[優(yōu)秀畢業(yè)設(shè)計精品] 兩類帶功能反應(yīng)項的捕食者食餌擴散模型的研究

1、中北大學學位論文分類號： 單位代碼： 學 號： 學 位 論 文兩類帶功能反應(yīng)項的捕食者-食餌 擴散模型的研究 碩士研究生 指導教師 學科專業(yè) 應(yīng)用數(shù)學 年 月 日iii圖書分類號 密級_udc注 1 碩 士 學 位 論 文兩類帶功能反應(yīng)項的捕食者-食餌擴散模型的研究指導教師（姓名、職稱） 申請學位級別 碩士 專業(yè)名稱 應(yīng)用數(shù)學 論文提交日期 年 月 日論文答辯日期 年 月 日學位授予日期_年_月_日論文評閱人 答辯委員會主席 年 月 日注1：注明國際十進分類法udc的分類 原 創(chuàng) 性 聲 明本人鄭重聲明：所呈交的學位論文，是本人在指導教師的指導下，獨立進行研究所取得的成果.除文中已經(jīng)注明引用的

2、內(nèi)容外，本論文不包含其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果.對本文的研究作出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明.本聲明的法律責任由本人承擔.論文作者簽名： 日期： 關(guān)于學位論文使用權(quán)的說明本人完全了解中北大學有關(guān)保管、使用學位論文的規(guī)定，其中包括：學校有權(quán)保管、并向有關(guān)部門送交學位論文的原件與復印件；學?？梢圆捎糜坝?、縮印或其它復制手段復制并保存學位論文；學?？稍试S學位論文被查閱或借閱；學?？梢詫W術(shù)交流為目的，復制贈送和交換學位論文；學校可以公布學位論文的全部或部分內(nèi)容（保密學位論文在解密后遵守此規(guī)定）.簽 名： 日期： 導師簽名： 日期： 摘 要本文研究了兩類帶功能反應(yīng)項的具有

3、擴散現(xiàn)象的捕食模型，其功能反應(yīng)函數(shù)分別為holling-ii和beddington-deangelis型。擴散現(xiàn)象在自然界中隨處可見，研究這兩類擴散模型解的穩(wěn)定性和行波解的存在性對人們合理利用和保護自然資源有深遠的意義。本文主要分為五章：第一章主要介紹了研究的意義、目前研究現(xiàn)狀以及本文的研究工作；第二章介紹了需要用到的一些預備知識；第三章研究了帶holling-ii型功能反應(yīng)項的捕食擴散模型，利用上下解方法、線性化方法和lyapunov泛函討論了該模型解的一致有界性和整體存在性、正平衡點和半平凡平衡點的局部漸近穩(wěn)定性及其全局漸近穩(wěn)定性；第四章研究了帶beddington-deangelis型功

4、能反應(yīng)項的捕食擴散模型，利用打靶法、流形理論和lyapunov函數(shù)研究了其行波解的存在性。根據(jù)生物學意義在兩平衡點之間尋找非負行波解，然后構(gòu)造集和即存集，接著又對系統(tǒng)在平衡點處進行線性化，通過分析平衡點附近軌線的性質(zhì)，得出行波解始終在一個特定的區(qū)域中，并在該區(qū)域中構(gòu)造了一個lyapunov函數(shù)，證明了當參數(shù)滿足一定條件時系統(tǒng)行波解存在；第五章對全文進行了總結(jié)和展望。關(guān)鍵詞：捕食者-食餌模型，功能反應(yīng)項，反應(yīng)擴散方程，穩(wěn)定性，行波解。 abstractin this thesis, we study two kinds of predator-prey models with holling-i

5、i and beddington-deangelis functional response. the diffusive phenomenon can be seen nearly everywhere in nature. it is important to research the global existence of solutiongs and the existence of traveling front solutions of the two kinds of diffusive models for us to exploit and reserve natural r

6、esource.there are five chapters in this thesis. in the first chapter, the important meaning of this paper is introduced; in the second chapter, some necessary knowledge is given. in the third chapter, for the first model, the diffusive predator-prey models with holling-ii functiongal response is stu

7、dyed. using the upper and lower solutions method, the uniform boundedess and global existence of solutions method, the uniform boundedess and global existence of solution to the predator-orey diffusion system. meanwhile, sufficient conditions of the local asyptotical stability of the positive equili

8、brium point is given by linearization respectively. the global asymptotical stability of the unique positive equilibrium point is also given lypunnov function. in the forth chapter, for the second model, we study the diffusive predator-prey models with beddington-deangelis functional response is stu

9、dyed and searched a traveling wave solution between two equilibrium points, in ecological meaning, then,the paper define a wazewski set and examine an exit set. the property of the system nereby the equilibrium points can be known by linearing the system at these points, and the solution remains in

10、a particular regin. at last, using a lypunnov function in that region, the paper prove the existence of traveling front solutions undering some conditions. in the fifth chapter, a conclusion of this thesis is given.key words: predator-prey models; the functional response; reaction-diffusion equation

11、; stability of the model; traveling wave solution;目 錄摘 要iabstractii第一章 緒 論11.1研究的意義11.2研究現(xiàn)狀21.3本文的研究內(nèi)容5第二章 預備知識82.1微分同胚的概念82.2微分方程定性理論(平面上的動力系統(tǒng)與奇點)82.3反應(yīng)擴散方程引論(拋物型方程組的比較方法)9第三章 帶holling-ii型功能反應(yīng)項的捕食者-食餌擴散模型的穩(wěn)定性103.1解的一致有界性及其整體存在性113.2系統(tǒng)平衡點的分析123.2.1 e0(0,0)和e1(u*,0)的分析123.2.2正平衡點的分析143.3系統(tǒng)平衡點的局部穩(wěn)定性17

12、3.3.1 e*的局部穩(wěn)定性173.3.2 e1(u*,0)的局部穩(wěn)定性193.4系統(tǒng)平衡點的全局漸近穩(wěn)定性分析203.4.1 e1(u*,0)的局部穩(wěn)定性203.4.2半平凡平衡點e1(u*,0)的全局漸近穩(wěn)定性213.5本章小結(jié)22第四章 帶beddington-deangelis型功能反應(yīng)項的捕食者-食餌擴散模型的行波解234.1模型的化簡與分析234.2引理254.3系統(tǒng)在點(1,0,0)處線性化及分析254.4集的構(gòu)造314.5系統(tǒng)解的有界性374.6系統(tǒng)行波解的存在性394.7本章小結(jié)40第五章 結(jié)論與展望41參考文獻42攻讀碩士期間發(fā)表的論文及所取得的研究成果46致 謝47第一章

13、 緒 論1.1 研究的意義早在古代人們就蒙蒙朧朧地感到生物依賴環(huán)境，同時也在改變著環(huán)境。隨著科學技術(shù)的不斷地發(fā)展，逐漸形成了生態(tài)學。盡管不同時期學者給生態(tài)學下的定義不盡相同，但都大同小異?？偟膩碚f，生態(tài)學是一門研究生物與環(huán)境及其相互作用的學科。生態(tài)學經(jīng)過幾十年的不斷發(fā)展，已經(jīng)產(chǎn)生了許多邊緣學科。如生物物理學、生物化學、生物經(jīng)濟學等等，而生物數(shù)學是其中最為年輕的學科之一。所謂數(shù)學生態(tài)學，即用數(shù)學模型描述生物的生存與環(huán)境的關(guān)系，并利用數(shù)學方法(理論或計算)對其進行研究，進而到對一些生態(tài)現(xiàn)象進行解釋和控制。數(shù)學生態(tài)學在16世紀已經(jīng)開始萌芽，但是工作比較零碎。1900年，意大利著名數(shù)學家v.volte

14、rra在羅馬大學作了一次題為“應(yīng)用數(shù)學與生物和社會科學的嘗試”的演講，它標志了生態(tài)數(shù)學發(fā)展的一個里程碑。在這個時期，k.pearson在遺傳學方面成功應(yīng)用了數(shù)學研究成果，t.brownlee在流行病方面也應(yīng)用了數(shù)學的研究成果。一直到1926年，volterra發(fā)表了解釋finme港魚群變化規(guī)律的著名論文，使數(shù)學生態(tài)學的發(fā)展一度達到高潮。不久由于戰(zhàn)爭等因素，使剛剛興起的數(shù)學生態(tài)學以及更廣泛的生物數(shù)學寂靜下來。直到20世紀50年代，由于電子計算機的出現(xiàn)，重新激勵了生物數(shù)學。生物數(shù)學真正的蓬勃發(fā)展是近二十多年來的事。這20多年來，生物數(shù)學各個領(lǐng)域中科研成果大批地涌現(xiàn)，使關(guān)生物數(shù)學呈現(xiàn)出一派欣欣向榮的

15、局面。數(shù)學生態(tài)學是生物數(shù)學各領(lǐng)域目前發(fā)展得最為完整、最為系統(tǒng)的一個重要分支。它所建立的模型和方法，不僅直接推動著生態(tài)學的發(fā)展，對生物數(shù)學的其它領(lǐng)域也產(chǎn)生著重要的影響。在二十世紀和本世紀初，隨著生態(tài)學多年的發(fā)展，新概念、新定義、新原理和新技術(shù)方法不斷地涌現(xiàn)。同許多其它學科一樣，生態(tài)學許多分支的發(fā)展規(guī)律也是在這個時期由定向走向定量的。例如從運用一般語言的描述到運用數(shù)學語言刻畫；從運用古代數(shù)學到運用現(xiàn)代數(shù)學等。隨著數(shù)學以及其它基礎(chǔ)科學的不斷發(fā)展，生態(tài)研究針對的對象不斷增多，應(yīng)用理論不斷拓寬，許多新的分支學科不斷產(chǎn)生（見文獻1）。自從偏微分方程在描述生物學中生物規(guī)律和現(xiàn)象應(yīng)用以來，一直吸引著大量專家和

16、學者的注意力，并形成了許多具有很強實際背景的新課題。近二十年來人們對反應(yīng)擴散方程在生物種群動力學中的應(yīng)用越來越感興趣。在生物群體動力學中應(yīng)用最多的一類數(shù)學模型是反應(yīng)擴散方程(組)，它是一類半線性拋物型方程(組)：其中d(x,u)=diag(d1(x,u)dm(x,u), ,（見文獻2）.反應(yīng)擴散方程在生物群體動力學中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在生態(tài)方程有了擴散項。生態(tài)系統(tǒng)中，由于生存空間和食物等競爭因素的影響，生物群體自然地按各自的擴散率di從密度高的地方向密度低的地方轉(zhuǎn)移、擴散。而群體的出生、成長、死亡或種群間競爭、互助、捕食與被捕食等產(chǎn)生的一系列過程可在反應(yīng)項中體現(xiàn)出來。于是研究具有捕食關(guān)系的種群的共

17、存性、穩(wěn)定性或周期持續(xù)共存等，對于保持生態(tài)平衡，保護生態(tài)環(huán)境甚至挽救瀕危物種等具有非常重要的實際意義。從長遠來看，生物數(shù)學的發(fā)展前景非常不錯。但是由于它是交叉學科及社會認知方面的一些影響，其發(fā)展仍面臨著許多困難。隨著中國加入世貿(mào)和可持續(xù)發(fā)展的提出，生物數(shù)學面臨的具體問題越來越多，要求也越來越高。尤其隨著科學界和全社會生態(tài)意識的增強，林業(yè)、農(nóng)業(yè)，以及生態(tài)建設(shè)，如城市綠化、森林公園、建立自然保護區(qū)等等都離不開生物數(shù)學。但是由于其的跨學科特點，所以生物數(shù)學的發(fā)展面臨著知識、設(shè)備和資金的缺陷，這些往往導致提出的生物數(shù)學的建議付諸實踐很難。還有，生物數(shù)學原理的研究比較抽象不像工農(nóng)業(yè)的生產(chǎn)技術(shù)那樣成果出眾

18、。原理是一種應(yīng)用基礎(chǔ)，生物數(shù)學作為一種基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，需要以長遠的戰(zhàn)略眼光多加宣傳，以引起政府和社會公眾的廣泛關(guān)注。由于人類活動越來越多地干擾環(huán)境，所以對環(huán)境的保護也刻不容緩。這些都需要好好地利用生態(tài)數(shù)學來解決。1.2 研究現(xiàn)狀自從反應(yīng)擴散方程引入生態(tài)動力學中，目前國內(nèi)外學者們主要研究了以下三方面的問題：（1）模型行波解的存在性及穩(wěn)定性；（2）初值問題，初邊值問題的整體解（包括周期解和概周期解）的存在唯一性及漸近性；（3）平衡解的存在性，尤其是當問題依賴于某些參數(shù)時平衡解的分叉結(jié)構(gòu)，以及平衡解的穩(wěn)定性問題(見文獻2)。由于生物學中建立的模型大多數(shù)是沒有辦法求出其解析解的非線性系統(tǒng)，因而有不少學者

19、就用數(shù)值求解的方法尤其是有限差分法來研究解的性態(tài)，如文獻3就對三級生物鏈反應(yīng)擴散模型進行了定性分析，同樣還有文獻4通過構(gòu)造一般的交替差分格式證明了格式的無條件穩(wěn)定性，文獻5則用二階收斂的三層線性化差分格式來研究了非線性反應(yīng)擴散模型。有很多學者對有周期輸入和周期輸出的chemostat模型很感興趣，如文獻6,7,8. 關(guān)于捕食擴散模型平衡態(tài)的研究，目前已有許多結(jié)果，如文獻9對帶b-d功能反應(yīng)項的捕食擴散系統(tǒng)的平衡態(tài)進行了研究，得到了正平衡解存在的充分條件，同時判定了局部分支解的穩(wěn)定性；文獻10,11研究了帶holling-tanner反應(yīng)項的捕食食餌模型其系統(tǒng)的正解的存在性。文獻12研究了四種群

20、捕食-食餌反應(yīng)擴散方程組解的存在性和平衡態(tài)方程正解的全局漸近穩(wěn)定性。文獻13,14,15則通過構(gòu)造迭代列，上下解方法，banach空間上的schauder不動點原理研究了帶擴散項的周期捕食食餌模型中如果加上一些環(huán)境、季節(jié)等因數(shù)，系統(tǒng)正周期解的存在性。文獻16,17用穩(wěn)定性理論研究了一類捕食系統(tǒng)的平衡態(tài)問題，并得到了分支點附近的正解的穩(wěn)定性。經(jīng)典的volterra-lotka捕食-食餌模型是許多學者研究的對象，下面是帶擴散項的volterra-lotka捕食-食餌模型(見文獻18。 （1.1）文獻19研究了（1.1）對應(yīng)的周期系統(tǒng)的正周期解的存在性，通過用周期性的拋物型算子理論得到了存在正解的一

21、些條件。文獻20,21則利用算子譜分析了推廣的volterra-lotka模型的平衡態(tài)。隨后又有許多學者將模型（1.1）中的用不同的功能反應(yīng)函數(shù)來替代進行研究，功能性反應(yīng)函數(shù)是描述捕食者捕食能力大小的函數(shù)，1959年，holling(見文獻22)提出若密度為,則功能反應(yīng)曲線將有三種可能性：(1)holling-i型：表達式為或，其中為常數(shù)。它主要運用于藻類細胞等低等生物；(2)holling-ii型：表達式為，其中為常數(shù)，它適用于無脊椎動物；(3)holling-iii型：其表達式為，其中為常數(shù)。它適用于脊椎動物。1975年，beddington和deangelis（見文獻23,24）等提出了

22、一類具有beddington-deangelis型功能反應(yīng)項的捕食者-食餌模型，其功能反應(yīng)函數(shù)的表達式為：這個功能反應(yīng)函數(shù)與holling-ii型很相似，只在分母中多加了個，表示捕食者之間是相互干涉的，由于b-d功能反應(yīng)函數(shù)保持了比率依賴反應(yīng)函數(shù)的所有優(yōu)點，并避免了低密度問題引起的爭議，所以能更好地反映捕食者對食餌的捕食效應(yīng)(見文獻9)。關(guān)于捕食擴散模型的行波解方面的研究，也有許多成果，如文獻25,26在研究中考慮了捕食者擴散系數(shù)為零的情況下具有擴散項的lotka-vollerra模型的行波解的存在性，證明了周期軌道和行波解的存在性，即連接一個平衡點和一個周期解的異宿軌線或連接兩個平衡點的異宿

23、軌線，同時還證明了中的具有擴散項的lotka-vollerra模型行波解的存在性。對于文獻27中的模型： （1.2）文獻28證明了模型（1.2）當食餌的擴散系數(shù)為零時該模型行波解的存在性。garder、文獻29,30,31應(yīng)用connection index方法來證明了（1.2）的行波解的存在性。文獻27則研究了帶holling-功能反應(yīng)項的捕食者-食餌擴散模型行波解和小振幅行波解的存在性。owen和lewis在文獻32中研究中仿真模擬了數(shù)次在捕食者和食餌的擴散系數(shù)均不為零的情況下（1.2）的解的情形，模擬的結(jié)果顯示系統(tǒng)經(jīng)歷行波解。而在2003年，文獻33經(jīng)過研究證明了owen和lewis研究

24、結(jié)果的正確性。而對于捕食擴散模型的解的整體性態(tài)和非負平衡點的穩(wěn)定性的研究并不是很多，文獻34主要討論了帶holling-ii型的捕食擴散系統(tǒng)的非負平衡點的性態(tài)和其正平衡點的穩(wěn)定性。文獻35對捕食者無密度制約而食餌有非線性密度制約的holling-iii型功能反應(yīng)的捕食擴散模型： （1.3）的解的整體性態(tài)進行了研究，并證明了系統(tǒng)（1.3）正平衡點的局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性。文獻36對一類三次捕食擴散模型的穩(wěn)定性也進行了研究，用線性化方法和lyapunov泛函方法討論了該模型的非負平衡點的穩(wěn)定性。文獻37對模型（1.4） （1.4）的穩(wěn)定性進行了研究；系統(tǒng)（1.4）中當時，文獻38對該系統(tǒng)的

25、耗散性、持久性、非負平衡點的穩(wěn)定性和非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解的存在性進行了研究1.3 本文的研究內(nèi)容本文研究如下兩種模型：(1)模型一，其數(shù)學模型如下：其中是中具有光滑邊界的有界區(qū)域；是上的單位法向量；u(x,t)，v(x,t)分別是食餌種群和捕食者種群的密度函數(shù)；食餌具有非線性密度制約；du/(1+eu)是holling-ii型功能反應(yīng)函數(shù)；擴散系數(shù)d及生命系數(shù)a，b，c，d，e，f，g都是正常數(shù)；a表示食餌種群的內(nèi)稟增長率；f是捕食者的凈死亡率；-bu-cu2是食餌的密度制約項，捕食者v僅以食餌u為生且忽略其密度制約因素；u(x,0)，v(x,0)是非負且不恒為零的光滑函數(shù)。本文主要研究其解的整體性

26、態(tài)，當參數(shù)滿足什么條件時，其半平凡平衡點和正平衡點的穩(wěn)定性。(2)模型二，其數(shù)學模型如下： （1.5）其中分別表示食餌和捕食者的種群密度；正常數(shù)為食餌的內(nèi)稟增長率；正常數(shù)為食餌的種群自制常數(shù)；正常數(shù)分別為捕食者的死亡率，捕獲率和轉(zhuǎn)化率；為beddington-deangelis型功能反應(yīng)函數(shù)（見文獻23，24）。作變換：系統(tǒng)（1.5）可化為： （1.6）其中：若食餌的擴散系數(shù)為零(見文獻28)，則（1.6）所對應(yīng)的擴散系統(tǒng)為； （1.7）本文研究系統(tǒng)（1.7）在參數(shù)滿足什么條件下，上述模型的行波解是存在的。8第二章 預備知識2.1 微分同胚的概念設(shè)是定義在的開子集u上的一個映射。則f在u中的一

27、點p處可微，如果存在一個線性變換，使得對于小的v，f(p+v)=f(p)+t(v)+r(v)，滿足下式：稱線性映射為在點的導數(shù)，記作：。特別地，由在點導數(shù)的存在可得出在點連續(xù)。如果在中的每一點可微，則得一映射，對于中每一點，它對應(yīng)于在點的導數(shù)。其中表示由到的線性映射的向量空間，其范數(shù)為。如果在中連續(xù)，則說在中是類的，設(shè)是中的開集，是一個滿射。如果存在映射，使得是上的恒等映射，就說是一個同胚。2.2 微分方程定性理論(平面上的動力系統(tǒng)與奇點)討論平面上的動力系統(tǒng)，有如下方程組： (2.1)其中x(x,y)和y(x,y)在(x,y)平面上連續(xù)，并且滿足進一步的條件，以保證初值問題的解唯一。由于平面

28、的某些特性，特別是由于若爾當定理在平面上成立(即：平面上的簡單閉曲線把平面分成兩部分，連接這兩部分中任意點的連續(xù)路徑必定與相交)，就使得平面動力系統(tǒng)的軌線分布比較單純。如果一條軌線既不是閉軌也不是奇點，那么在軌線上的任何一點都有一個小領(lǐng)域，使得軌線在走出這領(lǐng)域以后永遠不復還。而在三維(或更高維)相空間中軌線的分布可以沒有這種單純的性質(zhì)。如果從式(2.1)中消去t，則得到如下方程： (2.2)定義滿足如下方程組：的點為奇點。奇點是軌線上的特殊點，在奇點軌線不滿足解的存在與唯一性定理。2.3 反應(yīng)擴散方程引論(拋物型方程組的比較方法)是空間中的某個有界區(qū)域，在上對x，t是hlder連續(xù)，對u1，u

29、2是lipschitz的，即存在常數(shù),對于任意，有： (2.3)把簡寫為，設(shè)是在上混擬單調(diào)的，并滿足式(2.3)，當時，是式(2.4)的上下解，則由如下結(jié)論：(1)當時，又有，其中。(2)式(2.4)在中存在唯一解。其中式(2.4)表達式如下： (2.4)其中。第三章 帶holling-ii型功能反應(yīng)項的捕食者-食餌 擴散模型的穩(wěn)定性本章討論食餌具有非線性密度制約的帶holling-ii型功能反應(yīng)項的如下捕食者-食餌擴散模型： (3.1)其中是中具有光滑邊界的有界區(qū)域；是上的單位法向量；u(x,t)，v(x,t)分別是食餌種群和捕食者種群的密度函數(shù)；du/(1+eu)是holling-類功能反

30、應(yīng)函數(shù)(見文獻22)；擴散系數(shù)d及生命系數(shù)a，b，c，d，e，f，g都是正常數(shù)；a表示食餌種群的內(nèi)稟增長率；f是捕食者的凈死亡率；-bu-cu2是食餌的密度制約項，捕食者v僅以食餌u為生且忽略其密度制約因素；u(x,0)，v(x,0)是非負且不恒為0的光滑函數(shù)。為使模型的表達式更為簡單，對（3.1）做作如下變換：，(仍記為)則系統(tǒng)(3.1)可化為： (3.2)當d=0時系統(tǒng)(3.1)就是常微分的帶holling-ii型功能反應(yīng)函數(shù)的捕食者-食餌模型。系統(tǒng)(3.1)中對于c=0，d=0時的情況研究已有許多結(jié)果(見文獻39,40,41)，他們討論了模型的非負平衡點的穩(wěn)定性和極限環(huán)的存在性及其個數(shù)問

31、題，接著人們又對帶擴散項的holling-型功能反應(yīng)項的捕食者-食餌模型進行了研究，那么系統(tǒng)(3.1)的解的整體性態(tài)如何呢？接下來本文就要對這個問題進行討論。文章分為四節(jié)：第一節(jié)主要討論系統(tǒng)(3.2)整體解的一致有界性及其整體存在性；第二節(jié)是對系統(tǒng)的平衡點進行了些分析；第三節(jié)討論了系統(tǒng)平衡點的漸近穩(wěn)定性；第四節(jié)討論了系統(tǒng)平衡點的全局穩(wěn)定性。3.1 解的一致有界性及其整體存在性本節(jié)應(yīng)用上下解方法給出系統(tǒng)(3.2)整體解的唯一性和一致有界性。記：，。th3.1：設(shè)u0，v0是非負且不恒為0的光滑函數(shù)，且e(u(x,t),v(x,t)c(0,t)c2,1(0,t)2，其中t是系統(tǒng)(3.2)的解e最大

32、的存在時間，則對有：，。其中：證明：由f1，f2在的光滑性可知系統(tǒng)(3.2)的古典解局部存在且唯一；要想說明系統(tǒng)(3.2)解的整體存在性，下面只需證明系統(tǒng)(3.2)解一致有界即可。由文獻2的比較原理和強極大值原理知：當u00(不恒為0)，v00(不恒為0)時，u(x,t)0，v(x,t)0是非負的。顯然m1(見th3.1)是系統(tǒng)(3.2)第一個方程的上解，因而有：。若令，則有： (見th3.1)再由比較原理可知：，結(jié)合可知系統(tǒng)(3.2)的解一致有界。3.2 系統(tǒng)平衡點的分析經(jīng)計算可知系統(tǒng)(3.2)至少有平凡平衡點和半平凡平衡點，其中：。th3.2：系統(tǒng)(3.2)在內(nèi)存在正平衡點，它存在的充要條

33、件為：， (3.3)其中，。3.2.1 e0(0,0)和e1(u*,0)的分析th3.3：1)為鞍點。2)當時，為鞍點。3)當且時，為不穩(wěn)定的結(jié)點。4)當且時，為穩(wěn)定的結(jié)點。5)當即：時，為高次奇點，且在第一象限部分為穩(wěn)定焦點或結(jié)點。證明：顯然為鞍點。由于在處有：，而在點處有：又因為所以顯然可以知道2)、3)、4)也成立。對于5)即：因為由可知：。所以為高次奇點。系統(tǒng)（3.2）所對應(yīng)的常微分方程系統(tǒng)為： （3.4）對于系統(tǒng)（3.4）作變換，。變換后仍用表示，則系統(tǒng)（3.4）化為： （3.5）此時系統(tǒng)(3.2)的奇點對應(yīng)系統(tǒng)（3.5）的奇點。令，仍以記，則有： （3.6）其中：把系統(tǒng)（3.6）的

34、對換，則有： （3.7）對于系統(tǒng)（3.7）令：，再由可得：，其中：，并且由于，所以根據(jù)文獻42可知點為鞍結(jié)點，且在第一象限部分為穩(wěn)定焦點或結(jié)點。3.2.2 正平衡點e*(u*,v*)的分析其中：， 由上面可知th3.4：若系統(tǒng)(3.2)的正平衡點存在，則有：1)當時，為不穩(wěn)定的結(jié)點或焦點；2)當時，為穩(wěn)定的結(jié)點或焦點；3)當時，為一階不穩(wěn)定的細焦點。證明：1)、2)顯然成立。下面對3)進行論證，對系統(tǒng)（3.5）有如下變形： （3.8）對于系統(tǒng)（3.8）先進行坐標平移，把坐標頂點坐標平移至，令：，。 （3.9）系統(tǒng)（3.9）經(jīng)過無量綱變換：令，?？梢缘玫剿臉藴市停匀灰员硎荆?（3.10）其中

35、：，。此時依th3.4中3）可知：，且現(xiàn)令：則有，依次由三次項，四次項等于零，定出等。令：，先考察三次齊次多項式有：化為極坐標，令：解之得周期函數(shù)：于是可得：即：又由，其中，分別是中的次齊次多項式，所以有：則有：所以由文獻42中的細焦點判定可知，當3）滿足時為一階不穩(wěn)定的細焦點。3.3 系統(tǒng)平衡點的局部穩(wěn)定性易于證平凡平衡點e0是系統(tǒng)(3.2)對應(yīng)的常微分問題的鞍點，因為系統(tǒng)(3.2)的常微分問題的解是系統(tǒng)(3.2)的特解，從而e0也是系統(tǒng)(3.2)的不穩(wěn)定平衡點。3.3.1 e*的局部穩(wěn)定性設(shè)是齊次neumann邊界條件下算子在上的特征值。是與特征值相應(yīng)的中的特征子空間(見文獻43)，記：其

36、中是的一組正交基，則：，記：，。其中，系統(tǒng)(3.2)在e*處的線性化方程為et=le，對于，xi是算子l的不變子空間，是算子l在xi上的特征值，當且僅當是矩陣的特征值。而的特征多項式為。其中，。特征值，的實部為負的充要條件是：，。因為所以必須有，從而，的實部為負的充要條件為：， （3.11）下證存在且為常數(shù)，使得對任意一個都有： （3.12）下面可以令：，則有：又因為當時，所以可知顯然，有2重根，由函數(shù)的連續(xù)性知：，當時，可知有成立。下面令：，則有，可以取，則（3.12）式成立，從而由文獻44中的可得如下結(jié)論：th3.5：如果(3.3)，（3.11）式成立，則系統(tǒng)(3.2)的平衡點局部漸近穩(wěn)定

37、。3.3.2 e1(u*,0)的局部穩(wěn)定性系統(tǒng)(3.2)在e1(u*,0)處的線性化方程為：，其中，。而的特征方程為。其中：它的每個特征值(記作)的實部位負的充要條件是：，注意到： 從而，的實部為負數(shù)的充分條件是：。這等價于：，即：時，系統(tǒng)(3.2)的半平凡平衡點局部漸近穩(wěn)定。當時，相應(yīng)證明過程為：，。從而的實部為負的充要條件是：，顯然有：，即：。所以局部漸近穩(wěn)定。th3.6：若，則系統(tǒng)(3.2)半平凡平衡點局部漸近穩(wěn)定。463.4 系統(tǒng)平衡點的全局漸近穩(wěn)定性分析3.4.1 e1(u*,0)的局部穩(wěn)定性引理1：設(shè)為正常數(shù)，有下界。如果，且，為正常數(shù)，則(見文獻45)。因為是系統(tǒng)(3.2)的唯一

38、正解，所以由th3.1知，存在與，無關(guān)的正常數(shù)，使得對于任意的有：，由文獻19中的知，有：， （3.13）而是與時間無關(guān)的正常數(shù)，因而可以定義如下函數(shù)，令：定義lyapunov函數(shù)如下：由前面的定理3.1可知，在初值取不恒為零的非負函數(shù)且時間t大于零時，系統(tǒng)(3.2)的解是嚴格的正函數(shù)，故可知對于系統(tǒng)(3.1)的任意正解都有意義。對任意的有，而且當且僅當時有，由分部積分及一些簡單的計算可知： 因為在上的最小值為，所以不妨記，即：與等價 （3.14）從而有：由th3.1和（3.13）式知：和的導數(shù)有界，而由文獻45證明的引理1得： （3.15）由式（3.13）知：和非負函數(shù)，使得：，由式（3.1

39、5）得：，因此：，聯(lián)系th3.5即得：th3.7：若式(3.3)、式（3.11）和式（3.14）成立，則全局漸近穩(wěn)定。3.4.2 半平凡平衡點e1(u*,0)的全局漸近穩(wěn)定性令：，則關(guān)于系統(tǒng)(3.2)的任意正解滿足： 其中：，類似于正平衡點的全局穩(wěn)定性的證明，其半平凡平衡點全局漸近穩(wěn)定。3.5 本章小結(jié)本章研究了食餌具有非線性密度制約的帶holling-ii型功能反應(yīng)項的如下捕食者-食餌擴散模型，首先利用上下解方法證明了系統(tǒng)的解在一定條件下的一致有界性和整體存在性,然后又對正平衡點和半平凡平衡點的性質(zhì)進行了些分析，接著又利用線性化方法證明了正平衡點和半平凡平衡點的局部漸近穩(wěn)定性，最后構(gòu)造了ly

40、apunov函數(shù)證明其全局漸近穩(wěn)定性。中北大學學位論文第四章 帶beddington-deangelis型功能反應(yīng)項的 捕食者-食餌擴散模型的行波解4.1 模型的化簡與分析本文研究如下反應(yīng)擴散系統(tǒng)： (4.1)其中u，v分別表示食餌和捕食者種群的密度；，r，d均為正常數(shù)，uv/(1+u+rv)通常稱為beddington-deangelis功能反應(yīng)函數(shù)。由于b-d功能反應(yīng)函數(shù)保持了比率依賴反應(yīng)函數(shù)的所有優(yōu)點，并避免了低密度問題引起的爭議，更好的反映了捕食者對食餌的捕食效應(yīng)。在這里為了數(shù)學上的簡單，通常假設(shè)食餌的擴散系數(shù)為零，這種假設(shè)也就是意味著食餌種群面臨著滅絕的危險境地，應(yīng)該認識到這種假設(shè)并

41、不是必要的（見文獻28）。目前，對于帶b-d反應(yīng)項的捕食者-食餌系統(tǒng)的研究更多關(guān)注的是常微分模型，對于偏微分的研究并不是很多。有許多學者研究了帶holling-功能反應(yīng)項的捕食者-食餌擴散模型行波解的存在性。文獻29,30,31應(yīng)用connection index方法證明了行波解的存在性，而connection index是conley index的擴展。文獻28則考慮了捕食者的擴散系數(shù)為零的情況下，證明了周期軌道和行波解的存在性，即連接一個平衡點和一個周期解的異宿軌線或連接兩個平衡點的異宿軌線。文獻32則仿真模擬了數(shù)次在捕食者和食餌的擴散系數(shù)均不為零的情況下解的情形，模擬的結(jié)果顯示系統(tǒng)經(jīng)歷行

42、波解。在2003年，文獻33經(jīng)過研究證明了文獻32研究結(jié)果的正確性，那就是他們證明了行波解和小振幅行波解的存在性。文獻25,26則證明了擴散的lotka-vollerra模型行波解的存在性。文獻27則研究了帶holling-功能反應(yīng)項的捕食者-食餌擴散模型行波解和小振幅行波解的存在性。需要說明的是，盡管本文所用到的技術(shù)類似于某些參考文獻，但是它們之間還是存在著很大的差異的：首先，這里的模型是一個更為復雜的模型，這就使行波解的建立存在著很多的困難；其次，建立了一個不同的wazewski集w；最后，所建立的liapunov函數(shù)(文獻46)也更為復雜。對于模型(4.1)可以做如下合理的假設(shè)：-dd，

43、這是為了保證系統(tǒng)有一個正平衡點，顯然系統(tǒng)(4.1)有三個平衡點，。其中，。平衡點是鞍點，對應(yīng)于兩種群不存在；也是鞍點，對應(yīng)于在環(huán)境的承受能力下，捕食者不存在；對應(yīng)于兩種群共存。將用打靶法來建立的行波解是連接兩平衡點和的一條異宿軌線。為了建立系統(tǒng)(4.1)的行波解的存在性，假設(shè)行波解是形如，的解，其中，波速是正的，則式(4.1)變成： (4.2)這里表示關(guān)于行波解變量的導數(shù)，考慮到其生物意義，限制行波解和非負，且滿足邊界條件： (4.3)將(4.2)寫成中的一階方程組： (4.4)上式中各符號滿足如下等式：， (4.5)定義一個函數(shù)：，。4.2 引理考慮下面的微分方程： (4.6)其中是連續(xù)函數(shù)

44、，且滿足lipschitz條件，設(shè)是(4.6)滿足的唯一解。為便于討論，記，設(shè)是點組成的集合，其中。給定，令，是的立即逃逸集合。給定，設(shè)，對于，定義，稱為逃逸時間。注意到，則當且僅當。引理4.1：假設(shè)下面的條件成立：i)如果, ,則；ii)如果, ,則存在關(guān)于的一個開集與不交；iii)是一個緊集,且和的軌線只交一次。那么是一個從到它在上的圖像的同胚。稱滿足條件(1)和(2)的集合為一個wazewski集。4.3 系統(tǒng)在點(1,0,0)處線性化及分析系統(tǒng)(4.4)在(1,0,0)處線性化后系數(shù)矩陣為：其特征多項式為：則其特征根為：，th4.1：若，則系統(tǒng)(4.4)不存在滿足(4.5)的非負行波解

45、。證明：若，那么是一對具有正實部的復共軛特征值，通過文獻46提出的th6.1和可知，在(1,0,0)處存在一個二維不穩(wěn)定子流形，在這個不穩(wěn)定子流形上的軌線是螺旋的。可以斷言，這些螺旋解對于所有來說不能滿足，否則，如果存在這樣的螺旋解，則其對應(yīng)的坐標必存在大于1的局部最大值，在這些局部最大值處，且，則：，這顯然是矛盾的，因此，當時，趨近于(1,0，0)的軌線對于某些必定具有，這就和行波解必須是非負的相矛盾。下面只需討論的情形，易知，分別對應(yīng)于其特征值的特征向量為： (4.7)根據(jù)文獻46提出的定理th6.1和可知，在的一個小鄰域中存在一個極強的不穩(wěn)定流形，并且在處和相切，這個一維極強不穩(wěn)定流形的

46、參數(shù)表示為：同理，在的一個鄰域中也存在一個二維極強不穩(wěn)定流形，其在處與與張成的空間相切，這二維極強不穩(wěn)定流形的參數(shù)表示為：顯然。注意到如果是系統(tǒng)（4.8）的解： (4.8)則是系統(tǒng)(4.4)的解，即：集合是系統(tǒng)(4.4)的相空間的一個不變子空間。同樣地，如果是系統(tǒng)（4.9）的解： (4.9)則是系統(tǒng)(4.4)的解，即：集合是系統(tǒng)(4.4)的相空間的一個不變子空間。下面構(gòu)造wazewski集合w的思路和dunbar的相似，它是的兩集合的補集，選取這兩個集合是為了和同號，且當時，進入這些集合的解不會滿足。所以定義為：其中。注意到是一個閉集，令：通過(4.4)在上的向量場可知：顯然不是一個連通集，證

47、明是上面描述的集合比較麻煩，顯然不是一個連通集，這里只檢驗中的，部分來說明為了得到，為什么必須從中去掉。首先來看為什么從中去掉：(a)當時：軌線進入。(b)當時：由知軌線進入。(c)當時： ，軌線進入。(d)當時，由于單點不在立即逃逸集里，所以無需討論。(e)當時，分以下三種情況討論：i)由可知軌線進入。ii)根據(jù)可以推導出軌線不進入和。iii)，無意義。(f)當時，分以下三種情況討論：i)由和可知軌線進入。ii)，無意義。iii)由和可推導出軌線不進入和。(g)當時：由知軌線進入。其次來看為什么從中去掉：(a)當，時，分以下五種情況討論：i)，即： 由和可知軌線不進入和。ii)，無意義。ii

48、i)，即：且由，可知軌線不進入和。iv)，即：在不變流形上，不屬于立即逃逸集。v)由條件知軌線進入。(b)當，時，分以下五種情況討論：i)，即：由知軌線不進入和。ii)，即：無意義。iii)。即：且。由可得出軌線進入。iv)由得出軌線進入。v)由得出軌線進入。(c)當時，單點不在立即逃逸集里，所以無需討論。(d)當時： 由，可以得出軌線進入。(e)當時，分以下五種情況討論：i)，即： 由知軌線進入。ii)，無意義。iii)即：且根據(jù)可知軌線不進入。iv)由可以推出軌線進入。v)，不變流形上的點不屬于立即逃逸集。(f)當時：由條件和 可以推出軌線進入。(g)當時：由推出軌線進入。4.4 集的構(gòu)造

49、為了應(yīng)用引理4.1，將用幾個引理(引理4.2-4.5)來構(gòu)造集合，然后用引理4.7-4.8來證明通過的軌線將不會離開w，最后選擇lyapunov函數(shù)（文獻46）和應(yīng)用lasalle不變原理(文獻47)來證明軌線進入點。這個是不穩(wěn)定流形中圍繞的足夠小的圓周上的一段弧，該弧的一個端點是該圓周與極強不穩(wěn)定流形的交點，另一端點是該如圓周與被限定平面的交點。引理4.2-4.5是些比較簡單的比較定理，為的是說明在極強不穩(wěn)定流形上的第一個端點進入，而另一個端點進入。記：引理4.2：假設(shè)，那么系統(tǒng)(4.4)的任意的滿足，的解對應(yīng)于所有都有，。特別地，對于卦限上的極強不穩(wěn)定流形上的軌線是成立的。證明：因為系統(tǒng)(

50、4.4)是自治的，所以假設(shè)(沒有喪失一般性)，反證法。設(shè)存在，使，令：，和又，對于而言，那么從系統(tǒng)(4.4)可知：，即：又即：，把代入得：，即：。一定有，因為被平面限制的平面，是顯然的。只需證明，如果這不是真的，那么，使，。所以，對于，有：。而這是一個矛盾。對于所有的，有：，那么也有對所有的成立。在卦限內(nèi)的極強不穩(wěn)定流形上的趨向于軌線與相切，而這個切向量的第二個和第三個分量滿足，所以在這個軌線上，滿足：，。引理4.3：在卦限內(nèi)極強不穩(wěn)定流形上的軌線必須滿足對于所有的成立。證明：由于軌線在卦限內(nèi)一維極強不穩(wěn)定流形上，而在點處與相切，從可知：。對于所有的都有：。引理4.4：令是一個固定的數(shù)，那么系

51、統(tǒng)(4.4)的任何一個滿足有一個點使，和的解都會有對于，使，特別地，這對于在卦限內(nèi)極強不穩(wěn)定流形上的軌線是成立的。證明：因為系統(tǒng)(4.4)是自治的，所以假設(shè)(沒有喪失一般性)，反證法。設(shè)使，令：，和又且對于而言，那么從系統(tǒng)(4.4)中可知：,又上面的不等式可變?yōu)椋阂欢ㄓ?，因為被平面限制的平面是顯然的，只需證明即可，如果這不是真的，那么，使，矛盾，所以對于，而這是一個矛盾。所以對于所有的都有：那么也有對所有的都成立。在卦限內(nèi)的極強不穩(wěn)定流形上的趨于的軌線與相切，而這個切向量的第二個和第三個分量滿足：所以在這條軌線上，滿足，。引理4.5：假設(shè)系統(tǒng)(4.4)的解有一個點(不失一般性可令)，滿足：，和。那么，對于所有，以及，軌線必須有：。特別地，這對于卦限內(nèi)