人教版高中數(shù)學(xué)必修⑤2.5《等比數(shù)列的前n項和》教學(xué)設(shè)計

1、課題：必修2.5等比數(shù)列的前n項和三維目標(biāo)： 1、 知識與技能（1）理解等比數(shù)列前 項和的定義以及等比數(shù)列前 項和公式推導(dǎo)的過程，并理解推導(dǎo)此公式的方法錯位相減法，記憶公式的兩種形式；（2）用方程思想認(rèn)識等比數(shù)列前 項和的公式，利用公式求sn 、a1、q 、n、 an；等比數(shù)列通項公式與前 項和的公式兩套公式涉及五個字母，已知其中三個量求另兩個值； （3）會用等比數(shù)列的前項和公式解決一些簡單的與前項和有關(guān)的問題.2、過程與方法（1）經(jīng)歷等比數(shù)列前n 項和的推導(dǎo)與靈活應(yīng)用，總結(jié)數(shù)列的求和方法，從“錯位相減法”這種算法中，體會“消除差別”，培養(yǎng)化簡的能力；并能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系建立數(shù)學(xué)

2、模型、解決求和問題。在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。（2）通過公式的推導(dǎo)過程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對稱美；通過有關(guān)內(nèi)容在實際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活的實用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并運用數(shù)學(xué)知識和方法科學(xué)地解決問題.（3）培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣以及解題的規(guī)范性。（4）通過公式的推導(dǎo)過程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對稱美；通過有關(guān)內(nèi)容在實際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活的實用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并運用數(shù)學(xué)知識

3、和方法科學(xué)地解決問題.3、情態(tài)與價值觀(1) 通過對數(shù)列知識的進一步學(xué)習(xí)，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、合作交流、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，提高參與意識和合作精神；（2）通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感, 形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識，培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，體驗在學(xué)習(xí)中獲得成功的成就感，為遠大的志向而不懈奮斗。 教學(xué)重點：等比數(shù)列前 項和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用教學(xué)難點：公式推導(dǎo)的思路及綜合運用教 具：多媒體、實物投影儀教學(xué)方法：合作探究、分層推進教學(xué)法教學(xué)過程：一、雙基回眸 科學(xué)導(dǎo)入：前面，我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的概念、通項公式

4、及其有關(guān)性質(zhì)，并運用這些知識解決了許多的實際問題，請同學(xué)們回顧一下學(xué)過的等比數(shù)列基本知識和性質(zhì)： 等比數(shù)列定義：即(n2) 由三個數(shù)a，g，b組成的等比數(shù)列可以看成最簡單的等比數(shù)列，這時，g叫做a與b的等比中項。 等比數(shù)列通項公式：(n1) 在等比數(shù)列中， 若m + n= p + q 則 前面，我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的前n項和，那么等比數(shù)列的前n項和有公式嗎？等比數(shù)列的前n項和在實際中應(yīng)用廣泛嗎？利用課本p55“國王對國際象棋的發(fā)明者的獎勵”引發(fā)學(xué)生探求問題的積極性：如果把各格所放的麥粒數(shù)看成是一個數(shù)列，我們可以得到一個等比數(shù)列，它的首項是1，公比是2，求第一個格子到第64個格子各格所放的麥粒數(shù)總

5、合就是求這個等比數(shù)列的前64項的和。這需要等比數(shù)列的前n項和公式。怎樣推導(dǎo)呢？這就是我們今天探索的問題。二、 創(chuàng)設(shè)情境 合作探究：等比數(shù)列的前n項和公式推導(dǎo)：【方法一】一般地，設(shè)等比數(shù)列它的前n項和是【引領(lǐng)學(xué)生合作探究、推導(dǎo)】由等比數(shù)列的通項公式,上式可以寫成sn= a1+a1q + a1q2 +a1qn-1 式兩邊同乘以公比q 得 qsn= a1q+ a1q2 +a1qn-1+ a1qn ,的右邊有很多相同的項,用的兩邊分別減去的兩邊,得 (1-q)sn= a1a1qn 當(dāng)時，sn= （q1）又an =a1qn-1 所以上式也可寫成 sn=（q1）有了等比數(shù)列的前n項和公式，就可以解決剛才的

6、問題：由可得=。這個數(shù)很大，超過了。國王不能實現(xiàn)他的諾言?！军c評】當(dāng)q=1時，等比數(shù)列的前n項和公式為sn=na1 公式可變形為sn=（思考q1和q1時分別使用哪個方便） 如果已知a1, an,q,n,sn五個量中的任意三個就可以求出其余兩個根據(jù)學(xué)生情況一起探索下列方法：【方法二】有等比數(shù)列的定義，根據(jù)等比的性質(zhì)，有即 當(dāng)時， 或 當(dāng)q=1時，圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運用等比定理，導(dǎo)出了公式【方法三】 （結(jié)論同上）【小試牛刀】1.根據(jù)下列各題的條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列an的前n項和。2.（2009浙江理）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為，則 3.（2007重慶）在等比數(shù)列an中，a28，a

7、564，則公比q為（）a2 b3 c4 d8三、互動達標(biāo) 鞏固所學(xué)： 問題.1求下列等比數(shù)列的前8項和：【分析】求出公比，直接運用公式計算即可：【解析】（1）因為所以，當(dāng)n=8時， （2）又題意可得： 又由q 0 ,可得 于是【點評】評注:第(2)題已知a1=27,n=8,還缺少一個已知條件,由題意顯然可以通過解方程求得公比q,題設(shè)中要求q0,一方面是為了簡化計算,另一方面是想提醒學(xué)生q既可以為正數(shù),又可以為負(fù)數(shù).問題.2某商場第一年銷售計算機5000臺,如果平均每年的銷售量比上一年增加10%,那么從第一年起,約幾年內(nèi)可使總銷售量達到30000臺(保留到個位)?【分析】根據(jù)題意，每年銷售量比上

8、一年增加的百分率相同，所以，從今年起，每年的銷售量組成一個等比數(shù)列?！窘馕觥坑深}意,從第1年起,每年的銷售量組成一個等比數(shù)列兩邊取常用對數(shù)，得 (年)答：約5年可以使總銷售量量達到30000臺【點評】先根據(jù)題意將實際問題轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列的前n項和問題，然后利用等比數(shù)列的前n項公式列方程,再用對數(shù)的知識解方程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實際問題的解決思想和運算能力的培養(yǎng)。問題.3為了估計函數(shù)在第一象限的圖像與x軸、y軸圍成的區(qū)域的面積x,把x軸上的區(qū)間0,3分成n等份，從各個分點作y軸的平行線與函數(shù)圖像相交，再從各交點向左作x軸的平行線，構(gòu)成（n-1）個矩形，下面的程序用來計算（n-1）個矩形的面積的和s.y

9、osum=0k=1input nwhile k=n-1an=(9-(9*3/n)2)*3/n sum=sum+anprint k,an,sumk=k+1wendend閱讀程序，回答下面的問題：（1）程序中的an,sum分別表示什么，為什么？（2）請根據(jù)程序計算當(dāng)n=6,11,16時，各個矩形的面積的和（不必在計算機上運行）.【分析】首先應(yīng)根據(jù)所給的程序，結(jié)合圖形，搞清an=(9-(9*3/n)2)*3/n 的含義，sum的含義也就隨之而知了【解析】經(jīng)過分析，知：an表示第k個矩形的面積；sum表示前k個矩形的面積的和（祥見課本第58頁）【點評】此題的出現(xiàn)，為后面學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識做好了鋪墊。四、思悟小結(jié)：知識線：（1）等比數(shù)列前 項和的定義； （2）等比數(shù)列前 項和公式；（3）相關(guān)的等比數(shù)列的性質(zhì)。思想方法線： （1）公式法及錯位相減法； （2）方程思想；（3）整體思想；（4）函數(shù)思想。題目線：（1）利用等比數(shù)列的通項公式、前 項和公式解決關(guān)于前 項和的基本問題；（2）利用等比數(shù)列的通項公式、前 項和公式解決上述問題的逆向問題；（3）實際問題；（4）相關(guān)的綜合問題。五、針對訓(xùn)練 鞏固提高：1.(2007湖南) 在等比數(shù)列中，若，則該數(shù)列的前10項和為（）a b c d2.（2009