陣列信號(hào)處理全

1、 期刊：期刊： IEEE Trans.(SP,ASSP,AP,AES) IEE Pt(F,H) 荷蘭荷蘭 signal Processing 基本內(nèi)容基本內(nèi)容 1.1引言引言 3、 陣列信號(hào)處理的研究對(duì)象陣列信號(hào)處理的研究對(duì)象: 空間傳播波攜帶信號(hào)（空域?yàn)V波）空間傳播波攜帶信號(hào)（空域?yàn)V波） 4、 陣列信號(hào)處理方法陣列信號(hào)處理方法: 統(tǒng)計(jì)與自適應(yīng)信號(hào)處理技術(shù)統(tǒng)計(jì)與自適應(yīng)信號(hào)處理技術(shù) （如譜估計(jì)、（如譜估計(jì)、 最優(yōu)與自適應(yīng)、濾波）最優(yōu)與自適應(yīng)、濾波） 5、 陣列信號(hào)處理的目的陣列信號(hào)處理的目的: 濾波：增強(qiáng)信噪比濾波：增強(qiáng)信噪比 獲取信號(hào)特征：信號(hào)源數(shù)目獲取信號(hào)特征：信號(hào)源數(shù)目 傳輸方向（定位）及

2、波形傳輸方向（定位）及波形 分辨多個(gè)信號(hào)源分辨多個(gè)信號(hào)源 傳感器傳感器能感應(yīng)空間傳播信號(hào)并且能以某能感應(yīng)空間傳播信號(hào)并且能以某 種形式傳輸?shù)墓δ苎b置種形式傳輸?shù)墓δ苎b置 傳感器陣列傳感器陣列(sensors array)由一組傳感由一組傳感 器分布于空間不同的位置構(gòu)成器分布于空間不同的位置構(gòu)成 定義：定義： 由于空間傳播波攜帶信號(hào)是空間位置和時(shí)由于空間傳播波攜帶信號(hào)是空間位置和時(shí) 間的四維函數(shù)，所以：間的四維函數(shù)，所以： 傳播波傳播波 的接收的接收 空間采集空間采集 連續(xù)：面天線連續(xù)：面天線 離散：傳感器陣列離散：傳感器陣列 時(shí)間采集：時(shí)間采集： 所有傳感器同步采樣所有傳感器同步采樣 又稱為快

3、拍（又稱為快拍（snapshot） 空間采樣方式空間采樣方式 實(shí)際陣列實(shí)際陣列 虛擬陣列（合成陣列如虛擬陣列（合成陣列如SAR） 空時(shí)處理 獲取信息：波的到達(dá)方獲取信息：波的到達(dá)方(DOA)、波形參數(shù)、波形參數(shù)、 極化參數(shù)估計(jì)、空間濾波與檢測(cè)等極化參數(shù)估計(jì)、空間濾波與檢測(cè)等 N元傳感器陣列元傳感器陣列 1N2 M次同步采樣次同步采樣 空時(shí)采樣示意圖如下：空時(shí)采樣示意圖如下： 圖圖1.1.1：空時(shí)采樣：空時(shí)采樣 濾波濾波 方向估計(jì)方向估計(jì) 自適應(yīng)波束控制（指向）自適應(yīng)波束控制（指向） 近代譜估計(jì)（近代譜估計(jì)（80年代以前）年代以前） 自適應(yīng)零點(diǎn)控制（自適應(yīng)零點(diǎn)控制（70年代）年代） 參數(shù)化模型（

4、基于子空參數(shù)化模型（基于子空 間技術(shù)）間技術(shù)） 性能代價(jià)，快速算法性能代價(jià)，快速算法 （80年代以后）年代以后） 穩(wěn)健算法，盲信號(hào)處理穩(wěn)健算法，盲信號(hào)處理 （90年代）年代） 穩(wěn)健計(jì)算（穩(wěn)健計(jì)算（90年代）年代） 2 2 2 1E E ct 222 2 222 xyz ( , , , )exp () xyz s x y z tAjt k x k y k z ( , )exp () T s r tAjtk r （*） 2 222 2 ( , )( , )( , )( , ) xyz k s r tk s r tk s r ts r t c 2 222 2 xyz kkk c 222 xyz kk

5、kkk c 則：（則：（*）式表示的信號(hào)是波動(dòng)方程的解，稱為）式表示的信號(hào)是波動(dòng)方程的解，稱為“單單 色色”或或“單頻單頻”解。解。 2 T c 若約束條件：若約束條件： 即即 為傳播速度，為傳播速度，（周期）（周期） 22 T c kk 2 k 稱為波數(shù)矢量，其大小表示單位波長(zhǎng)的周期數(shù)，稱為波數(shù)矢量，其大小表示單位波長(zhǎng)的周期數(shù)， 單位為弧度單位為弧度/ /米，其方向?yàn)椴ǖ膫鞑シ较颉Ｃ祝浞较驗(yàn)椴ǖ膫鞑シ较颉?k 2 T 2 k 時(shí)間頻率時(shí)間頻率 空間頻率空間頻率 對(duì)比：對(duì)比： 某一時(shí)刻（某一時(shí)刻（t固定）的恒等相位面，即固定）的恒等相位面，即 =常數(shù)的平常數(shù)的平 面，該平面與面，該平面與 垂

6、直。垂直。 T k r k 波動(dòng)方程的任意解可以分解為無窮多個(gè)波動(dòng)方程的任意解可以分解為無窮多個(gè)“單頻單頻” 解的迭加（傳播方向和頻率分量均任意）。解的迭加（傳播方向和頻率分量均任意）。 b)b) 任意解：由四維任意解：由四維Fourier變換表示：變換表示： 4 1 , 2 T jt k r s r ts uedkd , T jt k r s ks t r edrdt 其中其中 波動(dòng)方程的單頻解可以寫成單變量的函數(shù)：波動(dòng)方程的單頻解可以寫成單變量的函數(shù)： ,exp ()exp TT s r tAjtk rAjtr 式中式中 ，其大小等于傳播速度的倒數(shù)，其方向與，其大小等于傳播速度的倒數(shù)，其方

7、向與 傳播方向相同，常稱為慢速矢量傳播方向相同，常稱為慢速矢量(slowness vector)(slowness vector)。 k 1 c 所以所以 表示從原點(diǎn)表示從原點(diǎn) 傳播到位置傳播到位置 所需時(shí)間。所需時(shí)間。 T rr o c) 波動(dòng)方程另一個(gè)較復(fù)雜的解：波動(dòng)方程另一個(gè)較復(fù)雜的解： 0 ,exp TT n n s r ts trsjntr 由由Fourier理論可知，理論可知， 任意周期函數(shù)任意周期函數(shù) ， s u周期周期 0 2 T 波形具有基本頻率的調(diào)和級(jí)數(shù)形式：波形具有基本頻率的調(diào)和級(jí)數(shù)形式： 與波數(shù)矢量必須滿足約束條件與波數(shù)矢量必須滿足約束條件 ，可見，不，可見，不 這時(shí)這

8、時(shí) 表示了具有任意波形的傳播周期表示了具有任意波形的傳播周期 波，波傳播方向?yàn)椴ǎ▊鞑シ较驗(yàn)?，速度為，速度為 。波的各種分。波的各種分 有不同的頻率有不同的頻率 和波數(shù)矢量和波數(shù)矢量 ，但是各頻率，但是各頻率 0 0 1 T jnu n ss u edu T , T s r ts tr 1 c 0 nk 0 k 量量 同頻率同頻率分量傳播速度相同，但是波長(zhǎng)不同。分量傳播速度相同，但是波長(zhǎng)不同。 利用利用Fourier理論，波動(dòng)方程更一般的解，可理論，波動(dòng)方程更一般的解，可 以表示任意波形（非周期）：以表示任意波形（非周期）： 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系 ，但是，當(dāng)波動(dòng)方程的解具有球形，但是，當(dāng)波動(dòng)方

9、程的解具有球形 對(duì)稱時(shí)對(duì)稱時(shí),函數(shù)函數(shù) 并不依賴于并不依賴于 和和 ，使解簡(jiǎn)化，使解簡(jiǎn)化， 這時(shí)波動(dòng)方程可簡(jiǎn)化為：這時(shí)波動(dòng)方程可簡(jiǎn)化為： 1 ,exp 2 TT s r ts trsjtr d 這里函數(shù)這里函數(shù) 是任意的，只要其是任意的，只要其FourierFourier變換存在即變換存在即 可。該式表達(dá)了沿同一方向可。該式表達(dá)了沿同一方向 傳播的任意波形（信傳播的任意波形（信 號(hào)），其頻率分量任意。號(hào)），其頻率分量任意。 s B.B. 波動(dòng)方程球坐標(biāo)系中的解波動(dòng)方程球坐標(biāo)系中的解 , ,r , , ,s rt 22 22 , 1 rs r trs r t tct 單頻解為：?jiǎn)晤l解為： ,ex

10、p A s r tjtkr r 直角坐標(biāo)系中的解為平面波，對(duì)應(yīng)遠(yuǎn)場(chǎng)情況；直角坐標(biāo)系中的解為平面波，對(duì)應(yīng)遠(yuǎn)場(chǎng)情況； 球坐標(biāo)系中的解為球面波，對(duì)應(yīng)近場(chǎng)情況，如上圖。球坐標(biāo)系中的解為球面波，對(duì)應(yīng)近場(chǎng)情況，如上圖。 r jt e 遠(yuǎn)場(chǎng)遠(yuǎn)場(chǎng) 近場(chǎng)近場(chǎng) 圖圖1.2 該解可以解釋為自原點(diǎn)向外傳播該解可以解釋為自原點(diǎn)向外傳播 的球面波，任何時(shí)刻恒等相位的球面波，任何時(shí)刻恒等相位 面為面為 = =常數(shù)的球面上。常數(shù)的球面上。 T s tr 0 T m s tr 有可能決定波的傳播方向有可能決定波的傳播方向 （如果空間采樣無模（如果空間采樣無模 糊），這是本課程的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容。糊），這是本課程的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)

11、容。 c)應(yīng)用迭加原理，允許多個(gè)傳播波（不同方向、不應(yīng)用迭加原理，允許多個(gè)傳播波（不同方向、不 同頻率）同時(shí)出現(xiàn)而無交互作用。同頻率）同時(shí)出現(xiàn)而無交互作用。 d)d)非理想介質(zhì)對(duì)傳播波有影響。（略）非理想介質(zhì)對(duì)傳播波有影響。（略） , T s r ts tr 00 0 cos 1 2 jttjtt s ta ttt a tee 正頻分量正頻分量 負(fù)頻分量負(fù)頻分量 帶寬越寬，信號(hào)起伏越快。窄帶條件即要求帶寬越寬，信號(hào)起伏越快。窄帶條件即要求 變化比變化比 變化慢。變化慢。 a t 0 costt a t 通信和雷達(dá)等信息系統(tǒng)常用的是實(shí)的窄帶高頻信號(hào)。通信和雷達(dá)等信息系統(tǒng)常用的是實(shí)的窄帶高頻信號(hào)。

12、 窄帶信號(hào)：信號(hào)的帶寬小于其中心頻率的信號(hào)。窄帶信號(hào)：信號(hào)的帶寬小于其中心頻率的信號(hào)。 窄帶信號(hào)的復(fù)信號(hào)表示：窄帶信號(hào)的復(fù)信號(hào)表示： ，式中，式中 為載波，它作為信息載體但不含信息。為載波，它作為信息載體但不含信息。 0 jtjt z ta t ee 0 j t e jt B z ta t e LP LP s t 0 cost 0 sint 實(shí)部信號(hào)實(shí)部信號(hào)(I) 虛部信號(hào)虛部信號(hào)(Q) cos I sa tt sin Q sa tt 圖圖1.3:1.3:信號(hào)實(shí)現(xiàn)信號(hào)實(shí)現(xiàn) 窄帶信號(hào)復(fù)包絡(luò)（基帶信號(hào)）表示：窄帶信號(hào)復(fù)包絡(luò)（基帶信號(hào)）表示： 實(shí)際信號(hào)實(shí)現(xiàn)如圖實(shí)際信號(hào)實(shí)現(xiàn)如圖1.31.3： 2)2)

13、窄帶信號(hào)空域表示窄帶信號(hào)空域表示 假設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)的傳播波為窄帶信號(hào)，用復(fù)數(shù)形式假設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)的傳播波為窄帶信號(hào)，用復(fù)數(shù)形式 表示為：表示為： 0 0, jt B stzt e 0( ) , T T jtr B s r tz tr e r 由逆由逆Fourier變換：變換： 1 2 j t B ztzed 沿方向沿方向 傳播到傳播到 時(shí)，時(shí)， 如果如果 信號(hào)帶寬為信號(hào)帶寬為 ，則，則 B zt B , 2 2 0, B B z z 其它 式等于式等于 2 2 1 2 B j tj B B ztzeed 記記 （傳播時(shí)間），（傳播時(shí)間）， T r () 1 2 1 2 jt B j tj ztze

14、d zeed 11, 22 2 j BB B e 即要求即要求 時(shí)，時(shí)， 11c B B 或 2 2 1 2 B j t BB B ztzedzt 有有 00 0 , 0, jtj B j s r tzt ee st e 因此因此 小結(jié)：小結(jié)： 信號(hào)帶寬足夠小使得波到達(dá)信號(hào)帶寬足夠小使得波到達(dá) 處時(shí)的復(fù)包絡(luò)基本處時(shí)的復(fù)包絡(luò)基本 不變。不變。 r 表示了波傳播的空間信息（方向、位置），表示了波傳播的空間信息（方向、位置）， 它僅含于載波項(xiàng)中，而與信號(hào)復(fù)包絡(luò)無關(guān)。它僅含于載波項(xiàng)中，而與信號(hào)復(fù)包絡(luò)無關(guān)。 T r 線陣線陣 d 12N 均勻線陣：均勻線陣： 2 d 2 d 2 d 非均勻線陣：稀布陣，

15、隨機(jī)陣非均勻線陣：稀布陣，隨機(jī)陣 平面陣平面陣 圖圖1.4 圖圖1.5 立體陣立體陣 b.b.參數(shù)化數(shù)據(jù)模型參數(shù)化數(shù)據(jù)模型 圖圖1.6 y x r 圖圖1.7：二維陣列：二維陣列 幾何結(jié)構(gòu)幾何結(jié)構(gòu) 假設(shè)假設(shè)N元陣分布于二維平面上，陣元陣分布于二維平面上，陣 元位置為：元位置為： ,1,2, lll rx ylN 一平面波與陣面共面，傳播方向矢一平面波與陣面共面，傳播方向矢 量為：量為： 1 cos ,sin T c 0 0 2 (cossin )(cossin ) T lllll rxyxy c 0 2 ( cossin ) 1,2, ll jxy jt l lNx ts t ee 元陣輸出排

16、成矩陣：元陣輸出排成矩陣： N 11 22 2 cossin 1 2 cossin 2 2 cossin NN jxy jxy j tj t N jxy e x t xt e X ts t es t ea xt e 0 00 () ,() T l T l Tjtr lll jrjt x ts r ts tr e s t ee 窄帶 陣元陣元 接收信號(hào)為：接收信號(hào)為： l 1 2 3 a aa a 1112 2122 bb B bb 2. 線性空間：線性空間： 關(guān)于線性空間和希爾伯特空間的嚴(yán)格定義，關(guān)于線性空間和希爾伯特空間的嚴(yán)格定義， 讀者可以參閱有關(guān)線性代數(shù)的教科書，這里僅給讀者可以參閱有關(guān)

17、線性代數(shù)的教科書，這里僅給 出其使用概念和結(jié)論。出其使用概念和結(jié)論。 ,( ,a bC a b aaa abab a bab 和為復(fù)常數(shù)） 有： 嚴(yán)格定義：線性空間首先應(yīng)滿足嚴(yán)格定義：線性空間首先應(yīng)滿足“加法加法+”和和“數(shù)數(shù) 乘乘 ”的封閉性。的封閉性。 3.3. 希爾伯特空間希爾伯特空間 希爾伯特空間是指定義了內(nèi)積的完備線性空間。希爾伯特空間是指定義了內(nèi)積的完備線性空間。 12 12 , , T N T N x xx y yy 設(shè)矢量 ，為： * 1 , N H ii i x y H式中式中“ ”表示共軛轉(zhuǎn)置，表示共軛轉(zhuǎn)置，“*”表示取復(fù)共軛。表示取復(fù)共軛。 我們定義兩個(gè)矢量的內(nèi)積為：我們

18、定義兩個(gè)矢量的內(nèi)積為： 二、獨(dú)立性、正交性、子空間分解二、獨(dú)立性、正交性、子空間分解 1.1. 線性無關(guān)線性無關(guān) 在在N維線性空間中，若維線性空間中，若 ， 1 1 00 n iin i aaa 12 , n 12 , n 那么，矢量組那么，矢量組 是線性無關(guān)的，否則，是線性無關(guān)的，否則， 若若 的非平凡組合為零，則稱的非平凡組合為零，則稱 是線性相關(guān)的。是線性相關(guān)的。 12 , n 2.2. 子空間子空間 線性空間線性空間 的一個(gè)子集的一個(gè)子集V V，若，若V V對(duì)加法和數(shù)乘封閉，對(duì)加法和數(shù)乘封閉， 即即 ,VaC V aV 和 有： 則，則，V是是 的一個(gè)子空間。的一個(gè)子空間。 設(shè)設(shè) 是是

19、 上的一組矢量，則由上的一組矢量，則由 的所有線性組合構(gòu)成的集合是的所有線性組合構(gòu)成的集合是 的一個(gè)子空間，常的一個(gè)子空間，常 稱為稱為 張成的子空間，記為：張成的子空間，記為： 12 , n 12 , n 12 , n 1212 1 , n niin i spanaa aaC 若若 是線性無關(guān)的，且是線性無關(guān)的，且 那么那么 可由可由 唯一地線性表示。唯一地線性表示。 12 , n 12 , n span 12 , n 如果如果 是線性無關(guān)，并且不是是線性無關(guān)，并且不是 12 , iiik 12 , n 的任一線的任一線 性無關(guān)組的真子集，那么，性無關(guān)組的真子集，那么， 這個(gè)子集這個(gè)子集 就

20、是就是 12 , n 的一個(gè)最大線性無關(guān)的一個(gè)最大線性無關(guān) 如果是最大線性無關(guān)組，那么，如果是最大線性無關(guān)組，那么， 1） 2） 3）稱）稱 是是 的一個(gè)基。的一個(gè)基。 1212 , niiik spanspan 12 dim, n spank 12 , n span 組。組。 12 , iiik 12 , iiik 3.3. 矩陣的值域與零空間矩陣的值域與零空間 給定一組向量，由這組向量張成的子空間容易給定一組向量，由這組向量張成的子空間容易 由以上給出的定義寫出。另一種求子空間的方法是由以上給出的定義寫出。另一種求子空間的方法是 給定子空間中矢量的約束條件。如與矩陣有關(guān)的兩給定子空間中矢量

21、的約束條件。如與矩陣有關(guān)的兩 子空間值域與零空間。子空間值域與零空間。 設(shè)設(shè) ，則，則 的值域（或列空間）為的值域（或列空間）為 m n AR A 1212 , ,( ,) mn nn R AyR yAx xR span a aaAa aa 的零空間為的零空間為 矩陣矩陣 的秩定義為：的秩定義為： 0 n N AxRAx ( )dim ( )rank AR A A A 可以證明可以證明 ，即矩陣的秩等于最大無，即矩陣的秩等于最大無 關(guān)行數(shù)或最大無關(guān)列數(shù)。關(guān)行數(shù)或最大無關(guān)列數(shù)。 ( )() T rank Arank A ( )dim(rank AN An），如果，如果m=n,則如下關(guān)系等價(jià)：則如

22、下關(guān)系等價(jià)： 1） 是非奇異的是非奇異的 2） 3） （滿秩）（滿秩） (N A ）= 0 ( )rank An A 4.4. 正交性正交性 矢量的角矢量的角 設(shè)設(shè) ，則這兩個(gè)矢量的夾角余弦定義為：，則這兩個(gè)矢量的夾角余弦定義為： , n R , cos,0 , 正交性：正交性： 1）矢量）矢量 正交是指其夾角余弦等于零，即正交是指其夾角余弦等于零，即 2）矢量組）矢量組 是正交的，如果對(duì)所有是正交的，如果對(duì)所有 ， 有有 正交。如果滿足正交。如果滿足 ，則稱之為標(biāo)準(zhǔn)，則稱之為標(biāo)準(zhǔn) 正交的。正交的。 3）子空間）子空間 稱為互相正交的，如果稱為互相正交的，如果 , ,0 ij ij 與(,)

23、ijij 1, , p SS ,0 ij ssij 和當(dāng)時(shí)有， 12 , n 5.5. 子空間分解子空間分解 如果如果 是線性空間是線性空間 的子空間，那么它們的和的子空間，那么它們的和 也是一個(gè)子空間也是一個(gè)子空間 若每一個(gè)若每一個(gè) 有唯一的表達(dá)式有唯一的表達(dá)式 則則 被稱為一個(gè)直和，并寫為：被稱為一個(gè)直和，并寫為： 1, , k SS S 12 ,1,2, kii SS ik vS 12 , kii vs 12k SSSS 子空間的交集也是一個(gè)子空間，如子空間的交集也是一個(gè)子空間，如 。如果。如果 12 S SS 0 , ij SSij 1k SSS 一個(gè)子空間一個(gè)子空間 的正交補(bǔ)為的正交

24、補(bǔ)為 如果矢量如果矢量 是標(biāo)準(zhǔn)正交的并且張成子空間是標(biāo)準(zhǔn)正交的并且張成子空間 0, T m SyR y xxS 1, , k vv m SR 1, , k vv m R 1, , m vv 1, , km Sspan vv m SRS 則則 為直和。為直和。 一個(gè)重要特例：正交分解一個(gè)重要特例：正交分解 ，則稱矢量組，則稱矢量組 構(gòu)成子空間構(gòu)成子空間 的一個(gè)標(biāo)的一個(gè)標(biāo) 準(zhǔn)正交基。它總可以擴(kuò)充為準(zhǔn)正交基。它總可以擴(kuò)充為 的一組完全的標(biāo)準(zhǔn)的一組完全的標(biāo)準(zhǔn) 正交基正交基 ，此時(shí)，此時(shí) 。 三、線性變換與投影算子三、線性變換與投影算子 1.1. 線性變換線性變換 線性空間線性空間 上的一個(gè)變換上的一個(gè)

25、變換 稱為線性變換，如果它滿稱為線性變換，如果它滿 足：足： m R 1 1), 2), () m m R RaRaa 和數(shù) 在一定基的意義上，一個(gè)線性變換在一定基的意義上，一個(gè)線性變換 可用一矩陣可用一矩陣 表表 示。用一組基表示它在線性變換示。用一組基表示它在線性變換 下的象，其坐標(biāo)所下的象，其坐標(biāo)所 排成的矩陣就稱為排成的矩陣就稱為 在這組基下的矩陣。線性變換與在這組基下的矩陣。線性變換與 矩陣一一對(duì)應(yīng)。矩陣一一對(duì)應(yīng)。 A 2.2. 正交投影算子正交投影算子 一種重要的線性變換是投影算子，而且正交情形一種重要的線性變換是投影算子，而且正交情形 是最重要的。是最重要的。 正交投影算子的定義

26、：正交投影算子的定義： P m SR 1), 2),0 m m xR PxSxS Pxx xRyS x Px y 且 設(shè)子空間設(shè)子空間 ，線性變換，線性變換 稱為正交投影，稱為正交投影， 如果，如果， 幾何意義：已知幾何意義：已知 維線性空間中的一個(gè)點(diǎn)維線性空間中的一個(gè)點(diǎn) 和子空間和子空間 ， 求點(diǎn)求點(diǎn) ，使，使 到到 點(diǎn)的距離不超過點(diǎn)的距離不超過 到到 上各點(diǎn)的距上各點(diǎn)的距 離。如圖離。如圖2.1所示。所示。 mS p b bpb S b p S 圖圖2.1 向量向量 表示由一系列的實(shí)驗(yàn)和表示由一系列的實(shí)驗(yàn)和 調(diào)查所給出的數(shù)據(jù)，由于這些調(diào)查所給出的數(shù)據(jù)，由于這些 實(shí)驗(yàn)或調(diào)查包含不少的誤差，實(shí)

27、驗(yàn)或調(diào)查包含不少的誤差， 以致在給定的子空間中不可能以致在給定的子空間中不可能 找到這組數(shù)據(jù)，即，我們不可找到這組數(shù)據(jù)，即，我們不可 能把能把 表示成子空間表示成子空間 中的一中的一 個(gè)向量，因?yàn)槲覀兯龅降姆絺€(gè)向量，因?yàn)槲覀兯龅降姆?程組是不相容的，因此，是無程組是不相容的，因此，是無 解的，這樣一來，最小二乘解解的，這樣一來，最小二乘解 法就是選擇點(diǎn)法就是選擇點(diǎn) 作為最佳選擇。作為最佳選擇。 b b S p 正交投影算子的表示，即正交投影算子的表示，即 點(diǎn)的求解。點(diǎn)的求解。 p 12 , n a aa m bR 1 1 1 , H n iiin i H n a pb aaaab a Pb

28、 1)1) 若子空間若子空間 由標(biāo)準(zhǔn)正交基由標(biāo)準(zhǔn)正交基 張成，則任一張成，則任一 矢量矢量 ，在子空間，在子空間 上的正交投影矢量上的正交投影矢量 可可 表示為：表示為： S S p 此公式可用直角坐標(biāo)系來解釋。此公式可用直角坐標(biāo)系來解釋。 式中式中 階方陣階方陣 mm 1 1 1 ,2.11 , H n H n H n a Paa a AAAaa 常稱為投影矩陣。常稱為投影矩陣。 可見，由標(biāo)準(zhǔn)正交基來求正交投影算子是很方便的。可見，由標(biāo)準(zhǔn)正交基來求正交投影算子是很方便的。 2) 若子空間若子空間 由一組基由一組基 （未必正交）張成，（未必正交）張成， 求由求由 表示的空間表示的空間 上的正交

29、投影算子。上的正交投影算子。 12 , n a aa S 12 , n a aa S 由正交投影的定義，由正交投影的定義， 到到 的投影矢量的投影矢量 ，即，即 由由 pAx bp 12 , n a aa 0 H AbAx 1 HH xA AA b 1 2.12 HH pA A AA b 1 2.13 HH PA A AA b S p 12 , n a aa 由由(2.12)式可知式可知 ， 上的正交投影矩陣為：上的正交投影矩陣為： 線性表示，且線性表示，且 與與 正交，正交， 即即 ，則，則 ，得投影矢量，得投影矢量 S （2.13）式給出了到矩陣的列空間上的正交投影矩）式給出了到矩陣的列空

30、間上的正交投影矩 陣，當(dāng)基矢量是標(biāo)準(zhǔn)正交基時(shí)，（陣，當(dāng)基矢量是標(biāo)準(zhǔn)正交基時(shí)，（2.13）式可簡(jiǎn)化）式可簡(jiǎn)化 為（為（2.11）式形式。（）式形式。（2.13）式也稱為）式也稱為 的偽逆。的偽逆。 A 3.3. 正交變換與正交矩陣正交變換與正交矩陣 線性變換是正交變換，如果對(duì)線性空間中的任意矢線性變換是正交變換，如果對(duì)線性空間中的任意矢 量量 ，有內(nèi)積關(guān)系：，有內(nèi)積關(guān)系： ，有時(shí)又稱為有時(shí)又稱為 保角變換、酉變換。相應(yīng)于正交變換保角變換、酉變換。相應(yīng)于正交變換 的矩陣的矩陣 為為 正交矩陣或酉矩陣，如果滿足關(guān)系：正交矩陣或酉矩陣，如果滿足關(guān)系： , A HH A A AAI , , 兩個(gè)重要例子

31、：兩個(gè)重要例子： 例例1：離散傅氏變換：離散傅氏變換DFT是正交變換，其矩陣為：是正交變換，其矩陣為： 2 ,1,1 , 11 ,1,1 111 1 1 1,2,1 1 k j N NN N N k NN NN N N N WW We B N kN WW 1,N XC 21 1 ki j N i N yBXxe 矩陣矩陣 常稱為一種常稱為一種Bulter 矩陣（線性情況）。矩陣（線性情況）。 B 正交變換是可逆變換，變換后無信息損失。正交變換是可逆變換，變換后無信息損失。 大家知道，在數(shù)字信號(hào)處理中，大家知道，在數(shù)字信號(hào)處理中，DFT變換是一種變換是一種 很重要的變換，我們常用它對(duì)數(shù)據(jù)變換到頻

32、域，很重要的變換，我們常用它對(duì)數(shù)據(jù)變換到頻域， 以便于分析信號(hào)頻譜，在陣列信號(hào)處理中，對(duì)陣以便于分析信號(hào)頻譜，在陣列信號(hào)處理中，對(duì)陣 列空間抽樣數(shù)據(jù)作列空間抽樣數(shù)據(jù)作DFT，相當(dāng)于把數(shù)據(jù)變換到角，相當(dāng)于把數(shù)據(jù)變換到角 頻域（波束空間頻域（波束空間beam space），分析波達(dá)方向（），分析波達(dá)方向（ DOA）。）。 盡管用盡管用DFT技術(shù)作譜分析時(shí)其分辨率不高，但在技術(shù)作譜分析時(shí)其分辨率不高，但在 高分辨譜估計(jì)和自適應(yīng)濾波技術(shù)中，高分辨譜估計(jì)和自適應(yīng)濾波技術(shù)中，DFT變換仍變換仍 是很重要的一種正交變換，在后面我們還要多次是很重要的一種正交變換，在后面我們還要多次 利用它對(duì)數(shù)據(jù)作利用它對(duì)數(shù)據(jù)

33、作DFT預(yù)變換，簡(jiǎn)化問題，這里只預(yù)變換，簡(jiǎn)化問題，這里只 簡(jiǎn)單提一下。簡(jiǎn)單提一下。 一隨機(jī)序列一隨機(jī)序列 ，若其自相關(guān)函數(shù)為，若其自相關(guān)函數(shù)為 ， 則則K-L變換為：變換為： 1 N n x n x R N N YTX ( H T T I 正 交 矩 陣 ） * 1 1 ,:1) 2),1, N H Nijkikjij k xiii TTTT TT T R TT iN Y 2 * 1 1)0, 2)(), iijiijii yiN E yE y yEy Rdiag 若則 物理意義：按隨機(jī)序列的能量大小逐次作物理意義：按隨機(jī)序列的能量大小逐次作N個(gè)正個(gè)正 交方向分解。交方向分解。Y的各分量去相關(guān)

34、且按能量從大到的各分量去相關(guān)且按能量從大到 小排列。小排列。K-L變換有人叫最佳變換。變換有人叫最佳變換。 22矩陣的分解矩陣的分解 1.1. 特征值分解特征值分解 對(duì)任一對(duì)任一 維維Hermite矩陣（矩陣（ ），其特征矢），其特征矢 量構(gòu)成量構(gòu)成 維空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。因此，存在一維空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。因此，存在一 正交矩陣正交矩陣 使得使得 與一對(duì)角陣相似，即：與一對(duì)角陣相似，即： H AA N TA N 1 12 , N TATdiag 式中式中 為為 的特征值。的特征值。 1,2, i iNA 正定（半正定）性：若正定（半正定）性：若Hermite陣陣 對(duì)任一非零矢量，對(duì)任一非零

35、矢量， 有有 ，則稱，則稱 為正定（半正定）的。為正定（半正定）的。 正定的正定的Hermite矩陣矩陣 的所有特征值為正數(shù)，即：的所有特征值為正數(shù)，即： 00 H XAX 1 1 ,2.21 N HH iiNi i A TdiagTv v 1, i iN 1, i v iN A A A (2.21)式中式中 為為 的特征值，的特征值， 為為 特征矢量。稱此分解為特征分解（特征矢量。稱此分解為特征分解（EVD ）. A 2.2. 奇異值分解（奇異值分解（SVD） 對(duì)對(duì) ，存在正交矩陣，存在正交矩陣 和和 ，使得：，使得： n m AC 1, , n n n UuuC 1, , m m m Vv

36、vC 1 1 ,0,0 r HH iiir i Au vUdiagV 式中式中 , , 是是 的的 奇異值奇異值 121 ,0 rr rrank A i A 1 1 1) 2),(1,2, ) 3), , iii H iii rm r Avu A uvip N Aspan vv R Aspan uu 3.3. 矩陣矩陣QR分解分解 任一矩陣任一矩陣 ，總可以化為：，總可以化為： n m AC 2.22AQR QR A 其中其中 是正交矩陣，是正交矩陣， 是上三角矩陣，（是上三角矩陣，（2.22）式）式 稱為稱為 的的QR分解。分解。 * ,f W Wg x y * Wxjy Wxjy 根據(jù)求導(dǎo)

37、法則：根據(jù)求導(dǎo)法則： * * * * gfWfWff xWxWxWW gfWfWff jj yWyWyWW * 1 2 1 2 fgg j Wxy ggg j Wxy 若矩陣若矩陣 的元素是某個(gè)自變量的元素是某個(gè)自變量 （標(biāo)量）的函（標(biāo)量）的函 數(shù)，當(dāng)每一個(gè)數(shù)，當(dāng)每一個(gè) 均為可微函數(shù)時(shí)，可構(gòu)成一個(gè)與均為可微函數(shù)時(shí)，可構(gòu)成一個(gè)與 同階的矩陣：同階的矩陣： ，稱作矩陣，稱作矩陣 對(duì)自變量對(duì)自變量 的的 導(dǎo)數(shù)或微分。導(dǎo)數(shù)或微分。 ij m n Aa ij at ij m n da d A dtdt A t A t 矩陣的微分滿足的基本運(yùn)算規(guī)則為：矩陣的微分滿足的基本運(yùn)算規(guī)則為： 1) () 2) d

38、 ABd AdB dtdtdt d ABd AdB BA dtdtdt 2.2. 矩陣對(duì)矢量求微分矩陣對(duì)矢量求微分 設(shè)設(shè) 的元素的元素 是某一矢量的可微函數(shù)，則是某一矢量的可微函數(shù)，則 ij m n Aa 1p x 矩陣矩陣 對(duì)矢量對(duì)矢量 的微分：的微分： x A 1 1 H p p d A dx d Ad Ad Ad A dxdxdxdx d A dx 3.3. 矩陣對(duì)矩陣求微分矩陣對(duì)矩陣求微分 ij p q kl s t Aa Bb 右邊矩陣共有右邊矩陣共有 st個(gè)塊，每分塊矩陣為個(gè)塊，每分塊矩陣為 矩陣對(duì)矩陣矩陣對(duì)矩陣 的元素的元素 求導(dǎo)，所有分塊矩陣按求導(dǎo)，所有分塊矩陣按 陣排列方式排

39、列。陣排列方式排列。 ij kl p q sp tq d a dA dBdb kl bB 則則 BA 例：例： 11N NN N H f WWR W 其中其中 ，求，求 。 H RR df W dW H H fWWRWf W f W為實(shí)數(shù) 2 H H df W RWWRRW dW 解：解： 目的：目的： 空間平面波是四維函數(shù)，空間平面波是四維函數(shù)， ,exp2 T g t rAjftk r 簡(jiǎn)化：簡(jiǎn)化： 窄帶條件：同時(shí)刻采集信號(hào)，所有陣元上信號(hào)窄帶條件：同時(shí)刻采集信號(hào)，所有陣元上信號(hào) 的復(fù)包絡(luò)相同，只需考慮相位的變化，而它只的復(fù)包絡(luò)相同，只需考慮相位的變化，而它只 依賴于陣列的幾何結(jié)構(gòu)。對(duì)于等

40、距線陣，則更依賴于陣列的幾何結(jié)構(gòu)。對(duì)于等距線陣，則更 簡(jiǎn)單，只依賴于與簡(jiǎn)單，只依賴于與x軸的夾角。如圖軸的夾角。如圖3.1 d 1 2N * 1 W * 2 W * N W 圖圖3.1 如前所述的窄帶信如前所述的窄帶信 號(hào)的空域表示：號(hào)的空域表示： , T jt r s t rs t e 1 2 sin 2 2 1sin jt jd jt jNd jt N xts te xts ted xts tee 若以陣元若以陣元1為參考點(diǎn)，為參考點(diǎn)， 則各陣元接收信號(hào)可則各陣元接收信號(hào)可 寫成：寫成： 1 2 sin 2 2 1sin 1 jd j t jNd N x t xte X ts t es t

41、 aABC xt e 稱稱 為方向矢量或?qū)蚴噶浚榉较蚴噶炕驅(qū)蚴噶浚⊿teering Vector）。在窄帶條件下，只依賴于陣列的幾）。在窄帶條件下，只依賴于陣列的幾 何結(jié)構(gòu)（已知）和波的傳播方向（未知）。何結(jié)構(gòu)（已知）和波的傳播方向（未知）。 a 波束形成（空域?yàn)V波）技術(shù)與時(shí)間濾波相類似，波束形成（空域?yàn)V波）技術(shù)與時(shí)間濾波相類似， HH W y tW X ts t W as t P 也是對(duì)采樣數(shù)據(jù)作加權(quán)求和也是對(duì)采樣數(shù)據(jù)作加權(quán)求和,輸出為：輸出為： 目的是：增強(qiáng)特定方向信號(hào)的功率。目的是：增強(qiáng)特定方向信號(hào)的功率。 我們記：我們記： ，稱為，稱為方向圖方向圖。當(dāng)。當(dāng) 對(duì)某個(gè)方向?qū)δ硞€(gè)方向

42、的信號(hào)同相相加時(shí)得的信號(hào)同相相加時(shí)得 的模的模 值最大。值最大。 H W PWa W 0 0W P X t 等距線陣情況：等距線陣情況： 若要波束形成指向若要波束形成指向 ，則可取，則可取 ，波束，波束 形成：形成： 0 0 Wa 0 0 0 0 21 sinsin 1 2 sinsin 2 sinsin 1 1 H H d i N j i dN j d j PWaaa e e e 0 000 sin sin 2 , sin sin 2 N P 為天線功率方向圖。如圖為天線功率方向圖。如圖3. .2 P 13.6db P 0 0 2 N 主瓣主瓣 副瓣副瓣 圖圖3.2 根據(jù)根據(jù)Fourier

43、理論，主瓣寬理論，主瓣寬 度正比于天線度正比于天線 孔徑的倒數(shù)。孔徑的倒數(shù)。 優(yōu)點(diǎn)：是一個(gè)匹配濾波器，在主瓣方向信號(hào)相干優(yōu)點(diǎn)：是一個(gè)匹配濾波器，在主瓣方向信號(hào)相干 積累積累; 實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，在白噪聲背景下它是最優(yōu)的，在實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，在白噪聲背景下它是最優(yōu)的，在 色噪聲背景下，維納濾波是最優(yōu)的。色噪聲背景下，維納濾波是最優(yōu)的。 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 1) 波束寬度限制了方向角的分辨。波束寬度限制了方向角的分辨。 2) 存在旁瓣，強(qiáng)干擾信號(hào)可以從旁瓣進(jìn)入。存在旁瓣，強(qiáng)干擾信號(hào)可以從旁瓣進(jìn)入。 3) 加窗處理可以降低旁瓣，但同時(shí)也會(huì)展寬主瓣。加窗處理可以降低旁瓣，但同時(shí)也會(huì)展寬主瓣。 總之，普通波束形成依賴于陣列幾

44、何結(jié)構(gòu)和波總之，普通波束形成依賴于陣列幾何結(jié)構(gòu)和波 達(dá)方向角，而與信號(hào)環(huán)境無關(guān)，且固定不變，抑制達(dá)方向角，而與信號(hào)環(huán)境無關(guān)，且固定不變，抑制 干擾能力差。干擾能力差。 自適應(yīng)波束形成是將維納濾波理論應(yīng)用于空自適應(yīng)波束形成是將維納濾波理論應(yīng)用于空 域?yàn)V波中，它的權(quán)矢量依賴于信號(hào)環(huán)境。域?yàn)V波中，它的權(quán)矢量依賴于信號(hào)環(huán)境。 一般框架：一般框架： 波束形成：波束形成： H y tWX t 對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，輸出信號(hào)功率為：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，輸出信號(hào)功率為： 2 H HH HH HH Ey tE WX tWX t E WX t Xt W W E X t XtW 定義：陣列信號(hào)相關(guān)矩陣，定義：陣列信號(hào)相關(guān)

45、矩陣， H X RE X t Xt 它包含了陣列信號(hào)所有的統(tǒng)計(jì)知識(shí)（二階）。它包含了陣列信號(hào)所有的統(tǒng)計(jì)知識(shí)（二階）。 最優(yōu)波束形成的一般形式：最優(yōu)波束形成的一般形式： min . .0 H X W WR W stf W 最優(yōu)濾波的準(zhǔn)則：最優(yōu)濾波的準(zhǔn)則： 1、SNR（信噪比）最大準(zhǔn)則（信噪比）最大準(zhǔn)則 2、均方誤差最小準(zhǔn)則、均方誤差最小準(zhǔn)則(MSE) 3、線性約束最小方差準(zhǔn)則、線性約束最小方差準(zhǔn)則(LCMV) 4、最大似然準(zhǔn)則、最大似然準(zhǔn)則 若陣列信號(hào)為：若陣列信號(hào)為： sn X tXtXt 如果信號(hào)分量如果信號(hào)分量 與噪聲分量與噪聲分量 統(tǒng)計(jì)無關(guān)，且統(tǒng)計(jì)無關(guān)，且 各自相關(guān)矩陣已知：各自相關(guān)矩陣

46、已知： s Xt n Xt H sss RtE Xt Xt H nnn RtE Xt Xt 則則 HHH sn y tWX tWXtWXt 輸出功率：輸出功率： 2 HH sn Ey tWR WWR W 其中其中 為信號(hào)功率，為信號(hào)功率， 為噪聲功率。為噪聲功率。 H s WR W H n WR W 則則 H s H n WR W WR W 信號(hào)功率 噪聲功率 SNR（信噪比）最大準(zhǔn)則即（信噪比）最大準(zhǔn)則即 max H s H W n WR W WR W 12 11 22 1111 2222 11 22 11 22 maxmax max max max H H H n H H nsn H H

47、H nnnn H nn RW nn RR R WR W s SNR WW WR W n WRRR RRW s W WRRW V VRR RV s V V V Rsn VRV sn V V V 根據(jù)瑞利熵，根據(jù)瑞利熵， 可看出即是可看出即是 求求 的最大的最大 特征值問題。特征值問題。 sn R SNR最大準(zhǔn)則的求解方法：最大準(zhǔn)則的求解方法： 利用瑞利熵：利用瑞利熵： minmax H H X RX RR X X 是是矩陣對(duì)矩陣對(duì) 的最大廣義特征值對(duì)應(yīng)的最大廣義特征值對(duì)應(yīng) maxsnoptopt R VV 11 22 max max nsnoptopt snoptopt RR RVV R WR

48、W opt W , sn R R 即即 （廣義特征值分解）（廣義特征值分解） 的特征矢量。的特征矢量。 應(yīng)用條件：需要一個(gè)期望輸出（參考）信號(hào)應(yīng)用條件：需要一個(gè)期望輸出（參考）信號(hào) 。 d t H y tWX t 令令 2 2 H WE y td tE WX td t 則目標(biāo)為：則目標(biāo)為： min W W 2 2 HH HHH XXdXd WE y td tE WX td tXt Wd t WR WE d tWrrW 其中其中 是相關(guān)矢量，是相關(guān)矢量， * Xd rE X t dt H X NN RE X t Xt 是相關(guān)矩陣是相關(guān)矩陣。 此求解可利用實(shí)函數(shù)對(duì)復(fù)變量求導(dǎo)法則，得此求解可利用實(shí)函

49、數(shù)對(duì)復(fù)變量求導(dǎo)法則，得 1 XXdopt WR r 由公式可看出：應(yīng)用此方法僅需陣列信號(hào)與期由公式可看出：應(yīng)用此方法僅需陣列信號(hào)與期 望輸出信號(hào)的互相關(guān)矢量，因此尋找參考信號(hào)望輸出信號(hào)的互相關(guān)矢量，因此尋找參考信號(hào) 或與參考信號(hào)的互相關(guān)矢量是應(yīng)用該準(zhǔn)則的前或與參考信號(hào)的互相關(guān)矢量是應(yīng)用該準(zhǔn)則的前 提。提。 MSE準(zhǔn)則的應(yīng)用：準(zhǔn)則的應(yīng)用： 1)自適應(yīng)均衡（通訊）自適應(yīng)均衡（通訊） 2) 多通道均衡（雷達(dá)）多通道均衡（雷達(dá)） 3)自適應(yīng)天線旁瓣相消（自適應(yīng)天線旁瓣相消（SLC） 實(shí)例：天線旁瓣相消技術(shù)實(shí)例：天線旁瓣相消技術(shù)(ASC), 如圖如圖3.3 * 1 W * 2 W * N W tx1 2

50、 xt N xt - - y t m t e tm ty t 主主 天天 線線 輔助天線（增輔助天線（增 益小，選取與益小，選取與 主天線旁瓣電主天線旁瓣電 平相當(dāng)，無方平相當(dāng)，無方 向性，因此向性，因此 幾乎僅為干擾幾乎僅為干擾 信號(hào)）信號(hào)） y t 加在輔助天線的權(quán)矢量加在輔助天線的權(quán)矢量 獲得好的干擾抑制性能的條件：主天線與輔助天線獲得好的干擾抑制性能的條件：主天線與輔助天線 對(duì)干擾信號(hào)接收輸出信號(hào)相關(guān)性較好。對(duì)干擾信號(hào)接收輸出信號(hào)相關(guān)性較好。 1 XXdopt WR r 圖圖3.3 陣列輸出：陣列輸出： , H y tWX t 2 H X Ey tWR W 方差為：方差為： （輸出功率

51、）（輸出功率） 導(dǎo)向矢量約束導(dǎo)向矢量約束 為目標(biāo)信號(hào)方向矢量。為目標(biāo)信號(hào)方向矢量。 0 a 求解過程分析：求解過程分析： 信號(hào)：信號(hào)： 0 X ts t aJN 則則 0 HHH y tWX ts t WaWJN 目的是尋找最優(yōu)的權(quán)目的是尋找最優(yōu)的權(quán) 。 W 我們可以固定我們可以固定 ，即信號(hào)分量就固定，即信號(hào)分量就固定 了，然后最小化方差，相當(dāng)于使了，然后最小化方差，相當(dāng)于使 的方差的方差 最小，所以可得最優(yōu)準(zhǔn)則為：最小，所以可得最優(yōu)準(zhǔn)則為： 0 1 H Wa H WJN 0 min .1 H X W H WR W st Wa （1可變?yōu)槿我夥橇愠?shù)）可變?yōu)槿我夥橇愠?shù)） 解得：解得： 1

52、0Xopt WR a 為任意非零常數(shù) 如果固定如果固定 ，則，則 。 0 1 H Wa 1 00 1 H X aR a 的取值不影響的取值不影響SNR和方向圖。和方向圖。 注意：本準(zhǔn)則要求波束形成的指向注意：本準(zhǔn)則要求波束形成的指向 已知，而已知，而 不要求參考信號(hào)不要求參考信號(hào) 和信號(hào)與干擾的相關(guān)矩陣。和信號(hào)與干擾的相關(guān)矩陣。 0 a d t 推廣到約束多個(gè)方向：一般的線性約束最小方差推廣到約束多個(gè)方向：一般的線性約束最小方差 法為：法為： min 1 . H X W HH WR W C FL st W CF ：NL的矩陣， ：的常數(shù)矢量（L1) 解之：解之： 1 11H XXopt WR

53、C C R CF 特例：當(dāng)特例：當(dāng) ，即約束單個(gè)方向，則，即約束單個(gè)方向，則 0 Ca 1F 實(shí)際應(yīng)用：實(shí)際應(yīng)用： 1) 當(dāng)已知目標(biāo)在當(dāng)已知目標(biāo)在 方向，但也可能在方向，但也可能在 附附 近，這時(shí)可令近，這時(shí)可令 ， 0 0 1 000 , L N L Caaa 1 0 0 F 000 , 1 1 1 Caaa F 結(jié)果可把主瓣展寬。結(jié)果可把主瓣展寬。 2) 可增加穩(wěn)健性?？稍黾臃€(wěn)健性。 注：針對(duì)白噪聲，注：針對(duì)白噪聲， 為單位陣，為單位陣， ， 此時(shí)自適應(yīng)濾波是無能力的。此時(shí)自適應(yīng)濾波是無能力的。 X R HH X WR WW W maxsnoptopt R WR W n R 1 XXdop

54、t WR r d t 1 0Xopt WR a 0 準(zhǔn)則準(zhǔn)則解的表達(dá)式解的表達(dá)式所需已知條件所需已知條件 SNR已知已知 MSE已知期望信號(hào)已知期望信號(hào) LCMV已知期望信號(hào)已知期望信號(hào) 方向方向 陣列信號(hào)陣列信號(hào) 0n X ts t aXt 0 a s t n Xt假定已知假定已知 且信號(hào)且信號(hào) 與噪聲不與噪聲不 相關(guān)。相關(guān)。 00 2 00 H s H s H nnn RE s t aast aa RE Xt Xt max 2 00max 10 2 0 max snoptSNRoptSNR H noptSNRoptSNRs H optSNR noptSNRs R WR W aaWR W a

55、W WR a 其中： SNR： 對(duì)比對(duì)比LCMV: 1 0XoptLCMV WR a 中含有期望信號(hào)分量，而中含有期望信號(hào)分量，而 中不含期望信號(hào)分中不含期望信號(hào)分 量，僅為噪聲分量。量，僅為噪聲分量。 2 00 H Xns RaaR X R n R 注意：注意： 由矩陣求逆引理：由矩陣求逆引理： 11 1 1 1 1 :1) H H H A bb A bbAA b A b AN (假設(shè) 可逆， b 所以：所以： 11 2 1100 1 2 00 1 H nns Xn H ns R aaR RR aR a 11 2 1100 00 1 2 00 1 0 1 1 H nns XnoptLCMV

56、H ns noptSNR R aaR WR aR a aR a R aW 上式表明：在精確的方向矢量約束條件和相關(guān)矩陣上式表明：在精確的方向矢量約束條件和相關(guān)矩陣 精確已知條件下，精確已知條件下，SNR準(zhǔn)則與準(zhǔn)則與LCMV準(zhǔn)則等效。準(zhǔn)則等效。 上述條件若不滿足，應(yīng)該用上述條件若不滿足，應(yīng)該用 來計(jì)算。直接用來計(jì)算。直接用 求求 逆計(jì)算最優(yōu)權(quán)會(huì)導(dǎo)致信號(hào)相消。逆計(jì)算最優(yōu)權(quán)會(huì)導(dǎo)致信號(hào)相消。 n R X R 在最優(yōu)波束形成方法中，降低旁瓣電平的方法是在最優(yōu)波束形成方法中，降低旁瓣電平的方法是 加窗處理。加窗處理。 00 aa 0 min .1 H X W H WR W st Wa 1 0 () Xop

57、t WRa 為加窗矩陣。為加窗矩陣。 MSE：若已知：若已知 與與 不相關(guān)，則不相關(guān)，則 d t n Xt * * 0 * 0 Xd rE X t dt E s t adt E s t dta 1 * 0 1 * 0 XoptMSE X WE s t dtR a R aE s t dt 由此看出，上述三個(gè)準(zhǔn)則在一定條件下是等價(jià)的。由此看出，上述三個(gè)準(zhǔn)則在一定條件下是等價(jià)的。 小結(jié)：小結(jié)： 自適應(yīng)波束形成原理如圖自適應(yīng)波束形成原理如圖3.43.4 1 2N * 1 W * 2 W * N W ty 圖圖3.4 實(shí)現(xiàn)框圖為圖實(shí)現(xiàn)框圖為圖3.5.3.5. X t 0 a opt W 0 1 aR 圖

58、圖3.5 1) 需已知二階統(tǒng)計(jì)量需已知二階統(tǒng)計(jì)量 n R 0 a 自適應(yīng)波束形成的特點(diǎn)：自適應(yīng)波束形成的特點(diǎn)： 3) 矩陣求逆運(yùn)算量大，有待于矩陣求逆運(yùn)算量大，有待于 尋找快速算法。尋找快速算法。 2) 已知已知 分塊算法（批處理方式）分塊算法（批處理方式）SMI 連續(xù)算法（每次快拍單獨(dú)計(jì)算）連續(xù)算法（每次快拍單獨(dú)計(jì)算）LMS 自適應(yīng)算法自適應(yīng)算法 3.3.1 LMS算法算法 最小均方最小均方(LMS)算法算法 差分最陡下降差分最陡下降(DSD)算法算法 加速梯度加速梯度(AG)算法算法 基于梯度的算法基于梯度的算法 1. LMS算法算法 MSE準(zhǔn)則：準(zhǔn)則： 波束形成：波束形成： 期望輸出：期

59、望輸出： 誤差：誤差： 1 XXdopt WR r H y tWX t d t e ty td t 22 2Re HH XXd E e tWR WEd tWr 2 * * 22 2 2 2 XdX H E e t rR W W E X t XtWE X t dt E X tytdt E X t et 2 E e t 1 W 2 W opt W 圖圖3.6 LMS思想思想(widrow提出提出)：用瞬態(tài)值代替穩(wěn)態(tài)值：用瞬態(tài)值代替穩(wěn)態(tài)值. . * 2 WtX t et 迭代算法：迭代算法： * 1 2 WW kW kk W kX k ek LMS算法的優(yōu)點(diǎn)：實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單算法的優(yōu)點(diǎn)：實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單 收斂性本質(zhì)

60、上依賴于收斂性本質(zhì)上依賴于 的特征值的分散程度，當(dāng)?shù)奶卣髦档姆稚⒊潭?，?dāng) n R EVD: 12 1 N H niiiN i RV V 特征值很接近時(shí)，可找到一個(gè)特征值很接近時(shí)，可找到一個(gè) 使算法快收斂。使算法快收斂。 嚴(yán)重缺陷：收斂性太慢。嚴(yán)重缺陷：收斂性太慢。 加速收斂性問題：加速收斂性問題： 對(duì)角加載技術(shù)：對(duì)角加載技術(shù)： ,0 n RDI D 1 () N H niii i RDID V V 1 1 00 1 1 0 1 N H noptiii i N H iii i WR aV Va V Va 的特征值一般具有以下結(jié)構(gòu)：的特征值一般具有以下結(jié)構(gòu)：( (如圖如圖3.7)3.7) n R