《自動(dòng)控制原理》---丁紅主編---第八章習(xí)題答案

1、8-1已知非線性環(huán)節(jié)的特性如圖8.1a所示，試計(jì)算該環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。y（c）0-aax答：方法一：由圖8.1a所示，令xt=Xsint,代入則可以得到y(tǒng)(t)KXsint+A 0tKXsint-A t0x+x+x=0 x0時(shí)，相軌跡方程對(duì)應(yīng)的特征方程為2+1=0，1,2=-12+32j，由x=xdxdx可以得到dxdx=-x+xx.故奇點(diǎn)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)。當(dāng)x0x=11+x x011+ x0-1+1k x0,列寫表格如下表所示。K-3-2-10123+=-1-1k x0-1-23-120-2-32-43-1=-1+1k x0，T0。當(dāng)非線性元件N分別為理想繼電特性;死區(qū)繼電特性;滯環(huán)繼電特性;帶死

2、區(qū)和滯環(huán)的繼電特性，在相平面上繪制相平面圖。C(t)r = 0-N(e) e) （俄）8-29系統(tǒng)方框圖（1） 具有死區(qū)的三位置繼電特性線性部分的微分方程為Tc+c=Ku當(dāng)繼電特性為具有死區(qū)的三位置繼電特性時(shí)，上式可以寫成分段微分方程為：Tc+c=-KM，chTc+c=0，chTc+c=KM，ch區(qū)域，相軌跡方程為：Tc+c=-KM類似于具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)時(shí)的討論，像平面與該區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡均漸進(jìn)于c=-KM的直線。在c-h區(qū)域，相軌跡方程為：Tc+c=KM像平面在該區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡均漸進(jìn)于c=KM的直線。在ch；c-h;c0Tc+c=KM，c-h；c0開關(guān)線方程為c=-h;c0

3、開關(guān)線將整個(gè)相平面劃分成兩個(gè)區(qū)域：區(qū)域ch；c-h;c0相軌跡方程Tc+c=-KM，區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡漸近于c=-KM水平直線;區(qū)域c-h；c0相軌跡方程Tc+c=KM區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡漸近于c=KM水平直線。（3） 既有死區(qū)又有滯環(huán)的繼電特性當(dāng)繼電特性為既有死區(qū)又有滯環(huán)的繼電特性時(shí)，分段線性微分方程為Tc+c=-KM，ch；cmh; c0Tc+c=0，ch; c0;-mh0Tc+c=KM，cc; c0開關(guān)線方程為c=h；c=mh; c0和c=-h；c=-mh; c0.5的范圍內(nèi),y=2與e的具體數(shù)值無(wú)關(guān)。于是上圖可進(jìn)一步化簡(jiǎn)。r = 0-0.5 2（2）繪出線性部分的G（j）曲線圖。由上圖可

4、得線性部分的傳遞函數(shù)為Gs=10s（s+1）2，當(dāng)從0變化時(shí)，G（j）曲線從第象限開始，穿越負(fù)實(shí)軸后進(jìn)入第象限，最后終止于坐標(biāo)原點(diǎn)。令Gjg=-90。-2arctan=-180。有arctan=45。=g=1計(jì)算可得Gjg曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為G（j）=101+22=g=5于是，可繪出G（j）曲線圖。（3）繪出非線性部分-1NA曲線。由上圖可得，非線性部分的描述函數(shù)為NA=4MA1-（e0A）2其中M=2，e0=0.5，故NA=8A1-（12A）2計(jì)算可得，當(dāng)A=2e0=22時(shí)，NA取極值NA=8-1NA=-0.39繪出-1NA曲線。（4） 計(jì)算自振參數(shù)。-1N曲線與nyquist圖有2個(gè)交點(diǎn)，

5、對(duì)應(yīng)于較大的A，將產(chǎn)生自持振蕩。令-1NA= Gjg可求得8A1-（12A）2=0.2解得：A1=12.72,A2=0.503即：系統(tǒng)將產(chǎn)生自振，震蕩角頻率為g=1rads，振幅為A=12.72。8.7. (中國(guó)海洋大學(xué)2003年 本題18分)已知非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖8-31所示。C(t)r = 0-N(A)2圖8-31非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖其中描述函數(shù),試用描述函數(shù)法確定:(1) a為何值時(shí)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生自激振蕩？(2) 當(dāng)產(chǎn)生自激振蕩時(shí),計(jì)算周期運(yùn)動(dòng)的振幅和頻率。分析：本試題的特點(diǎn)是所給描述函數(shù)不是常見的典型非線性特性，應(yīng)通過分析N(A),繪出-1N曲線。解：（1）分析a為何值時(shí)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生自振

6、繪出-1N曲線。由NA是實(shí)數(shù) -1N分布在負(fù)實(shí)軸上。由NA-1N=-A+aaA+1 A0時(shí) -1N-aA時(shí) -1N-1a即， -1N曲線分布在負(fù)實(shí)軸上由-a-1a段。當(dāng)A從0變化時(shí)：若a=1，則-1N=-1，為一個(gè)點(diǎn)，-1N不隨A的變化而變化，見下圖a；若0a1，-1N曲線見圖c。A=0 Ay（c）0-a-1axLm（b）0-a-1aReA A=0Lm（-1N）（a）0Re-1 繪出G（j）曲線 由圖可見，線性部分的傳遞函數(shù) Gs=12ss+1(s+2)令2a12因此，當(dāng)0a0.5時(shí)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生自振。（2）求自振參數(shù)當(dāng)產(chǎn)生自振時(shí)Gjg=-1NNA=-1Gjg 將N(A)的表達(dá)式及Gjg的值代入

7、可得A+aaA+1=0.5A=1-2a2-a因此，產(chǎn)生自振時(shí)，角頻率為2，周期運(yùn)動(dòng)的振幅為1-2a2-a，其中0a0-1 e+Tde0-1 e+Tde0）：e=-1，ede=-de積分可得12e2=-e+C1 （拋物線）其中C1為常數(shù)，由初始條件和開關(guān)線確定。同理可得：在區(qū)（e+Tde0）；12e2=e+C2 （拋物線）其中C2為常數(shù)，由初始條件和開關(guān)線確定。仿真（略）。8.16非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8-35所示，已知：hMC(t)r = 0-K圖8-35非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（1）自振時(shí),調(diào)整使 。求此時(shí)的值和自振參數(shù)以及輸出振幅。(2)定性分析K增大后自振參數(shù)的變化規(guī)律。（1）由NA=8A2-j8

8、A2-1NA=-8A2-1-j8GS=2Ks(s+1)系統(tǒng)在Q點(diǎn)產(chǎn)生自振，此時(shí)0.50, -0.55e0.5-M, 5e0.1 區(qū)0, -0.1e01 區(qū)M, e0.1和e-0.1處。所以，最大穩(wěn)態(tài)誤差emax=0.1。 8.20分段線性的角度隨動(dòng)系統(tǒng)，如圖8-37(a)所示的是某角度隨動(dòng)系統(tǒng)的方塊圖；其中執(zhí)行電機(jī)近似為一階慣性環(huán)節(jié)，增益K1(e)是隨信號(hào)大小變化的，大信號(hào)時(shí)的增益為1，小信號(hào)時(shí)的增益為k(k1)，其特性如圖8-37(b)所示。分析輸入為階躍信號(hào)和斜坡信號(hào)時(shí)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情況。圖8-37分段線性的角度隨動(dòng)系統(tǒng)1) 階躍輸入r(t)1(t) 的情形。由于, 故有 Te+e+Ke=0

9、(區(qū)域或區(qū)域)Te+e+kKe=0 （區(qū)域）奇點(diǎn)為e=0, e=0, 即原點(diǎn)。所以對(duì)區(qū)域, 它是實(shí)奇點(diǎn); 對(duì)區(qū)域和, 它是虛奇點(diǎn)。 通過選K和T值, 使14kKT0, 且使14KT0。不妨設(shè)T1, K4, k0.062, e00.2。輸入較大時(shí), 如|e|e0, 運(yùn)動(dòng)方程為式(8.12), 14KT0, 為欠阻尼, 所以原點(diǎn)是穩(wěn)定焦點(diǎn); 輸入較小時(shí), 如|e|e0, 運(yùn)動(dòng)方程為式(8.13), 14kKT0, 為過阻尼, 故原點(diǎn)是穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。 其相軌跡如圖。系統(tǒng)在階躍輸入下的相軌跡由A點(diǎn)出發(fā)的運(yùn)動(dòng)以原點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn), 但到達(dá)邊界的B點(diǎn)后, 原點(diǎn)又變成了穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。CD段的運(yùn)動(dòng)方程又變?yōu)槭健?如此每經(jīng)

10、過邊界時(shí), 都改變運(yùn)動(dòng)的性質(zhì), 只有最后進(jìn)入?yún)^(qū)域, 沿DO段漸近收斂到原點(diǎn)。在這種情況下,調(diào)節(jié)過程可以加快。 因?yàn)檎`差信號(hào)較大時(shí), 系統(tǒng)為欠阻尼, 運(yùn)動(dòng)速度較快, 所以使誤差很快變小; 而誤差變小后, 系統(tǒng)為過阻尼, 可以避免振蕩。(2) 斜坡輸入r(t)RVt的情形。由于r=V, r =0, 故有 Te+e+Ke=V (區(qū)域或區(qū)域)Te+e+kKe=V （區(qū)域）在區(qū)域, 奇點(diǎn)為e=V/(kK), e=0, 記P2V/(kK)。在區(qū)域和, 奇點(diǎn)為e=V/(K), e=0, 記P1V/(K)。顯然, P2 P1。參數(shù)設(shè)置同上, 則14kKT0, 且14KT0。則e軸上的P2點(diǎn)是穩(wěn)定節(jié)點(diǎn), P1點(diǎn)

11、是穩(wěn)定焦點(diǎn)。但它們的位置將與參數(shù)設(shè)定有關(guān)。下面分3種情況討論： VkKe0。這時(shí)P2V/(kK)e0 , 所以是實(shí)奇點(diǎn); P1V/(K)ke0e0, 所以是虛奇點(diǎn)。設(shè)r(t)0.30.04t, 則又V0.04, 所以P2V/(kK)0.16, P1V/(K)0.01。其相軌跡如圖8-14所示。運(yùn)動(dòng)在到達(dá)邊界進(jìn)入?yún)^(qū)域后改變性質(zhì), P2代表穩(wěn)定的實(shí)節(jié)點(diǎn), 所以運(yùn)動(dòng)收斂到P2, 因此穩(wěn)態(tài)誤差ess= P2 。 系統(tǒng)在斜坡輸入下的相軌跡系統(tǒng)在斜坡輸入下的相軌跡 VKe0 。這時(shí)P2V/(kK)V/Ke0 是虛奇點(diǎn); P1V/(K)e0是實(shí)奇點(diǎn)。設(shè)r(t)1.2t,則e(0)=r(0)-c(0)=0, e(0)=r(0)-c(0)=1.2又V