2.2 函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

1、1第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一、調(diào)和函數(shù)一、調(diào)和函數(shù)二、共軛調(diào)和函數(shù)二、共軛調(diào)和函數(shù)三、構(gòu)造解析函數(shù)三、構(gòu)造解析函數(shù)2第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *一、調(diào)和函數(shù)一、調(diào)和函數(shù)考察三維空間中某考察三維空間中某無旋無源無旋無源力場(chǎng)力場(chǎng)( (或流速場(chǎng)或流速場(chǎng)) )的勢(shì)函數(shù)。的勢(shì)函數(shù)。 引例引例沿閉路做功為沿閉路做功為零零( (即做功與路徑無關(guān)即做功與路徑無關(guān)) )。又稱為又稱為保守場(chǎng)保守場(chǎng)或者或者梯度場(chǎng)梯度場(chǎng)或者或者有勢(shì)場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng)。存在勢(shì)函數(shù)存在勢(shì)函數(shù), ),(zyx 使得使得.zR ,yQ ,x

2、P .,zyxRQPF 即即(1) 無旋場(chǎng)無旋場(chǎng)設(shè)該力場(chǎng)為設(shè)該力場(chǎng)為. ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPF 3第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *考察三維空間中某考察三維空間中某無旋無源無旋無源力場(chǎng)力場(chǎng)( (或流速場(chǎng)或流速場(chǎng)) )的勢(shì)函數(shù)。的勢(shì)函數(shù)。 一、調(diào)和函數(shù)一、調(diào)和函數(shù)引例引例設(shè)該力場(chǎng)為設(shè)該力場(chǎng)為. ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPF (1) 無旋場(chǎng)無旋場(chǎng).,zyxRQPF (2) 無源場(chǎng)無源場(chǎng)散度為零，散度為零，.0222222 zyx 無旋無源力場(chǎng)無旋無源力場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)的勢(shì)函數(shù) 滿足滿足 .02222 yx 特別地，對(duì)于平面力場(chǎng)特別

3、地，對(duì)于平面力場(chǎng).0 zRyQxP即即4第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *一、調(diào)和函數(shù)一、調(diào)和函數(shù),02222 yx 則稱則稱 為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 D 內(nèi)的內(nèi)的調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)。),(yx 若二元實(shí)函數(shù)若二元實(shí)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)有內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，),(yx 定義定義且滿足且滿足拉普拉斯拉普拉斯 ( Laplace ) 方程方程：注注 泊松泊松 ( Poission ) 方程方程. ),(2222yxfyx ( ( 算子算子與與 算子算子) ) 5第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *.02222 yuxu,222xyvxu ,yvxu ,

4、xvyu ,222yxvyu .02222 yvxv同理同理證明證明 由由 解析，解析，),(),()(yxviyxuzf 有有 (?)(?)(?)證明證明 由由 解析，解析，,yvxu .02222 yuxu,222xyvxu ,xvyu ,222yxvyu 同理同理),(),()(yxviyxuzf 有有 (?)(?)(?).02222 yvxv一、調(diào)和函數(shù)一、調(diào)和函數(shù)6第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *二、共軛調(diào)和函數(shù)二、共軛調(diào)和函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 及及 均為區(qū)域均為區(qū)域 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，),(yxu),(yxv定義定義函數(shù)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析

5、的充要內(nèi)解析的充要),(),()(yxviyxuzf 定理定理?xiàng)l件是：條件是：在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)，內(nèi)，v 是是 u 的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)。則稱則稱 v 是是 u 的的共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)。注意注意 v 是是 u 的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù) u 是是 v 的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)。 且滿足且滿足 C R 方程：方程：,yvxu ,xvyu 7第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *三、構(gòu)造解析函數(shù)三、構(gòu)造解析函數(shù)問題問題 已知實(shí)部已知實(shí)部 u，求虛部，求虛部 v ( (或者或者已知虛部已知虛部 v，求實(shí)部，求實(shí)部 u ) )，使使 解析，且滿足指定的條件。解析，

6、且滿足指定的條件。),(),()(yxviyxuzf 注意注意 必須首先檢驗(yàn)必須首先檢驗(yàn) u 或或 v 是否為調(diào)和函數(shù)是否為調(diào)和函數(shù)。方法方法 偏積分法偏積分法 全微分法全微分法構(gòu)造解析函數(shù)構(gòu)造解析函數(shù) 的依據(jù)：的依據(jù)：),(),()(yxviyxuzf 依據(jù)依據(jù) (1) u 和和 v 本身必須都是調(diào)和函數(shù)本身必須都是調(diào)和函數(shù)； (2) u 和和 v 之間必須滿足之間必須滿足 C R 方程方程。8第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *方法方法 偏積分法偏積分法三、構(gòu)造解析函數(shù)三、構(gòu)造解析函數(shù)( ( 不妨僅考慮已知實(shí)部不妨僅考慮已知實(shí)部 u 的情形的情形 ) )(1) 由由 u

7、及及 C R 方程方程(2) 將將 (A) 式的兩邊對(duì)變量式的兩邊對(duì)變量 y 進(jìn)行進(jìn)行( (偏偏) )積分得：積分得： yxuyyvyxvdd),(其中，其中， 已知，而已知，而 待定待定。),(yxv)(x (3) 將將 (C ) 式代入式代入 (B ) 式，求解即可得到函數(shù)式，求解即可得到函數(shù). )(x 得到得到待定函數(shù)待定函數(shù) v的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：,xuyv .yuxv (A)(B )cyxv ),(C ), )(x 9第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *C方法方法三、構(gòu)造解析函數(shù)三、構(gòu)造解析函數(shù) 全微分法全微分法 ( ( 不妨僅考慮已知實(shí)部不妨僅考慮已知實(shí)部

8、 u 的情形的情形 ) )(1) 由由 u 及及 C R 方程方程得到待定函數(shù)得到待定函數(shù) v 的的全微分：全微分：(2) 利用第二類曲線積分利用第二類曲線積分( (與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)) ) 得到原函數(shù)得到原函數(shù)：.dddddyxuxyuyyvxxvv cyyuxyuyxvyxyx ),(),(00dd),(),(yx),(00yxC0C1C2.ddcyyuxyuC 其中，其中， 或或0CC .21CC 10第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *故故 是調(diào)和函數(shù)。是調(diào)和函數(shù)。),(yxu,02222 yuxu,622xxu ,622xyu 由由解解 (1) 驗(yàn)證驗(yàn)證 為調(diào)和函

9、數(shù)為調(diào)和函數(shù)),(yxu11第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *解解由由 ,6)(6xyyuxxyxv ,0)( x ,)(cx .3),(32cyyxyxv ,3d)33(3222cyyxyyxv , )(x ,3322yvyxxu 由由(2) 求虛部求虛部 。 ),(yxv方法一方法一： 偏積分法偏積分法12第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *解解 (2) 求虛部求虛部 。 .332cyyx ,6xyyuxv ,3322yxxuyv 由由方法二方法二： 全微分法全微分法,d)33(d6ddd22yyxxxyyvxvvyx ),()0 , 0(22d)33

10、(d6),(yxcyyxxxyyxv yxcyyxx0220d)33(d0),(yxC1C2),(yxv13第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *解解 (3) 求確定常數(shù)求確定常數(shù) c, )3()3()(3223cyyxixyxzf 根據(jù)條件根據(jù)條件,)(iif 將將 代入得代入得1,0 yx,)1(ici ,0 c. )3()3()(3223yyxixyxzf 即得即得.3z 14第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *故故 是調(diào)和函數(shù)。是調(diào)和函數(shù)。),(yxu,02222 yuxu,222 xu,222 yu由由解解 (1) 驗(yàn)證驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)),

11、(yxu驗(yàn)證驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例例, )(zf的解析函數(shù)的解析函數(shù)使得使得為實(shí)部為實(shí)部xyyxu 22.1)(iif 15第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *由由 ,2)(2xyyuxyxv ,)(xx ,21)(2cxx .21212),(22cxyxyyxv , )(212d)2(2xyxyyyxv ,2yvyxxu 由由解解 (2) 求虛部求虛部 。 ),(yxv方法一方法一： 偏積分法偏積分法驗(yàn)證驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例例, )(zf的解析函數(shù)的解析函數(shù)使得使得為實(shí)部為實(shí)部xyyxu 22.1)(ii

12、f 16第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *,2xyyuxv ,2yxxuyv 由由方法二方法二： 全微分法全微分法(利用第二類曲線積分利用第二類曲線積分),d)2(d)2(dddyyxxxyyvxvvyx ),()0 , 0(d)2(d)2(),(yxcyyxxxyyxv yxcyyxxx00d)2(d)(),(yxC1C2.2121222cxyxy 驗(yàn)證驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例例, )(zf的解析函數(shù)的解析函數(shù)使得使得為實(shí)部為實(shí)部xyyxu 22.1)(iif 解解 (2) 求虛部求虛部 。 ),(yxv17第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函

13、數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *,2xyyuxv ,2yxxuyv 由由方法三方法三： 全微分法全微分法(利用利用“反微分反微分”法法),d)2(d)2(dddyyxxxyyvxvvyx .21212),(22cxyxyyxv , )2/d(d2)2/d(d222yyxxxy , )2/2/2d(22yxxy 驗(yàn)證驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例例, )(zf的解析函數(shù)的解析函數(shù)使得使得為實(shí)部為實(shí)部xyyxu 22.1)(iif 解解 (2) 求虛部求虛部 。 ),(yxv18第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *,2)(222xyiyxz 由由方法四方法四： 直

14、接利用已知的解析函數(shù)與直接利用已知的解析函數(shù)與“唯一性唯一性”.21212),(22cxyxyyxv ,221222yxiyxzi 故故 是是解析函數(shù)解析函數(shù) 的實(shí)部，的實(shí)部，xyyxu 222221)(zizzg 驗(yàn)證驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例例, )(zf的解析函數(shù)的解析函數(shù)使得使得為實(shí)部為實(shí)部xyyxu 22.1)(iif 解解 (2) 求虛部求虛部 。 ),(yxv19第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *解解 (3) 求確定常數(shù)求確定常數(shù) c根據(jù)條件根據(jù)條件,1)(iif 將將 代入得代入得1,0 yx,21 c. )21212()()(2222cxyxyixyyxzf ,1)21(1ici 即得即得. )2121212()()(2222 xyxyixyyxzf.212122iziz 驗(yàn)證驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例例, )(zf的解析函數(shù)的解析函數(shù)使得使得為實(shí)部為實(shí)部xyyxu 22.1)(iif 20第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 * 休息一下21第二章 解析函數(shù) 2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 *附：附：知識(shí)廣角知識(shí)廣角 算子與算子與 算子算子 哈密頓哈密