直角三角形和勾股定理

1、【同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 直角三角形和勾股定理【教學(xué)目標(biāo)】 1. 知識(shí)與技能 （1）掌握判定直角三角形全等的條件和直角三角形的性質(zhì)。 （2）掌握角平分線性質(zhì)的逆定理。 （3）掌握勾股定理及其逆定理。 2. 過(guò)程與方法 （1）經(jīng)歷探索直角三角形全等條件的過(guò)程，把握直角三角形全等的條件，并能靈活地解決一些問(wèn)題。 （2）通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)掌握勾股定理的推導(dǎo)和證明思想，靈活準(zhǔn)確地應(yīng)用勾股定理的推導(dǎo)和證明思想，靈活準(zhǔn)確地應(yīng)用勾股定理判定三角形為直角三角形。 3. 情感態(tài)度與價(jià)值觀 （1）通過(guò)學(xué)習(xí)進(jìn)一步培養(yǎng)動(dòng)手操作的能力和鍥而不舍的探索意識(shí)。 （2）在觀察、操作、推理等探索過(guò)程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿

2、了探索性、知識(shí)性、趣味性，同時(shí)又具有嚴(yán)密的邏輯性，當(dāng)然，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題又都源于生活實(shí)際，由此引出相關(guān)的內(nèi)容，以培養(yǎng)大家應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 重點(diǎn)： 直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形全等的判定及其應(yīng)用。 2. 難點(diǎn)： 直角三角形的性質(zhì)和判定以及直角三角形全等的判定定理及其應(yīng)用?！窘虒W(xué)知識(shí)要點(diǎn)】 1. 直角三角形的性質(zhì)： （1）在直角三角形中，有一個(gè)角為90。 （2）在直角三角形中，兩銳角互余。 （3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。 （4）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 （5）在直角三角形中，如果一條直

3、角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30。 2. 直角三角形的判定： （1）有一個(gè)角為90的三角形是直角三角形。 （2）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。 3. 直角三角形全等的判定方法： （1）SAS定理 （2）ASA定理 （3）AAS定理 （4）SSS定理 （5）HL定理（或簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊直角邊”）： 有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。 4. 定理： 到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。 5. 勾股定理： 直角三角形兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊c的平方，即a2b2c2。 6. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有下面關(guān)系：a2b2c2，那么

4、這個(gè)三角形是直角三角形。【幾點(diǎn)說(shuō)明】 1. HL定理是判定直角三角形全等獨(dú)有的方法，因此在應(yīng)用這一性質(zhì)時(shí)，必須點(diǎn)明“在Rt和Rt”中。 2. 直角三角形是特殊三角形，除具有特殊性外，還具有一般性，所以一般三角形全等的四種判定方法也適用于直角三角形，因此判定兩個(gè)直角三角形全等的方法有五種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL，其中HL是直角三角形所特有的。 3. 定理“角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等”與定理“到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”，二者是互逆定理，前者是角平分線的性質(zhì)定理，后者是角平分線的判定定理。 4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的兩邊求第三邊。 （

5、2）已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系。 （3）用于證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題。 5. 勾股定理與勾股定理的逆定理是一對(duì)互逆定理，前者是直角三角形的性質(zhì)定理，后者是直角三角形的判定定理。 6. 勾股定理的逆定理把數(shù)的特征（a2b2c2）轉(zhuǎn)化為形的特征（三角形有一個(gè)角為直角），因此逆定理的作用是提供了一個(gè)判定三角形是不是直角三角形的方法，它與前面講的判定方法不同，它需要通過(guò)代數(shù)運(yùn)算“算”出來(lái)?！镜湫屠}】基礎(chǔ)知識(shí)題 例1. 如圖甲，在ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PRAB，PSAC，垂足分別為R、S，若AQPQ，PRPS，則這三個(gè)結(jié)論中正確的是（ ） （1）ASAR（2）QPAR（3）

6、BRPCSP A. （1）和（2）B. （2）和（3） C. （1）和（3）D. （1）（2）和（3） 分析：幾何中添加輔助線的實(shí)質(zhì)是把不完整的基本圖形補(bǔ)充完整，即構(gòu)造基本圖形，此題的切入點(diǎn)是從圖中識(shí)別如圖乙、丙、丁基本圖形，并且聯(lián)想有關(guān)定理，通過(guò)分解圖，然后重組，問(wèn)題便得到解決。 由乙圖中角平分線性質(zhì)定理的逆定理有12，且由HL知RtPARRtPAS，有ARAS，故（1）成立。 由丙圖中，等腰三角形性質(zhì)23，又由乙中知：12，13，推出QPAR，故（2）成立。 由丁圖中，尋找判定直角三角形的條件有PRPS，雖然P在BAC的角平分線上，但PB不一定等于PC，即PBR不一定全等于PCS，所以（3

7、）不成立。 解：由上述分析可得，此題應(yīng)選A。 說(shuō)明：觀察、分解、重組、構(gòu)造是研究幾何的基本方法，此題還體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、化歸思想。 例2. 如圖甲，已知：BC90，M是BC的中點(diǎn)，DM平分ADC，試說(shuō)明：AM平分DAB。 分析：要說(shuō)明AM平分DAB，即說(shuō)明34，借助于三角形全等的性質(zhì)，需構(gòu)造全等三角形，考慮到B90，需構(gòu)造一個(gè)直角三角形，因此，過(guò)點(diǎn)M作MEAD于E，也可延長(zhǎng)DM交AB的延長(zhǎng)線于N。 解法1：如甲圖，過(guò)點(diǎn)M作MEAD于E DEMAEM90 在MCD和MED中 MCDMED（AAS） MEMC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） M是BC的中點(diǎn) CMBM MEBM 在RtMEA和RtMBA中 Rt

8、MEARtMBA（HL） 34（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） AM平分DAB 解法2：如乙圖，延長(zhǎng)DM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N 在RtDMC與RtNMB中 RtDMCRtNMB（ASA） DMNM 1N（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等） 又DM平分ADC 12 2N ADN是等腰三角形 又DMNM AM是DAN的角平分線 例3. 已知：如圖，ABC中，ABAC，BDAC于D，D在AC上，若CD1，CD2BD2AC，求：AB的長(zhǎng)。 分析：但要想求出AB，必須先設(shè)法求出AD、BD或找到AD、BD與AB的關(guān)系，注意到ACAB，則ADACCDAB1，只需再找出BD與AB的關(guān)系，這就必須從條件CD2BD2A

9、C得來(lái)。 解：ABAC，CD1 BDAC 說(shuō)明：（1）利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)，是勾股定理的重要作用，在有垂直條件時(shí)，經(jīng)?？紤]到利用勾股定理去解。 （2）勾股定理反映的是三個(gè)量之間的關(guān)系，如果已知一個(gè)量，要設(shè)法求出另外一個(gè)量，或求出另外兩個(gè)量之間的關(guān)系，才能求出第三個(gè)量，實(shí)質(zhì)就是方程思想。 （3）在已知中沒(méi)有垂直，或有垂直但與問(wèn)題相距“較遠(yuǎn)時(shí)”，常需適當(dāng)作輔助線，構(gòu)造直角三角形，創(chuàng)造條件來(lái)利用勾股定理。能力提高題 例4. 如圖，ABC中，ACB90，ACBC，直線MN過(guò)C點(diǎn)，ANMN于N，BMMN于N，那么MN與ANBM有什么關(guān)系？為什么？請(qǐng)說(shuō)明理由。 分析：利用度量的方法可以猜出結(jié)論MNAN

10、BM，如何說(shuō)明呢？可將MN拆成MC和CN，分別說(shuō)明MCAN，CNBM即可，即要說(shuō)明BMCCNA，已知MN90，ACBC，兩個(gè)條件只要再找出一個(gè)即可。 解：結(jié)論：MNANBM 理由： 13（同角的余角相等） ANNM，BMMN MN90 在BMC和CNA中 BMCCNA（AAS） BMCN，MCAN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） MNMCCN MNANBM 說(shuō)明：（1）當(dāng)題目中的直角條件較多時(shí)，常用“同角或等角的余角相等”來(lái)說(shuō)明角相等。 （2）在說(shuō)明兩條線段之和等于第三條線段時(shí)，常將較長(zhǎng)的線段拆成兩條線段的和，再分別說(shuō)明拆成的兩條線段與要說(shuō)明的兩條線段對(duì)應(yīng)相等。 例5. 已知：a、b、c為ABC的三邊

11、長(zhǎng)，且a2b22c250710a24b52c，試判定ABC的形狀。 分析：由條件a2b22c250710a24b52c聯(lián)想到配方，運(yùn)用非負(fù)數(shù)性質(zhì)，求得a、b、c的值。 解： C90 故ABC是直角三角形 說(shuō)明：本題將代數(shù)與幾何融為一體，不妨細(xì)細(xì)體味其中的技巧。創(chuàng)新應(yīng)用題 例6. 如圖，在一張長(zhǎng)48dm，寬10dm的長(zhǎng)方形紙片長(zhǎng)邊豎直放一平面鏡，一束光線從紙片頂點(diǎn)A處射入，恰好由O點(diǎn)反射后經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，求光線在紙片上通過(guò)的距離。 分析：在物理中的光學(xué)知識(shí)中，平面鏡成像，凸透鏡成像中的線路圖不僅包含對(duì)稱，而且有時(shí)也包含直角三角形，對(duì)有些題目也能用勾股定理解答。 解：作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，

12、交CD于O點(diǎn)，則O點(diǎn)就是光的反射點(diǎn)。 AODBOC（AAS） OB26dm AA兩點(diǎn)關(guān)于直線CD對(duì)稱 說(shuō)明：本題是以光的反射為背景的一道綜合題，涉及豐富的幾何知識(shí)，由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)是物理的基礎(chǔ)?！灸M試題】（答題時(shí)間：50分鐘）一. 填空題。 1. 在ABC中，若A35，B55，則此三角形為_(kāi)三角形。 2. 在ABC中，A：B：C1：2：3，若AB10cm，BC的長(zhǎng)是_。 3. 如圖，在ABC中，A30，ACB90，CDAB于D，若BC3，則AB_，BD_。 4. 在RtABC中，C90，若a：b3：4，c10，則a_，b_。 5. 在ABC中，三邊長(zhǎng)分別為，則_。 6. 在ABC中，則ABC是

13、_三角形。 7. 在一個(gè)三角形中，若一邊上的中點(diǎn)到另兩邊距離相等，則該三角形是_三角形。 8. 如圖，在ABC中，AB2AC，BAC2B，AE平分BAC，則C的度數(shù)是_。二. 選擇題。 1. 在判定三角形全等的三個(gè)條件中，至少要有（ ） A. 一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等B. 兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等 C. 一條邊對(duì)應(yīng)相等D. 兩條邊對(duì)應(yīng)相等 2. 下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ） （1）有一個(gè)角為45的兩個(gè)直角三角形全等 （2）斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰直角三角形全等 （3）有一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰直角三角形全等 （4）有一條直角邊和斜邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4

14、個(gè) 3. 等邊三角形一邊上的高與邊長(zhǎng)的比為（ ） A. B. C. D. 1：2 4. 下列數(shù)組中，不是勾股數(shù)組的是（ ） A. B. C. D. 5. 如圖，將兩個(gè)全等的有一個(gè)角等于30的直角三角形拼在一起，其中兩條長(zhǎng)直角邊在同一直線上，則圖中有（ ）個(gè)等腰三角形。 A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 5個(gè)三. 有一次，小明坐著輪船由A點(diǎn)出發(fā)沿正東方向AN航行，在A點(diǎn)望湖中小島M，測(cè)得MAN30，當(dāng)他到B點(diǎn)時(shí)，測(cè)得MBN45，AB100米，你能算出AM的長(zhǎng)嗎？四. 已知：如圖，PA、PC分別為ABC外角MAC與NCA的平分線，它們交于P，PDBM于D，PFBN于F。 求證：BP為MBN的平分

15、線。五. 如圖，在RtABC中，ABAC，BAC90，O為BC的中點(diǎn)。 （1）請(qǐng)你寫(xiě)出O到ABC三頂點(diǎn)A、B、C的距離關(guān)系并證明。 （2）如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng)，在移動(dòng)中保持ANBM，請(qǐng)判斷OMN的形狀，并證明。【試題答案】一. 1. 直角2. 5cm3. 6，1.5 4. 6，85. 6. 直角 7. 等腰8. 90二. 1. C2. C3. A4. D5. B三. 解：過(guò)M作MCAN于C 設(shè)MCx，則AM2x，BCx 根據(jù)勾股定理得： 解得： （米）四. 證明：過(guò)P作PEAC于E PA、PC分別是MAC與NCA的平分線，且PDBM，PFBN PDPE，PFPE PDPF 又PDBM，PFBN 點(diǎn)P在MBN的平分線上 BP為MBN的平分線五. 連結(jié)OA （1）OAOBOC O是RtABC斜邊上的中點(diǎn) OAOBOC （2）OMN是等腰直角三角形 ABAC，BAC90 OANB45 又ANBM，OAOB OANOBM NOABOM，ONOM 同理AOMCON OMN為等腰直角三角形【勵(lì)志故事】金幣有個(gè)叫阿巴格的人生活在內(nèi)蒙古草原上。有一次，年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又累又怕，到最后快走不動(dòng)了。