微分方程(模型)

1、 微分方程模型微分方程模型 引言引言 n 在研究某些實際問題時，經(jīng)常無法直接得在研究某些實際問題時，經(jīng)常無法直接得 到各變量之間的聯(lián)系，問題的特性往往會給出關(guān)到各變量之間的聯(lián)系，問題的特性往往會給出關(guān) 于變化率的一些關(guān)系。利用這些關(guān)系，我們可以于變化率的一些關(guān)系。利用這些關(guān)系，我們可以 建立相應(yīng)的微分方程模型。在自然界以及工程技建立相應(yīng)的微分方程模型。在自然界以及工程技 術(shù)領(lǐng)域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至術(shù)領(lǐng)域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至 可以滲透到人口問題以及商業(yè)預(yù)測等領(lǐng)域中去，可以滲透到人口問題以及商業(yè)預(yù)測等領(lǐng)域中去， 其影響是廣泛的。其影響是廣泛的。 當(dāng)我們描述實際對象的

2、某些特性隨時間（空 間）而演變的過程、分析它的變化規(guī)律、預(yù)測它 的未來形態(tài)、研究它的控制手段時。通常要建立 對象的動態(tài)模型。 引例引例1 求平面上過點求平面上過點(1,3)且每點切線斜率為橫坐標且每點切線斜率為橫坐標2倍的曲線方程倍的曲線方程. 解解: 設(shè)所求的曲線方程為設(shè)所求的曲線方程為 ).(xfy 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 應(yīng)有應(yīng)有 t ,2)( xxf 即即 .2)( 2 CxCdxxxf 又由條件又由條件: 曲線過曲線過(1,3), 即即 , 3) 1 (f 于是得于是得 . 2C 故所求的曲線方程為故所求的曲線方程為: .2 2 xy 微分方程的幾個應(yīng)用實例微分方程的幾個

3、應(yīng)用實例 許多實際問題的解決歸結(jié)為尋找變量間的函數(shù)關(guān)許多實際問題的解決歸結(jié)為尋找變量間的函數(shù)關(guān) 系。但在很多情況下，函數(shù)關(guān)系不能直接找到，而只系。但在很多情況下，函數(shù)關(guān)系不能直接找到，而只 能間接的得到這些量及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，從而使得能間接的得到這些量及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，從而使得 微分方程在眾多領(lǐng)域都有非常重要的應(yīng)用。本節(jié)只舉微分方程在眾多領(lǐng)域都有非常重要的應(yīng)用。本節(jié)只舉 幾個實例來說明微分方程的應(yīng)用。進一步的介紹見第幾個實例來說明微分方程的應(yīng)用。進一步的介紹見第 十章。十章。 一一. 嫌疑犯問題嫌疑犯問題 受害者的尸體于晚上受害者的尸體于晚上7：30被發(fā)現(xiàn)。法醫(yī)于晚上被發(fā)現(xiàn)。法醫(yī)于晚上 8

4、：20趕到兇案現(xiàn)場，測得尸體體溫為趕到兇案現(xiàn)場，測得尸體體溫為 ，一小時，一小時 后，當(dāng)尸體即將被抬走時，測得尸體溫度為后，當(dāng)尸體即將被抬走時，測得尸體溫度為 C 。 6 .32 C 。 4 .31 室溫在幾小時內(nèi)始終保持室溫在幾小時內(nèi)始終保持 ，此案最大的嫌疑犯是此案最大的嫌疑犯是 張某，但張某聲稱自己是無罪的，并有證人說：張某，但張某聲稱自己是無罪的，并有證人說：“下下 午張某一直在辦公室上班，午張某一直在辦公室上班，5：00時打了一個電話，打時打了一個電話，打 完電話后就離開了辦公室。完電話后就離開了辦公室。”從張某的辦公室到受害從張某的辦公室到受害 者家（兇案現(xiàn)場）步行需者家（兇案現(xiàn)場

5、）步行需5分鐘，現(xiàn)在的問題：是張某分鐘，現(xiàn)在的問題：是張某 不在兇案現(xiàn)場的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外不在兇案現(xiàn)場的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外 ？ C 。 1.21 被排除在嫌疑犯之外。嫌疑犯之外，否則不能 室，則他可被排除在。如果此時張某在辦公時刻 的間，也就是求要確定受害者死亡的時 。是正常的，即假設(shè)受害者死亡時體溫 為，則：，并記晚設(shè)表示時刻尸體的溫度解 。 。 。 d T CtT CT CtCT 37)( 37 4 .31) 1 (,6 .32)0( 208 人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)，人死后體溫調(diào)節(jié)人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)，人死后體溫調(diào)節(jié) 功能消失，尸體的溫度受外界溫度的影響

6、。假定尸體功能消失，尸體的溫度受外界溫度的影響。假定尸體 溫度的變化率服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化溫度的變化率服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化 率正比于尸體溫度與室溫的差，即率正比于尸體溫度與室溫的差，即 t k kt etT keT CCT CetT k tk dt dT 110. 0 5 .111 .21)( .110. 0 103 115 ln, 4 .315 .111 .21) 1 ( 5 .11. 6 .321 .21)0( 1 .21)( ) 1 .21( ? ? ? ? ? 。能被排除在嫌疑犯之外 ，因此張某不：在下午即被害人死亡時間大約 分小時 分小時分小時所以 分小時

7、小時 ，所以時，有當(dāng) 。 235 235 572208 57295. 2 375 .111 .2137 110. 0 d t T t eCT 變化規(guī)律。間 隨時量鹽水，試求容器內(nèi)含鹽的速度抽出混合均勻的 淡鹽水，同時以的速度注入的 公斤，現(xiàn)以公斤鹽水，內(nèi)含食鹽設(shè)容器內(nèi)有 二。含鹽量問題 t x LLkgLmin/2/01. 0min/2 10100 dt t tx dtdx dt t tx dtt t tx t dt dx dt dxxxdttt xx txxtx 2 )23(100 )( 301.0 .2 )23(100 )( , )23(100 )( 301.0 ),( 于是可得方程：（公

8、斤） 變，故抽出的鹽量為內(nèi)濃度可以近似看作不 的時間間隔到時刻鹽水的濃度為由于 （公斤），注入鹽水中所含鹽量為 抽出鹽水中所含鹽量注入鹽水中所含鹽量 量為：時間內(nèi)，含鹽量的改變注意到在 ，變到時間間隔內(nèi)，含鹽量從到考慮從時刻 方法。 用建立微分方程的一種常程的微元分析法，這是 的分析得出微分方的微小增量我們采用通過對 的變化規(guī)律隨時間為了求出含鹽量解 2 4 4 2 )100( 109 )100(01.0 109 )100( )100(01.0)( 53 .8,10)0( 03.0 100 2 t tx tx C t C ttx x x tdt dx 的變化規(guī)律為隨時間量 ，所以容器內(nèi)含鹽有初

9、值條件可得 方程的通解： ），可得此節(jié)的公式（；利用 程，且有初值條件這是一階線性非齊次方 或 三三. 導(dǎo)彈追蹤問題導(dǎo)彈追蹤問題 設(shè)位于坐標原點的甲艦向位于設(shè)位于坐標原點的甲艦向位于x軸上點軸上點A(1, 0)處的乙艦處的乙艦 發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對準乙艦如果乙艦以最大的速度發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對準乙艦如果乙艦以最大的速度 v0(常數(shù)常數(shù))沿平行于沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)，求導(dǎo) 彈運行的曲線方程乙艦行駛多遠時，導(dǎo)彈將它擊中？彈運行的曲線方程乙艦行駛多遠時，導(dǎo)彈將它擊中？ （解析法）（解析法） 由(1),(2)消去t, 整理得模型: (3) 1

10、5 1 )1 ( 2 yyx 初值條件為: 0)0(y 0)0( y 四四. 懸鏈線方程問題懸鏈線方程問題 將一均勻柔軟的繩索兩端固定，使之僅受重力的作將一均勻柔軟的繩索兩端固定，使之僅受重力的作 用而下垂，求該繩索在平衡狀態(tài)下的曲線方程（鐵塔用而下垂，求該繩索在平衡狀態(tài)下的曲線方程（鐵塔 之間懸掛的高壓電纜的形狀就是這樣的曲線）。之間懸掛的高壓電纜的形狀就是這樣的曲線）。 解解 以繩索所在的平面為以繩索所在的平面為 平面，設(shè)繩索最低點平面，設(shè)繩索最低點 為為y軸上的軸上的P點，如圖點，如圖81所示?？疾炖K索上從點所示?？疾炖K索上從點p到到 另一點另一點Q(x,y)的一段弧的一段弧 ，該段弧長

11、為，該段弧長為 ，繩索線密，繩索線密 度為度為 ,則這段繩索所受重力為則這段繩索所受重力為 。由于繩索是軟。由于繩索是軟 的，的， xoy QP l l gl 力恰好平衡，所以繩索所受重力及兩個張 ，則這段角，設(shè)其大小為軸正向成點所受張力與在 ，設(shè)其大小為點所受的張力是水平的這段繩索在 向。這樣，力總沿著繩索的切線方所以繩索上各點所受張 TxQ SPQP . l S g STglT tan cos,sin 上面兩式相除，得 1 2 2 00 0 2 0 2 )1ln( 1 , 0, , )1 ( )1 (,tan ),( Cx S g pp p S g dx dp dx dp ypy yay

12、aOP dxy S g y dxyly xyy xx x x 解得 化為，則上述二階微分方程令 條件為則上面微分方程的初值微分方程。設(shè)這就是繩索曲線滿足的 于是 則設(shè)繩索曲線方程為 x S g pp Cpy xx )1ln( 00 2 100 ，從而代入，得將初值條件 下得曲線方程為這樣，繩索在平衡狀態(tài)得取 代入，得將 兩邊積分得 代入，得將 變形整理得 .0, )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 2 20 2 C g S a g S aCay Cee g S y dxeedy dx dy p eep x x S g x S g x S g x S g x S g x S g 線方程。此

13、曲線方程又稱為懸鏈 )( 2 1 x S g x S g ee g S y 引例引例 R-L-C電路電路 如圖所示的如圖所示的R-L-C電路電路. 它包含電感它包含電感L,電阻電阻R,電容電容C及電源及電源e(t). 設(shè)設(shè)L,R,C均為常數(shù)均為常數(shù),e(t)是時間是時間t的已知函數(shù)的已知函數(shù).試求當(dāng)開關(guān)試求當(dāng)開關(guān)K合上后合上后,電電 路中電流強度路中電流強度I與時間與時間t之間的關(guān)系之間的關(guān)系. 解: 電路的電路的Kirchhoff第二定律第二定律: 在閉合回路中在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零所有支路上的電壓的代數(shù)和為零. 設(shè)當(dāng)開關(guān)設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后合上后, 電路中在時刻電路中在時刻

14、t的電流強度為的電流強度為I(t), 則電流則電流 經(jīng)過電感經(jīng)過電感L, 電阻電阻R和電容的電壓降分別為和電容的電壓降分別為 其中其中Q 為電量為電量,于是由于是由Kirchhoff第二定律第二定律, 得到得到 , C Q RI dt dI L . 0)( C Q RI dt dI Lte 因為 于是得到, dt dQ I . )(1 2 2 dt tde LLC I dt dI L R dt Id 這就是電流強度I與時間t所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式. 我們來建立如下的一些問題的模型： 1、Malthus模型 2、Logistic模型 3、核廢料的妥善處理問題核廢料的妥善處理問題 4、古尸年代鑒定問題

15、古尸年代鑒定問題 5、追擊問題追擊問題 6、傳染病模型 7、正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn) 世界人口數(shù)量統(tǒng)計數(shù)據(jù)： 年1625183019301960197419871999 人口 億 5102030405060 中國人口數(shù)量統(tǒng)計數(shù)據(jù)： 年1908 193319531964 19821990 2000 人 口 3.04.76.07.210.311.312.95 一一 馬爾薩斯（馬爾薩斯（MalthusMalthus）模型）模型 馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料 后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率r r基本上是一常數(shù)，（基本上是一常數(shù)，（r r= =b b- -

16、 d d, ,b b為出生率，為出生率，d d為死亡率），因而提出了著名的為死亡率），因而提出了著名的 人口指數(shù)增長模型人口指數(shù)增長模型 。 分析與建模： 人口的凈增長率是一個常數(shù)，也就是單位時 間內(nèi)人口增長量與當(dāng)時人口數(shù)成正比。 設(shè)t時刻人口數(shù)為N(t)，t=t0時，N(t0)=N0， 則 trtNtNttN)()()( 0 () 0 ( ) r t t N tN e 這個方程的解為： 馬爾薩斯模型的一個顯著特點馬爾薩斯模型的一個顯著特點：種群數(shù)量翻種群數(shù)量翻 一番所需的時間是固定的一番所需的時間是固定的。 令種群數(shù)量翻一番所需的時間為T，則有： 00 2 rT NN e ln2 T r 故

17、故 即 00 )( )( )( NtN rtN dt tdN Malthus模型 模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗 比較歷年的人口統(tǒng)計資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實際情況比較歷年的人口統(tǒng)計資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實際情況 與馬爾薩斯模型的預(yù)報結(jié)果基本相符，例如，與馬爾薩斯模型的預(yù)報結(jié)果基本相符，例如，1961年世界人年世界人 口數(shù)為口數(shù)為30.6 （即（即3.06109），人口增長率約為），人口增長率約為2%，人口數(shù)，人口數(shù) 大約每大約每35年增加一倍。檢查年增加一倍。檢查1700年至年至1961的的260年人口實際年人口實際 數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計算，人口數(shù)數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模

18、型計算，人口數(shù) 量每量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。年增加一倍，兩者也幾乎相同。 195020002050210021502200 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 10 11 t/年 N/人 馬 爾 薩 斯 模 型 人 口 預(yù) 測 模型預(yù)測模型預(yù)測 假如人口數(shù)真能保持每假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將年增加一倍，那么人口數(shù)將 以幾何級數(shù)的方式增長。例如，到以幾何級數(shù)的方式增長。例如，到2510年，人口達年，人口達21014個，個， 即使海洋全部變成陸地，每人也只有即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動范圍，平方英尺的活動范圍， 而到

19、而到2670年，人口達年，人口達361015個，只好一個人站在另一人的個，只好一個人站在另一人的 肩上排成二層了。肩上排成二層了。 故故馬爾薩斯模型是不完善的。馬爾薩斯模型是不完善的。 幾何級數(shù)的增長 MalthusMalthus模型實際上只有在群體總數(shù)模型實際上只有在群體總數(shù) 不太大時才合理，到總數(shù)增大時，不太大時才合理，到總數(shù)增大時， 生物群體的各成員之間由于有限的生物群體的各成員之間由于有限的 生存空間，有限的自然資源及食物生存空間，有限的自然資源及食物 等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn) 象。象。 所以所以MalthusMalthus模型假設(shè)的人口模型假設(shè)的人

20、口凈凈 增長率不可能始終保持常數(shù)，增長率不可能始終保持常數(shù)， 它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。 二二 LogisticLogistic模型模型 人口凈增長率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即：人口凈增長率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即： r=r(N) 從而有：從而有： () dN r N N dt （1） r( (N N) )是未知函數(shù)，但根是未知函數(shù)，但根 據(jù)實際背景，它無法用據(jù)實際背景，它無法用 擬合方法來求擬合方法來求 。 為了得出一個有實際意義為了得出一個有實際意義 的模型，我們不妨采用一的模型，我們不妨采用一 下工程師原則。工程師們下工程師原則。工程師們 在建立實際問題的數(shù)學(xué)模在建立實際問題

21、的數(shù)學(xué)模 型時，總是采用盡可能簡型時，總是采用盡可能簡 單的方法。單的方法。 r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此最簡單的形式是常數(shù)，此 時得到的就是馬爾薩斯模型。時得到的就是馬爾薩斯模型。 對馬爾薩斯模型的最簡單的改對馬爾薩斯模型的最簡單的改 進就是引進一次項（競爭項）進就是引進一次項（競爭項） 此時得到微分方程：此時得到微分方程： () dN raN N dt (1) dNN rN dtK 或或（2） （2）被稱為被稱為LogisticLogistic模型或生物總數(shù)增長的統(tǒng)計籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生模型或生物總數(shù)增長的統(tǒng)計籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生 物學(xué)家弗赫斯特（物學(xué)家弗赫斯特（VerhulstVe

22、rhulst）首先提出的。一次項系數(shù)是負的，因為當(dāng)種群數(shù)）首先提出的。一次項系數(shù)是負的，因為當(dāng)種群數(shù) 量很大時，會對自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項又被稱為競爭項。量很大時，會對自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項又被稱為競爭項。 （2 2）可改寫成：可改寫成： () dN k KN N dt （3） (3)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限 增長的種群個體，當(dāng)種群數(shù)量過多時，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境增長的種群個體，當(dāng)種群數(shù)量過多時，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境 惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設(shè)環(huán)境

23、能供養(yǎng)惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng) 的種群數(shù)量的上界為的種群數(shù)量的上界為K（近似地將（近似地將K看成常數(shù)），看成常數(shù)），N表示當(dāng)前的種群數(shù)量，表示當(dāng)前的種群數(shù)量， K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3）指出，種群增長率與兩者的乘）指出，種群增長率與兩者的乘 積成正比，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實驗結(jié)果的支持，這就是（積成正比，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實驗結(jié)果的支持，這就是（3）也）也 被稱為統(tǒng)計籌算律的原因。被稱為統(tǒng)計籌算律的原因。 對對（3 3）分離變量：分離變量： 11 dNkKdt NKN 兩邊積分并整理得：兩邊積分并整理

24、得： 1 kKt K N Ce 令令N(0)=N0，求得：，求得： 0 0 KN C N 故故（3 3）的滿足初始條件的滿足初始條件N(0)=N0的解為：的解為： 0 00 ( ) () kKt N K N t NKN e （4） 易見：易見： N(0)=N0 ，lim( ) t N tK N(t)的圖形請看右圖的圖形請看右圖 模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗 用用LogisticLogistic模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢？模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢？19451945 年克朗比克（年克朗比克（CrombicCrombic）做了一個人工飼養(yǎng)小谷蟲的實驗，數(shù)）做了一個人工飼養(yǎng)小谷蟲的實驗，數(shù) 學(xué)生

25、物學(xué)家高斯（學(xué)生物學(xué)家高斯（E EF FGaussGauss）也做了一個原生物草履蟲實驗，）也做了一個原生物草履蟲實驗， 實驗結(jié)果都和實驗結(jié)果都和LogisticLogistic曲線十分吻合。曲線十分吻合。 大量實驗資料表明用大量實驗資料表明用LogisticLogistic模型來描述種群的增長，效模型來描述種群的增長，效 果還是相當(dāng)不錯的。例如，高斯果還是相當(dāng)不錯的。例如，高斯把把5只草履蟲放進一個盛有只草履蟲放進一個盛有 0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲以每天營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲以每天230.9% 的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量的速率增

26、長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量 375個，實驗數(shù)據(jù)與個，實驗數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的的LogisticLogistic 曲線：曲線： 幾乎完全吻合，見右圖幾乎完全吻合，見右圖 2.309 375 ( ) 174 t N t e MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型的總結(jié)模型的總結(jié) MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型模型均為對微分方程（均為對微分方程（1）所）所 作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù)，為一常數(shù)，

27、 （r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只 能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項。能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項。 用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對 求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。 相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原 因，對模型進行修改。因，對模型進行修改。 Malthus Malthus模型與模型與LogisticLo

28、gistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)模型雖然都是為了研究種群數(shù) 量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題， 只要這些實際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。只要這些實際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。 以前 ，美國原子能委員會把濃縮的放射性廢 料裝入密封的圓桶里，然后仍到水深為300英 尺的海里。 1 問題（這是一場筆墨官司）問題（這是一場筆墨官司）: 生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家提出生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家提出：圓桶是否會在運輸過圓桶是否會在運輸過 程中破裂而造成放射性污染？程中破裂而造成放射性污染？ 美國原子能委員會：美國原子能委員會：不

29、會破裂（用實驗證明）。不會破裂（用實驗證明）。 又有幾位工程師提出：又有幾位工程師提出：圓桶扔到海洋中時是否圓桶扔到海洋中時是否 會因與海底碰撞而破裂？會因與海底碰撞而破裂？ 美國原子能委員會：美國原子能委員會：決不會。決不會。 三三 放射性核廢料處理問題放射性核廢料處理問題 圓桶與海底的碰撞時的速度會不會超過圓桶與海底的碰撞時的速度會不會超過4040英英 尺尺/ /秒？秒？ 若圓桶與海底碰撞時的速度超過若圓桶與海底碰撞時的速度超過4040英尺英尺/ /秒時，秒時， 就會因碰撞而破裂。就會因碰撞而破裂。 這幾位工程師通過大量的實驗證明: 通過建立數(shù)學(xué)模型來解決這一問題。 ,/. ,. ,/.

30、. 3 3 2 9963 357 232 436527 英尺磅 英尺 秒英尺 磅， 海水 V g G 一些參數(shù)及假設(shè)：一些參數(shù)及假設(shè)： 08. 0, ccvf 假設(shè)圓筒下沉?xí)r，所 受海水的阻力與其速 度成正比，即 受力分析： fFGF 浮 x y G f 浮 F o 2 建模與求解建模與求解 ,/99.63 ,35. 7 3 3 英尺磅 英尺 海水 V 磅，436.527G ,327.47035. 799.63磅 浮 F 08. 0, ccvf 根據(jù)牛頓第二定理 1 )( /mct e c FG tv 浮可解得： 極限速度為： 0)0(v m cv m F g dt dv 浮 秒英尺 浮 /8

31、6.713 c FG v 將速度將速度 v 看成位置看成位置 y 的函數(shù)的函數(shù) v(y) ，由于，由于 dy dv v dt dy dy dv dt dv 0)0( v m cv m F g dt dv 浮 代入：代入： 00)(v m cv m F g dy dv v 浮 m cv m F g dy dv v 浮 01 2 m y c v FG cv c FG )ln( 浮 浮 其解為： 仍未解出 v 是 y 的顯函數(shù)。 1 300300 300 )( )()( ),()( v v FG cv vv 浮 2 )1ln( 2 x xx 01 2 m y c v FG cv c FG )ln(

32、浮 浮 0 300 2 300 2 mFG v )( )( 浮 由近似公式由近似公式 秒英尺 浮 /. )( )(745300 2 300 G FGg v 3 結(jié)論：結(jié)論：若圓桶與海底的碰撞速度超過40英尺/秒， 會因碰撞而破裂。 這一模型科學(xué)的論證了美國原子能委員會過去 處理核廢料的方法是錯誤的?，F(xiàn)在美國原子能 委員會條例明確禁止把低濃度的放射性廢物拋 到海里，改為在廢棄的煤礦中修建放置核廢料 的深井。 我國政府決定在甘肅、廣西等地修建深井放置 核廢料，防止放射性污染。 4 注意：注意： 求解過程求解過程 方程變形，近似計算方程變形，近似計算 四四 古尸年代鑒定問題古尸年代鑒定問題 在巴基斯

33、坦一個洞穴里，發(fā)現(xiàn)了具有古在巴基斯坦一個洞穴里，發(fā)現(xiàn)了具有古 代尼安德特人特征的人骨碎片，科學(xué)家把代尼安德特人特征的人骨碎片，科學(xué)家把 它帶到實驗室，作碳它帶到實驗室，作碳14年代測定，分析表年代測定，分析表 明，與的比例僅僅是活組織內(nèi)的明，與的比例僅僅是活組織內(nèi)的 6.24%，能否判斷此人生活在多少年前？，能否判斷此人生活在多少年前？ c 14 c 12 年代測定：年代測定：活體中的碳有一小部分是放射性 同位素，這種放射性碳是由于宇宙射線在高層 大氣中的撞擊引起的，經(jīng)過一系列交換過程進入活 組織內(nèi)，直到在生物體內(nèi)達到平衡濃度，這意味著 在活體中，的數(shù)量與穩(wěn)定的的數(shù)量成定比， 生物體死亡后，交

34、換過程就停止了，放射性碳便以 每年八千分之一的速度減少。 c 14 c 14 c 14 c 12 背背 景景 1214 cc xtxty)()( 設(shè) t 為死后年數(shù)， 8000 1414 cc x dt dx .,數(shù)量的比例與即活體中時則 cc yyt 1214 0 0 .yy Cy e e 8000 t 0 8000 t = = 代入初始條件后有特解 積分得 時當(dāng)yy 0 06240. yrt22400062408000 .ln求得 此即所求死亡年數(shù)。 8000 y dt dy c 14年代測定的修訂： 年代測定的修訂： 19661966年，耶魯實驗室的年，耶魯實驗室的Minze Stuiv

35、erMinze Stuiver和加利福尼亞和加利福尼亞 大學(xué)圣地亞哥分校的大學(xué)圣地亞哥分校的HansE.SuessHansE.Suess在一份報告中指出：在在一份報告中指出：在 25002500到到1000010000年前這段時間中測得的結(jié)果有差異，其根本年前這段時間中測得的結(jié)果有差異，其根本 原因在于那個年代，宇宙射線的放射性強度減弱了，偏差原因在于那個年代，宇宙射線的放射性強度減弱了，偏差 的峰值發(fā)生在大約的峰值發(fā)生在大約60006000年以前。他們提出了一個很成功的年以前。他們提出了一個很成功的 誤差公式，用來校正根據(jù)碳測定出的誤差公式，用來校正根據(jù)碳測定出的23002300年到年到60

36、006000年前年前 這期間的年代：這期間的年代： 真正的年代真正的年代 9004 . 1 14 年 c 五五 緝私艇追擊走私船緝私艇追擊走私船 1. 1. 問題的提出問題的提出 海上邊防緝私艇發(fā)現(xiàn)距c公里處有一走私船正以勻速a沿直線行駛,緝私艇 立即以最大速度b追趕,在雷達的引導(dǎo)下，緝私艇的方向始終指向走私船。問 緝私艇何時追趕上走私船?并求出緝私艇追趕的路線。 x y co 2. 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型 xc o y 走私船初始位置在點(0,0)， 行駛方向為y軸正方向， 緝私艇的初始位置在點(c,0)， 緝私艇行駛的歷程為s 。 在時刻t： 緝私艇到達點 ), 0(atR ),(yxD

37、 走私船的位置到達點 0 x aty tg dx dy b dt ds dx dt a dx yd x 2 22 1 1 dx dy bdx ds ds dt dx dt 0)(, 0)( 1 2 2 2 cycy dx dy r dx yd x bar/ 2.4 模型求解模型求解 0)(, 0)( 1 2 2 2 cycy dx dy r dx yd x bar/ (1) 求解析解求解析解 令：p dx dy ， dx dp dx yd 2 2 ， 0)( 1 2 cp x dx r p dp r c x pp 2 1 r x c pp 2 1 0)( 2 1 cy x c c x dx d

38、y rr 0)( 2 1 cy x c c x dx dy rr 1 b a r1) , 2 11 11 1 1 1 2r cr c x rc x r c y rr 當(dāng) x = 0 時， 2 1r cr y ， )()1 ( 222 ab bc ra cr a y t 00.511.522.533.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 c=3千米，a=0.4千米/秒， 分別取b=0.6,0.8,1.2千米/秒時， 緝私艇追趕路線的圖形。 追趕時間分別為： t=9，5，2.8125（分鐘） Matlab 2)1 b a r 0)( 2 1 cy x c c x dx dy rr

39、 11 1 1 1 2 2 11 r cr x c rc x r c y rr 當(dāng)0 x時，y，緝私艇不可能追趕上走私船。 3）1r ， ， c x c c cx yln 22 1 22 當(dāng)0 x時，y，緝私艇不可能追趕上走私船。 六六 傳染病模型傳染病模型 問題問題 描述傳染病的傳播過程描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報傳染病高潮到來的時刻預(yù)報傳染病高潮到來的時刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規(guī)律，按照傳播過程的一般規(guī)律， 用機理分析方法建立模型用機理分析方法建立模型 已感染人數(shù)已感染人數(shù) (病人病人) i(t) 每個

40、病人每天有效接觸每個病人每天有效接觸 (足以使人致病足以使人致病)人數(shù)為人數(shù)為 模型模型1 1 假設(shè)假設(shè) ttititti)()()( 若有效接觸的是病人，若有效接觸的是病人， 則不能使病人數(shù)增加則不能使病人數(shù)增加 必須區(qū)分已感染者必須區(qū)分已感染者(病病 人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人) 建模建模 0 )0(ii i dt di it t eiti 0 )( ? si dt di 1)()(tits 模型模型2 2區(qū)分已感染者區(qū)分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人) 假設(shè)假設(shè) 1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康不變，病人和健康 人的人的 比例分別為比例分別為)(),(tsti