第五章彎曲內力

1、Page1上一講回顧（上一講回顧（8）扭轉靜不定問題（拉壓與扭轉問題對比）扭轉靜不定問題（拉壓與扭轉問題對比）閉口與開口薄壁桿的概念閉口與開口薄壁桿的概念 2T閉口薄壁桿的應力與變形閉口薄壁桿的應力與變形maxmin 2T tTlGI 24tIds 202TR圓：圓： 302TlG R圓：圓：#非圓截面桿扭轉非圓截面桿扭轉tTlGI maxtTW ,ttWI（ 查表）查表）#開口薄壁桿扭轉開口薄壁桿扭轉 313niiiTlGh maxmax313niiiThPage2補充：補充：全國周培源大學生力學競賽全國周培源大學生力學競賽2000年賽題年賽題MMLDd材料相同空心外軸與實心內軸緊配合壓強材

2、料相同空心外軸與實心內軸緊配合壓強p，摩擦系數(shù)摩擦系數(shù)m m。求。求(1)能施加的極限外力偶能施加的極限外力偶Mu；(2)設設 ， 畫軸的扭矩圖。畫軸的扭矩圖。uMM23Page3補充：補充：全國周培源大學生力學競賽全國周培源大學生力學競賽2004年賽題年賽題MMLDd材料相同空心外軸與實心內軸緊配合壓強材料相同空心外軸與實心內軸緊配合壓強p，摩擦系數(shù)摩擦系數(shù)m m。求。求(1)能施加的極限外力偶能施加的極限外力偶Mu；解解(1)：當兩軸所有接觸面達到當兩軸所有接觸面達到臨界滑動狀態(tài)時，臨界滑動狀態(tài)時， 外力偶達到外力偶達到極限值極限值 Mu 。(2)設設 ， 畫軸的扭矩圖。畫軸的扭矩圖。uM

3、M23/uMpdL d2mmuMdpL212mmMd212uMmdpLmmPage4(2)設設 ， 畫軸的扭矩圖。畫軸的扭矩圖。uMM23MMLDdx1x2uMdpL212mm(1)問題（問題（2）討論：）討論： (1)如果牢固連接，兩軸之間如果牢固連接，兩軸之間是否有切向內力？是否有切向內力？ (2)是否有應力集中？是否有應力集中？ (3)討論隨討論隨M增大，討論兩軸增大，討論兩軸相對滑動發(fā)生的過程。相對滑動發(fā)生的過程。 (4)滑動與未滑動交界處變形滑動與未滑動交界處變形協(xié)調條件：協(xié)調條件：ieMLDx1x2mmMduMmLmPage5(2)設設 ， 畫軸的扭矩圖。畫軸的扭矩圖。uMM23解

4、：解：設左端滑移段長設左端滑移段長x1MMLDdx1x2iuuxTMML123在在x=x1處，兩軸扭矩處，兩軸扭矩11euxTmxMLMduMmLmMLDx1x2mmPage6(2)設設 ，畫軸的扭矩圖。畫軸的扭矩圖。uMM23MMLDdx1x2iuuxTMML123在在x=x1處處euxTML1()()()ieT xT xdDd114443232()DdxLD441423()iudT xMD41423()()iexx11由由()()iepipeT xT xGIGI11Page7材料相同空心外軸與實心內軸緊配合壓強材料相同空心外軸與實心內軸緊配合壓強p，摩擦系數(shù)摩擦系數(shù)m m。(2)設設 ，畫

5、軸的扭矩圖。畫軸的扭矩圖。uMM23MMLDdx1x2euuxTMML223在在x=x2處處iuxTML2dxLD42423()iudT xMD42423()()iexx22由由()()()ieT xT xdDd224443232()()iepipeT xT xGIGI22Page8材料相同空心外軸與實心內軸緊配合壓強材料相同空心外軸與實心內軸緊配合壓強p，摩擦系數(shù)摩擦系數(shù)m m。(2)設設 ， 畫軸的扭矩圖。畫軸的扭矩圖。uMM23MMLDdx1x2dLD4423()DdLD44423L3TOx()DdxLD441423()iudT xMD41423dxLD42423()iudT xMD42

6、423udMD4423uM23MduMmLmPage9 Page10 剪力、彎矩與載荷集度間的微分關系剪力、彎矩與載荷集度間的微分關系 剛架剛架與曲梁的彎曲內力與曲梁的彎曲內力 本章主要研究本章主要研究 直梁直梁彎曲內力彎曲內力Page11上圖：水閘立柱上圖：水閘立柱下圖：跳板下圖：跳板彎曲實例彎曲實例Page12哪些構件承受哪些構件承受彎曲載荷？彎曲載荷？Page13彎曲的定義、力學彎曲的定義、力學特征與計算簡圖特征與計算簡圖上圖：彎曲構件上圖：彎曲構件下圖：計算簡圖下圖：計算簡圖外力特征：外力特征：外力或外力偶的矢量垂直于桿軸外力或外力偶的矢量垂直于桿軸變形特征：桿軸由直線變?yōu)榍€變形特征

7、：桿軸由直線變?yōu)榍€彎曲與梁：以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲彎曲與梁：以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲 以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。 計算簡圖通常以軸線代表梁計算簡圖通常以軸線代表梁Page14主要約束形式與反力主要約束形式與反力 固定固定鉸支座：鉸支座：支反力支反力 FRx 與與 FRy 可動可動鉸支座鉸支座：垂直于支承平面的支反力垂直于支承平面的支反力 FR 固定固定端：端：支反力支反力 FRx , FRy 與矩為與矩為 M 的支反力偶的支反力偶Page15可動鉸支座：可動鉸支座：FRyFRy固定鉸支座：固定鉸支座：FRyFRx固定端：固定端：

8、FRxFRyMPage16FFFF 簡支梁簡支梁：一端固定鉸支、另一端固定鉸支、另一端可動鉸支的梁一端可動鉸支的梁 外伸梁外伸梁：具有一個或兩個具有一個或兩個外伸部分的簡支梁外伸部分的簡支梁 懸臂梁：懸臂梁：一端固定、另一一端固定、另一端自由的梁端自由的梁約束反力數(shù)超過有效平衡方程數(shù)的梁（約束反力數(shù)超過有效平衡方程數(shù)的梁（ Ch7 研究研究）常見靜定梁常見靜定梁靜不定梁靜不定梁Page17簡支梁：簡支梁：懸臂梁：懸臂梁：外伸梁：外伸梁：Page18力學模型討論力學模型討論剛性平臺剛性平臺abABC例：例：彈性梁單位長度重彈性梁單位長度重q, 置于光滑剛性平臺上，外置于光滑剛性平臺上，外伸段長伸

9、段長a，試確定梁拱起，試確定梁拱起部分長度。部分長度。求解關鍵：求解關鍵：如何建立問題的力學模型？如何建立問題的力學模型？BqabCAB點：光滑接觸，限制鉛垂位移，抽象為：點：光滑接觸，限制鉛垂位移，抽象為：C點右側：位移轉角為零，點右側：位移轉角為零，抽象為：抽象為：活動鉸鏈活動鉸鏈固支端固支端自重抽象為：自重抽象為： 均布載荷均布載荷Page19剛性平臺剛性平臺abABCAqabCB力學模型討論（續(xù)）力學模型討論（續(xù)）鉸支鉸支-固定梁固定梁是否是最是否是最優(yōu)力學模型？優(yōu)力學模型？BqabCA分析：分析：C端位移為零，端位移為零，右側不變形，彎矩為零，右側不變形，彎矩為零，可抽象為可抽象為固

10、定鉸固定鉸對比：對比：下圖力學模型大下圖力學模型大大減少了計算工作量大減少了計算工作量Page20FS剪力剪力M彎矩彎矩梁的內力梁的內力分析方法：分析方法：截面法截面法剪力剪力作用線沿所切作用線沿所切橫截面的內力分量橫截面的內力分量彎矩彎矩矢量沿所切橫截面的矢量沿所切橫截面的內力偶矩分量內力偶矩分量S 1AyFFF() 1AyMF bF ba由梁左段平衡求得，在由梁左段平衡求得，在m-m截面：截面：注意：注意：設正法。設正法。在橫力載荷下，截面不僅有剪力，還有彎矩在橫力載荷下，截面不僅有剪力，還有彎矩Page21剪力：剪力：使微段有沿順時使微段有沿順時針方向轉動趨勢為正針方向轉動趨勢為正彎矩：

11、彎矩：使微段彎曲呈使微段彎曲呈下凹形為正下凹形為正彎矩符號另一定義：彎矩符號另一定義：使使橫截面頂部受壓為正橫截面頂部受壓為正剪力與彎矩的符號規(guī)定剪力與彎矩的符號規(guī)定Page22 假想地將梁切開，并任選一段為研究對象假想地將梁切開，并任選一段為研究對象 畫所選梁段的受力圖畫所選梁段的受力圖，F(xiàn)S 與與 M 宜均設為正宜均設為正 由由 S S Fy = 0 計算計算 FS 由由 S S MC = 0 計算計算 M，C 為截面形心為截面形心小結：任一指定截面剪力與彎矩的計算小結：任一指定截面剪力與彎矩的計算思考：均布載荷、集中載荷、集中力偶兩思考：均布載荷、集中載荷、集中力偶兩側剪力是否相等？彎矩

12、是否相等？側剪力是否相等？彎矩是否相等？Page23bFMxl 11aFMxl 22S1bFFl ,S2aFFl ,AC段段(0 x1a)：CB段段(0 x2b)：Page24lABqFAyFByqFAyxFSM例例5-1：試建立圖示簡支梁試建立圖示簡支梁的剪力、彎矩方程，畫剪力、的剪力、彎矩方程，畫剪力、彎矩圖。彎矩圖。解：解：1、求支反力，由梁的平衡：求支反力，由梁的平衡： FAy=FBy=ql/2xo2、建立坐標軸建立坐標軸Ox軸軸3、在截面在截面x處截取左段為研處截取左段為研究對象，根據(jù)平衡條件：究對象，根據(jù)平衡條件：FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2)

13、 =qx(l-x)/2 0 xlPage25FS=q(l-2x)/2 M= =qx(l-x)/2 0 xllABqFAyFByxoql/2+_+ql2/84、根據(jù)剪力、彎矩方程畫根據(jù)剪力、彎矩方程畫剪力、彎矩圖剪力、彎矩圖注意事項：注意事項：載荷、剪力、彎矩圖對齊載荷、剪力、彎矩圖對齊標注段值、極值、正負號標注段值、極值、正負號按工程圖要求，請用工具按工程圖要求，請用工具 作圖作圖FS:xFSOM:xMOql/2Page26Aq4RFqaBCa3aAyFByF( )a1x2x43qa53qaqa( ) csF212qa289qa( )dMRFqa4 AByMFqa30,4 AM0 ByFqa8

14、3 解：解：1、計算支座反力、計算支座反力，作用于，作用于AC梁中點。梁中點。例：例：建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖43qa1SF1x1M2SF2x2M22RFqx( )b11RFqxsFqaqx1143 Mqaxqx21114132 xa103 AB段內力段內力sFqx22 Mqx22212 xa20 BC段內力段內力Page27例：例：建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖qqa2aaABCx可以不求支反力可以不求支反力建立坐標建立坐標建立剪力彎矩方程：建立剪力彎矩方程：FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x a

15、) FS=-qa (a x 2a) M=qa2-qa(x-a/2) (a x 0，F(xiàn)s上斜；上斜；q0，M上斜；上斜； Fs 0，M凹；凹；q0,上斜；上斜；Fs0處處,M圖凹圖凹; q0, 上斜上斜;q0,下斜下斜 集中力集中力F處處, Fs按按F大小大小, 方向跳方向跳 各段起終點各段起終點Fs值值=q圖左邊面積圖左邊面積+集中力值集中力值(含支反力含支反力)校核校核: 兩圖右邊回零點兩圖右邊回零點.線形看微分，段值看積分。線形看微分，段值看積分。Page38四、彎矩圖快速校核四、彎矩圖快速校核xFSO+xMO+FM0+FaFaM0FaM0FM0+FaM0請從剪力、彎矩圖的繪制請從剪力、彎

16、矩圖的繪制中發(fā)現(xiàn)校核的簡便有效的中發(fā)現(xiàn)校核的簡便有效的規(guī)律。規(guī)律。規(guī)律：剪力、彎矩圖的圖規(guī)律：剪力、彎矩圖的圖線從坐標軸開始，最后回線從坐標軸開始，最后回到坐標軸。到坐標軸。力學依據(jù)：平衡，合力和力學依據(jù)：平衡，合力和合力偶為零。合力偶為零。Page39例：例：利用微積分關系畫剪力彎矩圖利用微積分關系畫剪力彎矩圖ABqa/2qa/2a/2aCD1、求支反力：、求支反力：FAy=5qa/8 FDy= 7qa/85qa/87qa/83、積分關系求、積分關系求特征點特征點剪力彎矩值：剪力彎矩值：03qa2/85qa2/165qa2/160M-7qa/8qa/8qa/85qa/85qa/8FsD-C-

17、B+B-A+CDBCAB2次凸曲線斜上斜上M圖斜下水平水平Fs圖q =常數(shù)0(a 0(a 0)q(x)= c 0q(x) = c 0,上斜；上斜；Fs0處處,M圖凹圖凹; q0, 上斜上斜;q0,下斜下斜 集中力集中力F處處, Fs跳躍跳躍F，沿沿F方向方向 各段起終點各段起終點Fs值值=q圖左邊面積圖左邊面積+集中力值集中力值(含支反力含支反力)線形看微分，段值由積分，凹凸象雨傘，極值對零點，線形看微分，段值由積分，凹凸象雨傘，極值對零點，集中載荷跳，校核圖封閉。集中載荷跳，校核圖封閉。上一講回顧（上一講回顧（10）Page59剛架：剛架：用剛性接頭連用剛性接頭連接的桿系結構接的桿系結構一、

18、剛架一、剛架Page60剛性接頭的力學性質：剛性接頭的力學性質： 受力既可傳力，也可受力既可傳力，也可傳遞力偶矩傳遞力偶矩 約束限制相連桿端截約束限制相連桿端截面間的相對線位移與角位移面間的相對線位移與角位移Page61二、剛架的內力及其符號二、剛架的內力及其符號軸力為正，軸力為正，彎彎矩為正矩為正軸力為正，軸力為正，彎彎矩為負矩為負觀察者觀察者B觀察者觀察者A內力符號的困惑：內力符號的困惑： MMNFNF平面剛架一般有四個內力分量：平面剛架一般有四個內力分量：軸力、剪力、扭矩和彎矩軸力、剪力、扭矩和彎矩 為什么他們認為彎矩的符號相反？為什么他們認為彎矩的符號相反？ Page62NFNFTTs

19、FsF未畫與之平未畫與之平衡力偶衡力偶NFNFTTsFsF未畫與之平未畫與之平衡力偶衡力偶內力符號規(guī)定的坐標不變性內力符號規(guī)定的坐標不變性與坐標相關性討論與坐標相關性討論軸力、扭矩和剪力的符號具有軸力、扭矩和剪力的符號具有坐標不變性。坐標不變性。sF+NF+NF+觀察者觀察者AT+觀察者觀察者BT+sF+我們對軸力、剪力、扭矩我們對軸力、剪力、扭矩符號看法相同，符號看法相同，都為正都為正怎么？我們的怎么？我們的圖圖畫在相反一側？畫在相反一側？圖的位置與坐標相關。圖的位置與坐標相關。Page63彎矩圖的符號坐標相關。彎矩圖的符號坐標相關。MMMM觀察者觀察者BM+M怎么？我們的怎么？我們的圖圖的

20、符號相反？的符號相反？MM觀察者觀察者AMMM哈！哈！不標彎矩圖的的符不標彎矩圖的的符號，號，我們我們就一致了。就一致了。彎矩圖的位置具有坐標不變性。彎矩圖的位置具有坐標不變性。M內力符號規(guī)定的坐標不變性與坐標相關性討論（續(xù)）內力符號規(guī)定的坐標不變性與坐標相關性討論（續(xù)）Page64繪制剛架內力圖時，關于內力符號的小結繪制剛架內力圖時，關于內力符號的小結內力符號與圖線位置：內力符號與圖線位置： 在不同坐標指向下，軸力、扭在不同坐標指向下，軸力、扭矩、剪力和彎矩，矩、剪力和彎矩，軸力、扭矩和剪軸力、扭矩和剪力符號相同。圖線會在不同側。力符號相同。圖線會在不同側。 彎矩會在同一側，且一定是受彎矩會

21、在同一側，且一定是受壓側。壓側。繪制方法：繪制方法：沿剛架的的各段（可任意）選定坐標軸正向，沿剛架的的各段（可任意）選定坐標軸正向，分別按對前述直桿、軸和梁所建立的方法（包括建立內力分別按對前述直桿、軸和梁所建立的方法（包括建立內力方程和運用微積分關系的快速畫法）繪制軸力、扭矩、剪方程和運用微積分關系的快速畫法）繪制軸力、扭矩、剪力和彎矩圖，力和彎矩圖，其中軸力、扭矩和剪力符號必須標出，彎矩的其中軸力、扭矩和剪力符號必須標出，彎矩的符號不標出。符號不標出。坐標軸指向不同，坐標軸指向不同，各內力圖符號是否各內力圖符號是否相同？是否會畫在相同？是否會畫在同一側？同一側？Page65文獻拾疑：文獻拾

22、疑：“豎桿側面看作橫桿頂面或底面的延伸部分，豎桿側面看作橫桿頂面或底面的延伸部分，確定標出彎矩圖符號確定標出彎矩圖符號”是否適合所有情形？是否適合所有情形？qa12aqaqaqa12qa212+M圖圖qa12qa+Fs圖圖頂頂頂頂?shù)椎椎椎鬃笞?右右頂頂頂頂?shù)椎椎椎鬃笞?右右豎桿左（右）側究竟是豎桿左（右）側究竟是頂還是底面的延伸頂還是底面的延伸 ？能否以內（外）側概念延伸能否以內（外）側概念延伸 ？備注：土木類文獻彎矩圖畫在受拉側。備注：土木類文獻彎矩圖畫在受拉側。Page66DB012q l012q l0q( )a0q/2l/2lDABC20q l0q ll剛架內力圖的畫法：剛架內力圖的畫法

23、：將剛架拆為分段的梁（桿）將剛架拆為分段的梁（桿）由內力方程或微積分關系作圖由內力方程或微積分關系作圖將分段的內力圖組合將分段的內力圖組合問題：外力偶應放在那一段梁？問題：外力偶應放在那一段梁？ABCq l0q l012q l012q l0q l200M0M外力偶可放在任意一段梁對應外力偶可放在任意一段梁對應B B點點B B點還應有對應內力偶和鉛垂內力點還應有對應內力偶和鉛垂內力 （本題未畫鉛垂內力）（本題未畫鉛垂內力）Page67sF0q lxM2012q lx2012q l( )b( ) cM018q lsF012q l012q lDB012q l012q l0qABC0q l012q l

24、012q l0q l( )a0q/2l/2lDABC20q l0q ll剛架拆為分段的梁剛架拆為分段的梁根據(jù)微積分關系畫圖根據(jù)微積分關系畫圖Page68012q l012q l0q lsF 圖()d( )e2018q lM 圖2012q l( )a0q/2l/2lDABC20q l將分段梁的剪力與彎矩圖合成為剛架總的剪力彎矩圖，將分段梁的剪力與彎矩圖合成為剛架總的剪力彎矩圖，彎矩圖不標正負號。彎矩圖不標正負號。軸力、扭矩、剪力圖符號是否相同？是否會畫在同一側？軸力、扭矩、剪力圖符號是否相同？是否會畫在同一側？彎矩圖符號是否相同？是否會畫在同一側？彎矩圖符號是否相同？是否會畫在同一側？思考：思考

25、：按上述方法畫剛架內力圖，按上述方法畫剛架內力圖，Page69ABqCaa1、求支反力求支反力 FAx=qa FAy=qa/2 Fcy=qa/2FAyFAxFCy2、建立局部坐標建立局部坐標x2x13、分段列內力方程分段列內力方程：CB段：段：Fs=-Fcy=-qa/2 M=qax1/2 FN=0AB段：段：Fs=qa-qx2 M=qax2-qx22/2 FN=qa/2qa/2_+qaFS圖圖qa2/2qa2/2M圖圖FN圖圖qa/2+例：例：列內力方程，畫內力圖。列內力方程，畫內力圖。Page70例：例：組合剛架的約束反力分析。組合剛架的約束反力分析。ABqCa/2aa/2aqaqaFByBa/2aF1N1qaN1N2F1F2qaN1=qa F1=FBy=2qaFAyFAxAqCa/2aF2N2MAFAyFAxAqCa/2aFCNCMAqaFByBa/2aFCNCqa思考：思考：中間鉸（連同集中力）中間鉸（連同集中力）能不能與左邊或右邊結合？能不能與左邊或右邊結合？中間鉸附近力偶如何處理？中間鉸附近力偶如何處理？Page71三、曲梁三、曲梁未受力時，軸線即為曲線的桿件，稱為曲桿