圓的最值問題精編版

1、練習(xí)練習(xí):如圖如圖,等腰梯形等腰梯形ABCD的底邊長分別為的底邊長分別為6和和4,高為高為3,求這個等腰梯形的外接圓的方程求這個等腰梯形的外接圓的方程,并求這個并求這個圓的圓心坐標(biāo)和半徑長圓的圓心坐標(biāo)和半徑長.3( 2,3) (2,3)( 3,0) (3,0)解解:設(shè)圓的方程為設(shè)圓的方程為:220 xyDx Ey F 因為因為A,B,C都在圓上都在圓上,所以其坐標(biāo)所以其坐標(biāo)都滿足圓的方程都滿足圓的方程,即即9 309 3013 430D FD FDE F 40,93DEF 圓的方程圓的方程:2249 03xyy 即即:22285()39xy 圓心圓心:半徑半徑:8532(0, )3三角形和四邊

2、形內(nèi)接于圓 1、不共線的三個點內(nèi)接于唯一一個圓，外接圓圓心是三邊垂直平分線交點 2、四邊形和內(nèi)接圓 （1）、不是所有四邊形有內(nèi)接圓 （2）、判斷方法： 方法一、由三點求出圓的方程，再代入第四點判斷 方法二、對角和為180的四邊形有外接圓對稱問題對稱問題 1. 點點 關(guān)于原點的對稱點為關(guān)于原點的對稱點為 ; 2. 點點 關(guān)于點關(guān)于點 的對稱點為的對稱點為 ; 3. 點點 關(guān)于關(guān)于x軸的對稱點為軸的對稱點為 ; 4. 點點 關(guān)于關(guān)于y軸的對稱點為軸的對稱點為 ; 5. 點點 關(guān)于關(guān)于y=x的對稱點為的對稱點為 ; 6. 點點 關(guān)于關(guān)于y= -x的對稱點為的對稱點為 ; 7. 點點 關(guān)于關(guān)于x=m的

3、對稱點為的對稱點為 ; 8. 點點 關(guān)于關(guān)于y=n的對稱點為的對稱點為 ;( , )a b),(ba(-a,-b),(ba),(nm(2m-a,2n-b) ),(ba),(ba),(ba),(ba),(ba),(ba(a,-b)(b,a)(-b,-a)(2m-a,b)(-a,b)(a,2n-b)對稱有關(guān)知識：對稱有關(guān)知識：1、直線互相垂直的條件：、直線互相垂直的條件：_2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中點坐標(biāo)為的中點坐標(biāo)為 _3、點、點 ( x o，yo ) 在直線在直線 Ax + By + C = 0 上的上的條件是條件是 _斜率存在，斜率存在，k1k2=1Axo +

4、 Byo + C = 0)2,2(2121yyxx 4、點到直線距離公式：、點到直線距離公式： ，0022AxByCdAB5、兩平行直線間的距離：、兩平行直線間的距離： ，2122CCdAB注意：用該公式時應(yīng)先將直線方程化為一般式；注意：用該公式時應(yīng)先將直線方程化為一般式；例例2.已知點已知點A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-4,4)，直線，直線l l 的方的方 程為程為3x+y-2=0,求點求點A關(guān)于直線關(guān)于直線l l 的的 對稱點對稱點A的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。 點關(guān)于直線對稱點關(guān)于直線對稱解題要點解題要點： k kAA = -1 AA中點在中點在l l 上上 AAYXO-3y-4x-(-4)=-13-4+x

5、 2+4+y 2-2=0(x，y)(2，6)解：設(shè)解：設(shè) A（x,y)則則 （L為對稱軸）為對稱軸）與圓相關(guān)的最值 思路： 1、幾何分析，利用圓的幾何圖形，直觀觀察 2、代數(shù)求值，利用圓的方程，利用代數(shù)方法求，如二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等，注意x和y的取值范圍PABCxyO|AB|最短、最短、|AC|最長最長D 定點與圓上的點的距離定點與圓上的點的距離的最大值與最小值的最大值與最小值xyOABC |AB|最短、最短、|AC|最長最長PDE 定直線與圓上點的距離定直線與圓上點的距離的最大值與最小值的最大值與最小值到圓上一點距離的最值問題：圓上的點到直線（或點）的最近（遠(yuǎn)）距離為圓心到圓上的

6、點到直線（或點）的最近（遠(yuǎn)）距離為圓心到直線（點）的距離減去（加上）半徑直線（點）的距離減去（加上）半徑 二、到圓上一點距離的最值問題：二、到圓上一點距離的最值問題：2221:250PxyQl xyPQ 例 ：已知 是圓上一點， 是直線上一點，求的最小值。0,01,CrCHlH解：圓心,半徑作與.PQCQCQCQCH求圓上一點 到 的距離可以轉(zhuǎn)化為圓心 到 的距離，而的最小值就是圓心到直線的距離點評：到圓上一點距離的最值問題總是轉(zhuǎn)化為到圓心距離的最值問題。221100515112PQCQCH PQ的最小值為 5-12222,(1)1,21 34 2 31x yxyyxyxyx練習(xí)1：求實數(shù)滿足

7、求下列各式的最值：（）（ ）（ ）2222222()(1)1xyxyxy法二：可看作圓上的點到坐標(biāo)原點距離的平方的最值，亦可求解yxo1線性相關(guān)有關(guān)的最值問題的常用方法線性相關(guān)有關(guān)的最值問題的常用方法(2)形如形如taxby型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題的截距的最值問題(3)形如形如(xa)2(yb)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點（點（x,y)到定點到定點(a,b)的距離的最值問題即的距離的最值問題即 (xa)2(yb)2動點（動點（x,y)到定點到定點(a,b)的距離的平方的距離的平方2222,(1)1,21 34 2 31x

8、yxyyxyxyx練習(xí)1：求實數(shù)滿足求下列各式的最值：（）（ ）（ ）2222222()(1)1xyxyxy法二：可看作圓上的點到坐標(biāo)原點距離的平方的最值，亦可求解yxo1222231,0 ,1,0344ABxyPPAPBP例：已知定點和圓上的動點 ，求使最值時點 的坐標(biāo)。22222222,1121P x yPAPBxyxyxy解：設(shè)2222344xyxyPO上式中相當(dāng)于在上的點 到原點 的距離的平方。 220,0 , 3,4OP x yxy作圖不難知道，當(dāng)共線時,有最值。22229 12,5 521 28,55PxyPxy易求得時,最小為20求得時,最大為1002221:250PxyQl xyPQ 例 ：已知 是圓上一點， 是直線上一點，求的最小值。0,01,CrCHlH解：圓心,半徑作與.PQCQCQCQCH求圓上一點 到 的距離可以轉(zhuǎn)化為圓心 到 的距離，而的最小值就是圓心到直線的距離點評：到圓上一點距離的最值問題總是轉(zhuǎn)化為到圓心距離的最值問題。221100515112PQCQCH PQ的最小值為 5-1解決與圓有關(guān)的最值問題的常用方法解決與圓有關(guān)的最值問題的常用方法(2)形如形如taxby型的最值問