勾股定理知識歸納

1、第十八章、勾股定理第一節(jié)、知識梳理勾股定理學習目標1. 拿握勾股定理，了繆利用拼圖驗證勾腹定理的方法.2. 能運用勾股定理解決實際問題.重點碓點重點：了解勾股定理，芥能正確合浬的運用.碓點：勾股定理的證明.知識概要1. 勾股定理：如果直角三角形的兩宜甬邊為泊b,斜邊為c,那么a2+b2=c2,即宜角三角形兩宜角 邊a、b的平方和等于斜邊C的平方.2. 勾股定理的應用.勾赧定理是宜角三角形的一個重要的性質，它是把三用形由一個宜角的“形”的待征捷化為三邊“教”的 關系，因此它是數形結臺的一個典范.3勾股定理的證法.知識鏈接1. 勾股定理的歷史背長我國是杲早了解勾股定理的國家之一，商朝教學家商高提出

2、了 “勾三、股四.弦五”，被i己載于周髀算經 中.在歐洲，通常把勾股定理稱為畢達哥拉斯定理.2. 與直角三角形有關的問題(1) 宜甬三角形的定義.(2) 宜甬三甬形的性質：直角三角形中兩個銳角互余；如果一個銳角等于30，則它所對的直角邊等于 斜邊的一半；宜角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等.中韋視點勾股定理是幾何中的一條重要定理，它揭示了宜甬三角形三邊之間的關系，中誇對于這部分的考査主要是 勾股定理的運用：(1) 運用勾股定理解亙甬三角形：已知三角形的兩邊求第三邊.(2) 利用勾腹定理證明一些具有平方的關系式(5)運用勾股定理在敵軸上找到一些和無理敘對應的點.勾股定理的逆定理學習目棟1. 拿握

3、勾股定理的逆定理，并會用它判定一個三角形是不是宜角三角形.2理解并初步掌握利用三角形全等尺代敵計算來證明宜甬三甬形的方法.重點準點重點：勾股定理的逆定理尺其應用.璉點：勾股定理的逆定理的證明及應用知識概要勾股定理是將宜角三甬形的形的特征捷化為數的特征，而勾股定理的逆定理是判定宜甬三角形的重要依 搖，是由敎定形.1. 勾股定理的逆定理：如果一個三角形的三邊長2、b、C滿足用+ L=c那么這個三角形是宜角三角形.2. 如果悶個命題的趣設結論正好相反，我們把這樣的兩個命題叫作互逆命題.如杲把其中的一個叫做原 命題，那么另一個叫作它的逆命題.3. 如果一個定理的逆命題經過證明是正確的，那么它也是一個定

4、理，稱這阿個定理互為逆定理.4能夠成為宜甬三甬形三條邊長的三個正整敵，稱為勾股教組.知識鏈接(1) 勾股定理與勾般定浬的逆定浬是兩個互逆的命題.(2) 勾腹數：滿足條件a-+b2=?的三個正整教，稱為勾般敎常見的勾般教組有：3, 4, 5; 5, 12, 13;8, 15, 17; 7, 24, 25； 20, 21, 29； 9, 40,41;這些勾股數組前整數倍數仍然是勾腹數組.中考芳點勾般定浬的逆定逞是證明一個三角形是宜角三角形的重要定理，中辛中經常利用它來求角，證明線段的罄 宜關系以及確定三角形的形狀.第二節(jié)、教材解讀一、勾般定浬的內容勾腹定理的內容是：如果宜角三角形兩宜角邊分別是沢b

5、,斜邊是C,那么a2+b-=c2.因此，在運用勾股定理計算三角形的邊長時，一要注意勾舲定理的適用條件是在宜角三角形中；二要注意表 達式的靈活變形，即阿條宜角邊的平方和等于斜邊的平方在宜甬三甬形中，巳知任意阿條邊長，可求出第三條 邊的長.二、正確判定一個三角形是否是宜角三角形如果三甬形的三邊長：K b、C滿足吾b疋，那么這個三角形就是直角三角形.這一識別方法與勾股定浬的條件和結論正好相反，即為勾股定理的逆定理有了宜命三角形的這一判別方法可 以通過計算判斷一個三角形是否為宜角三角形.要判斷一個三角形是不是宜角三角形，一是確定最犬邊，即斜邊C；二是驗證與,+b是否相等若?=用+匕 則 ABC是宜甬三

6、甬形，且上C=90；若疋產廉+比p|lJ_ABC不是直角三角形.三、熟練掌握勾股定連在實際生活中的應用勾股定浬有著廣泛的應用如求線段的長、求角度的大小、說明線段的平方關系問題、求作長為皿的線段等寧以求作長為皿的線段為例，利用勾般定湮作出長為尺VT.的線段，如下左國所示.用同樣的方法我們可以在敎抽上畫出表種.VT、VT的點，如下右圖所示.0 1 2四. 勾股定理逆定理的推導勾股定理告訴我們，如果亙甬三角形的陰直角邊分別為觸b,斜邊為C,那么a:+b:=c即直甬三角形陰直 角邊的平方和等于斜邊的平方.反之如果我們巳知一個三甬形的三條邊長分別為狄b. c,邊長之間滿足關系 a:+b:=c:,那么我們

7、是否能幣據此確定三角形的形狀呢？下面是5組三角形邊長的教據以尺根據各組藪湄畫出的三甬形,(1 )介=6 , b= 0 , c= 1 0 ;(2 ) a= 5 , b= 1 2 , c= 1 3 ;(3 ) a= 1 5 , b= 2 0 , c= 2 5 s012 氏6 我們觀察上面給出的三組三角形的邊長就會發(fā)現，上面三個三角形的邊長部滿足關系八+b：=L,我們 再觀察上面三個根涓已知邊長畫出的三甬形，我們發(fā)現三個三角形部是直甬三甬形.根搖我們現在所掌握的這 些個例的情況，我們可以先進行大膽的詹測：如果一個三甬形的三邊長狙b. c滿足a:+b:=c:，那么這個三用形是宜角三用形.我們的詹測是否

8、正確呢？要確定我們根據幾個特殊情況猜測得出的結論是否正確，我們必須要在一般情況中對其加以證明.【例題】 巳知_ABC的三邊BC=a、AC=b、AB=c且滿足條件a:+b:=c:，試判斷_ABC是 否為宜角三角形.【思考與分析】根湄前面學習的勾般定浬，我們知道如果一個宜甬三甬形以狙b為直角邊，那么它的斜 I邊c必滿足c:=a:+b-,那么這個宜甬三甬形的三邊就與_ABC的三邊分別對應相等，所以說如果_ABC 耀直角三角形，那么它必與以狙b為直角邊的宜甬三角形全竽.,解：我們作 Ri_Ar B C,二 C =9 0，, A* C =b, B* C =a.|根據勾股定浬：A B 2=a-+b:.I

9、二 -ABC的三邊沢b、c滿足條件八+b：=c：,又.在 _BC 中 BC=；k AC =b. AB=c, _AB Ri_A* B* C1 (S S S)._ABC是宜角三角形，上C=9 O.【小結】探索勾.股定浬的逆定理的過程邊循了從特味到一般這樣一條認識事物的規(guī)律，首先我們是通過已掌 握的幾個有限個例來歸納猜想出結論，然后就其成立與否再在一般情況下進行證明.第三節(jié)、錯解剖析一、勾般定理只能在宜角三角形中運用【例1】在_ABC中，AC=3, BC=4,則AB的長為()A.5B.10C.4n.大于1且小于7常見錯誤：A.錯誤分析：題意是巳知三甬形的兩邊求第三邊，繆題者錯誤地用宜角三角形代替了任

10、意三角形進行求解, 沒有注意題目中芥沒有給出宜角三角形的前提條件，所以不範用勾股定浬，只能用“兩邊之和大于第三邊，兩 邊之差小于第三邊”判斷出AB的范圍.正確菩案：H.二、運用勾股定理時要分清斜邊和宜角邊【例 2】 在Rt_ABC 中，AC=9, BC=12,則 AB常見錯誤：在Rt.ABC中，利用勾.股定理，得AB2=AC2+BC2=225.鏈溟分析：沒有區(qū)分要求的AB是宜甬邊還是斜邊，只是模慟地記住了勾般定浬的原形，陽沒有注意到題目中并沒有給出明確的條件，對此我們應該分情況討論，如杲AB是斜邊，則利用勾般定理，得ABAC2 + BC=225;如果AB是宜角邊，因為BOAC,所以BC為斜邊，

11、則利用勾股定理，得AB2=BC2-AC2=63AB為225或63.正確咨案：225或63.三、給定三甬形要分形狀運用勾腹定理【例3】 在_ABC中，AB=13, AC=15,高AD = 12,求_ABC的周長.常見錯誤：悵據勾腹定理，B D2= ABAD2=1 32- 1 22= 2 5,CD-=ACAD2=1 52- 1 2-= 3 1, BD= 5 , CD= 9 , BC = BD+CD=S + 9= 14.此時，_ABC的周長為AB + B C+AC=1 3 + 14 + 1 5 = 4 2 u錯誤分析：-ABC可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形錯誤空案是只討論了_abc是銳角三角形

12、 陽忽視了它還可能為鈍角三角形的情況.正確咨案：應該分情況討論，當_abc是銳角三角形時，解法如上.當_ABC是噸甬三角形時，其圖如下，根據勾股定理，B D2= ABAD2=1 32- 1 22= 2 5,CD-=ACAD2= 1 5 2- 1 2 2= 0 1 , BD=3,CD=9,BC = CD-BD=9-5 = 4.此時，_ABC的周長為：AB + B C+AC=1 3 + 4+1 5 = 32.故_ABC的周長為42或32.四、不能正確區(qū)分宜角邊和斜邊【例4】已知一個三甬形的三邊長滬5, b=13, c=12,這個三甬形是宜甬三角形嗎？錯解：不是在三角形中，利用勾股定理，a-+b-=

13、194, c-=144.a-+b-*c-,故此三角形不是直角三角形.鏈解分析：本題中雖然r-rb-c2,但我們不能因此就認定這個三角形不是宜角三甬形，我們應該首先分 析一下這三個邊，邊長最長的應為斜邊，即b為斜邊，b2=169, +?=25+144=169, BD a2+c2=b2；故這個 三角形為宜角三角形因此我們在協(xié)題時，先找到杲長邊，即確定斜邊，可以讓我們少走穹路.正確答案：是.【反思】勾股定理的連定浬是利用三角形的三邊之間的數宜關系來判定一個三角形是否為直角三角形的定 理，我們在做題的時候一定要正確區(qū)分哪條為宜用邊哪條為斜邊.五. 芳慮不全面造成漏解【例5】已知加b、c%_ABC的三邊

14、，旦滿足a2c2b2c2=?4b4，試判斷_ABC的形狀.錯解:a2c2b2c2=a4b4 (I)/. c2 ( a2 b2) = ( a2+b2)(a2 b2) (2)c2=a2+b2 (3)_ABC是宜甬三角形.鏈解分析：本題在由第(2)步到第(3)步的化簡過程中沒有考慮到ab-=0的倩況就直接在等式兩邊 除以一個可能為0的教，從麗導致了錯誤.正解：T a2c2b2c2 = a4b4c2 ( a2b2) = ( a2+b2)(a2 b2)(1) 當Xb%0時,化簡后得r=a2+b2-ABC是宜角三用形.(2) 當”一涇=0 時，a=b_ABC是爹媵三用形.【反思】本題結臺因式分繆的知識，煖

15、臺琴査了提公因式法、公式分解法以及勾股定理的逆定理，同時還 辛萱了等式的性質2:在等式関邊不能同時除以一個可能為0的教，這住往是我們最容易忽視的地方，應引起 大家的注意.六不能僅憑模徹記憶【例6】在_ABC中，_兒ZB. _.不是亙甬三角形錯解：選B錯解分析：在解這道題的時候導致錯誤的原因在于對已知條件袒貉地分析得出存在平方關系之后就習慣性 地認為邊C的對角二C 一定表示宜角.該題中的條件應捷化為a2-b2=c即/=,+，應根據這一關系進行判 斷.債邊所對的角上A為亙甬.故選A.【反思】我們在判斷直角三角形哪一個角是宜角的時候不能因為思淮定勢看到數重的平方關系就得到某個 角是宜甬的結論.七.專

16、慮不全造成漏解【例7】巳知宜角三角形的兩邊長分別為3、4,求第三邊長.錯超刮析：因習慣了 “勾三舲四弦五的說法，即意味著陰宜甬邊為3和4時，斜邊長為5.但這一理解的前 提是3、4為宜角邊.勵本題中芥未加以任何說明，因用所求的第三邊可能為斜邊，也可能為宜角邊.正解：（1）當兩宜荊邊為3和4時，第三邊長為仔+4 -v25 =5.（2）當斜邊為4, 一宜角邊為3時，第三邊長為/平一3?二71 .八、理解流于形式，造成思維定勢【例8】巳知三用形的三邊為“一4 r 4, C=1，這個三角形是亙甬三角形嗎？925錯超：用=16,涇=疋，（r=l,血2+bHc2,該三角形不是宜甬三角形.錯超刮析：雖然但不能

17、急于否定這個三角形就不是直希三角形，因為我們發(fā)現有a2+c2=b2, 所以這個三角形是宜龜三角形.正紐：這個三甬形是宜甬三甬形.九混漕勾股定理與逆定理【例9】在B港有甲.二阿譴漁船，若甲船沿北偏東6 0,方向以每小時8海里的速度前進，二船沿南傭東 某個角度以苒小時15海里的速度前進，2小時后，甲俯到MS,二船到P珞,兩鳥相距34海里，你知道二餡 是沿那個方向航行的嗎？錯遲甲船航行的距離為BM=8X2=16 （海里），二船航行的距離為BP=15X2=3O （海里）.*. -MBP為直角三角形._MBP=90 二船是沿著南偏東3（r方向航行.錯解剖析：雖然最終判斷的結果也是對的，但忽殆了對使用勾股

18、定理的前提條件的證明，犯了運用上茁錯誤. 正解：甲船航行的距離為BM=8X2=16 （海里），：!船航行的距離為BP=15X2 = 3O （海里）. 162+302=1156, 342=1156,BNf+BPMP2_MBP為宜甬三角形._MBP=90二聒是沿著南誦東30,的方向航行的.第四節(jié)、思維點撥一、方程思想【例1】如亂在長方形ABCD中，DC=Scm,在DC上存在一點E,沿宜線AE把_AED折益，使點D【分析與解】由ABF的面積為30cn?,可得 BF=12cm.則在 Ri_AEF 中，AB=Scm, BF=12cm,根據勾般定浬可知AF=13cm.再生折益的性質可知AD=AF=13cm

19、.所以 FC=lcm.可設 nE=EF=x,則 EC=5-x在Rt_EFC中，可得：I2+ （5-x） 2=r.解這個方程，得 13所以 S_=2 x 5 x 13=16.9 （cm-）.二化歸思想【例2】如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為4的正方形，勒點P從A點出發(fā)，沿著圓柱的側面移功到 BC的中點S的最短路徑長為（）A. 2V 1+tt2B. 2V1+4tt2C 4 VTD. 2V1+27T2【分析與解】求幾何體表面的最短距徑，可聯(lián)系我們學過的圓柱體的側面展開圖，化“曲面為“平面”， 再尋找解題的途徑.如上右圖，可得展開圖中的AB的長為仏十2=2口，Bz S的長為4一2 = 2在Rt_AB

20、 S中，根據勾股定理，得 AS =2Vl-hTT2 .所以勒點P從A點出發(fā)，沿著圜柱的側面移功到BC的中點S的是短路徑長為2故選A.三、分類討論思想【例3】 在_ABC中，AB=15, AC=20, AD是BC邊上的高，AD=12,試求出BC邊的長.【分析與解】此題沒有給出國示，又由于三角形的高可能在三角形內部也可能在三角形外部，所以其高 的住置應分兩種情況來求如下圖所示，-ABC有関種情況.由勾股定理，分別在 Rt_ABD 和 Rt_ADC 中，得 BD2=ABAD152.122= 81 ,則 BP=9.Cn2=ACB=sr)c=9o設 DC=X,則 BD = 14-X.在Ri-ABD中，由

21、勾股定理得：AD: = AB :-BD:= 1 5 :- (14一“ 在Ri_ADC中，由勾股定理得：AD:= 1 3 :-x:.由=，解得只=5所以 AD : = 1 3= 16925=144,故 AD= 1 2 1_ 所以 S_A3c=2b C AD=X 12X14 = 34 解法二：AD=x,則在 Ri_ABD 中，由勾股定理得：BD: = AB:-AD:= 1 5 :-x:.在Ri_ADC中，由勾股定理得：CD:= 1 3 :再根據題意，知BC二BD+DC,/. 14 二 VBF，解得 *12.所以D=84.四、勾般定浬是宜角三角形的一個重要性質，這個定連反映了直角三角形三條邊之間的關

22、系，它是把三角 形有一個宜用的“形”的持征，轉化為三邊“教”的關系，因此它是教形結臺的一個典范.下面就讓我們通過 一道例題來體會一下【例5】巳知：在-ABC中，2=13c叫BC=10cm, BC邊上的中線AD=12cm則_ABC是竽腰三角形嗎？【思與分析】先畫出圖形，如込 求出BH=5cm,利毎直命三角形的判定方法，說明5_BC,然后 在_5C中，利用勾股定理求出AC,從麗得到AB=AC.解：由人門是BC邊上的中線，_ 丄得 BD=CD=BC=X10=5 (cm).(由形到教)在_ABD 中，W An2+DB2=122+52=132 =AB2,所以一ABD是宜角三角形，其中 _ADB=90，,

23、ADC=9(f(由數到形)在 Rt_ADC 中，AC-= AD2+DC2= 122+52= 169, 又因為AC0,所以AC=13 (cm).(由形到敎)RO AB=AC.故_ ABC是等怨三角形.(由教到形)A【反思】此題綜臺運用了勾般定理尺宜角三角形的判定方法，充分體現了由“形”到沁，再由逆T 到“形”的教形結合的思想，從中你可以體會到數形結合的奧妙.【例6】小剛準E測雖一般河水的深度，他把一根竹竿插到蔑岸邊1鈕遠的水底，竹竿高出水面0.5m,把竹 竿的頂端拉向岸邊，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則河水的深度為()A. 2mB. 2.5mC. 2.25mD. 3m【思考與分析】為了順利解決此題

24、，我們首先要帳湄題中敘述的條件S出草囲如上，則有BO=1.5m,AF二CE=0.5m, AD=BF二BE二水深，在 Rt_ABr 中，設河水的深度 BF=m,則有 AB二(0.5+x) m, ADm,BH=1.5m,根據勾股定理,列方程(0.5+x) 2=1.52+r,解之即可.解：如上圖所示，在Ri_ABD中，設河水的深度BF=xm,則有 AB= (0.5+x) m, AD=xm,BD=1.5m.悵據勾腹定理，列方程：(0.5+x) 2=1.52+x2,解得x=2.所以河水的深度為2m.故答案選A.【小結】本題是敎學問題在主活中的實際應用，我們首先要通過分析，畫出草亂 把實際問題捷化成敵學間

25、題,運用我們所學的數學知識來求解這種通過分析題意,畫出圖形,將實際問題抽象成純數學問題來求解的數學思 想方法，我們一般稱為建模的教學思想、方法本題在畫出草圖，把題意抽象成純敵學問題后，實際上就是建立起 “解直角三角形的數學模型(如上圖)”，在此基礎上，借肋勾股定理來進行求解解這種實際應用題的一般黃 略為:解數學建模、 問題圻何題豐屯數學問題一h問題的經驗數學化注意經矗另外，在此題中還運用了方程的教學思想，勾般定浬的數學表達式是一個含有平方關系的等式，求線段的長 度時，可通過設未知教，建立方程進行求解，運用冇程思想，有時可大犬簡化求解過程.第五節(jié)、競賽數學【例1】 等K_AB C中AB = AC

26、, D為BC上任一點，求證：AB:-AD: = BDDC【思琴與分析】本題要證明的奪式中含有線段的平方，故可以活慮運用勾般定逗，但我們知道運用勾，股 定浬的先決條件是具肓宜用三角形，那么就需要我們首先構造宜侖三角形.根據等腰三角形的性質，我們作A P_BC,則 BP = PC,那么 BD DC= (B P + PD) (PC-PD) =B P:-PD:,又S 為 Rt_A PB和Ri_APD有公共邊AP,由勾般定浬得AB:-BP: = AD:-PD:,所以AB AD: = B P: 一 PD： = BD DC.證明：(1)若D不是BC的中點時，作AP丄BC于點P,如囲1.等腫_AB C中AB

27、= AC, B P = P C .在Ri_AP B和Ri_APD中，由勾股定理得：A B7=A 尸+R嚴再DJ4尸十p”購式相誠得：AB：-AD，=BP： - PD：=(BP + PD)(BP-PD) = (BP + PD)(PC-PD)=BD D C,即 AB： 一 AD： = BD DC.(2)若D是BC的中點，如圖2.等 _AB C 中 AB=AC, AD丄B C , B D = DC在 Rt_ADB 中AB ： = AD： + B D：,/. AB：-AD： = BD：=BD BD=BD DC,R1AB:-AD: = BD DC .【例2】如圖3,在_ABC中，若ABAC, AE為BC

28、邊上的中線，AF為BC邊上的高. 求證：AB:-AC:=2 BC EF.【思考與分析】竽式左邊根據題中給出的條件A F為BC邊上的高，IHlRi-ABF和 Rt_ACF中包含這三邊，我們可以得到AB:-BF: = AF:t AC：-CF： = AF：這兩個等式，這時我 們就可以發(fā)現網式相誠得到ABAC:=BF-CF-= (B F + C F) (BF-CF),再根據AE為B C邊上的中線，繼續(xù)化簡可證得結論.證明：AF為BC邊上的高，根據勾股定理WAB BF: = AF: = AC:-CF:, AB:-AC:=BF:-CF:= (BF + CF) (BF-CF)=B C (BF-CF)又AE為

29、BC邊上的中線，B E = E C BF-CF=(BE + EF)-(EC-EF)=2 E F AB AC := 2 B C EF.【例3如圖所示，巳知_ABC中，_ACB = 9 0，, AC = BC, P是_ABC內一點，且PA=3 , P B=1 , P C = 2 ,求上B P C的度數.【思電與分析1】_BPC在一PBC中，雖然我們巳經知道PBPC的長，但可以發(fā)現宜接利用條件 求它還是比較困璉.既然宜接求解比較困堆，那么我們是否可以慮將-BPC進行分割，轉化成持硃角后再 進行求解呢？我們作CE丄PC,并截取CE二PC,逹結BE、PE,就可以把二BPC分割為_CPE 和EPB 兩個角

30、.根據我們做輔助線的過程可知二CPE=4 5-,要求_BPC，問題就轉化到求_EPB,這個問題 可以在_EPE中得到解決.方法1：過C作CE丄PC,并截取CE=PC=2,逹結BE. PE.則上BCE+上PCB=_PC A+_PCB=90，,二BCE=_PC A.又T CE二CP, AC = B C, _CBE4_C AP (SAS),BE=PA= 3在Ri_P CE 中，C PE= 4 5 * ,且 PE: = PC: + CE:=2PC:=0,在_PBE中，PB: + PE:= 1 + 3 = 9 =BE:_EPB為宜甬三甬形，ZEPB= 9 0* .二 B P C = _BPE+t CPE

31、=9 01 + 4 5* =13【思與分析2】如果我們在_ABC外取點E,使CE=CP, BE=AP,連結PE,則構造了_ CBE和C AP全等，再利用它們之間的敖重關系和勾般定浬&其逆定理就可以解決問題.方法2:在_ABC外取點E,使CE = CP, B E = AP,連結P E. CE=CP, BE = AP, AC = BC,_CBE4_C AP ( S S S). ZBCE=_PC A.又 T 上 AC B= 9 O,即ZPC A+_PCB=9O4 ,二BCE+_PCB=9),BO_PCE=904 又CE=CP= 2 , PE: = CE: + CP:=2:+2:=3, Z C PE=

32、 4 5 * 在_PBE 中，PB: + PE:= 1 + 3 = 9 =BE:.BPE=90* , B P C = ZBPE+_CPE= 9 O +45* =135* 【反思】本題主要運用化歸捷化的敎學思想方法，將比較準求的角通過分割轉化成為比較奸求的特硃甬, 在這里怎樣分角存在一定的技巧，通常我們部是把所求的角分成3 0, , 4 5，6 0 , , 9 0 ,這樣的一些 特殊角.【例4】李老帥設計了這樣一道探究題：如國1 (1),有一個圓柱，它高為12厘米，底面半徑為3厘米， 在圓住下底面的A點有一只螞蟻，它想吒到上底面與A點相對的B點處的食物，則沿圓柱側面爬行的最短路 程是條少？ G的

33、取值為3)【思考與分析】這是一道掲蟻怎么走最近的問題，同學們可以這樣思考：(1)自己做一個園柱，嘗試從入 點到B點沿圓柱側面U出幾條路線，你認為那條路線晏短？(2) 如圖1 (2)所貳 將圓柱側面剪開展成一個長方形，從人到B的最短路線是什么？你畫對了嗎？(3) 螞蚊從A點，想吃到B點上的食物，它需要爬行的最短路線是條少？由A到B,有無教條路線，如果將圓柱側面從A點(媽蟻爬行路徑的起枱點)垂宜向上剪開，則剪開的側面 展開圖的形狀是長方形最短路線是線段AB,因為兩點之間線羚最短這個最短距離就是AB的長.丄解：圓柱的底面周長為2瞅=2X3X3= 18,畏開圖中CE的長是底直周長的一半，為2x18 =

34、 9,圓柱的高為 12,即 AC=12,在 Rt_ABC 中，根據勾股定理有：AB-=AC2+BC2=92+122t 所以 AB=15 B米.【反思】這個有趣的問題是勾膽定理的典型應用，此問題看上去是一個曲面上的路線問題，但實際上通過 圓柱的側面展開而轉化為平面上的路線問題，直得注意的是，在剪開圓柱側面時，要從A點開灼井垂直干A 點剪開，這樣展開的側面才是個矩形，得到直角，才能用勾腹定理解決問題本題的設計與應用不止如此，我們在弄清此題的基礎上，就可以進一步地引導學生進行變式訓練，進一步地 演變成如下的問題.演變一：“變圓住為圓錐”【例5】如圖2 (1),圓錐的母線長是3,底面半徑是1, A是底

35、面圓周上一點，從點A出發(fā)繞側面一周，再 回到點A茁最短的路線長是()BA. 6/T B.C. 3/T D. 3厶人 CExitx3開，在其側面展開圖如圖2 （2）所示的扇形中求出AB的長町可由扇形的弧長公式可知： 180=2n, ACB=120* .Z ACn=60* 在 Rt_ACD 中，_CAD = 30 丄L CP=2aC,根據勾股定理有 Cn2+AP2=AC2, ROAd + ADAC2,又 AC=3,3VTAD= 2.AB=3V故答案選C.【反思】本例是旋轉體的問題，也是把立體國形轉化為平面圖形的問題，即將原圖形的側面展開捷化為平面 圖形問題-即“展曲為平”問題，持別要注意圓柱.圓錐的側面展開問題.第六節(jié)、本章訓練基礎訓練趣1. 竽腰三角形的網邊長分別為41旳和18cm,則此三甬形的面積是 _2. 巳知直角三角形関宜角邊之比為3: 4,斜邊長為30,則此三角形的面積為_3 巳知_ABC中，AB=10, AC=17, BC邊上的高為AD=8f則BC的長-4.如果線段：、b. c能組成宜角三角形，則它們的比可以是（）A.