小波分析及其應(yīng)用

1、2021/3/111 小波分析及其應(yīng)用小波分析及其應(yīng)用 Wavelet Analysis and Its Applications 2021/3/112 小波分析及其應(yīng)用小波分析及其應(yīng)用 1、小波變換簡(jiǎn)介 2、小波分析在一維信號(hào)處理中的應(yīng)用 3 、小波分析在圖象分析中的應(yīng)用 圖象特征抽取 圖象壓縮 數(shù)據(jù)隱藏和圖象水印 2021/3/113 小波變換簡(jiǎn)介 1.1小波變換的理論基礎(chǔ)小波變換的理論基礎(chǔ) 信號(hào)分析是為了獲得時(shí)間和頻率之間的相互關(guān)系。傅立 葉變換提供了有關(guān)頻率域的信息，但有關(guān)時(shí)間的局部化信息 卻基本丟失。與傅立葉變換不同，小波變換是通過(guò)縮放母小 波（Mother wavelet）的寬度來(lái)

2、獲得信號(hào)的頻率特征， 通過(guò) 平移母小波來(lái)獲得信號(hào)的時(shí)間信息。對(duì)母小波的縮放和平移 操作是為了計(jì)算小波系數(shù)，這些小波系數(shù)反映了小波和局部 信號(hào)之間的相關(guān)程度。 2021/3/114 （a） 正弦波曲線； (b) 小波曲線 (a)(b) 2021/3/115 2021/3/116 從小波和正弦波的形狀可以看出，變化劇烈的信號(hào)，用不 規(guī)則的小波進(jìn)行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描 述信號(hào)的局部特征。 連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet Transform， CWT）用 下式表示： dttpositionscaletfpositionscaleC),()(),( (1.1) 式

3、（1.1）表示小波變換是信號(hào)f(x)與被縮放和平移的小波函 數(shù)()之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和的結(jié)果。CWT的變換結(jié)果 是許多小波系數(shù)C，這些系數(shù)是縮放因子（scale）和平移（positon） 的函數(shù)。 2021/3/117 基本小波函數(shù)()的縮放和平移操作含義如下： (1) 縮放。簡(jiǎn)單地講， 縮放就是壓縮或伸展基本小波， 縮 放系數(shù)越小， 則小波越窄，如圖1.2所示。 圖1.2 小波的縮放操作 O O O f (t) f (t) f (t) t t t f (t)(t)；scale1 f (t)(2t)；scale0.5 f (t)(4t)；scale0.25 2021/3/118 (2

4、) 平移。簡(jiǎn)單地講，平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué) 上， 函數(shù)f(t)延遲k的表達(dá)式為f(t-k)，如圖1.3所示。 圖1.3 小波的平移操作 (a) 小波函數(shù)(t)； (b) 位移后的小波函數(shù)(t-k) Ot (t) Ot (t k) (a)(b) 2021/3/119 圖1.4 計(jì)算系數(shù)值C 原始信號(hào) 小波信號(hào) C0.0102 2021/3/1110 圖1.5 計(jì)算平移后系數(shù)值C 原 始 信 號(hào) 小 波 信 號(hào) 2021/3/1111 圖1.6 計(jì)算尺度后系數(shù)值C 原 始 信 號(hào) 小 波 信 號(hào) C 0.2247 2021/3/1112 圖1.7 小波分解示意圖 S AD 濾波器組 低通

5、高通 2021/3/1113 圖1.12 多層小波重構(gòu)示意圖 A3D3 A2D2 S A1D1 2021/3/1114 小波的時(shí)間和頻率特性小波的時(shí)間和頻率特性 運(yùn)用小波基，可以提取信號(hào)中的“指定時(shí)間”和“指定頻 率”的變化。 時(shí)間：提取信號(hào)中“指定時(shí)間”（時(shí)間A或時(shí)間B）的 變化。顧名思義，小波在某時(shí)間發(fā)生的小的波動(dòng)。 頻率：提取信號(hào)中時(shí)間A的比較慢速變化，稱較低頻 率成分；而提取信號(hào)中時(shí)間B的比較快速變化，稱較 高頻率成分。 時(shí)間A時(shí)間B 2021/3/1115 多分辨度分析（多分辨度分析（MRA） 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理 論，統(tǒng)一了幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域：包括 語(yǔ)音識(shí)別

6、中的鏡向?yàn)V波，圖象處理中 的金字塔方法，地震分析中短時(shí)波形 處理等。 當(dāng)在某一個(gè)分辨度檢測(cè)不到的現(xiàn)象， 在另一個(gè)分辨度卻很容易觀察處理。 例如： 2021/3/1116 2021/3/1117 參考： M. Vetterli, ”Wavelets and Subband Coding “, Prentice Hall PTR, 1995 p.11 2021/3/1118 小波的小波的3 個(gè)特點(diǎn)個(gè)特點(diǎn) 小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示 發(fā)生的時(shí)間。有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象 。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)） 小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度 不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽

7、取，噪聲 過(guò)濾等） 小波變換比快速Fourier變換還要快一個(gè)數(shù)量級(jí)。 信號(hào)長(zhǎng)度為M時(shí)， Fourier變換（左）和小波變 換（右）計(jì)算復(fù)雜性分別如下公式： MOMMO wf ,log 2 2021/3/1119 小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率 “時(shí)頻局域性” 圖解：Fourier變換的基（上）小波變換基（中） 和時(shí)間采樣基（下）的比較 傅里葉變換 (Fourier)基 小波基 時(shí)間采樣基 2021/3/1120 Haar小小波基母函數(shù)波基母函數(shù) （a）Haar “近似”基函數(shù) （b）Haar “細(xì)節(jié)”基 函數(shù) 低頻濾波系數(shù) 高頻濾波系數(shù) H0= 1 1 q H1= 1

8、-1 q = q q = q -q 其中： 7071. 02 q 2021/3/1121 Haar小波的基函數(shù)小波的基函數(shù) 第 1 行基函數(shù)是取平均（近似）， 第 2-8 行基函數(shù)是取變化（細(xì)節(jié)）。 細(xì)節(jié)包括變化速率和發(fā)生的時(shí)間。 H0= 1 1 q H1= 1 -1 q 尺度函數(shù) 近似基函數(shù) 小波函數(shù) 細(xì)節(jié)基函數(shù) 7071. 02 q 2021/3/1122 小波分析發(fā)展歷史小波分析發(fā)展歷史 1807年 Fourier 提出傅里葉分析 ， 1822年發(fā)表 “熱 傳導(dǎo)解析理論”論文 1910年 Haar 提出最簡(jiǎn)單的小波 1980年 Morlet 首先提出平移伸縮的小波公式，用 于地質(zhì)勘探。

9、1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波 基”，此后形成小波研究的高潮。 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理論（MRA） ，統(tǒng)一了語(yǔ)音識(shí)別中的鏡向?yàn)V波，子帶編碼 ，圖象處理中的金字塔法等幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng) 域。 2021/3/1123 小波基可以通過(guò)給定濾波系數(shù)生成小波基可以通過(guò)給定濾波系數(shù)生成 小波基（尺度函數(shù)和小波函數(shù)）可以通過(guò) 給定濾波系數(shù)生成。 有的小波基是正交的，有的是非正交的。 有的小波基是對(duì)稱的，有的是非對(duì)稱的。 小波的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以通過(guò)濾波 系數(shù)直接導(dǎo)出，而不需要確切知道小波基 函數(shù)，這是 I. Daubechies 等的重要發(fā)現(xiàn)，

10、使計(jì)算簡(jiǎn)化，是快速小波分解和重建的基 礎(chǔ)。 2021/3/1124 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(Haar-正交，對(duì)稱正交，對(duì)稱) “近似”基函 數(shù) “反變換” 低頻 和 高頻 “濾波系數(shù) ” “細(xì)節(jié)”基 函數(shù) Haar小波 “正變換” 低頻 和 高頻 “濾波系數(shù) ” 2021/3/1125 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db 2-正交，不對(duì)稱正交，不對(duì)稱 ) “近似”基函 數(shù) “細(xì)節(jié)”基 函數(shù) db小波 “反變換” 低頻 和 高頻 “濾波系數(shù) ” “正變換” 低頻 和 高頻 “濾波系數(shù) ” 2021/3/1126 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db 4-正

11、交，不對(duì)稱正交，不對(duì)稱) 2021/3/1127 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(sym 4-正交，近似對(duì)稱正交，近似對(duì)稱) 2021/3/1128 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior 2.4 雙正交，對(duì)稱雙正交，對(duì)稱) 2021/3/1129 小波基函數(shù)和濾波系數(shù)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior 6.8 雙正交，對(duì)稱雙正交，對(duì)稱) 2021/3/1130 2 2、小波、小波分析分析在一維信號(hào)處理中的應(yīng)用在一維信號(hào)處理中的應(yīng)用 小波變換小波變換就是將 “ 原始信號(hào) s ” 變換 成 “ 小波 系數(shù) w ” ，w=wa , wd 包括近似(approximation)系數(shù)

12、wa 與細(xì)節(jié)(detail)系數(shù)wd 近似系數(shù)wa-平均成分（低頻） 細(xì)節(jié)系數(shù)wd-變化成分（高頻） 2021/3/1131 小波原始信號(hào)分解過(guò)程：小波原始信號(hào)分解過(guò)程： 原始信號(hào)s可分解成小波近似 a 與小波細(xì)節(jié)d 之和。 s = a+d 小波系數(shù) w = wa , wd 的分量，乘以 基函數(shù)，形 成小波分解： 小波近似系數(shù)wa 基函數(shù)A=近似分解 a -平均 小波細(xì)節(jié)系數(shù)wd 基函數(shù)D=細(xì)節(jié)分解 d-變化 2021/3/1132 小波分解和小波分解和小波基小波基 小波基D 小波基A 原始信號(hào) 小波系數(shù)wd 小波系數(shù)wa 正變換：原始信號(hào)在小波基上，獲得 “小波系數(shù)”分量 反變換：所有“小波

13、分解” 合成原始信號(hào) 例如： 小波分解 a=小波系數(shù) wa 小波基A 2021/3/1133 離散小波變換公式離散小波變換公式 正變換 反變換 其中： 是小波基函數(shù) 參考“數(shù)字圖象處理”英文版,電子工業(yè)出版社,2002年 （R.C. Gonzalaz,”Digital Image Processing”，p.375) 信號(hào) s 有M個(gè)樣本，J 級(jí)小波變換： nDnA nDwnAwndnans JjnDnsw nAnsw wwwwMn jJ J j jjdJJa J j iJ jjd JJa dJdJaJ , 1 , ,., 1 11 1 小波分解 小波系數(shù) 2021/3/1134 一維信號(hào)小波

14、變換例子一維信號(hào)小波變換例子 Haar小波，例子： 16點(diǎn)信號(hào): 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 通過(guò)MATLAB實(shí)現(xiàn)(wavemenu) 波形圖 小波正變換：小波系數(shù)： 小波近似系數(shù)（加）；小波細(xì)節(jié)系數(shù)（減） 小波反變換：可以由分解信號(hào)恢復(fù)原始信號(hào)。 有2種：近似分解；細(xì)節(jié)分解 2021/3/1135 一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù)一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù) 原始信號(hào) 2級(jí)小波系數(shù) w2=w a2 , w d2 , w d1 * Haar是正交變換。除以常數(shù)，目的使變換后平方和不變。例如： 2 621

15、13411 28636 216282328 9331895658738956 1 2 2 d d a w w w s 2062121262288956 22 22 2222 16位 2級(jí)近似系數(shù) 2級(jí)細(xì)節(jié)系數(shù) 1級(jí)細(xì)節(jié)系數(shù) 16位 2021/3/1136 一維信號(hào)的二級(jí)小波變換分解一維信號(hào)的二級(jí)小波變換分解 2級(jí)近似分解 （原始信號(hào)每4個(gè)平均值） 2級(jí)細(xì)節(jié)分解 （原始信號(hào)每2個(gè)平均的差值） 1級(jí)細(xì)節(jié)分解 （原始信號(hào)單數(shù)和雙數(shù)的差值） 恢復(fù)信號(hào) 9331895658738956 26622111133441111 48888666633336666 41616161628282828232323

16、2328282828 122 1 2 2 ddas d d a 2021/3/1137 一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù)和分解一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù)和分解 原始信號(hào) 2級(jí)小波系數(shù) w2=w a2 , w d2 , w d1 2級(jí)近似分解 （原始信號(hào)每4個(gè)平均值） 2級(jí)細(xì)節(jié)分解 （原始信號(hào)每2個(gè)平均的差值） 1級(jí)細(xì)節(jié)分解 （原始信號(hào)單數(shù)和雙數(shù)的差值） 恢復(fù)信號(hào) 9331895658738956 26622111133441111 48888666633336666 416161616282828282323232328282828 262113411 28636 216282328 9331895

17、658738956 122 1 2 2 1 2 2 ddas d d a w w w s d d a 2021/3/1138 原始信號(hào)原始信號(hào) 16點(diǎn)點(diǎn) 16點(diǎn)原始信號(hào)點(diǎn)原始信號(hào) 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 2021/3/1139 兩級(jí)小波系數(shù)兩級(jí)小波系數(shù)16點(diǎn)點(diǎn) 原始信號(hào) 小波系數(shù) 262113411 28636 9331895658738956 1 2 d d w w s 原始信號(hào) (紅) 兩級(jí)小波系數(shù) wd1 wd2 |wd2 | |wd1 | 2021/3/1140 16點(diǎn)點(diǎn) 信號(hào)信號(hào) 的的Haar小波近似值和細(xì)節(jié)分解小波近似值和細(xì)節(jié)分解 兩級(jí)分解

18、26622111133441111 48888666633336666 416161616282828282323232328282828 9331895658738956 1 2 2 122 d d a ddas 2021/3/1141 小波小波去噪聲去噪聲 一般噪聲特點(diǎn)：一般噪聲特點(diǎn)： （1）高頻成分（細(xì)節(jié)） ，（2）幅度?。河瞄撝?； 去噪聲過(guò)程：去噪聲過(guò)程： 去除原始信號(hào)高頻成分（細(xì)節(jié)）中幅度小于閾值部分。 對(duì)2級(jí)小波，設(shè)定2個(gè)閾值，稱“閾值2” 和 “閾值1” 。 去除1級(jí)噪聲：去除1級(jí)小波細(xì)節(jié)分解中小于“閾值1”部分。 去除2級(jí)噪聲：去除2級(jí)小波細(xì)節(jié)分解中小于“閾值2”部分。 恢復(fù)：

19、恢復(fù)： 將小波近似分解，加上去噪聲后小波細(xì)節(jié)分解，即獲得去除噪聲 的信號(hào) 2021/3/1142 噪聲去除噪聲去除 418161515282828282323232328282828 262113411 28636 216282328 9331895658738956 122 1 2 2 ddas w w w s dn d d a 兩級(jí)分解 噪聲去除， 括號(hào)內(nèi)保留 部分?jǐn)?shù)據(jù) 原始信號(hào) (紅),去噪后 (黃) wd1 兩級(jí)小波系數(shù) wd2 2021/3/1143 小波小波去噪聲去噪聲16點(diǎn)點(diǎn) 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 |wd1 | 1級(jí)去噪前絕對(duì)值 |wd1

20、 | 1級(jí)去噪后絕對(duì)值 |wd2 | 2級(jí)去噪后絕對(duì)值 |wd2 | 2級(jí)去噪前絕對(duì)值 原始信號(hào) (紅),去噪后 (黃) 1 級(jí)細(xì)節(jié)小波系數(shù) 2 級(jí)細(xì)節(jié)小波系數(shù) 0.7071,1,-4,3,1,1,-2,- 6 0.5-6,-3,-6,-8 兩級(jí)小波系數(shù) 閾值1wd1 wd2閾值2 2021/3/1144 Haar小波小波去噪聲去噪聲 （16點(diǎn)信號(hào)）點(diǎn)信號(hào)） 16點(diǎn)原始信號(hào)點(diǎn)原始信號(hào) 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 小波去噪聲 兩級(jí)分解 2021/3/1145 一維信號(hào)的小波變換例子一維信號(hào)的小波變換例子 2 2 （電壓曲線電壓曲線） 通過(guò)MATLAB實(shí)現(xiàn)(wa

21、vemenu) 波形圖 ( MATLAB toolbox wavelet wavedemo leleccum.mat ) 是 “電網(wǎng)監(jiān)視的電壓曲線電網(wǎng)監(jiān)視的電壓曲線”，有4570個(gè)點(diǎn) Haar小波變換 2021/3/1146 haar 小波小波 (s= a2+ d2+d1 1) (wavemenu) leleccum Level 2 (s-原始信號(hào)，a2-近 似，d1 1-d2細(xì)節(jié)) 1 級(jí)細(xì)節(jié)分解 (奇偶數(shù)值的差) 2 級(jí) 細(xì)節(jié)分解 (前2和后2的差) 原始信號(hào) (紅) 2 級(jí)近似分解值 2 級(jí)小波分解 波形中的毛刺 (見(jiàn)下頁(yè)) 2021/3/1147 1 級(jí)細(xì)節(jié)分解 (奇偶數(shù)值的差) 2

22、級(jí)細(xì)節(jié)分解 (前2和后2的差) 原始信號(hào) (紅) 2 級(jí)近似分解值 2 級(jí)小波分解（放大） 波形中的毛刺 2021/3/1148 圖圖-5 haar (s= a5+ d5+.+d1 1) (wavemenu) leleccum Level 5 a5-近似， d5 5-d1細(xì) 節(jié) 附錄附錄-5 (wavemenu) leleccum haar Level 5 leleccum.mat 是有 36560個(gè)點(diǎn)的一維電壓 信號(hào)(s-原始信號(hào)，a1- 近似，d1-細(xì)節(jié)) 信號(hào)前2和后2的差-細(xì)節(jié)2 信號(hào)奇偶數(shù)值的差-細(xì)節(jié)1 原始信號(hào) 信號(hào)-近似值 5 級(jí)小波分解 2021/3/1149 小波小波去噪聲去

23、噪聲 leleccum haar 小波小波 兩級(jí)小波系數(shù) 1 級(jí)細(xì)節(jié)小波系數(shù) 2 級(jí)細(xì)節(jié)小波系數(shù) 黃虛線表示閾值 wd1 wd2 原始信號(hào) (紅), 去噪后 (黃) |wd1 | 1級(jí)去噪前絕對(duì)值 |wd1 | 1級(jí)去噪后絕對(duì)值 |wd2 | 2級(jí)去噪后絕對(duì)值 |wd2 | 2級(jí)去噪前絕對(duì)值 2021/3/1150 小波小波壓縮壓縮 leleccum haar 黃虛線表示閾值 1 級(jí)細(xì)節(jié)小波系數(shù) 2 級(jí)細(xì)節(jié)小波系數(shù) wd1 wd2 原始信號(hào) (紅), 壓縮后 (黃)兩級(jí)小波系數(shù) |wd1 | 1級(jí)去噪前絕對(duì)值 |wd1 | 1級(jí)去噪后絕對(duì)值 |wd2 | 2 級(jí)去噪后絕對(duì)值 |wd2 | 2

24、級(jí)去噪前絕對(duì)值 2021/3/1151 小波小波壓縮效果壓縮效果 leleccum haar 黃色虛線全局閾值（自動(dòng)分配兩級(jí)閾值） 紫色線相對(duì)能量百分比（能量盡量保持） 綠色線零數(shù)目百分比 (零數(shù)目愈大，壓縮愈明顯) 2021/3/1152 3 、小波小波分析分析在圖象處理中的應(yīng)用在圖象處理中的應(yīng)用 圖象是二維信號(hào)，其小波變換相當(dāng)于二 次一維信號(hào)的小波變換：。 （1）第一次一維信號(hào)的小波變換相當(dāng)于 圖象的行變換。 （2）第二次一維信號(hào)的小波變換相當(dāng)于 圖象的列變換。 小波變換用于圖象壓縮有良好的效果， 已形成圖象壓縮的標(biāo)準(zhǔn)如JPEG2000。 2021/3/1153 小波變換用于圖象特征抽取小

25、波變換用于圖象特征抽取 第1級(jí) 斜線細(xì)節(jié) 第1級(jí) 水平細(xì)節(jié) 第1級(jí) 垂直細(xì)節(jié) 水平細(xì)節(jié) 近似 圖象 垂直細(xì)節(jié) 斜線細(xì)節(jié) 2021/3/1154 第1級(jí) L1 斜線細(xì)節(jié) 第1級(jí) L1 水平細(xì)節(jié) 第1級(jí) L1 垂直細(xì)節(jié) 第2級(jí) L2細(xì)節(jié) 近似圖象 第3級(jí) L3 小波系數(shù)分級(jí)方塊表示法 2021/3/1155 第 3 級(jí) L3分辨率 第 2 級(jí) L2分辨率 第 1 級(jí) L1分辨率 小波系數(shù)分級(jí)樹(shù)形表示法 2021/3/1156 小波變換用于圖象壓縮小波變換用于圖象壓縮 采用小波進(jìn)行壓縮。作“小波變換”后，統(tǒng)計(jì)特 性有改善，消除行和列之間的相關(guān)關(guān)系。 有損壓縮：根據(jù)視覺(jué)原理，不同分辨率小波系 數(shù)進(jìn)行比

26、特分配。然后轉(zhuǎn)換到一維作熵編碼， 如算術(shù)編碼或霍夫曼編碼。 無(wú)損壓縮：選擇“整數(shù)小波變換”，無(wú)舍入誤差 。但不能進(jìn)行比特分配。 2021/3/1157 小波變換用于圖象壓縮小波變換用于圖象壓縮 第 3 級(jí) L3 水平、 斜線、垂直細(xì)節(jié) 第 2 級(jí) L2 水平、 斜線、垂直細(xì)節(jié) 第 1 級(jí) L1 水平、 斜線、垂直細(xì)節(jié) 兩閾值線 之間的直 方圖被去 除（有損 壓縮） 2021/3/1158 小波變換用于無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏小波變換用于無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏 無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏：是基于無(wú)損壓縮：選擇“整數(shù)小波變 換”，無(wú)舍入誤差。例如可以采用第二代小波。 無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏：避免在嵌入數(shù)據(jù)后小波反變換時(shí)圖象 灰度的溢出。小波變換前要作預(yù)處理，作直方圖調(diào) 整，將圖象中灰度出現(xiàn)少的數(shù)據(jù)，合并入隱藏?cái)?shù)據(jù) 。 第一個(gè)無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏是1999年科達(dá)公司發(fā)表的一個(gè)專 利。由于法律上原因，醫(yī)學(xué)圖象數(shù)據(jù)隱藏必須是無(wú) 損的。此外、無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏在電子銀行、電子政務(wù) 、電子商務(wù)、圖象建檔等有廣泛的用途。 2021/3/1159 數(shù)據(jù)嵌入數(shù)據(jù)嵌入核磁共振醫(yī)學(xué)圖象核磁共振醫(yī)學(xué)圖象 (可可無(wú)損恢復(fù)無(wú)損恢復(fù)) (水印圖象見(jiàn)下頁(yè)) (a)原始 (5125128) (b)小波域嵌入水印圖象 2021/3/1160 水印圖象水印圖象 (1921202 二值圖象) 2021/3/1161 小波變換用