微積分學(xué)基本定理

1、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析第三版上冊教案 第九章 定積分 黔西南民族師專數(shù)學(xué)系5 微積分學(xué)基本定理 定積分的計(jì)算（續(xù)）教學(xué)目的：掌握微積分學(xué)基本定理教學(xué)內(nèi)容：變上限的定積分；變下限的定積分；微積分學(xué)基本定理；積分第二中值定理，換元積分法；分部積分法；泰勒公式的積分型余項(xiàng)(1) 基本要求：掌握變限的定積分的概念；掌握微積分學(xué)基本定理和換元積分法及分部積分法(2) 較高要求：掌握積分第二中值定理和泰勒公式的積分型余項(xiàng)教學(xué)建議： (1) 微積分學(xué)基本定理是本節(jié)的重點(diǎn)，要求學(xué)生必須掌握微積分學(xué)基本定理完整的條件與結(jié)論(2) 積分第二中值定理和泰勒公式的積分型余項(xiàng)是本節(jié)的難點(diǎn)對較好學(xué)生要求他們了解這些

2、內(nèi)容教學(xué)程序：一 變限積分與原函數(shù)的存在性設(shè)在上可積，則對，在上也可積，于是，由， 定義了一個(gè)以積分上限為自變量的函數(shù)，稱為變上限的定積分.類似地，可定義變下限的定積分：，和統(tǒng)稱為變限積分.說明：由于 ，因此，只要討論變上限積分即可.定理9-9 若在上可積，則在上連續(xù).證明： 利用連續(xù)函數(shù)的定義及定積分的性質(zhì)即可證得.定理9-10 （原函數(shù)存在定理） 若函數(shù)在上連續(xù)，則在上處處可導(dǎo)，且，.證明：利用導(dǎo)數(shù)的定義及定積分的性質(zhì)即可得.說明：此定理溝通了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的關(guān)系；同時(shí)也證明了連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)這一結(jié)論，并以積分的形式給出了的一個(gè)原函數(shù).因此，該定理也稱之為微積分學(xué)基本定理.且得用它可以

3、給出牛頓-萊布尼茨公式的另一證明.積分第二中值定理Abel變換 ，令，則， 它實(shí)際上是分部積分公式 給定分割：令，之后的一種離散化形式.定理9.11（積分第二中值定理） 設(shè). （1）在單調(diào)下降，則,使得 . （2） 在單調(diào)上升，則，使得 .（3） 在單調(diào)，則，使得 .證（1） 令，記，給一個(gè)分割，記，在單調(diào)下降，所以可積，因而 當(dāng)時(shí). .若，則，可取任意值.若，使得，即. （2） 類似可證. （3）不妨設(shè)單調(diào)上升，令，單調(diào)上升，由（2），使得. .例1 在單調(diào)下降，求證 ， .證 二 定積分的換元積分法和分部積分法定理9-12 （定積分的換元積分法）若函數(shù)在上連續(xù)，在上連續(xù)可微，且滿足，則有定

4、積分的換元積分公式： .【證】由假設(shè)，必有原函數(shù)，不妨設(shè)的一個(gè)原函數(shù)，即.根據(jù)牛頓萊布尼茲公式，有另一方面，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，有由以上兩式知注意：在應(yīng)用中要注意定積分的換元公式與不定積分的換元公式的異同之處.例2計(jì)算.【解題要領(lǐng)】 令或即可.例3計(jì)算.【解題要領(lǐng)】 令，逆向應(yīng)用換元積分公式即可.例4計(jì)算.【解題要領(lǐng)】 先令，再令即可.定理9-13 （定積分的分部積分法） 若、為上的連續(xù)可微函數(shù)，則有定積分的分部積分公式： ，或 .【證】由于 及牛頓-萊布尼茲公式，有從而，根據(jù)定積分的線性性質(zhì)，有例5 .從這個(gè)例子，我們可以看出定積分和不定積分換元有兩點(diǎn)區(qū)別：1）不定積分換元

5、是作為整體的變量替換，定積分是作為一個(gè)特定區(qū)間上的變量替換，有時(shí)前者行不通而后者卻可以進(jìn)行； 2）不定積分換元后必須換回去，而定積分換元不必，只要把定積分值算出來就行了.例 6 1. 偶函數(shù)，則 .2. ，奇函數(shù) ，則 . 例 7 解 ， ， . .例8 解 ， ， .所以 ， .例 9 (J.Wallis公式) 證 時(shí)，有， 采用例4中的記號(hào)我們可得， 所以 三 泰勒公式的積分型余項(xiàng)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，令，則 .其中即為的泰勒公式的階余項(xiàng).由此可得，即為泰勒公式的積分型余項(xiàng). 由于連續(xù)，在（或）上保持同號(hào)，故若應(yīng)用推廣的第一積分中值定理于積分型余項(xiàng)，可知，使得 .即為拉格朗日型

6、余項(xiàng). 若直接應(yīng)用積分第一中值定理于積分型余項(xiàng)，可得 ，其中，. 而，故 ，稱為泰勒公式的柯西型余項(xiàng). 特別地，當(dāng)時(shí)，柯西型余項(xiàng)變?yōu)椋?，.積分余項(xiàng)的 Taylor 公式引理 ， ，有，證 .定理 設(shè)，則 ，其中 ，.證 時(shí)， .設(shè)時(shí)成立，即 . .推論： Lagrange余項(xiàng)，介于，之間.作業(yè):P229 1-7（2） 定積分的計(jì)算利用牛頓萊布尼茲計(jì)算定積分的關(guān)鍵是求被積函數(shù)的不定積分，而換元積分法和分部積分分法是求不定積分的基本方法，下面我們把這兩種方法進(jìn)一步推廣到定積分上去.一 定積分的換元積分法應(yīng)用換元積分法計(jì)算定積分時(shí)，變換過程和求不定積分的換元積分法是一樣的.在不定積分時(shí)，積分后要換

7、回原來的積分變量.但在定積分利用換元積分法時(shí)，相應(yīng)的改變積分的上、下限.不必再換回到原來的積分變量，可以簡化定積分的計(jì)算.【例9.5.1】計(jì)算【解】作變量代換.當(dāng)x從4連續(xù)增加到9，從2連續(xù)增加到3，即當(dāng).因此.一般定積分的換元積分法敘述如下：【定理5.1】設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)可微，且當(dāng)時(shí)，則(9.5.1)【證】由假設(shè)，必有原函數(shù)，不妨設(shè)的一個(gè)原函數(shù)，即.根據(jù)牛頓萊布尼茲公式，有（9.5.2）另一方面，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，有（9.5.3）由式（9.5.2）和式（9.5.3）知【例9.5.2】計(jì)算.【解】令，于是 【例9.5.3】計(jì)算.【解】令，且時(shí)，時(shí)，于是初學(xué)者可能把的

8、右端誤寫為，這樣算出的結(jié)果是.其實(shí)只須認(rèn)真觀察就可以避免這個(gè)錯(cuò)誤，因?yàn)楸环e函數(shù)在上變化是正的，所以積分值不可能小于零.【例9.5.4】計(jì)算【解】令當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是有時(shí)不定積分計(jì)算很復(fù)雜，甚至“積不出來”（即不定積分不是初等函數(shù)），但用換元積分法可以把其定積分求出，請看下例.【例9.5.5】計(jì)算下列定積分（1）（2）【解】令則于是從而故（2）令，則.于是故 【例9.5.6】求證（9.5.4）并計(jì)算.【證】令，有故 由公式（5.4），得【例9.5.7】 證明：若函數(shù)，則（1） 若，則；（2） 若，則.【證】由9.3節(jié)性質(zhì)3，知（5.6）（1）若令積分從而根據(jù)式（9.5.6），有（2） 若，令，積

9、分再根據(jù)式（9.5.6），有【例9.5.8】 計(jì)算下列積分（1）（2）【解】（1）記，則，故函數(shù)上奇函數(shù)，而積分區(qū)間是以原點(diǎn)為中心的對稱區(qū)間，故由例9.5.6，得（2）設(shè)，由于定義在與原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的函數(shù)總可以表示為一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和，即這里為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，由例9.5.6可知，在上的積分為零而為偶函數(shù)，由例9.5.6，得【例9.5.9】 證明若函數(shù)是以為周期的可積函數(shù)，則 （9.5.7）【證】由于對上式的最后一個(gè)積分作換元，有于是 周期函數(shù)的這個(gè)積分性質(zhì)的幾何意義是明顯的，如圖5.1所式，在與上的兩塊陰影部分的面積是相等的.【例9.510】若函數(shù)是以T（）為周期的連續(xù)函數(shù)，求證【證】使得，可見.已知函數(shù)在上有界，設(shè)，則，有=【例9.511】設(shè)函數(shù)連續(xù)，且已知，求【解】令，則=于是=對上式兩端關(guān)于x求導(dǎo)，得=即 令，得 二 定積分的分部積分法【定理9.5.2】設(shè)函數(shù)則 （9.5.8）【證】由于 及牛頓-萊布尼茲公式，有從而，根據(jù)定積分的線性性質(zhì)，有【例9.512】計(jì)算下列定積分 【解】=在實(shí)際運(yùn)算中，經(jīng)常將換元積分法和分部積分法結(jié)合起來使用.如