三角形全等的證明專題與初中數(shù)學定理公式匯編

1、作者：su.15整理su.15 豆丁網(wǎng)-歡迎大家更多內(nèi)容盡在三角形全等的證明專題三角形全等是證明線段相等，角相等最基本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來那么我們應(yīng)該怎樣應(yīng)用三角形全等的判別方法呢？（1）條件充足時直接應(yīng)用在證明與線段或角相等的有關(guān)問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等，而從近年的中考題來看，這類試題難度不大，證明兩個三角形的條件比較充分只要同學們認真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等例1 已知：如圖1，ceab于點e，bdac于點

2、d，bd、ce交于點o，且ao平分bac那么圖中全等的三角形有_對（2）條件不足，會增加條件用判別方法此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補充使三角形全等的條件解這類問題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案例2 如圖2，已知ab=ad，1=2，要使abcade，還需添加的條件是（只需填一個）_（3）條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線用判別方法在證明兩個三角形全等時，當邊或角的關(guān)系不明顯時，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等例3 已知：如圖3，

3、ab=ac，1=2求證：ao平分bac分析：要證ao平分bac，即證bao=bco，要證bao=bco，只需證bao和bco所在的兩個三角形全等而由已知條件知，只需再證明bo=co即可（4）條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，會通過構(gòu)造全等三角形用判別方法有些幾何問題中，往往不能直接證明一對三角形全等，一般需要作輔助線來構(gòu)造全等三角形 例4 已知：如圖4，在rtabc中，acb=90，ac=bc，d為bc的中點，cead于e，交ab于f，連接df求證：adc=bdf說明：常見的構(gòu)造三角形全等的方法有如下三種：涉及三角形的中線問題時，常采用延長中線一倍的方法，構(gòu)造出一對全等三角形；涉及角平分線問題時，

4、經(jīng)過角平分線上一點向兩邊作垂線，可以得到一對全等三角形；證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補短”法可以構(gòu)造一對全等三角形（5）會在實際問題中用全等三角形的判別方法新課標強調(diào)了數(shù)學的應(yīng)用價值，注意培養(yǎng)同學們應(yīng)用數(shù)學的意識，形成解決簡單實際問題的能力在近年中考出現(xiàn)的與全等三角形有關(guān)的實際問題，體現(xiàn)了這一數(shù)學理念，應(yīng)當引起同學們的重視例5 要在湖的兩岸a、b間建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量a，b兩點間的距離請你用學過的數(shù)學知識按以下要求設(shè)計一測量方案(1)畫出測量圖案(2)寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示） 圖5 (3)計算a、b的距離（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）分析：可

5、把此題轉(zhuǎn)化為證兩個三角形全等第(1)題，測量圖案如圖5所示第(2)題，測量步驟：先在陸地上找到一點o，在ao的延長線上取一點c，并測得oc=oa，在bo的延長線上取一點d，并測得od=ob，這時測得cd的長為，則ab的長就是第(3)題易證aobcod，所以ab=cd，測得cd的長即可得ab的長解：(1)如圖6示(2)在陸地上找到可以直接到達a、b的一點o，在ao的延長線上取一點c，并測得ocoa，在bo的延長線上取一點d，并測得odob，這時測出cd的長為，則ab的長就是(3)理由：由測法可得oc=oa，od=ob又cod=aob，codaobcd=ab=（注意書寫格式和書寫過程，一定要嚴謹！

6、） 圖6 評注：本題的背景是學生熟悉的，提供了一個學生動手操作的機會，重點考查了學生的操作能力，培養(yǎng)了學生用數(shù)學的意識練習1已知：如圖，d是abc的邊ab上一點，abfc，df交ac于點e，de=fe 求證：ae=ce2如圖，在abc中，點e在bc上，點d在ae上，已知abd=acd，bde=cde求證：bd=cd 3用有刻度的直尺能平分任意角嗎？下面是一種方法：如圖所示，先在aob的兩邊上取op=oq，再取pm=qn，連接pn、qm，得交點c，則射線oc平分aob你能說明道理嗎？ 4如圖，abc中，ab=ac，過點a作gebc，角平分線bd、cf相交于點h，它們的延長線分別交ge于點e、g試

7、在圖10中找出3對全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明 5已知：如圖，點c、d在線段ab上，pc=pd請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明所添條件為_，你得到的一對全等三角形是_ 7如圖，在abd和acd中，ab=ac，b=c求證：abdacd 8如圖14，直線ad與bc相交于點o，且ac=bd，ad=bc求證：co=do9已知abc，ab=ac，e、f分別為ab和ac延長線上的點，且be=cf，ef交bc于g求證：eg=gf 10已知：如圖16，ab=ae，bc=ed，點f是cd的中點，afcd求證：b=e 11如圖17，某同學把一把三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃

8、店去配一塊大小形狀完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（ ）(a)帶和去 (b)帶去 (c)帶去 (d)帶去 12有一專用三角形模具，損壞后，只剩下如圖中的陰影部分，你對圖中做哪些數(shù)據(jù)度量后，就可以重新制作一塊與原模具完全一樣的模具，并說明其中的道理 初中數(shù)學定理 公式匯編一、數(shù)與代數(shù)1 數(shù)與式（1） 實數(shù)實數(shù)的性質(zhì)：實數(shù)a的相反數(shù)是a，實數(shù)a的倒數(shù)是（a0）；實數(shù)a的絕對值：正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，兩個負實數(shù)，絕對值大的反而小。二次根式：積與商的方根的運算性質(zhì)：（a0，b0）；（a0，b0）；二次根式的性質(zhì)：（2）整式與分式同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即（m、n為正整

9、數(shù)）；同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（a0，m、n為正整數(shù)，mn）；冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（n為正整數(shù)）；零指數(shù)：（a0）；負整數(shù)指數(shù)：（a0，n為正整數(shù)）；平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方，即；完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍，即；分式分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變，即；，其中m是不等于零的代數(shù)式；分式的乘法法則：；分式的除法法則：；分式的乘方法則：（n為正整數(shù)）；同分母分式加減法則：；異分母分式加減法則：；2 方程

10、與不等式一元二次方程(a0）的求根公式：一元二次方程根的判別式：叫做一元二次方程（a0）的根的判別式：方程有兩個不相等的實數(shù)根；方程有兩個相等的實數(shù)根；方程沒有實數(shù)根；一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)、是方程 （a0）的兩個根，那么+=，=；不等式的基本性質(zhì)：不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變；3 函數(shù)一次函數(shù)的圖象：函數(shù)y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)的圖象是過點（0，b）且與直線y=kx平行的一條直線；一次函數(shù)的性質(zhì)：設(shè)y=kx+b（k0），則當k0

11、時，y隨x的增大而增大；當k0時，y隨x的增大而增大；當k0，則當x0時或x0時，y分別隨x的增大而減?。蝗绻鹝0時或x0時，拋物線開口向上，當a0時，如果，則y隨x的增大而減小，如果，則y隨x的增大而增大；當a0時，如果，則y隨x的增大而增大，如果，則y隨x的增大而減小；二、空間與圖形1 圖形的認識(1)角角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊距離相等，角的內(nèi)部到兩邊距離相等的點在角平分線上。(2)相交線與平行線同角或等角的補角相等，同角或等角的余角相等；對頂角的性質(zhì)：對頂角相等垂線的性質(zhì)：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；直線外一點有與直線上各點連結(jié)的所有線段中，垂線段最短；線段垂直

12、平分線定義：過線段的中點并且垂直于線段的直線叫做線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線；平行線的定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線；平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；平行線的特征：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；平行公理：經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線。(3)三角形三角形的三邊關(guān)系定理及推論：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角的和等于；三

13、角形的外角和定理：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個的和；三角形的外角和定理推理：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角；三角形的三條角平分線交于一點（內(nèi)心）；三角形的三邊的垂直平分線交于一點（外心）；三角形中位線定理：三角形兩邊中點的連線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；全等三角形的判定：邊角邊公理（sas）角邊角公理（asa）角角邊定理（aas）邊邊邊公理（sss）斜邊、直角邊公理（hl）等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）等腰三角形的判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形；直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的

14、兩個銳角互為余角；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）；直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形；如果三角形的三邊長a、b 、c有下面關(guān)系，那么這個三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。(4)四邊形多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于（n3，n是正整數(shù)）；平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對角線互相平分；平行四邊形的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行

15、且相等的四邊形是平行四邊形。矩形的性質(zhì)：（除具有平行四邊形所有性質(zhì)外）矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等；矩形的判定：有三個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形；菱形的特征：（除具有平行四邊形所有性質(zhì)外菱形的四邊相等；菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角；菱形的判定：四邊相等的四邊形是菱形；正方形的特征：正方形的四邊相等；正方形的四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；正方形的判定：有一個角是直角的菱形是正方形；有一組鄰邊相等的矩形是正方形。等腰梯形的特征:等腰梯形同一底邊上的兩個內(nèi)角相等等腰梯形的兩條對角線相等。

16、等腰梯形的判定：同一底邊上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形；兩條對角線相等的梯形是等腰梯形。平面圖形的鑲嵌：任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面；(5)圓點與圓的位置關(guān)系（設(shè)圓的半徑為r，點p到圓心o的距離為d）：點p在圓上，則d=r，反之也成立；點p在圓內(nèi)，則dr，反之也成立；圓心角、弦和弧三者之間的關(guān)系：在同圓或等圓中，圓心角、弦和弧三者之間只要有一組相等，可以得到另外兩組也相等；圓的確定：不在一直線上的三個點確定一個圓；垂徑定理（及垂徑定理的推論）：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。黄叫邢見A等弧：圓的兩條平行弦所夾的弧相等；圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)；圓

17、心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理及推論：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦的弦心距相等；推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等；圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半；圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，反過來，的圓周角所對的弦是直徑；切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑；切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，這一點到兩切點的線段相等，它與圓心的連線平分兩切線的夾角；弧長計算公式：（r為圓的半徑，n是弧所對的圓心

18、角的度數(shù)，為弧長）扇形面積：或（r為半徑，n是扇形所對的圓心角的度數(shù)，為扇形的弧長）弓形面積(6)尺規(guī)作圖（基本作圖、利用基本圖形作三角形和圓）作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角；作已知角的平分線；作線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線；(7)視圖與投影畫基本幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）；基本幾何體的展開圖（除球外）、根據(jù)展開圖判斷和設(shè)別立體模型；2.圖形與變換圖形的軸對稱軸對稱的基本性質(zhì)：對應(yīng)點所連的線段被對稱軸平分；等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓是軸對稱圖形；圖形的平移圖形平移的基本性質(zhì)：對應(yīng)點的連線平行且相等；圖形的旋轉(zhuǎn)圖

19、形旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等；平行四邊形、矩形、菱形、正多邊形（邊數(shù)是偶數(shù)）、圓是中心對稱圖形；圖形的相似比例的基本性質(zhì)：如果，則，如果，則相似三角形的設(shè)別方法：兩組角對應(yīng)相等；兩邊對應(yīng)成比例且夾角對應(yīng)相等；三邊對應(yīng)成比例相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等；相似三角形的對應(yīng)邊成比例；相似三角形的周長之比等于相似比；相似三角形的面積比等于相似比的平方；相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等；相似多邊形的對應(yīng)邊成比例；相似多邊形的面積之比等于相似比的平方；圖形的位似與圖形相似的關(guān)系：兩個圖形相似不一定是位似圖形，兩個位似圖形一定是相似圖形；rtabc中，c=，sina=，cosa=, tana=,cota=特殊角的三角函數(shù)值：sincostan1cot1三、概率與統(tǒng)計1統(tǒng)計數(shù)據(jù)收集方法、數(shù)據(jù)的表示方法（統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖）（1）總體與樣本所要考察對象的全體叫做總體，其中