淺析“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、淺析“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 主題詞數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容摘要 所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；（5）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。第一 提出問題本人在教學(xué)過程中，通過對學(xué)生的聽講、解題過程、完成作業(yè)等充分、深入的研究后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在數(shù)形結(jié)合思想的運用過程中還存在如下幾個方面的問題1、學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的興趣不濃厚，認為數(shù)形結(jié)

2、合思想是一種籠統(tǒng)的，模糊的數(shù)學(xué)方法，而沒有嚴密的邏輯推理，在一定程度上還不能認可數(shù)形結(jié)合思想。2、學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力是有限的。不能很好的掌握那些問題該用，那些問題不該用，還沒有掌握該思想的魂魄。3、數(shù)形結(jié)合思想屬于辨證唯物主義方法的范疇，是科學(xué)的方法，是正確的方法，在教學(xué)過程中注意培養(yǎng)學(xué)生用辨證法解決問題的思想意識，給學(xué)生樹立正確的思維習慣是重中之重。第二 分析問題數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。通過對以上

3、三個問題的分析得出導(dǎo)致這些問題的原因有主要是：教師的教學(xué)總是一成不變，一個模式，墨守成規(guī)，缺乏針對學(xué)生的具體情況、結(jié)合實際的變化，使學(xué)生不能愉快地接受知識和啟動思維，從而產(chǎn)生了消極的學(xué)習態(tài)度。許多教師為此進行了有益的探討，本人在教學(xué)中通過探索和相關(guān)的實踐，深深地體會到在數(shù)學(xué)教學(xué)中用“數(shù)形結(jié)合”的思想引導(dǎo)學(xué)生思考，用“數(shù)形結(jié)合”的技巧去訓(xùn)練學(xué)生解題，能夠促進學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生的思維能力。通過對問題的分析，接下來本人據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗，結(jié)合一些實際的問題談一些自己解決上述問題的方法。第三 解決問題一、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣數(shù)學(xué)的客觀存在的美感，在數(shù)與形的結(jié)合上表現(xiàn)得十分完美。

4、例如：（1）在數(shù)與形的關(guān)系中特別引人注目的著名的“黃金分割率”，它被世人稱之為和諧性的最完美的表現(xiàn)?！?.618”被譽為黃金數(shù)、神圣的比例、宇宙的美神。在日常生活中，人們習慣用“黃金分割”審美的觀念看世界。在繪畫和建筑藝術(shù)中，如達芬奇的最后的晚餐，埃菲爾鐵塔等，都用到了“黃金率”，所以，它們才有經(jīng)久不衰的魅力。（2）教師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，要充分運用這些材料，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的美，使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生強烈的情感、濃厚的興趣和探討的欲望。誘發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的追求心理，從而消除對學(xué)習數(shù)學(xué)感到單調(diào)、負擔和懼怕的心理，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習的興趣和積極追求的欲望。愛因斯坦認為：“興趣是最好的老師?！迸囵B(yǎng)學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣

5、是克服數(shù)學(xué)學(xué)習困難的內(nèi)在動力。所以，所學(xué)材料或研究對象的生動趣味有助于把學(xué)生從“要我學(xué)”轉(zhuǎn)變成“我要學(xué)”的良好的學(xué)習心理，從而有可能獲得最佳的教學(xué)效果。將美感滲透融合于數(shù)學(xué)教學(xué)的過程，這種審美心理活動能啟迪和推動學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動，觸發(fā)智慧的美感，使學(xué)生的聰明才智得以充分發(fā)揮。“數(shù)形結(jié)合”就能起到這方面的作用。二應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，提高學(xué)生的能力對大腦的科研成果表明，大腦的兩半球具有不同的功能，左半腦功能偏重于抽象的邏輯思維，講究規(guī)范嚴謹，穩(wěn)定封閉，如數(shù)的運算、代數(shù)式的運算、邏輯推理、歸納演繹等。右半腦功能則偏聽偏重于形象思維，講究直覺想象，自由發(fā)散，如猜想、假設(shè)、構(gòu)思開拓、奇異創(chuàng)造等。左、右半腦

6、的功能各有特征，如果互相補充就會使大腦功能更加健全和發(fā)達?！皵?shù)形結(jié)合”就同時運用了左、右半腦的功能，在培養(yǎng)形象思維能力時，也促進了邏輯思維能力的發(fā)展。1、“數(shù)形結(jié)合”有助于對數(shù)學(xué)知識的記憶“記憶是智慧的倉庫”。人的知識、經(jīng)驗的積累、技能的形成、技巧的熟練、思維能力的培養(yǎng)、事業(yè)的成就等都離不開良好的記憶能力。中等職業(yè)教育中的數(shù)學(xué)知識是基礎(chǔ)性知識，需要牢固地記憶并掌握這些基礎(chǔ)知識，在此基礎(chǔ)上做到靈活應(yīng)用，在整個教學(xué)過程中，這二者是相輔相成的。記憶正是掌握知識的基本手段，記憶的過程也就是知識積累的過程，同時有助于知識的深化，知識水平的提高更是要以記憶為前提。有的學(xué)生面對一些數(shù)學(xué)問題束手無策，找不到解

7、題的思路與方法，這與腦子里記憶的數(shù)學(xué)知識太少有關(guān)。只有對數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識記憶牢固，才能做到溫故而知新，應(yīng)用時熟能生巧，才能進一步發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力。教學(xué)中運用形象記憶的特點，使抽象的數(shù)學(xué)盡可能地形象化，對學(xué)生輸入的數(shù)學(xué)信息和映象就更加深刻，在學(xué)生的腦海中形成數(shù)學(xué)的模型，可以形象地幫助學(xué)生理解和記憶。例如：在研究函數(shù)時，可以利用函數(shù)圖形來記憶有關(guān)函數(shù)的知識點，象函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性以及凹凸性等。這樣，材料的組成方式較好，內(nèi)容的組織結(jié)構(gòu)較嚴密，記時可以提綱挈領(lǐng)地在大腦中儲存，今后可以隨時綱舉目張地提取，達到良好的記憶效果。圖1/2-/2-3/23/2-1-1xy

8、如圖1是余弦函數(shù)y=cosx的圖象，從中我們可以知道余弦函數(shù)的定義域是（，+），值域是1，1，函數(shù)在（2k，2k+）內(nèi)單調(diào)減少，在（2k+，2k+2）內(nèi)單調(diào)增加，函數(shù)的周期是2，|cosx|1，函數(shù)有界，函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間（2k/2，2k+/2）上是下凹的，在區(qū)間（2k+/2，2k+3/2）上是上凹的。（kz）2、 應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力在數(shù)學(xué)里，存在著大量的直覺思維。這就是人們在求解數(shù)學(xué)問題時，運用已有的知識，從整體上對數(shù)學(xué)對象及其結(jié)構(gòu)迅速識別、判斷，進而作出大膽的猜想，合理的假設(shè)，并作出試探性的結(jié)論。它具有頓悟、飛躍的特征。用數(shù)形結(jié)合的方法解題，能最直接揭示問題的本質(zhì)

9、，直觀地看到問題的結(jié)果，只需稍加計算或推導(dǎo)，就能得到確切的答案。如：若復(fù)數(shù)z滿足|z+|+|z| 2，則|z+1|的最小值是( )a)1 b)1.5 c)2 d)3 對此題分析可知，由于|z+|和|z-|分別表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對應(yīng)點到和-的距離，且有|z+|+|z-| 2，所以表示復(fù)數(shù)z的點的集合是虛軸上點到-之間的線段（含端點）。另外，|z+1|=|z(1)|為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對應(yīng)點到1的距離，由圖4可以看到，當z=-時，|z+1|取得最小值1，所以選a。-1-i1-1i-ixi圖2此題的常規(guī)解法是根據(jù)已知條件，尋求變量x和y的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，按照求二次函數(shù)的最值的方法求解。這個

10、解法雖有可遵循的操作程序，但對解題過程中出現(xiàn)的情況難以預(yù)料，對可能發(fā)生的疏漏不易察覺，且解程冗長。而用數(shù)形結(jié)合的方法，則通過圖形直接揭示出問題的本質(zhì)面貌，只要思考正確，形象清晰，往往很快就能看到問題的結(jié)果。在日常的教學(xué)中，教師要注意用數(shù)形結(jié)合的方法訓(xùn)練直覺思維，讓學(xué)生養(yǎng)成整體觀察、檢索信息、把握問題實質(zhì)的好習慣。3、 應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力發(fā)散思維是從同一來源的材料或同一個問題，探求不同思路和方法的思維過程，其思維方向是從不同角度、不同方面看待同一個問題。在教學(xué)中常借助“一題多解”或“一題多變”的形式，突出已知與未知之間的矛盾聯(lián)系，來引發(fā)學(xué)生提出新的思想、新的方法、新的問題，

11、達到知識融會貫通，發(fā)展思維的廣闊性和靈活性，激勵學(xué)生的好奇心和求知欲，提高解決問題的應(yīng)變能力。本人在教學(xué)中曾問過學(xué)生這樣一個問題：如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？大多數(shù)學(xué)生的回答是根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系來判定并能計算。本人在給出圖3后，學(xué)生能從l、m、n這三條直線與圓的交點個數(shù)判定直線與圓的位置關(guān)系。本人進而設(shè)問：如何求圓與直線的交點？學(xué)生能答出聯(lián)立方程。本人列出方程組，把直線方程代入圓方程，得到一個關(guān)于x的二次方程。這時，學(xué)生一般能知道考察這個方程的根的判別式，由判別式的正負可以知道x的解的情況，進而知道交點的情況，從而判定直線與圓的位置關(guān)系。這樣就用另一種方法解答了這個問題，學(xué)生

12、對于解析幾何的核心形與數(shù)結(jié)合，用代數(shù)方法來研究幾何問題有了更深一步的理解。lmnxyo圖3教師在教學(xué)中要注意學(xué)生思維的橫向推廣和縱向深入，使二者有機結(jié)合以利于保證思維的流暢性，做到反應(yīng)靈敏，思路暢通，聯(lián)想豐富，在短時間內(nèi)匯集、檢索與所研究問題有關(guān)的概念與性質(zhì)，隨機應(yīng)變，巧妙運用有關(guān)公式與定理，綜合運用各模塊知識。4 、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力目前，推行素質(zhì)教育已成為教育發(fā)展的主流。對學(xué)生進行綜合素質(zhì)和能力的培養(yǎng)，是建立新世紀創(chuàng)造性人才隊伍的需要。，是思維的最高境界。只有具有創(chuàng)造性思維能力的人，才能在各自的領(lǐng)域中有所創(chuàng)造發(fā)明，才能推動科學(xué)技術(shù)、人類社會的向前發(fā)展。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，

13、教師可通過編選一些探索性的題目，讓學(xué)生去研究，去探討，去發(fā)現(xiàn)。讓他們不是從頭腦中已有的思維形式和思維方法中去找答案，而是從問題的本身進行具體的分析，進行一系列探索性思維活動，將已有的思維方式大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選出解決問題的方法。如：若a2+b2=1,a,b 均不為零，求證：（a+1/a）2+(b+1/b)29此題要從幾何圖形入手，由題設(shè)a2+b2=1聯(lián)想到點（a,b）在圓x2+y2=1上而得到一種解題思路；也可以聯(lián)想到點（a,b）在直線ax+by1上，又得到一種解題思路，解答過程更為簡捷。事實上由（a+1/a）2+(b+1/b)2聯(lián)想到兩點（a,b），（1/a，1/b）間的距離

14、。顯然由于點（a,b）在直線ax+by1上，則點（1/a，1/b）到點（a,b）的距離不小于它到直線的距離。故（a+1/a）2+(b+1/b)29 成立.教師要引導(dǎo)學(xué)生通過一些典型題目最佳解法的尋求，增強學(xué)生的求新、求異意識，激發(fā)他們不甘滿足，勇于創(chuàng)新的激情。三、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)學(xué)生的良好情操1、 樹立現(xiàn)代思維意識1.1在數(shù)學(xué)教育中，通過數(shù)與形的有機結(jié)合，把形象思維與抽象思維有機地結(jié)合起來，盡可能地先形象后抽象，不但能促進這兩種思維能力同步發(fā)展，還為學(xué)生初步形成辯證思維能力創(chuàng)造了條件。1.2在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，通過數(shù)與形的結(jié)合，能夠有的放矢地幫助學(xué)生多角度、多層次地思考問題，可以養(yǎng)成多向性

15、思維的好習慣。1.3 在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師引導(dǎo)學(xué)生變靜態(tài)思維方式為動態(tài)思維方式，也就是以運動、變化、聯(lián)系的觀點考慮問題，把數(shù)與形分別視為運動事物在某一瞬間的取值或某一瞬間的相對位置。運用動態(tài)思維方式處理教材、研究問題，能揭示前后知識的聯(lián)系與變化，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力，更好地把握事物的本質(zhì)。2、樹立辯證唯物主義世界觀客觀世界是一個普遍聯(lián)系的整體，每一事物都不是孤立的存在，它和其他事物以各種方式相互依賴著，相互制約著，相互作用著。我們從數(shù)學(xué)的發(fā)展即可揭示出：事物無不處于普遍聯(lián)系之中。例如，解析幾何是由代數(shù)和幾何，數(shù)和形兩方面的聯(lián)系、變化、發(fā)展而來的。幾何圖形的研究，要借助于代數(shù)對方程的研究（如上文提到的借助于代數(shù)式子變換來的黃金率可用于黃金分割作圖）。而對幾何的研究同時亦豐富了代數(shù)的內(nèi)容（如代數(shù)中函數(shù)圖象就是借助于形的直觀性來研究的）。代數(shù)和幾何，數(shù)和形是對立的