曲線積分復(fù)習(xí)題答案知識分享

1、曲線積分復(fù)習(xí)題答案精品文檔曲線積分2 j y )ds.、第一類曲線積分1.設(shè)平面曲線l為下半圓周yv1 x2 ,求l(x2收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除解：曲線 l ： x cost , y sint , t ,2 , ds1dt, l(x2 y2)ds2dt2.設(shè)一段錐面螺線l： x et cost , y eet 0 t 2冗上點(diǎn)x, y, z處的線密度為x,y,z x2=,求該構(gòu)件的質(zhì)量.z解：計(jì)算微分ds.x (t)2y (t)2z(t)2dt (et costet sin t)2 (et sin tet cost)2e2t dt2t 2 . 2t,2(e cos t esin2

2、1) e2t dt. 3e2t dt. 3etdt3.計(jì)算 l 2yds ,解：li: ym l (x, y)ds其中l(wèi)是拋物線y x2上點(diǎn)2x ,x0,1,ds1 4x2dx,2 3e2tdt0 . 2e2t(0, 0)與:蘇也奴飛 22 0xv1 4x2dx3262(1,1)之間一段弧.1d 2 .8x. 1 4x dx0. 2 122. 1 4x d(1 4x )8 0、232 59五(5, 594.設(shè)一折線型構(gòu)件占有xoy面上曲線弧l ,l為連接點(diǎn)a(2,0),0(0,0)與點(diǎn)b(0,3)的折線段，且在曲33線l上點(diǎn)x, y處的線密度為 x, yx3y3,求該構(gòu)件的質(zhì)量.解：m l (

3、x,y)ds, ll1 l2, l1 是先沿直線從點(diǎn) a(2,0)到點(diǎn) 0(0,0),l1: y 0, x:20,cc2 c(x, y)ds (x y )ds (x 0) .1 0dxl1l10l2 是沿直線點(diǎn)從 0(0,0)到點(diǎn) b(0,3) , l2： x 0, y:03,l2 (x,y)dsl2(x3 y3)ds：(y3 0) . 1 0dy814，m l (x, y)ds81 4 97解：l：xa cost, y a sin t, t 0, ,ds adt . l ex y ds4 eaadt0a a aae e .44、第二類曲線積分r6.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在力fr ryi xj的作用下，沿圓

4、周x rcost, yrsint上由 t10 至1jt2的一段弧移動(dòng)作的功2l為:rcostt: 0 . dxrsint2rsintdt, dyrcostdt ,lydxxdy02 rsint( rsint)dt rcost rcost dt/2 r20. 2 ,2 ,sin t cos tdt_2_.r cos2tdt1r2sin2t 27.計(jì)算lx3ydy ,其中l(wèi)是拋物線yx2上從點(diǎn)（0,0）到點(diǎn)（1,1）的一段弧.解：l : y x2, x: 01, dy3,2xdx , l x ydy132x x 2xdx02x778.計(jì)算 l(x y)dx (y x)dy,其中(dl是先沿直線從點(diǎn)

5、（1,1）到點(diǎn)（1,2）,然后再沿直線到點(diǎn)（4,2）的折線.(2)l是拋物線y2 x上從點(diǎn)（1,1）到點(diǎn)（4,2）的一段弧解:（1）li是先沿直線從點(diǎn)（1,1）到點(diǎn)（1,2）,l1: x 1,y:12,li(x2y)dx (y x)dy 1 (1 y)0 (y 1)dyl2是沿直線點(diǎn)從（1,2）到點(diǎn)（4,2） , l2: y 2,(2) l3：x9.設(shè)有l(wèi) (xl2y)dx (y2,2/ 2 1 (y平面力場到點(diǎn)2a,0所作的功w1,解：曲線 l： x a a cost4x)dy 1 (x 2)dx272，27l(x y)dx (y x)dy= 14l(x y)dx (y x)dy、c ,2、

6、 ，2y) 2ydy (y y )dy 1(2y3、，,1 4 y)dy (- y1 33yi ,將一質(zhì)點(diǎn)沿曲線l:22(x a) yy2)3430從點(diǎn)a, a移動(dòng)w l-22,.x a y dx0(a2)(2asint)dt a3 1 , a 110.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在力fyizjxk的作用下,從點(diǎn)a 0,1,2沿直線段移動(dòng)到點(diǎn)b 2,3,5 ,求力f作的功w.解：直線ab的方程為:x 2t, y 2t 1,z 3t 2,點(diǎn) a 0,1,2對應(yīng)t 0,點(diǎn)b 2,3,5 對應(yīng) t 1 , t : 01,w l ydx1zdy xdz o(2t 1) 2dt (3t 2) 2dt2t 3dt 14、格林

7、公式及積分與路徑無關(guān)11.計(jì)算?l(x42xy 3y)dx(x2y2)dy ,其中l(wèi)是曲線x2 y22 y取順時(shí)針方向.解：p(x, y) x42xy 3y,q(x, y)x22 p c 。 qy , 2x 3,?l(x422xy 3y)dx (xy2)dyqp( )d d xy3dd12.計(jì)算曲線積分i lexsin y 2xdx/ x(e cos yx)dy ,其中l(wèi)為曲線y 。1 x2上點(diǎn)a(1,0)沿逆時(shí)針方向到點(diǎn)b(1,0)的一段弧.- p解： yq x/cos y ,e cos y 1 , x,用格林公式，添加直線段 ba,形成封閉曲線l直線段ba :13.設(shè) l x2解：p(x,

8、y)x?l e sin y 2xdx2x，逆時(shí)針方向,ysinx,q(x,y)?y sin xdx cosxdy 014.設(shè)一變力在坐標(biāo)軸上投影xx(e cos yx)dy ( 1)dd1d 一d2xx_.e sin y 2xdx (e cosyl ?lba2求? y sin xdx cosxdy .cosx,42xy y此場內(nèi)移動(dòng)時(shí)場力所作的功與路徑無關(guān)；(3,2)x)dy12xdx 01sin x ，所以曲線積分與路徑無關(guān)， xy x2 4xy3 ,這力確定了一個(gè)力場.證明(1)質(zhì)點(diǎn)在求質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)a(1,0)移動(dòng)到點(diǎn)b(2,1),該變力所作的功.解：功wl(2 xy y4 3)dx (x2

9、4xy3)dy ,其中 p(x, y) 2xy y4 3, q(x, y) x2 4xy3,2x 4y3 / ,因?yàn)樯蟩,所以曲線積分與路徑無關(guān).即場力所作的功與路徑無關(guān). xao : yob : x(2)求質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)0, x :12, dy2,1, dxa(1,0)移動(dòng)到點(diǎn)b(2,1),該變力所作的功.選擇折線段 aob42320, w1一(2xy y 3)dx (x 4xy )dy 3dx 3ao10,w2ob(2xy1y 3)dx (x 4xy )dy (4 8y )dy (4 y 2y )w w1 w2515.計(jì)算l(x2y)dx(xsiny)dy,其中l(wèi)為圓周y j2x x2上由點(diǎn)o(

10、0,0)到點(diǎn)b(1,1)的一段弧.解 q p(x, y)q(x,y)p.積分與路徑無關(guān). y添加直線段oa : y 0,1,y:01 .(x2aby)dx (xsin y)dy10 (1 sin y)dy1y cosy)。cosl(x2oa y)dx (x16.設(shè)l為由2y,17.求-p解： yl(x2x 0, xy)dx (x siny)dy 尿 abcosl 2cosl2, y 0, y 3所圍成的逆時(shí)針方向的封閉折線，求2y,所以曲線積分與路徑無關(guān)，？l(1 y2)dx 2xydy 0(2,0) x(00)e cosydx sin ydy .ex siny ,所以曲線積分與路徑無關(guān).選擇線段oa y x0, x: 0(2,0)(0,0)ex cosydx