數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文有關(guān)三冪等矩陣秩等式的進一步探討

1、李巧欣 有關(guān)三冪等矩陣秩等式的進一步探討有關(guān)三冪等矩陣秩等式的進一步探討李巧欣（莆田學院數(shù)學系 指導老師：楊忠鵬）摘要：本文首先得到k個冪等矩陣和的秩的等式,并且以它為工具探索了一個冪等矩陣和一個三冪等矩陣和的秩的等式.作為應用,本文的主要結(jié)論概括推廣了george p.h.和yongge tian的相關(guān)結(jié)論.在這篇文章中，主要使用了兩種經(jīng)典的方法：把三冪等矩陣轉(zhuǎn)化為冪等矩陣和分塊矩陣的高斯消元法.關(guān)鍵詞: 三冪等矩陣 冪等矩陣 對合矩陣 矩陣的秩 abstract: this paper firstly studys the rank equalities of the sum of k i

2、dempotent matrix. using the rank equalities of the sum of k idempotent matrix, it also explores the rank equalities of the sum of one idempo-tent matrix and one tripotent matrices. as the application,the main conclucion of this paper generalies the related conclusion of george p.h.and yongge tian ,r

3、espectively, by two classical tools: transforming an tripotent matrix into an idempotent matrix and applying block gaussian elimination.keywords: tripotent matrices idempotent matrix involutory matrix rank equality 0 符號說明及引言三冪等矩陣性質(zhì)一直是矩陣理論中令人關(guān)注的課題， 在許多內(nèi)容和各種學科中都非常有用.為了后面的寫作方便，首先進行符號說明.用表示復數(shù)域上的所有矩陣組成的集

4、合; 表示復數(shù)域上所有維列向量組成的集合，表示階單位矩陣，表示矩陣的秩.若，稱a為冪等矩陣.設復矩陣為的共軛矩陣，其中為的共軛復數(shù).即對進行轉(zhuǎn)置.表示的共軛轉(zhuǎn)置矩陣. 在本文中用表示a的共軛轉(zhuǎn)置矩陣;若，稱為三次冪等矩陣.若，稱為m次冪等矩陣；若，稱為對合矩陣.若，稱為冪么矩陣；分塊矩陣，.，.若稱為與的換位子.表示的值域.對分塊矩陣的初等變換的符號說明:表示矩陣的第i行加上或減去第j行，表示矩陣的第i 列加上或減去第j列，表示第i行加上或減去第j行的倍；表示第i列加上或減去第j列的倍. 文獻1研究了冪等矩陣與三冪等矩陣線性組合的冪等性.文獻4討論了三個兩兩可交換的三冪等矩陣的線性組合的可逆性

5、.而文獻5首先給出了一個矩陣的兩個多項式秩的和的恒等式，然后應用這個結(jié)果給出了三冪等矩陣相關(guān)的秩等式，指出有些等式可以作為刻劃三冪等矩陣的秩特征恒等式，有些不能作為判定三冪等矩陣的充分且必要條件.yongge tian，george p.h.styan在文獻2中得到了兩個冪等矩陣的差，和秩等式，同時也得到了兩個對合矩陣的秩等式. 而文獻5給出了兩個可交換的三冪等矩陣的線性組合是三冪等矩陣的充要條件，至此基本上很少人涉及過兩個三冪等矩陣，q的和，差以及三冪等矩陣p與對合矩陣a的換位子秩的等式與不等式，及其可逆性等一些相關(guān)性質(zhì).本文就從這里開始研究.本文利用兩條研究思路：“求同存異”，即把不同的兩

6、類矩陣化成同一類矩陣，從而便于研究討論，在此利用基本工具是把三冪等矩陣轉(zhuǎn)化為冪等矩陣；直接利用分塊矩陣的高斯消元法直接進行研究討論.1 預備定理我們首先引入本論文用到的基本定理：引理1(見4，引理1.1)設已知,則他們滿足下面秩的等式: 特別地,若且都為冪等矩陣，則的一個廣義逆為其本身,所以有 引理2 (見4，定理2.4) 若且都為冪等矩陣，則和有下列秩等式： ， ， ， ， ， 引理3（見4，定理2.1） 設，是復數(shù)域上的兩個階冪等矩陣，則有下列秩等式 引理4(見4，推論2.3)若且都為冪等矩陣，則有下列秩等式: 引理5 如果，則當且僅當 證明 必要性 當且僅當成立.充分性 由,得,由根據(jù),

7、得到引理6 設為n階矩陣，則為三冪等矩陣的充要條件是存在可逆矩陣，使證明 必要性 由于,則為的化零多項式,由無重根知相似于對角陣且存在可逆矩陣，使,其中為的正慣性指數(shù), 為的負慣性指數(shù).充分性 由,所以 因此, 為三冪等矩陣.引理7設為n階矩陣，則下面三個命題是等價的：1）；2）存在可逆矩陣t ，使得；3） 證明 由于,則為的化零多項式,由無重根知相似于對角陣且存在可逆矩陣，使,其中為的正慣性指數(shù). 因為,所以 因為,所以,即引理8 若是冪等矩陣，則也是冪等矩陣.證明 因為是冪等矩陣， 所以為冪等矩陣.因為，所以為冪等矩陣.引理9 若是對合矩陣時，則也是對合矩陣.證明 因為是對合矩陣，所以也是

8、對合矩陣. 引理10 設,如果則當且僅當.證明 必要性 由,且,則當且僅當 時才成立.充分性 由得,則,則當且僅當時才可以.2 主要結(jié)果由于本文主要研究的是三冪等矩陣秩等式及不等式，利用基本工具是把三冪等矩陣轉(zhuǎn)化為冪等矩陣所以首先詳細介紹一下三冪等矩陣轉(zhuǎn)化為冪等矩陣的定理以及本文章所用到的有關(guān)三個冪等矩陣和的秩的等式. 2.1 三冪等矩陣轉(zhuǎn)化為冪等矩陣定理2.1 設為三冪等矩陣，即，則可表為兩個冪等矩陣的差，即，其中都是冪等矩陣，且證明 因為，則存在可逆矩陣t，使得，所以都是冪等矩陣.且.2.2 個冪等矩陣和的秩的等式定理2.2 設是復數(shù)域上的個階冪等矩陣，則有下列秩等式 證明 因為因為分塊矩

9、陣的初等變換不改變矩陣的秩，所以有利用分塊矩陣的高斯消元法和冪等矩陣的性質(zhì)，有同樣根據(jù)分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，有即又由于所以推論1 設，是復數(shù)域上的三個階冪等矩陣，則有下列秩等式 推論2 設，是復數(shù)域上的三個階冪等矩陣，且，則.證明 因為，所以,所以 所以 ,即，,所以從而,即2.3 一個冪等矩陣與一個三冪等矩陣的和的秩根據(jù)定理2.1，并引用定理2.2及其推論1中的證明方法我們有:定理2.3 設為冪等矩陣，即.為三冪等矩陣，即，則 證明 因為為三冪等矩陣，由定理2.1知存在冪等矩陣，使得.所以.又因為因為分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，所以有 利用分塊矩陣的高斯消元法和冪等矩陣的性

10、質(zhì)，有 根據(jù)分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，所以有 又因為， 根據(jù)分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，所以有 結(jié)合，得，.推論1 若是復數(shù)域上的階冪等矩陣,為三冪等矩陣，即，則 證明 若是冪等矩陣，則也是冪等矩陣，用代替式中的，就可以得到式的秩等式. 推論2 若是復數(shù)域上的階對合矩陣,為三冪等矩陣，即，則 證明 若是復數(shù)域上的階對合矩陣，有引理9知，為冪等矩陣，用代替式中的，就可以得到式的秩等式. 2.4 一個三冪等矩陣與一個對合矩陣換位子的秩定理2.4 若，且，則換位子可以轉(zhuǎn)化為兩對冪等矩陣與對合矩陣的換位子的代數(shù)差.證明 因為，則存在可逆矩陣t，使得 通過簡單的計算可以知道矩陣都是冪等矩陣

11、.則有: .定理2.5 設是復數(shù)域上的任意階矩陣，且p是冪等矩陣，q是對合矩陣，即，則 證明 因為 根據(jù)分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，所以有 又利用分塊矩陣的高斯消元法和冪等矩陣與對合矩陣的性質(zhì)， 根據(jù)分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，所以有.推論 若 是復數(shù)域上的n階冪等矩陣， 是復數(shù)域上的n階對合矩陣，則有 證明 若是冪等矩陣，則分別也是冪等矩陣，是對合矩陣時，則也是對合矩陣.用代替式中的，代替式中的，就可以得到以上所有秩等式. 結(jié)束語:本論文是在認真研究閱讀george p.h. styan和yongge tian 的文章（文獻2）和有關(guān)三冪等矩陣的文章（文獻1，4，5）之后，查閱大

12、量相關(guān)資料的基礎上，提出了新的研究方向，即研究一個冪等矩陣與一個三冪等矩陣的和的秩等式，可逆性相關(guān)性質(zhì)，以及研究三冪等矩陣于對合矩陣的換為子的秩.研究三冪等矩陣秩等式有很強的概括性，在引言中已經(jīng)簡單說明過.本文不僅是在原來研究內(nèi)容上的拓寬，研究程度上的深入，在研究方法上，所得結(jié)果都有創(chuàng)新之處.最重要的是此研究課題是幾乎沒有人涉及到的新問題，同時得到了很多好的結(jié)論，本文還可以延伸到個三冪等矩陣的和的秩，三冪等矩陣與冪等矩陣和對合矩陣交叉項的換位子形式.還可以更深入地研究階冪等矩陣與階冪么矩陣的和以及換位子的相應性質(zhì).這里有很大的研究空間.致謝:本論文是在導師楊忠鵬的悉心指導下完成的.導師嚴謹?shù)闹?/p>

13、學態(tài)度，精益求精的工作作風，嚴以律己、寬以待人的崇高風范，對我影響深遠，使我掌握了基本的研究方法.本論文從選題到完成，每一步都是在導師的指導下完成的，傾注了導師大量的心血.在此，謹向楊忠鵬教授表示崇高的敬意和衷心的感謝！還要感謝同組同學的支持與幫助；同時還要感謝其它學科老師的教育、和幫助，在此表示深深的感謝.參考文獻:1 jerjy k baksalary，oskar maria backsalary and george styan p h. idemotency of linear combinations of an idempotent matrix and tripotent mat

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