高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.2 導(dǎo)數(shù)的運算 3.2.2 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)學(xué)案 蘇教選修11

1、3.2.2函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握導(dǎo)數(shù)的和、差、積、商的四則運算法則(重點)2.會利用導(dǎo)數(shù)公式表及導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(難點)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則公式語言敘述f(x)g(x)f(x)g(x)兩個函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和f(x)g(x)f(x)g(x)兩個函數(shù)差的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的差C(f(x)Cf(x) (C為常數(shù))常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)兩個函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘上第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (g(x)0)兩個函

2、數(shù)商的導(dǎo)數(shù)等于分母上的函數(shù)乘上分子的導(dǎo)數(shù)，減去分子乘以分母的導(dǎo)數(shù)所得的差除以分母的平方基礎(chǔ)自測1判斷正誤：(1)若f(x)a22axx2，則f(a)2a2x.()(2)運用法則求導(dǎo)時，不用考慮f(x)，g(x)是否存在()(3)f(x)g(x)f(x)g(x)()【解析】(1).f(x)2a2x，f(a)2a2a4a.(2).運用法則求導(dǎo)時，要首先保證f(x)、g(x)存在(3).f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)【答案】(1)(2)(3)2若f(x)，則f(x)_. 【導(dǎo)學(xué)號：95902205】【解析】f(x).【答案】合 作 探 究攻 重 難導(dǎo)數(shù)運算法則的應(yīng)用求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3、：(1)yx43x25x6；(2)yxtan x；(3)y(x1)(x2)(x3); (4)y.思路探究仔細(xì)觀察和分析各函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，緊扣導(dǎo)數(shù)公式，不具備求導(dǎo)條件的可進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危俳Y(jié)合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，小心計算【自主解答】(1) y(x43x25x6)(x4)(3x2)(5x)64x36x5.(2) y(xtan x).(3)(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6，y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11.(4)方法一：y.方法二：y1y. 規(guī)律方法深刻理解和掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則是解決求函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)問題的前提.在

4、具體求導(dǎo)時，可結(jié)合給定函數(shù)本身的特點，先分清函數(shù)結(jié)構(gòu)，再將各部分的導(dǎo)數(shù)求出，具體的求解策略主要有以下幾種.(1)直接求導(dǎo)：利用導(dǎo)數(shù)運算法則直接求導(dǎo)數(shù)，此法適用于一些比較簡單的函數(shù)的求導(dǎo)問題.(2)先化簡后求導(dǎo)：在求導(dǎo)中，有些函數(shù)形式上很復(fù)雜，可以先進(jìn)行化簡再求導(dǎo)，以減少運算量.(3)先分離常數(shù)后求導(dǎo)：對于分式形式的函數(shù)，往往可利用分離常數(shù)的方法使分式的分子不含變量，從而達(dá)到簡化求導(dǎo)過程的目的.1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)x；(2)f(x)sin xcos x；(3)f(x)；(4)f(x)exsin x. 【導(dǎo)學(xué)號：95902206】 (2)f(x)(sin xcos x)(sin x)

5、(cos x)cos xsin x.(3)f(x).(4)f(x)(exsin x)(ex)sin xex(sin x)exsin xexcos xex(sin xcos x).復(fù)雜曲線的切線問題(1)曲線yx(3ln x1)在點(1,1)處的切線方程為_(2)曲線y在點(1,1)處的切線方程為_思路探究利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再求出切點坐標(biāo)，代入直線的點斜式方程得切線方程【自主解答】(1)y3ln x4，k3ln 144，故切線方程為y14(x1)，即4xy30.(2)由y，所以k1，得切線方程為y1(x1)，即xy20.【答案】(1)4xy30(2)xy20規(guī)律方法利用常見函數(shù)的

6、導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)運算公式來簡化曲線切線的求法.(1)在點P(x0，y0)處的切線方程：yy0f(x0)(xx0)；(2)過點P(x1，y1)的切線方程：設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，則切線方程為yy0f(x0)(xx0)，代入點P(x1，y1)求出x0，即可得出切線方程(求出的x0的個數(shù)就是過這點的切線的條數(shù)).跟蹤訓(xùn)練2若直線ykx是曲線yx3x2x的切線，則k的值為_【解析】設(shè)切點為(x0，y0)，y3x22x1，則k3x2x01，又kxx01，3x2x01xx01，解得x00或x0，k1或k.【答案】1或?qū)?shù)的綜合應(yīng)用探究問題1在曲線yf(x)上有一點(x0，f(x0)，那么曲線在這一點處切線的

7、斜率是什么？【提示】 kf(x0)2在探究1中，若還已知切線上另外一點(x1，f(x1)，那么該切線的斜率還可以如何表示？和探究1中得到的結(jié)論有什么關(guān)系？【提示】k，f(x0).3若已知曲線yax2在點P處的切線方程為y2x1，能否求出切點P的坐標(biāo)？能否求出曲線的方程？【提示】設(shè)切點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，因為y2ax，所以切線的斜率為2ax02，又因為切點(x0，y0)在曲線yax2和切線y2x1上，所以有y0ax，且y02x01，即解之得，所以切點P的坐標(biāo)為(1,1)，曲線的方程為yx2.4通過以上討論，你認(rèn)為如何解決有關(guān)曲線切線的問題？【提示】解決曲線的切線問題應(yīng)充分利用切點滿足的三個

8、關(guān)系式：一是切線的斜率是函數(shù)在此切點處的導(dǎo)數(shù)；二是切點的坐標(biāo)滿足切線的方程；三是切點的坐標(biāo)滿足切線的方程可根據(jù)上述三個方面的條件建立相關(guān)的方程(組)求解未知數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)ax，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線yf(x)上任一點處的切線與直線x0和直線yx所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值. 【導(dǎo)學(xué)號：95902207】思路探究(1)利用已知切線的斜率、切點的坐標(biāo)滿足曲線的方程和切線的方程構(gòu)建方程組可求出a，b的值，可得函數(shù)f(x)的解析式；(2)根據(jù)已知條件求出曲線yf(x)上任一點處的切線方程，得到所求面積的表達(dá)式

9、即知其為定值【自主解答】(1)由7x4y120，得yx3.當(dāng)x2時，y，f(2)， 又f(x)a，f(2). 由得解得故f(x)x.(2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點，由y1知，曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，從而得切線與直線x0的交點坐標(biāo)為.令yx，得yx2x0，從而得切線與直線yx的交點坐標(biāo)為(2x0,2x0)所以點P(x0，y0)處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形面積為：|2x0|6.故曲線yf(x)上任一點處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)來處理與切線斜率有關(guān)的問題是一種非常

10、有效的方法，它適用于任何導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)，一般可以根據(jù)條件建立相關(guān)的方程(組)求解未知量.跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)2x3ax與g(x)bx2cx的圖象都過點P(2,0)，且在點P處有公共切線求f(x)和g(x)的表達(dá)式及在點P處的公切線的方程【解】由題意，得f(2)g(2)，f(2)g(2)0.f(x)6x2a，g(x)2bxc，解得f(x)2x38x，g(x)8x216x，即f(x)6x28，f(2)16，在點P處的公切線方程為y16(x2)構(gòu)建體系 當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1函數(shù)yx3cos x的導(dǎo)數(shù)是_【解析】y3x2cos xx3(sin x)3x2cos xx3sin x.【答案】3x2cos xx3sin x2函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)為 _. 【導(dǎo)學(xué)號：95902208】【解析】y.【答案】3函數(shù)f(x)，則f(0)的值為_【解析】f(x)，f(0)1.【答案】14曲線f(x