成人高考(專升本筆記)高等數(shù)學一【已排版】

1、專業(yè)好文檔（一）數(shù)列的極限1.數(shù)列按一定順序排列的無窮多個數(shù)稱為數(shù)列，記作，其中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，第n項。為數(shù)列的一般項或通項，例如（1）1，3，5，（2）（3）（4）1，0，1，0，都是數(shù)列。在幾何上，數(shù)列可看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點。2.數(shù)列的極限定義對于數(shù)列，如果當時，無限地趨于一個常數(shù)a，則稱當n趨于無窮大時，數(shù)列以常數(shù)a為極限，或稱數(shù)列收斂于a，記作 否則稱數(shù)列沒有極限，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)a及數(shù)列的項依次用數(shù)軸上的點表示，若數(shù)列以a為極限，就表示當n趨于無窮大時，點可以無限靠近點a。（二）數(shù)列極限的性質(zhì)定理1.1（惟一性）

2、若數(shù)列收斂，則其極限值必定惟一。定理1.2（有界性）若數(shù)列收斂，則它必定有界。注意：這個定理反過來不成立，也就是說，有界數(shù)列不一定收斂。定理1.3（兩面夾定理）若數(shù)列，滿足不等式且。定理1.4若數(shù)列單調(diào)有界，則它必有極限。下面我們給出數(shù)列極限的四則運算定理。定理1.5 （1）（2）（3）當時，（三）函數(shù)極限的概念1.當時函數(shù)的極限（1）當時的極限定義 對于函數(shù)，如果當x無限地趨于時，函數(shù)無限地趨于一個常數(shù)a，則稱當時，函數(shù)的極限是a，記作或（當時）如需精美完整排版，請qq：67460666 手機 137 8381 6366聯(lián)系（2）當時的左極限定義 對于函數(shù)，如果當x從的左邊無限地趨于時，函數(shù)

3、無限地趨于一個常數(shù)a，則稱當時，函數(shù)的左極限是a，記作或例如函數(shù) 當x從0的左邊無限地趨于0時，無限地趨于一個常數(shù)1.我們稱：當時，的左極限是1，即有 （3）當時，的右極限定義 對于函數(shù)，如果當x從的右邊無限地趨于時，函數(shù)無限地趨于一個常數(shù)a，則稱當時，函數(shù)的右極限是a，記作或又如函數(shù) 當x從0的右邊無限地趨于0時，無限地趨于一個常數(shù)-1 。因此有這就是說，對于函數(shù) 當時，的左極限是1，而右極限是 -1，即但是對于函數(shù)，當時，的左極限是2，而右極限是2。 顯然，函數(shù)的左極限、右極限與函數(shù)的極限之間有以下關(guān)系：如需精美完整排版，請qq：67460666 手機 137 8381 6366聯(lián)系定理1

4、.6 當時，函數(shù)的極限等于a的必要充分條件是這就是說：如果當時，函數(shù)的極限等于a，則必定有左、右極限都等于a。反之，如果左、右極限都等于a，則必有。這個結(jié)論很容易直接由它們的定義得到。以上講的是當時，函數(shù)的極限存在的情況，對于某些函數(shù)的某些點 處，當時，的極限也可能不存在。2.當時，函數(shù)的極限（1）當時，函數(shù)的極限定義 對于函數(shù)，如果當時，無限地趨于一個常數(shù)a，則稱當 時，函數(shù)的極限是a，記作或（當時）（2）當時，函數(shù)的極限定義 對于函數(shù)，如果當時，無限地趨于一個常數(shù)a，則稱當 時，函數(shù)的極限是a，記作這個定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，只不過在數(shù)列極限的定義中一定表示，且n是正整數(shù)；而在這個

5、定義中，則要明確寫出，且其中的x不一定是整數(shù)。如函數(shù)，當時，無限地趨于常數(shù)2，因此有（3）當時，函數(shù)的極限定義 對于函數(shù)，如果當時，無限地趨于一個常數(shù)a，則稱當時，的極限是a，記作又如函數(shù)，當時，無限地趨于常數(shù)2，因此我們說，當時，函數(shù)的極限是2，即有由上述，時，函數(shù)極限的定義，不難看出：時，的極限是a，這表示當且僅當以及時，函數(shù)有相同的極限a。但是對函數(shù)來講，因為有,即雖然當時，的極限存在，當時，的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當時，的極限不存在。例如函數(shù)，當時，無限地趨于常數(shù)1：當時，也無限地趨于同一個常數(shù)1，因此稱當時的極限是1，記作如需精美完整排版，請qq：6746066

6、6 手機 137 8381 6366聯(lián)系其幾何意義如圖3所示. （四）函數(shù)極限的定理定理1.7 （惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理1.8 （兩面夾定理）設(shè)函數(shù)，在點的某個鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件且有 。注意：上述定理1.7及定理1.8對也成立。 下面我們給出函數(shù)極限的四則運算定理定理1.9 如果 則（1） （2） （3）當 時，上述運算法則不難推廣到有限多個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，并有以下推論：推論 （1）（2） （3） 用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零，另外，上述極限的運算法則對于的情形也都成

7、立。如需精美完整排版，請qq：67460666 手機 137 8381 6366聯(lián)系（五）無窮小量和無窮大量1、無窮小量（簡稱無窮小）定義 對于函數(shù)，如果自變量x在某個變化過程中，函數(shù)的極限為零，則稱在該變化過程中，為無窮小量，一般記作在微積分中常用希臘字母來表示無窮小量。這里說的自變量x在某個變化過程中是指當 或，或，或，或，或中的一個。為了簡單起見，我們沒有專門再提出數(shù)列，而把它歸入函數(shù)之中，并且有時將數(shù)列與函數(shù)統(tǒng)稱為變量。定理1.10 函數(shù)以a為極限的必要充分條件是：可表示為a與一個無窮小量之和。注意：（1）無窮小量是變量它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢是變量無限趨于零的。（2

8、）一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關(guān)的。在不同的變化過程中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，例如，。所以，當時，是無窮小量；而當時，就不是無窮小量。因此稱為無窮小量時，必須指出自變量的變化趨勢。否則是毫無意義的。（3）很小很小的數(shù)不是無窮小量，越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當x越變越大時，就越變越小，但它不是無窮小量。（4）無窮小量不是一個數(shù)，但0是無窮小量中惟一的一個數(shù)，這是因為。 2.無窮大量（簡稱無窮大）定義 如果當自變量（或）時，的絕對值可以變得充分大（也即無限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作。2.無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量與無窮大量之間有一

9、種簡單的關(guān)系，見以下的定理。定理1.11 在同一變化過程中，如果為無窮大量，則為無窮小量；反之，如果為無窮小量，且，則為無窮大量。例如當時，是無窮大量，而當時，是無窮小量。當時，是無窮小量，而當 時，是無窮大量。如需精美完整排版，請qq：67460666 手機 137 8381 6366聯(lián)系3.無窮小量的基本性質(zhì)性質(zhì)1 有限多個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；性質(zhì)2 有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)3 有限多個無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)4 無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。 4.無窮小量的比較定義 設(shè)是同一變化過程中的無窮

10、小量，即 （1）如果則稱是比較高階的無窮小量，記作；（2）如果則稱是與同階的無窮小量；（3）如果 則稱與是等價無窮小量，記為；（4）如果則稱是比較低價的無窮小量。記作 例如：因為，所以稱與x是等價無窮小量（當時）。因為，所以稱與x是同階無窮小量（當時）。因為，所以稱是比較高階的無窮小量（當時）。兩個等價無窮小量可以互相代換，且有下列性質(zhì)：如果當（）時，均為無窮小量，又，且存在，則這個性質(zhì)常常使用在極限運算中，它能起到簡化運算的作用。但是必須注意：等價無窮小量代換只能在極限的乘除運算中使用。常用的等價無窮小量代換有：當時， x； x； x；x ；x ；x； ； 對這些等價無窮小量的代換，應(yīng)該更深

11、一層的理解為：當0時其余類似。例如當時，當時，sin 。如需精美完整排版，請qq：67460666 手機 137 8381 6366聯(lián)系（六）兩個重要極限1.重要極限i 屬三角函數(shù)的型的極限問題該公式可以用下面更直觀的結(jié)構(gòu)式表示2、重要極限屬型的冪指型的極限問題其中e是個常數(shù)，叫自然對數(shù)的底，它的值為：e=2.718 281 828 495 045其結(jié)構(gòu)式可表示為（七）求極限的方法1.利用極限的四則運算法則求極限；2.利用兩個重要極限求極限；3.利用無窮小量的性質(zhì)求極限；4.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5.利用洛必達法則求未定式的極限；6.利用等價無窮小代換定理求極限。四則運算法則：limf(x)

12、=alimg(x)=blimf（x）g（x）=limf(x)limg(x)=ablimf（x）g（x）= limf(x)limg(x)=ablim k（x）=k lim f（x）=kalim=（b0）如需精美完整排版，請qq：67460666 手機 137 8381 6366聯(lián)系limf(x)=limf（x）n=an 基本極限公式（1）limc=c（2），（3），（4）1.約分，求極限答 答02.當時型的極限答3 計算極限答0一般地，有計算極限 答3.無窮小的性質(zhì)求極限等于a.0b. c.1d.2 答a4.第個重要極限等于a.0b.c.1d.3答d等于a.0b.1 c. d. 答a若存在，且，

13、則 答 1如需精美完整排版，請qq：67460666 手機 137 8381 6366聯(lián)系5.第個重要極限求極限答 等于（）a.b.e c. d. 答d計算答e6.求極限的逆問題（1）當時，己知極限值求函數(shù)式中待定系數(shù)例1.若，求a，b的值.答 型未定式.a=3，b=-2。（2）當x時，己知極限值求函數(shù)式中待定系數(shù)（一）27若，求a，b的值.答 型a=-1，b=1.設(shè)，則k=_。答7.無窮小量當x0時，下列函數(shù)為無窮小的是（）a. b.c. d.2x-1答 b當x0時，是x的（）a.高階無窮小 b.低階無窮小c.同階無窮小，但不等價 d.等價無窮小答c當x0時，與為等價無窮小，則必有a=_。答

14、 如需精美完整排版，請qq：67460666 手機 137 8381 6366聯(lián)系第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習考試要求（1）理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點處連續(xù)性的方法（2）會求函數(shù)的間斷點。（3）掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會用介值定理推證一些簡單的命題。（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用連續(xù)性求極限主要知識內(nèi)容（一）函數(shù)連續(xù)的概念1、函數(shù)在點處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)y=f（x）在點的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的改變量趨近于0時，相應(yīng)的函數(shù)也趨近于0，即或則稱函數(shù)y=f（x）在點處連續(xù)。函數(shù)y=f（x）在點連續(xù)

15、也可作如下定義。定義2設(shè)函數(shù)y=f（x）在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當時，函數(shù)y=f（x）的極限值存在，且等于處的函數(shù)值，即則稱函數(shù)y=f（x）在點連續(xù)，此時有定義3設(shè)函數(shù)y=f（x），如果，則稱函數(shù)f（x）在點處左連續(xù)；如果，則稱函數(shù)f（x）在點處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f（x）在點處連續(xù)，則f（x）在點處左連續(xù)也右連續(xù)。2、函數(shù)在區(qū)間a，b上連續(xù)定義如果函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上的每一點x處都連續(xù)，則稱f（x）在區(qū)間a，b上連續(xù)，并稱f（x）為a，b上的連續(xù)函數(shù)。這里，f（x）在左端點a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：在右端點b連續(xù)，是指滿足關(guān)系：即f（x）在左端點a處是右連續(xù)，在右端點b

16、處是左連續(xù)。可以證明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3、函數(shù)的間斷點定義：如果函數(shù)f（x）在點處不連續(xù)則稱點為f（x）一個間斷點。如需精美完整排版，請qq：67460666 手機 137 8381 6366聯(lián)系由函數(shù)在某點連續(xù)的定義可知，如果f（x）在點處有下列三種情況之一，則點是f（x）一個間斷點。（1）在點處，f（x）沒有定義；（2）在點處，f（x）的極限不存在；（3）雖然在點處f（x）有定義，且存在，但。（二）函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。定理（四則運算）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在處皆連續(xù)，則在處連續(xù)在處連續(xù)

17、若，則在處連續(xù)。定理（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)u=g（x）在處連續(xù)，y=f（u）在處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=fg（x）在處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時，如果u=g（x），在處極限存在，又y=f（u）在對應(yīng)的處連續(xù)。則極限符號可以與函數(shù)符號交換。即定理（反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴格單調(diào)增加（或嚴格單調(diào)減少），則它的反函數(shù)也在對應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴格單調(diào)增加（或嚴格單調(diào)減少）。（三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理（有界性定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則f（x）必在a，b上有界。定理（最大值和

18、最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值m和最小值m。定理（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為m和m，則對于介于m和m之間的任何實數(shù)c，在a，b上至少存在一個，使得推論如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，則在a，b內(nèi)至少存在一個點，使得，（四）初等函數(shù)的連續(xù)性由函數(shù)在一點處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復(fù)合運算而得的函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。又由于，基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，可以得到下列重要結(jié)論。定理：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。如需精美完整排版，請qq：674

19、60666 手機 137 8381 6366聯(lián)系利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知：如果f（x）是初等函數(shù)，且是定義區(qū)間內(nèi)的點，則例1.點的連續(xù)性的逆問題（1）設(shè)，當x0時，f（x）=f（x）。若f（x）在點x=0處連續(xù)，則f（0）等于_。a.-1 b.0 c.1 d.2 答c（2）設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=_。 答0例2.求間斷點（1）點x=1是函數(shù)的（）。a.連續(xù)點 b.可去間斷點c.跳躍間斷點 d.無窮間斷點 答b（2）點x=0是函數(shù)的（）。a.連續(xù)點 b.可去間斷點c.第二類間斷點d.第一類間斷點，但不是可去間斷點 答a例3.證明五次代數(shù)方程在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個實根.例4.設(shè)函數(shù)f（x

20、）在a，b上連續(xù)，且f（a）a，f（b）b.求證：在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點，使. 證明：令f（x）=f（x）-x,則有f（a）= f（a）-a0f（b）= f（b）-b0故由零值定理可知，至少存在一點，使.即在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點，使. (剩余六章略) 完整版請qq：67460666 tel：137 8381 6366 索取the torch will not be lit on the international space stationour goal here is to make it look spectacular, mr kotov said earlier.

21、wed like to showcase our olympic torch in space. we will try to do it in a beautiful manner. millions of people will see it live on tv and they will see the station and see how we work.the olympic torch has been carried into space twice before - in 1996 and 2000 - but it has never left a spaceship.

22、it will not be lit aboard the space station as this would consume oxygen and pose a risk to the crew.the sochi torch will then be returned to earth and used to light the olympic cauldron in february next year.it is all part of the elaborate preparations for russias first olympics since the soviet er

23、a. it is also the most expensive one so far, costing around $50bn (31bn; 1,620bn roubles).the run-up to the games has been marred by controversy over a new russian law that restricts the spread of information about homosexuality, as well as allegations by rights groups that authorities have rounded up migrant workers who helped build the games venues in sochi.in yet another minor setback, the flame has gone out several times since the torc