線性方程組解法

1、電 子 科 技 大 學數(shù)值計算方法實 驗 報 告學生姓名：周強學 號：2704203018一、實驗室名稱：211大樓206室二、實驗項目名稱：數(shù)值計算方法實驗2線性方程組解法三、實驗原理：（一）列主元高斯消去法高斯（Gauss）消去法主要思想是通過將方程組的系數(shù)增廣矩陣同解變換成上三角矩陣，即將原方程組化為上三角方程組這種特殊的形式，這樣求解方程組的問題就解決了。列主高斯消去法的必須條件是。但是即使，但當和相比很小時，在第k行元素有誤，則該誤差將放大倍傳到的第i行。由于的絕對值很大，由此將帶來舍入誤差的嚴重增長，所以該條件下列主高斯消去法不適用。只有方程組的系數(shù)增廣矩陣滿足此條件時，才能用列主

2、高斯消去法求解方程組；1）按列選主元。k-1次消元后，選第k列對角元以下絕對值最大的元素為該列主元。2）交換增廣矩陣(A(k) b(k) 的第t行和k行。將新的主對角元，記為。3）用高斯消去法進行第k(kn)次消元.4）消元完成后，回代求解。圖1為列主元高斯消元法流程圖。 開始 結(jié)束YNY圖1 列主元高斯消元法流程圖（二）矩陣直接三角分解法 矩陣直接三角分解法不必借助于消元過程，而是由非奇異矩陣A的元素及遞推關(guān)系直接定出L，U的元素，再根據(jù)分解出的L、U的矩陣，將A寫成LU分解的緊湊格式，從而簡化運算。圖2是矩陣直接三角分解法的流程圖。 開始 結(jié)束圖2 矩陣直接三角分解法的流程圖（三） 雅可比

3、迭代法已知線性方程組 構(gòu)造迭代通過此迭代格式求解方程組的算法為雅可比迭代法。圖3為雅可比迭代法的流程圖。Y 結(jié)束N 開始Y圖3雅可比迭代法流程圖（四）高斯-塞德爾迭代法已知線性方程組通過此迭代格式求解方程組的算法為高斯-塞德爾迭代法。四、實驗?zāi)康模?1、熟悉求解線性方程組的有關(guān)理論和方法。2、編制列主元消去法、LU分解法、雅克比及高斯-賽德爾迭代法的程序。3、通過實際計算，進一步了解各種方法的優(yōu)缺點，選擇合適的數(shù)值方法。五、實驗內(nèi)容：（一）列主高斯消去法1 消元過程找主元 找，使得。如果，則矩陣A奇異，程序結(jié)束；否則執(zhí)行.如果，則交換第k行和第的位置。消元，對，計算對，計算2 回代過程若，則矩

4、陣A奇異，程序結(jié)束；否則執(zhí)行。；對計算 實驗程序：%消元過程for i=1:m-1 pivot,p=max(abs(Ab(i:n,i); %選取主元ip=p+i-1; %計算主元的行下標if ip=i Ab(i ip,:)=Ab(ip i,:); %行交換end pivot=Ab(i,i); for k=i+1:m Ab(k,i:nb)=Ab(k,i:nb)-(Ab(k,i)/pivot)*Ab(i,i:nb); %消元endEnd%回代過程x=zeros(n,1);x(n)=Ab(n,nb)/Ab(n,n); %計算x（n）的值for i=n-1:-1:1 x(i)=(Ab(i,nb)-Ab

5、(i,i+1:n)*x(i+1:n)/Ab(i,i); %計算得出x（i）的值endfor k=1:n fprintf(x%d=%fn,k,x(k) %輸出x（二）矩陣直接三角分解法 將方程組，分解為兩個方程組，其中L是單位三角下矩陣，U是上三角矩陣。對，計算 對，計算 對對，計算 對，計算 ，對計算，對計算實驗程序：%分解成緊湊格式Ab(2:m,1)=Ab(2:m,1)/Ab(1,1); %計算L（i，1）for k=2:m for j=k:nb Ab(k,j)=Ab(k,j)-Ab(k,1:k-1)*Ab(1:k-1,j); %計算矩陣U（m，n） end for i=k+1:m Ab(i

6、,k)=(Ab(i,k)-Ab(i,1:k-1)*Ab(1:k-1,k)/Ab(k,k); %計算矩陣L（m，n） endend%回代過程x=zeros(n,1);x(n)=Ab(n,nb)/Ab(n,n);for k=n-1:-1:1 x(k)=(Ab(k,nb)-Ab(k,k+1:n)*x(k+1:n)/Ab(k,k); %計算x（i）的值endfor k=1:n fprintf(x%d=%fn,k,x(k) %輸出x(i)end（三）雅克比迭代法設(shè)方程組的系數(shù)矩陣的對角元素，M為迭代次數(shù)容許的最大值，為容許誤差。取初始向量，令。對計算如果，則輸出，結(jié)束；否則執(zhí)行.如果，則不收斂，終止程序

7、；否則，轉(zhuǎn)。實驗程序：%迭代過程while 1 x1(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x(2:n,1)/A(1,1); %計算x1（1) for i=2:n-1 x1(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1,1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n,1)/A(i,i); %計算x1（i） y(n)=x1(i)-x(i); y(3) end x1(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x(1:n-1,1)/A(n,n); %計算x1（n） k=k+1; if sum(abs(x1-x)=max fprintf(迭代法不收斂); %迭代次數(shù)大于max，終止 break en

8、d x=x1;end（四）高斯-塞德爾迭代法設(shè)方程組的系數(shù)矩陣的對角元素，M為迭代次數(shù)容許的最大值，為容許誤差。取初始向量，令。對計算如果，則輸出，結(jié)束；否則執(zhí)行.如果，則不收斂，終止程序；否則，轉(zhuǎn)。實驗程序：%迭代過程while 1 x1(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x(2:n,1)/A(1,1); %計算x1（1) for i=2:n-1 x1(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x1(1:i-1,1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n,1)/A(i,i); %計算x1（i） end x1(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x1(1:n-1,1)/A(n,n); %計

9、算x1（n） k=k+1; if sum(abs(x1-x)=max fprintf(迭代法不收斂); %迭代次數(shù)大于max，終止 break end x=x1;end六、實驗結(jié)果及討論1列主元高斯消元法輸出結(jié)果如表1所示：表1列主元高斯消元法輸出結(jié)果x1x2x3-0.3982340.0137950.335144通過對主元的選取，使得消元因子的絕對值小于或等于1，避免了小主元，從而能保證舍入誤差不擴散，保證取得的值是正確的。2矩陣直接三角分解法輸出結(jié)果如表2所示：表2矩陣直接三角分解法輸出結(jié)果x1x2x3x43.000000-2.0000001.0000005.000000若采用列主元高斯消元

10、法來解這個方程組，所得到的結(jié)果也和矩陣直接三角分解法相同，與高斯消元法不同的是LU分解法避免了中間的消元過程，從而避免了高斯消元法中出現(xiàn)的問題。對于多次求解具有相同系數(shù)矩陣和不同右端向量的線性方程組，LU分解法更佳。3、雅克比迭代法輸出結(jié)果如表3所示：表3 雅克比迭代法輸出結(jié)果Nx1x2x3301.0000002.000000-1.000000圖5是雅克比迭代法的迭代過程圖4高斯-塞德爾迭代法輸出結(jié)果如表4所示：表4高斯-塞德爾迭代法輸出結(jié)果nx1x2x3151.0000002.000000-1.000000圖6是高斯賽德爾迭代的過程圖綜合分析雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法，由于它們是由迭代思想來解方程組的，所以要考慮迭代次數(shù)和容許誤差，而容許誤差又決定著迭代次數(shù)，當容許誤差取1eps-10時，雅克比迭代法需迭代30次，當取1eps-8時，雅克比迭代法需迭代次25次，但輸出結(jié)果不變，當取1eps-5時，輸出迭代次數(shù)為17，輸出結(jié)果變?yōu)閤1=0.999999，x2=2.000001，x3=-1.000001，所以在用迭代法求解大型方程組或求解比較復雜的根時，要注