿出一點(diǎn)保險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司把這些資金集中起來可以彌補(bǔ)少數(shù)不幸者所遭受的損失。顯然，如果參與這個(gè)蓄水池機(jī)制的人越多，蓄水池的作用發(fā)揮就會(huì)越穩(wěn)定。 大數(shù)定律應(yīng)用在保險(xiǎn)學(xué)中，就是保險(xiǎn)的賠償遵從大數(shù)定律，即參加某項(xiàng)保險(xiǎn)的投保戶成千上萬，雖然每一戶情況各不相同，但對(duì)保險(xiǎn)公司來說，平均每戶的賠

9、償率幾乎恒等于一個(gè)常數(shù)。假如某保險(xiǎn)公司有10000個(gè)同階層的人參加人壽保險(xiǎn)，每人每年付120元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006，死亡時(shí)，其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得10000元。試問：平均每戶支付賠償金59元至61元的概率是多少？保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？保險(xiǎn)公司每年在這項(xiàng)險(xiǎn)種中利潤大于40萬元的概率是多少？設(shè) xi表示保險(xiǎn)公司支付給第i戶的賠償金，則。e（xi）=60，d（xi）=59.64（i=1，2，10000）諸xi相互獨(dú)立。則表示保險(xiǎn)公司平均對(duì)每戶的賠償金e（）=60，d（）=59.6410-4，由中心極限定理，n（60，0.07722），p59120=1-（7.77）0。這說明，保險(xiǎn)公司虧本的概率幾乎等于0。如果保險(xiǎn)公司每年的利潤大于40萬元，即賠償人數(shù)小于80人。則py80=（