一階常微分方程解法總結(總8頁)

1、第 一 章 一階微分方程的解法的小結、可分離變量的方程：、形如 當時，得到，兩邊積分即可得到結果；當時，則也是方程的解。例、解：當時，有，兩邊積分得到所以顯然是原方程的解；綜上所述，原方程的解為、形如當時，可有，兩邊積分可得結果；當時，為原方程的解，當時，為原方程的解。例、解：當時，有兩邊積分得到，所以有；當時，也是原方程的解；綜上所述，原方程的解為?？苫癁樽兞靠煞蛛x方程的方程：、形如解法：令，則，代入得到為變量可分離方程，得到再把u代入得到。、形如解法：令，則，代入得到為變量可分離方程，得到再把u代入得到。、形如解法：、，轉(zhuǎn)化為，下同；、，的解為，令得到，下同；還有幾類： 以上都可以化為變量

2、可分離方程。例、解：令，則，代入得到，有所以，把u代入得到。例、解：由得到，令，有，代入得到，令，有，代入得到，化簡得到，有，所以有，故代入得到（3）、一階線性微分方程：一般形式：標準形式：解法：1、直接帶公式：2、積分因子法：，3、IVP：，例3、解：化簡方程為：，則代入公式得到所以，(4)、恰當方程：形如解法：先判斷是否是恰當方程：如果有恒成立，那么原方程是個恰當方程，找出一個 ,有；例4、解：由題意得到，由得到，原方程是一個恰當方程；下面求一個由得，兩邊對y求偏導得到，得到，有，故，由，得到(5)、積分因子法： 方程，那么稱是原方程的積分因子；積分因子不唯一。當且僅當，原方程有只與x有關

3、的積分因子，且為，兩邊同乘以，化為恰當方程，下同(4)。當且僅當，原方程有只與y有關的積分因子，且為，兩邊同乘以，化為恰當方程，下同(4)。例、解：由得，且有，有，原方程兩邊同乘，得到化為，得到解為例、解:由題意得到，有有，有，原方程兩邊同乘，得到，得到原方程的解為：(6)、貝努力方程：形如,解法：令，有，代入得到，下同（3）例6、解：令，有，代入得到，則，有，把u代入得到.(7)、一階隱式微分方程：一般形式：，解不出的稱為一階隱式微分方程。下面介紹四種類型： 、形如，一般解法：令，代入得到，兩邊對x求導得到，這是關于x，p的一階線性微分方程，仿照(3)，1、得出解為，那么原方程的通解為2、得出解為，那么原方程的通解為3、得出解為，那么原方程的通解為、形如一般解法：令，代入有，兩邊對y求導，得到，此方程是一階微分方程，可以按照以上(1)(5)求出通解，那么原方程的通解為、形如一般解法：設，兩邊積分得到，于是有原方程的通解為、形如一般解法：設，由關系式得，有，兩邊積分得到，于是有 例 解：令，得到，兩邊對y求導，得到，有，得到，于是通解為例 解：令，得到，兩邊對x求導，得到，有，兩邊積分得到，于是通解為例 解：設有，所以于是通解為例 解：設有，所以于是通解為(8)、里卡蒂方程：一般形式：一般解法：先找出一個特解，那么令，有，代入原方程得到 ，化簡得到 ，為一階線性微分方程，解