柔性倒立擺的自適應模糊控制

1、摘 要摘 要倒立擺系統(tǒng)是一個高階、非線性、強耦合的絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)，它是檢驗各種控制理論與方法的有效工具。研究倒立擺的精確控制對工業(yè)生產(chǎn)中復雜對象的控制有著重要的價值，因此倒立擺仿真或?qū)嵨锟刂茖嶒炇强刂祁I域中用來檢驗某種控制理論或方法的典型方案。本文以直線一級柔性倒立擺為研究對象，首先基于拉格朗日方程建立了系統(tǒng)的數(shù)學模型，并對其性能進行分析。為了實現(xiàn)對單級柔性倒立擺非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，本文采用Sugeno模糊模型將其處理成多個局部線性模型的模糊逼近，并進行了模糊自適應控制器的設計。通過Simulink對倒立擺系統(tǒng)進行了系統(tǒng)控制效果的分析，結(jié)果表明：此模型實現(xiàn)了對單級柔性倒立擺的穩(wěn)定控制，

2、并且具有結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性和快速性等優(yōu)點。本文的研究結(jié)論對于其它非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制供了參考途徑。關鍵詞：柔性倒立擺 自適應模糊控制 Sugeno模型 Simulink仿真 拉格朗日方程ABSTRACT ABSTRACTThe Inverted pendulum system is a higher-order, nonlinear, strongly coupled and absolutely instable system. It is an effective tool for validating control theories and methods. Research on p

3、recise control of the inverted pendulum has great value for control problems of complicated plant in industrial process, as a result, the inverted pendulum simulation and physical experiments are representative project for verifying a certain control theory or approach in the fields of control scien

4、ce and technology. The paper takes the linear 1-stage flexible-joint inverted pendulum as a research object. At first, it establishes the model of the inverted pendulum system based on the Lagrange equation and analyzes its performance. A fuzzy controller is established to carry out the stabilizing

5、control for non-linear unsteady system of single flexible invert pendulum and the adaptive fuzzy controller is designed to certificate meantime, which based on the Sugeno fuzzy control model. Simulation and analysis are carried out to investigate the system control effects by means of Simulink model

6、. The results showed it had realized the stabilizing control successfully and simple construction, stability and fast-speed behavior advantaged characters. Further more, the result supplies an effective reference ways to control other non-linear unstable systems.Keyword: flexible-joint inverted pend

7、ulum Adaptive fuzzy control Sugeno fuzzy control model Simulink Simulation Lagrange equation目錄 目 錄第一章 緒論11.1研究背景和意義11.2倒立擺控制在國內(nèi)外研究動態(tài)21.2.1 倒立擺的特性31.2.2倒立擺的控制方法41.3 本文主要做的工作6第二章 柔性倒立擺的建模72.1 引言72.2柔性倒立擺的簡單描述72.3單級柔性倒立擺的建模72.3.1系統(tǒng)線性化及狀態(tài)空間模型102.3.2系統(tǒng)的一些物理參數(shù)112.3.4系統(tǒng)可控性分析132.4小結(jié)15第三章 自適應模糊控制器173.1 模糊控制理

8、論173.2 自適應模糊控制器的工作原理183.3 Sugeno模型推理193.4 Sugeno模型設計流程203.4.1 模糊推理系統(tǒng)編輯器（Fuzzy）203.4.2 隸屬度函數(shù)編輯器(Mfedit)213.4.3用命令行函數(shù)實現(xiàn)模糊邏輯系統(tǒng)223.5 小結(jié)23第四章 柔性倒立擺的自適應模糊控制254.1引言254.2 自適應模糊控制器的設計254.2.1 輸入輸出變量的確定254.2.2 模糊規(guī)則庫274.2.3參數(shù)確定284.3控制模型仿真284.3.1仿真結(jié)果294.4本章小結(jié)34第五章結(jié)論與展望35致謝37參考文獻39附錄一:MATLAB程序41附錄二：規(guī)則庫41 第一章 緒論 7

9、 第一章 緒論1.1研究背景和意義倒立擺系統(tǒng)是一個多變量、復雜、非線性的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，在控制過程中能有效地反映控制科學中的許多關鍵問題，如非線性問題、系統(tǒng)的魯棒性問題、隨動問題、鎮(zhèn)定問題及跟蹤問題等。倒立擺系統(tǒng)作為一個實驗裝置形象直觀、結(jié)構(gòu)簡單、構(gòu)件組成參數(shù)和形狀易于改變并且成本低廉。倒立擺系統(tǒng)的控制效果可以通過其穩(wěn)定性直觀地體現(xiàn)，也可以通過擺桿角度，小車位移和穩(wěn)定時間直接度量。當新的控制理論或方法出現(xiàn)后，可以用倒立擺對其有效性和實用性加以物理驗證。并對各種方法進行快捷、有效、生動的比較1。早在60年代人們就開始了對倒立擺系統(tǒng)的研究。1966年Schaefer和Cannon 應用BangBa

10、ng控制理論，將一個曲軸穩(wěn)定于倒置位置。在60年代后期，他們正式提出了倒立擺的概念，并用其檢驗控制方法對不穩(wěn)定，非線性和快速性系統(tǒng)的控制能力，受到世界各國許多科學家的重視，從而用不同的控制方法控制不同類型的倒立擺，成為具有挑戰(zhàn)性的課題之一。倒立擺的研究具有以下幾個方面的工程背景：(1) 機器人的站立與行走類似雙倒立擺系統(tǒng)，盡管第一臺機器人在美國問世至今已有三十年的歷史，機器人的關鍵技術機器人的行走控制至今仍未能很好解決。(2) 在火箭等飛行器的飛行過程中，為了保持其正確的姿態(tài) 要不斷進行實時控制。(3) 通信衛(wèi)星在預先計算好的軌道和確定的位置上運行的同時，要保持其穩(wěn)定的姿態(tài)，使衛(wèi)星天線一直指向

11、地球，使它的太陽能電池板一直指向太陽。(4) 偵察衛(wèi)星中攝像機的輕微抖動會對攝像的圖像質(zhì)量產(chǎn)生很大的影響，為了提高攝像的質(zhì)量，必須能自動地保持伺服云臺的穩(wěn)定，消除震動。(5) 為防止單級火箭在拐彎時斷裂而誕生的柔性火箭(多級火箭)，其飛行姿態(tài)的控制也可以用多級倒立擺系統(tǒng)進行研究。由于倒立擺系統(tǒng)與雙足機器人，火箭飛行控制和各類伺服云臺穩(wěn)定有很大相似性，因此對倒立擺控制機理的研究具有重要的理論和實踐意義。倒立擺的種類很多，按倒立擺的結(jié)構(gòu)可以分為以下幾類1：(1)直線倒立擺系列直線倒立擺是在直線運動模塊上裝有擺體組件，小車沿導軌水平的運動，在小車上裝不同的擺體組件，就能組成許多不同類型的倒立擺。(2

12、)環(huán)形倒立擺系列環(huán)形倒立擺是在圓周運動模塊上裝有擺體組件，運動模塊圍繞齒輪中心做圓周運動，在運動手臂末端裝載擺體組件，根據(jù)擺體組件的級數(shù)和串聯(lián)或并聯(lián)的方式，就可以形成很多形式的倒立擺。(3)平面倒立擺系列平面倒立擺是在可做平面運動的運動模塊的基礎上，增加擺體組件，組成能沿X軸和Y軸運動的倒立擺系列。而運動模塊具有多種模式，可以是XY運動平臺、串聯(lián)的兩自由度SCARA機械臂以及并聯(lián)機器人（五連桿機構(gòu)）。按倒立擺的級數(shù)來分：有一級倒立擺、兩級倒立擺、三級倒立擺和四級倒立擺。倒立擺的級數(shù)越高，其控制難度越大。目前，可以實現(xiàn)的倒立擺控制最高為四級倒立擺?，F(xiàn)在由中國的北京師范大學李洪興教授領導的模糊系統(tǒng)

13、與模糊信息研究中心暨復雜系統(tǒng)智能控制實驗室采用變論域自適應模糊控制成功地實現(xiàn)了對四級倒立擺的控制。1.2倒立擺控制在國內(nèi)外研究動態(tài)對倒立擺的研究和自動控制理論的發(fā)展是息息相關的。隨著控制理論的發(fā)展，作為自動控制原理應用的典型被控對象，倒立擺的研究也得到了很大的發(fā)展。倒立擺控制系統(tǒng)是一個復雜的、非線性、多變量、強耦合、不穩(wěn)定的非線性高階系統(tǒng)。對倒立擺的研究，國外從六十年代開始，國內(nèi)起始于八十年代。在上世紀60年代后期，倒立擺的概念被提出，由于倒立擺系統(tǒng)所具有的特性，逐漸的被作為一個典型的被控對象并將其用于檢驗各種先進的控制方法上，受到世界各國許多科技工作者的青睞。1972年Sugeno和Losc

14、uto應用極點配置并使用全維觀測器設計了模擬控制器實現(xiàn)了對二級倒立擺的穩(wěn)定控制。80年代后期，由于模糊控制的飛速發(fā)展，許多學者試著用模糊控制理論控制倒立擺，采用模糊控制方法已經(jīng)成功的控制住了一級倒立擺，通過這個實驗可以檢驗模糊控制理論對快速、絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)的適應能力。90年代初期，科學家實現(xiàn)了運用神經(jīng)網(wǎng)絡控制倒立擺系統(tǒng)。此后的十年內(nèi)，國內(nèi)外眾多學者對倒立擺系統(tǒng)的研究更加深入，而且取得了很多實質(zhì)性的突破和進展。國外在1993年己經(jīng)實現(xiàn)了對三級倒立擺的仿真控制，美國、瑞士、日本等許多國家的學者都對倒立擺系統(tǒng)進行了大量的研究，檢驗了許多先進的控制算法對處理多變量、非線性、強耦合的快速不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制

15、能力。在國內(nèi)，對倒立擺系統(tǒng)的研究雖然起步比較晚，但是隨著用于倒立擺系統(tǒng)的控制理論和方法的廣泛應用，國內(nèi)很多大學和科研機構(gòu)都對倒立擺進行了大量卓有成效的研究工作。如今，我國的倒立擺研究在某些方面己經(jīng)走在了世界的前列。北京航空航天大學張明廉教授領導的課題組，于1994年8月提出了“擬人智能控制理論2”，并成功地實現(xiàn)了運用單電機控制三級倒立擺的偉大成果；北京師范大學李洪興教授提出了變論域模糊控制算法3，也成功的控制住了三級倒立擺；2002年8月，李洪興教授應用變論域自適應模糊控制算法成功地實現(xiàn)了全球首例“四級倒立擺實物系統(tǒng)控制”；自此之后，2003年4月李洪興教授領導的“復雜系統(tǒng)智能控制實驗室”應用

16、具有高維PID調(diào)節(jié)功能的變論域自適應控制理論成功的實現(xiàn)了對平面運動二級倒立擺實物系統(tǒng)的穩(wěn)定控制4，并于2003年10月第一個成功的實現(xiàn)了平面三級倒立擺實物系統(tǒng)的控制；李德毅院士最早提出“隸屬云”理論，并運用該方法成功的實現(xiàn)了三級倒立擺的智能控制。隨著倒立擺系統(tǒng)控制方法的不斷發(fā)展，倒立擺系統(tǒng)裝置的結(jié)構(gòu)也變得復雜化，在國內(nèi)，深圳固高公司教學部一直致力于倒立擺產(chǎn)品的開發(fā)，現(xiàn)己成功地開發(fā)了直線倒立擺，環(huán)形倒立擺和XY平臺平面倒立擺，國內(nèi)多所大學的教學科研等部門都選擇了固高公司的倒立擺控制裝置，并作為對各種控制算法可行性進行檢驗的理想實驗裝置，如許多大學的機電一體化、自動控制實驗室等。1.2.1 倒立擺

17、的特性 雖然倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)各異，但所有的倒立擺都具有以下的特性1:(1)非線性倒立擺是一個典型的非線性復雜系統(tǒng)，實際中可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進行控制。也可以利用非線性控制理論對其進行控制。倒立擺的非線性控制正成為一個研究的熱點。(2)不確定性主要是模型誤差以及機械傳動間隙，各種阻力等，實際控制中一般通過減少各種誤差來降低不確定性，如通過施加預緊力減少皮帶或齒輪的傳動誤差，利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定因素。(3)耦合性倒立擺的各級擺桿之間，以及和運動模塊之間都有很強的耦合關系，在倒立擺的控制中一般都在平衡點附近進行解耦計算，忽略一些次要的耦合量。(4)開環(huán)不穩(wěn)定

18、性倒立擺的平衡狀態(tài)只有兩個，即在垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上為絕對不穩(wěn)定的平衡點，垂直向下為穩(wěn)定的平衡點。(5)約束限制由于機構(gòu)的限制，如運動模塊行程限制，電機力矩限制等。為了制造方便和降低成本，倒立擺的結(jié)構(gòu)尺寸和電機功率都盡量要求最小，行程限制對倒立擺的擺起影響尤為突出，容易出現(xiàn)小車的撞墻現(xiàn)象。1.2.2倒立擺的控制方法對倒立擺這樣的一個典型被控對象進行研究，無論在理論上和方法上都具有重要意義。不僅由于其級數(shù)增加而產(chǎn)生的控制難度是對人類控制能力的有力挑戰(zhàn)，更重要的是實現(xiàn)其控制穩(wěn)定的過程中不斷發(fā)現(xiàn)新的控制方法，探索新的控制理論。并進而將新的控制方法應用到更廣泛的受控對象中。各種

19、控制理論和方法都可以在這里得以充分實踐，并且可以促成相互間的有機結(jié)合。當前，倒立擺的控制方法可分為以下幾類： (1) 線性理論控制方法 將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點附近的線性化模型，然后再利用各種線性系統(tǒng)控制器設計方法，得到期望的控制器。PID 控制，狀態(tài)反饋控制，LQR控制算法是其典型代表。這類方法對一，二級的倒立擺(線性化后誤差較小，模型較簡單)控制時，可以解決常規(guī)倒立擺的穩(wěn)定控制問題。但對于像非線性較強，模型較復雜的多變量系統(tǒng)(三，四級以及多級倒立擺)線性系統(tǒng)設計方法的局限性就十分明顯，這就要求采用更有效的方法來進行合理的設計。(2) 預測控制和變結(jié)構(gòu)控制

20、方法 由于線性控制理論與倒立擺系統(tǒng)多變量，非線性之間的矛盾，使人們意識到針對多變量，非線性對象，采用具有非線性特性的多變量控制解決多變量，非線性系統(tǒng)的必由之路。人們先后開展了預測控制，變結(jié)構(gòu)控制和自適應控制的研究。 預測控制是一種優(yōu)化控制方法，強調(diào)的實模型的功能而不是結(jié)構(gòu)。變結(jié)構(gòu)控制是一種非連續(xù)控制，可將控制對象從任意位置控制到滑動曲面上仍然保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性,但是系統(tǒng)存在顫抖。預測控制，變結(jié)構(gòu)控制和自適應控制在理論上有較好的控制效果，但由于控制方法復雜，成本也高，不易在快速變化的系統(tǒng)上實時實現(xiàn)。(3) 智能控制方法5 在倒立擺系統(tǒng)中用到的智能控制方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡控制，模糊控制，仿人智

21、能控制，擬人智能控制和云模型控制等。神經(jīng)網(wǎng)絡控制 模糊控制 經(jīng)典的模糊控制器利用模糊集合理論將專家知識或操作人員經(jīng)驗形成的語言規(guī)則直接轉(zhuǎn)化為自動控制策略(通常是專家模糊規(guī)則查詢標)，其設計不依靠對象精確的數(shù)學模型，而是利用其語言知識模型進行設計和修正控制算法。常規(guī)的模糊控制器的設計方法有很大的局限性，首先難以建立一組比較完善的多維模糊控制規(guī)則，即使能湊成這樣一組不完整的粗糙的模糊控制規(guī)則其控制效果也是難以保證的。但是模糊控制結(jié)合其他控制方法就可能產(chǎn)生比較理想的效果。擬人智能控制3 模糊控制,神經(jīng)網(wǎng)絡控制等智能控制理論的問世，促進了當代自動控制理論的發(fā)展。然而，基于這些智能控制理論所設計的系統(tǒng)往

22、往需要龐大的知識庫和相應的推理機，不利于實現(xiàn)實時控制。這又阻礙了智能控制理論的發(fā)展，因此，又有學者提出了一種新的理論 擬人控制理論。擬人智能控制的核心是“廣義歸約”和“擬人”?！皻w約”是人工智能中的一種問題求解方法。這種方法是將等求解的復雜問題分解成復雜程度較低的若干問題集合，再將這些集合分解成更簡單的集合，依此類推，最終得到一個本原問題集合，即可以直接求解的問題，另一核心概念是“擬人”，其含義是在控制規(guī)律形成過程中直接利用人的控制經(jīng)驗直覺以及推理分析。仿人智能控制 仿人智能控制的基本思想是通過對人運動控制的宏觀結(jié)構(gòu)和手動控制行為的綜合模仿，把人在控制中的“動覺智能”模型化，提出了仿人智能控制

23、方法。研究結(jié)果表明，仿人智能控制方法解決復雜，強非線性系統(tǒng)的控制具有很強的實用性。 云模型控制6 利用云模型實現(xiàn)對倒立擺的控制，用云模型構(gòu)成語言值，用語言值構(gòu)成規(guī)則，形成一種定性的推理機制。這種擬人控制不要求給出被控對象精確的數(shù)學模型 僅僅依據(jù)人的經(jīng)驗感受和邏輯判斷，將人用自然語言表達的控制經(jīng)驗，通過語言原子和云模型轉(zhuǎn)換到語言控制規(guī)則器中，就能解決非線性問題和不確定性問題。（4）魯棒控制方法7 雖然，目前對倒立擺系統(tǒng)的控制策略有如此之多，而且有許多控制策略都對倒立擺進行了穩(wěn)定控制。但大多數(shù)都沒考慮倒立擺系統(tǒng)本身的大量不確定因素和外界干擾，我們研究所對不確定倒立擺系統(tǒng)的魯棒控制問題進行了研究，取

24、得了一系列成果1.3 本文主要做的工作本文針對控制領域最具代表性的被控對象柔性倒立擺系統(tǒng)，首先基于拉格朗日方程方法推導出了柔性一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型。設計了一個自適應模糊控制器，進行控制、仿真。具體內(nèi)容為：1簡要介紹了倒立擺的類型及特性，概述了國內(nèi)外研究狀況以及目前倒立擺的控制方法。2主要介紹了一級柔性倒立擺的的系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，工作原理。基于拉格朗日方程方法推導出了直線一級柔性倒立擺的數(shù)學模型，并對其性能進行了分析。3. 針對控制方法模糊控制進行了詳細的說明，闡述了器原理和構(gòu)建方法，并就其優(yōu)勢做了初步的探討；對其中的Sugeno模型進行了介紹，這也是本文將要采取的模型。 4. 針對一級柔性倒立擺

25、系統(tǒng)的線性化模型，在模糊控制的基礎上，設計了帶有小車位置參考輸入的平面倒立擺模糊控制器，不但能夠使柔性倒立擺的擺桿保持平衡，還能實現(xiàn)基座小車對位置參考輸入信號的跟蹤控制。5. 對論文進行總結(jié)和展 第二章 柔性倒立擺的建模 17第二章 柔性倒立擺的建模2.1 引言建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型有兩種基本方法。其一，對系統(tǒng)各部分的運動機理進行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理規(guī)律或化學規(guī)律分別列寫相應的運動方程，合在一起便成為描述整個系統(tǒng)的方程。其二，人為地給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當?shù)臄?shù)學模型去逼近。主要用于系統(tǒng)運動機理復雜因而不便分析或不可能分析的情況。系統(tǒng)的建模原則： 1、建模之前，要全

26、面了解系統(tǒng)的自然特征和運動機理，明確研究目的和準確性要求，選擇合適的分析方法。 2、按照所選分析法，確定相應的數(shù)學模型的形式； 3、根據(jù)允許的誤差范圍，進行準確性考慮，然后建立盡量簡化的合理的數(shù)學模型。 倒立擺的形狀較為規(guī)則，而且是一個絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)，無法通過測量頻率特性方法獲取其數(shù)學模型。故適合用數(shù)學工具進行理論推倒。 2.2柔性倒立擺的簡單描述 小車倒立擺的模型是各種控制理論研究的對象，由于倒立擺本身具有高階次、不穩(wěn)定、非線性、強耦合的特點，對它的研究具有相當高的價值。倒立擺模型是一個欠驅(qū)動模型。常見的柔性倒立擺模型是在驅(qū)動部分之間加了柔性彈簧部件，可以組成一級至多級的柔性倒立擺模型。本文

27、所建立的模型是在原有的小車倒立擺模型上，把直桿換成了柔性桿，它是另一種類型的非線性，更加復雜且難以控制的自不穩(wěn)定倒立擺系列2.3單級柔性倒立擺的建模 為了簡化系統(tǒng)的分析，在實際的模型建立的過程中，可忽略擺與載體，載體與外界的摩擦，即忽略擺軸、輪軸、輪與接觸面之間的摩擦力等，以及將載體和小車看成勻質(zhì)剛體。 如下圖2.1所示L、E、ArFcx 圖2.1 直線一級柔性倒立擺的模型 圖2.1中是施加于小車的水平方向的作用力，x是小車的位移，是擺的傾斜角。為彈性模態(tài)。若不給小車施加控制力，倒擺會向左或向右傾斜，控制的目的是當?shù)箶[出現(xiàn)偏角時，在水平方向上給小車以作用力，通過小車的水平運動，使倒擺保持在垂直

28、的位置。即控制系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)，以保持擺的倒立穩(wěn)定。倒立擺是不穩(wěn)定的，如果沒有適當?shù)目刂屏ψ饔迷谒纳厦?，它將隨時可能向任何方向傾倒。這里只考慮二維問題，即認為倒立擺只在圖2.1所示平面內(nèi)運動。 本系統(tǒng)內(nèi)部相關參數(shù)定義如下： m：小車的質(zhì)量 r：擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 ：擺桿的密度 A：擺桿的橫桿面積 E：彈性模量 ： 擺桿與垂直向上方向的夾角 ：是施加于小車的水平方向的作用力 X：小車在水平方向的位移 ：為彈性模態(tài)采用拉格朗日方程建模： （式2-1） 其中L為拉格朗日算子，q為系統(tǒng)的廣義坐標，為系統(tǒng)沿該廣義坐標方向上的分力。變量選擇如下： 其中代表彈性坐標。 對一個線性系統(tǒng)來說，一般變量的

29、自由度是無限的。為了簡化模型控制設計的步驟，我們首先介紹柔性擺的模態(tài)坐標，它可以很容易的從有限元分析軟件得來。由于高階模型對系統(tǒng)的影響小，之后我們將選擇前n個模型來表述倒立擺模型的振動。簡化后，它的全部坐標和倒立擺在i點的速度可以由如下方程得到： （式2-2） （式2-3）其中柔性桿的振型函數(shù)的第j階模態(tài)。由于擺的振動主要垂直于于它的坐標，我們可以假設擺的彈性位移也是垂直于它的坐標軸的，那么拉格朗日算子L可以由如下等式描述（一般情況下，沒有假設同樣可以推出的，只是比較復雜一點）L（q，）=T（q，） 其中T（q，）為系統(tǒng)的動能，V（q，）代表系統(tǒng)的勢能系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的勢能為：所以有： （式2-

30、4）其中y代表垂直高度，代表柔性擺的剛度矩陣，它可以從有限元得分析得到。把定義的普通變量帶入朗格朗日方稱，我們可以得到柔性倒立擺的控制方程： （式2-5） （式2-6） （式2-7） 其中： 其中到定義了柔性體的6個常數(shù)，表示倒立擺在連接點的振型函數(shù)。（5）（6）（7）三個等式提供了一般柔性倒立擺的數(shù)學模型2.3.1系統(tǒng)線性化及狀態(tài)空間模型為了分析柔性倒立擺模型的穩(wěn)定性，我們將要從控制方程得出它的線性化方程。通過倒立擺在平衡點的線性化，我們將得到系統(tǒng)的線性化方程，如下:+-=0 （式2-8）為了觀察倒立擺的狀態(tài)，傳感器及滑塊應該設置在倒立擺的頂端，因此可以觀察擺的方向以及它的振動。定義系統(tǒng)的狀

31、態(tài)變量為X，輸出變量為Y，輸入變量為u，則有如下形式： 則它的線性狀態(tài)方程的標準形式如下： Y=CX （式2-9）其中： ， ， ， 其中代表振型函數(shù)在倒立擺頂端的梯度。對于這樣一個系統(tǒng)，在控制系統(tǒng)的書里，介紹了很多方法來設計合適的控制器。如果它的參數(shù)是有效的，那么很容易設計它的反饋控制器。2.3.2系統(tǒng)的一些物理參數(shù)求得如下：重力加速度 g = 9.8N/KG;擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 L = -10.275; 小車的質(zhì)量 M=1剛度 Kf = 100.23求得其他參數(shù)如下：I0 = 0.12;I1 = -7.23;I2 = 0.25;I3 = 2.13;I4 = 0.33;I5 = 0.

32、41;N1 = 0.858;No = 9;2.3.3 系統(tǒng)實際模型我們令： 利用matlab求得： 那么系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下 ：2.3.4系統(tǒng)可控性分析1 相關定理 在得到倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型之后，為了進一步的了解系統(tǒng)的性質(zhì)，需要對其特性進行分析，其中最主要的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性以及能觀性。本節(jié)將要用到的相關定理如下定理1 （穩(wěn)定性判據(jù)） Lyapunov第一法判定定理：對于線性定常系統(tǒng)有1) 系統(tǒng)的每一平衡狀態(tài)是在Lyapunov意義下穩(wěn)定的充分必要條件是：A的所有特征值均具有非正（負或零）實部，且具有零實部的特征值為A的最小多項式的單根；2) 系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)是漸進穩(wěn)定的充分必要條件是：

33、A的所有特征值具有負實部。 定理2 （能控性判據(jù)） n階線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，當且僅當系統(tǒng)的能控性矩陣: (式2-10)滿秩，即rank(M)=n。定理3（能觀性判據(jù)）n階線性定常連續(xù)系統(tǒng) (式2-11)狀態(tài)完全能觀，當且僅當系統(tǒng)的能觀性矩陣： (式2-12)滿秩，即rank(V)=n。 定理4（相對能控性判據(jù)）相對能控性是衡量系統(tǒng)控制器設計的難度，或者說是衡量系統(tǒng)本身能控性的相對程度。它可以通過能控性矩陣的條件數(shù)來定量描述。按照條件數(shù)的定義，以和分別表示能控性矩陣的最大和最小奇異值，則能控性矩陣的條件數(shù)，值越大表明系統(tǒng)越難控制。由于平面一、二級倒立擺在X、Y兩個方向的狀態(tài)空間方程完全

34、相同，所以這里僅以X方向為例對系統(tǒng)進行定性分析。在下面的描述中，為了簡潔起見，略去各變量象征X方向的下標x，將記為X，依此類推。input,加入新的輸入input,需要幾個添加幾個。選擇input(選中為紅框),在界面右邊文字輸入處鍵入相應的輸入名稱，例如,溫度輸入用 tmp-input, 磁能輸入用 mag-input，等。 圖3.1 Sugeno模型界面3.4.2 隸屬度函數(shù)編輯器(Mfedit) 該編輯器提供一個友好的人機圖形交互環(huán)境，用來設計和修改模糊推理系中各語言變量對應的隸屬度函數(shù)的相關參數(shù)，如隸屬度函數(shù)的形狀、范圍、論域大小等，系統(tǒng)提供的隸屬度函數(shù)有三角、梯形、高斯形、鐘形等，也

35、可用戶自行定義。雙擊所選input，彈出一新界面，在左下Range處和Display Range處,填入取只范圍，例如 0至9 （代表0至90）；在右邊文字文字輸入Name處，填寫隸屬函數(shù)的名稱，例如lt或LT(代表低溫)；在Type處選擇trimf(意為：三角形隸屬函數(shù)曲線，triangle member function),當然也可選其它形狀；在Params(參數(shù))處，選擇三角形涵蓋的區(qū)間，填寫三個值，分別為三角形底邊的左端點、中點和右端點在橫坐標上的值。類似的可設計輸出項，這些值由設計者確定。參照如下圖： 圖3.2輸入輸出參數(shù)設定3.4.3用命令行函數(shù)實現(xiàn)模糊邏輯系統(tǒng) 通過隸屬度函數(shù)編輯

36、器來設計和修改“IF.THEN”形式的模糊控制規(guī)則。由該編輯器進行模糊控制規(guī)則的設計非常方便，它將輸入量各語言變量自動匹配，而設計者只要通過交互式的圖形環(huán)境選擇相應的輸出語言變量，這大大簡化了規(guī)則的設計和修改。另外，還可為每條規(guī)則選擇權重，以便進行模糊規(guī)則的優(yōu)化。在上面的界面中，選Edit菜單，選擇Rules, 彈出一新界面Rule Editor. 在底部的選擇框內(nèi)，選擇相應的 IFANDTHEN 規(guī)則，點擊Add rule 鍵，上部框內(nèi)將顯示相應的規(guī)則。如下圖所示： 圖3.3 規(guī)則設定 建好之后在view菜單中選擇surface項，就可看到所見模糊控制器的效果圖： 圖3.4 控制器效果圖3.

37、5 小結(jié)本文所要用到的模糊控制器是以Sugeno模糊系統(tǒng)模型為基礎的，其前件是語言變量，后件不是簡單的模糊語言值，而是輸入量的線性組合，為解決工業(yè)控制中的非線性問題提供了新途徑，對許多工業(yè)控制過程中的非線性系統(tǒng)建模、控制有實用價值。 Sugeno模糊系統(tǒng)模型且具有一下的特點：（1） 具有較高的計算效率，利于數(shù)學分析的優(yōu)點，適用于實時性要求高的系統(tǒng)；（2）能與線性系統(tǒng)、優(yōu)化控制和自適應控制系統(tǒng)很好地結(jié)合；（3） 能保證控制器輸出的平滑性；（4） 比較適合于具有精確數(shù)學分析的控制系統(tǒng),特別是多線性模型的平滑切換。（5）是基于樣本的模糊建模中最常選用的方法 第四章 柔性倒立擺的自適應模糊控制 35

38、第四章 柔性倒立擺的自適應模糊控制 4.1引言本文利用模糊控制理論中的Sugeno模糊模型將其處理成多個局部線性模型的模糊逼近，并進行了自適應模糊控制器的設計。通過Simulink對柔性倒立擺系統(tǒng)進行了建模仿真和對系統(tǒng)控制效果的分析。 4.2 自適應模糊控制器的設計由于在第二章當中，我們已經(jīng)建立好了柔性倒立擺的數(shù)學模型，接下來我們做其自適應控制器。自適應控制器應當是這樣一種控制器，它能修正自己的特性以適應對象和擾動動態(tài)特性的變化。由于柔性倒立擺是一個不確定系統(tǒng)，通過對輸入輸出數(shù)據(jù)的測試，不斷的調(diào)整，以接近最有控制的效果4.2.1 輸入輸出變量的確定在設計控制器時，建立仿真模型，定義gaussm

39、f隸屬函數(shù)，輸出變量取linear。取與(and)的方法為直積(prod)法，或(or)的方法為最大(probor)，推理(implication)方法為直積乘法，合成(aggregation)方法為最大(max)，反模糊化(difuzzification)采用重心加權平均法(wtaver)。其中操作算子、聚集方法是系統(tǒng)自動設定不能編輯的。小車的位移x，速度，以擺角，擺角角速度，彈性坐標，彈性速度為狀態(tài)變量。將這些狀態(tài)變量作為輸入量，以作用力作為模糊控制器的輸出量。確定小車的位移x的論域-3 3,劃為兩個變量“big”, “small”,隸屬度函數(shù)為圖4.1；速度的論域-0.3 0.3,劃分為

40、兩個變量“fast”,”slow”,隸屬度函數(shù)為圖4.2；擺角的論域-0.4 0.4，將其劃分為三個語言變量“far”， “near”隸屬度函數(shù)為圖4.3；擺角速度的論域-0.5 0.5,劃分為“fast”， “slow”，隸屬度函數(shù)為圖4.4; 彈性坐標的論域為-2，2，劃分為兩個語言變量，“big”，“small”，隸屬度函數(shù)為圖4.5；彈性速度的論域為-0.3 0.3，劃分為兩個語言變量“fast”，“slow”，隸屬度函數(shù)為圖4.6;輸出論域0 1圖4.1 小車位移隸屬度函數(shù) 圖4.2 小車速度隸屬度函數(shù) 圖4.3 柔性倒立擺擺角隸屬度函數(shù) 圖4.4 柔性倒立擺擺角角速度隸屬度函數(shù) 圖4.5彈性坐標隸屬度函數(shù) 圖4.6 彈性速度隸屬度函數(shù)4.2.2 模糊規(guī)則庫模糊控制規(guī)則用64條語句來表述，在MATL