2021年人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊：《10.2事件的相互獨立性》教案

1、10.2事件的相互獨立性 教學(xué)設(shè)計課題 10.2事件的相互獨立性單元第十單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一教材分析 本節(jié)內(nèi)容是在事件的關(guān)系與運算的基礎(chǔ)上，根據(jù)事件概率的特性，研究事件的相互獨立性及其概率的計算。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：利用事件的相互獨立性計算事件發(fā)生的概率；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.3.數(shù)學(xué)建模：掌握概率的計算。4.直觀想象：通過概率直觀估計事件發(fā)生的可能性；5.數(shù)學(xué)運算:能夠正確計算概率；6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題推導(dǎo)過程得出結(jié)論例題講解練習(xí)鞏固的過程，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的邏輯性和嚴(yán)密性。重點事件的相互獨立性及其概率的計算。難點事件的相互獨立性及其

2、概率的計算。教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課問題導(dǎo)入：問題一：試驗1：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣正面朝上”。事件A的發(fā)生是否影響事件B的概率？因為兩枚硬幣分別拋擲，第一枚硬幣的拋擲結(jié)果與第二枚硬幣的拋擲結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率。問題二：計算試驗1中的P(A),P(B),P(AB)，你有什么發(fā)現(xiàn)？在該試驗中，用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，則樣本空間=（1，1），（1，0），（0，1），（0，0），包含4個等可能的樣本點。而A=（1，1），（1，0），B=（1，0），（0，0）所以AB

3、=（1，0）由古典概率模型概率計算公式，得P(A)=P(B)=0.5，P(AB)=0.25， 于是 P(AB)=P(A)P(B)積事件AB的概率恰好等于事件A、B概率的乘積。問題三：試驗2：一個袋子中裝有標(biāo)號分別是1，2，3，4的4個球，除標(biāo)號外沒有其他差異。采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球。設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號小于3”，B=“第二次摸到球的標(biāo)號小于3”。事件A的發(fā)生是否影響事件B的概率？因為是有放回摸球，第一次摸球的結(jié)果與第二次摸球的結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否也不影響事件B發(fā)生的概率。問題四：計算試驗2中的P(A),P(B),P(AB)，你有什么發(fā)現(xiàn)？在該試驗中，樣本空間

4、=（m，n）|m,n1，2，3，4而A=（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）B=（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）AB=（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）所以P(A)=P(B)=0.5，P(AB)=0.25， 于是 P(AB)=P(A)P(B)積事件AB的概率恰好等于事件A、B概率的乘積。學(xué)生利用問題情景，引出本節(jié)新課內(nèi)容事件的相互獨立性。根據(jù)試驗，判斷A、B、AB的 概率之間的關(guān)系 設(shè)置問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，并引出本節(jié)新課。培養(yǎng)學(xué)

5、生學(xué)會整體思考的方法和能力。講授新課新知講授事件的相互獨立性事件的相互獨立性定義對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立。性質(zhì)：由兩個事件相互獨立的定義，容易驗證必然事件、不可能事件都與任意事件相互獨立。這是因為必然事件總會發(fā)生，不會受任何事件是否發(fā)生的影響；同樣，不可能事件總不會發(fā)生，也不受任何事件是否發(fā)生的影響。當(dāng)然，它們也不影響其他事件是否發(fā)生。思考一：以有放回摸球試驗為例，驗證事件 是否獨立。思考二：互斥事件與相互獨立事件有什么區(qū)別？相互獨立事件互斥事件條件事件A(或B)是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響不可能同時發(fā)生的

6、兩個事件符號相互獨立事件A,B同時發(fā)生，記作AB互斥事件A,B中有一個發(fā)生，記作AUB（或A+B）計算公式P(AB)=P(A)P(B)P(AUB)=P(A)+P(B)例題講解 例1、一個袋子中有標(biāo)號分別為1，2，3，4的4個球，除標(biāo)號外沒有其他差異。采用不放回方式從中任意摸球兩次。記事件A=“第一次摸出球的標(biāo)號小于3”，事件B=“第二次摸出球的標(biāo)號小于3”，那么事件A與B是否相互獨立？解：因為樣本空間=（m,n）|m,n1，2，3，4，且mnA=（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4）B=（1，2），（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）方法總

7、結(jié)判斷事件相互獨立的步驟：1、寫出樣本空間，并計算樣本點個數(shù)；2、分別寫出事件的所有基本事件，并計算個數(shù)；3、計算P(A),P(B),P(AB);4、判斷P(AB)與P(A)P(B)是否相等； 若相等，則相互獨立；若不相等，則不獨立。思考三：如果事件A與事件B相互獨立，那么P（AB）如何計算？事件的相互獨立性定義是：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立。因此P(AB)=P(A)P(B).知識拓展如果事件A1，A2，A3，An是相互獨立的，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率之積，即P(A1A2A3An)=P(A1)P(

8、A2)P(A3)P(An).例2、甲、乙兩名射擊運動員進行設(shè)計比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率：（1）兩人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）兩人都脫靶；（4）至少有一人中靶。例3、甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語比賽，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為 ，乙每輪猜對的概率為。在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響。求“星隊”在兩輪活動中猜對三個成語的概率。例4、 三個元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為 ， ， ，將它們中的某兩個元件并聯(lián)后再和第三個元件串聯(lián)接入電路，如圖所示，求電路不發(fā)生故障的概率求較為復(fù)雜事件的概率

9、的方法(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎荆?2)理清事件之間的關(guān)系(兩事件是互斥還是對立，或者是相互獨立)，列出關(guān)系式；(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進行計算；(4)當(dāng)直接計算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時，可先間接地計算其對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率常用的相互獨立事件的概率 課堂鞏固甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束.假設(shè)在1局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立.已知前兩局中，甲、乙各勝1局.(1)求再賽兩局結(jié)束這次比賽的概率;(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率.解：記Ai表示事件“第i局

10、甲獲勝”，i=3，4，5，Bj表示事件“第j局乙獲勝”，j=3，4.(1)記A表示事件“再賽兩局結(jié)束比賽”，則A=A3A4B3B4.由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(A)=P(A3A4B3B4)=P(A3A4)P(B3B4)=P(A3)P(A4)P(B3)P(B4)=0.60.60.40.4=0.52.(2)記B表示事件“甲獲得這次比賽的勝利”.因前兩局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽的勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局，從而B=A3A4B3A4A5A3B4A5.由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(B)=P(A3A4)P(B3A4A5)P(A3B4A5)=P(A3)P(A4)P(B3)P(A4)P(A5)P(A3)P(B4)P(A5)=0.60.60.40.60.60.60.40.6=0.648. 【小結(jié)】在實際比賽中要注意各場比賽的結(jié)果是否相互影響，并把隨機事件拆分為若干個相互獨立事件的乘積，對于多種情況的互斥事件利用加法計算. 學(xué)生根據(jù)上述問題，探究事件的相互獨立性。對比互斥事件和相互獨立事件。學(xué)生分組合作，探究得出獨立事件的概率計算。通過例題加強理解事件的獨立性。求較為復(fù)雜事件的概率總結(jié)學(xué)生和教師共同探究完成課堂鞏固題。利用問題情境探究得出事件的相互獨立性定義,培養(yǎng)學(xué)生探索的精神.給學(xué)生養(yǎng)成對比