電網(wǎng)絡(luò)分析理論：電網(wǎng)絡(luò)第二章簡單電路

1、第二章第二章 簡單電路（簡單電路（P71P71）本章簡介本章簡介簡單非線性電路簡單非線性電路的的常用常用分析方法分析方法圖解法圖解法（曲線（曲線相加相加法（法（DPDP） 、圖、圖解解消元消元法（法（ TC TC ）、曲線）、曲線相交相交法法（工作點(diǎn)）（工作點(diǎn)）、小信分析、小信分析法法，分，分段線性化段線性化法和法和假定狀態(tài)假定狀態(tài)法法。本章介紹簡單本章介紹簡單非線非線性性動態(tài)電動態(tài)電路路的常用分析方法的常用分析方法一階非線性動態(tài)一階非線性動態(tài)電路的分析電路的分析方法（方法（動態(tài)路徑動態(tài)路徑）、）、二階線二階線性性和和非線性非線性電路（網(wǎng)絡(luò)）定電路（網(wǎng)絡(luò)）定量和量和定性定性分析方法。分析方法。

2、簡單非線性簡單非線性電阻電路（網(wǎng)絡(luò)）電阻電路（網(wǎng)絡(luò)）的分析方法；的分析方法；一階非線性動一階非線性動態(tài)態(tài)電路的分析方法；二階線電路的分析方法；二階線性和性和非線非線性性動態(tài)動態(tài)電路（網(wǎng)絡(luò)）電路（網(wǎng)絡(luò)）定量定量和和定性定性分析方法。分析方法。要求要求掌握掌握2-12-1非線非線性電阻電路的性電阻電路的圖解圖解法法1.1.非線非線性電阻的性電阻的特性特性+ui非線性非線性二端二端電阻器電阻器(a)(a)流控流控型：型：u=f（i）是是i的單值函數(shù)的單值函數(shù)（對（對i有唯一值）；有唯一值）；(b)(b)壓控壓控型：型：i=g（u）是）是u的單值函數(shù)的單值函數(shù)(對對u有唯一值有唯一值) )；隧道隧道二

3、極管二極管iu0iu隧道隧道二極管二極管+_uiiui = g(u) = a0u + a1u2 + a2u3 + + anun +1 , 式中式中 n 3的奇整數(shù)的奇整數(shù)稱稱 “壓控型壓控型”或或 “ N型型”i 0 ui 0 u避避雷雷器器(d)(d)非流壓非流壓控型控型(c)(c)單調(diào)型（雙向單調(diào)型（雙向型）：既是型）：既是流流控控又是又是壓控壓控型型非線非線三端三端電阻器（電阻器（三極三極管，管，絕緣電阻絕緣電阻測量）測量）i2N N 1 2i1u2u1+-+-i2N N 1 3 2i3i1u3u1 u2 iuP靜態(tài)電阻靜態(tài)電阻動態(tài)電阻動態(tài)電阻在非線電阻特性上在非線電阻特性上任取一點(diǎn)任取

4、一點(diǎn)P P（就是后邊要講的（就是后邊要講的工作點(diǎn)工作點(diǎn)）2.靜、動態(tài)動態(tài)電阻靜態(tài)電阻：)()(PPSSuiKiuKGRP P點(diǎn)點(diǎn)比值比值動態(tài)電阻：)()(PPdddudiKdiduKGRp p點(diǎn)切線點(diǎn)切線正切值正切值對單調(diào)型對單調(diào)型（單增）Rd0，（單減）Rd | uS(t) |求求 u(t) 和和 i(t)。第一步：不考慮第一步：不考慮 uS(t) 的作用，即令的作用，即令 uS(t)=0US= RS i + u(t)用圖解法求用圖解法求 u(t) 和和 i(t)。RSRUS+_uiP點(diǎn)稱為點(diǎn)稱為靜態(tài)工作點(diǎn)靜態(tài)工作點(diǎn) , 表示電路沒有信號時表示電路沒有信號時uS(t)的工作情況。的工作情況。

5、I0 U0 同時滿足同時滿足i=g(u)US= RSi+ uI0=g(U0)US= RS I0 + U0即即iui=g(u)I0U0USUS/RSP第二步：第二步： US 0 ， uS(t) 0 | uS(t) | US可以寫成可以寫成u(t) = U0 + u(t)i(t) = I0 + i(t)由由 i=g(u)(dd)()()(0000tuugUgtuUgtiIU I0 = g(U0)()(dd)(00tuGtuugtiUdU 得得 US+ uS(t )= RS I0 + i(t) + U0 + u(t)得得US= RSI0 + U0 直流工作狀態(tài)直流工作狀態(tài))()()(1)()()()

6、(tiRtiRtiGtiRtUtiRtudSdSSS 工作點(diǎn)處工作點(diǎn)處的由的由小信號小信號產(chǎn)生的產(chǎn)生的電壓和電流電壓和電流代入方程代入方程KVL 方程方程把把u(t) = U0 + u(t)i(t) = I0 + i(t)畫畫小信號小信號工作等效電路工作等效電路+_uS(t)RS+_u (t)i(t)001UUddGR u(t)=Rd /(RS+Rd) uS(t) i(t)= uS(t)/(RS+Rd)()()(tiRtiRtudSS 據(jù)據(jù)第三步：電路中第三步：電路中總總的電的電壓壓和電和電流流是是兩種兩種情況情況下的下的代數(shù)和代數(shù)和u(t) = U0 + u(t)i(t) = I0 + i(

7、t)2.2.分段分段線性化方法分段分段線性化：目前分析線性化：目前分析非線性非線性電路的電路的最一般最一般的的解析法解析法；用分；用分段段線性化線性化模型模型逼近非線逼近非線性電路性電路元件：得到元件：得到一系列線性一系列線性電路電路。（1 1）用）用多段折線多段折線表示表示每個每個非線性非線性電阻器的電阻器的u- -i特性；特性；（2 2）把非線性網(wǎng)絡(luò)看成一系列）把非線性網(wǎng)絡(luò)看成一系列不同不同線性線性網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)；（3 3）必須對）必須對所有可能所有可能的的線段組合線段組合求解；求解；（4 4）通過檢驗(yàn)各段）通過檢驗(yàn)各段電壓電流電壓電流的的取值取值范圍范圍排除排除虛解虛解。例例iu當(dāng)當(dāng) iIa

8、, uIa, uUa AB段段 Rb= tan 等效電路等效電路iRa+_uOA段段uiIaOA UaB U0Rb+_uiAB段段+_U0例例 已知已知 i 1A , u = i +1+_7V+_uR1=2i第一段：第一段： i 1A , u = i +1 , R=1 , Us =1V線性化模型線性化模型+_uiR+_Usiu+_iu12233410第一段：第一段： i 1A 模型不對模型不對2 第二段：第二段： i 1A +_7V+_ui1 +_1Vi =2Au =3V模型正確模型正確所以第一段的解應(yīng)舍棄所以第一段的解應(yīng)舍棄從圖中的負(fù)載線交點(diǎn)從圖中的負(fù)載線交點(diǎn)P也可看出，顯然也可看出，顯然第

9、一段不是其解第一段不是其解。iu122334103.3. 含理想二極管電路的含理想二極管電路的“假定狀態(tài)法假定狀態(tài)法”：理：理想二極管的特性想二極管的特性0OPEN，SSHORT，P80P80例例2-2-4,2-2-4,圖圖2-2-62-2-6請請自己自己看懂看懂例例2-5 2-5 求圖示電路的求圖示電路的DPDP圖（圖（u- -i）特性）特性解解: :設(shè)設(shè)(D(D1 1,D,D2 2) )的的狀態(tài)組合狀態(tài)組合為為(0,0),(S,0),(0,0),(S,0),(0,S),(S,S(0,S),(S,S)例例2-5 2-5 的的DPDP圖（圖（u- -i）特性如下表。）特性如下表。+ +_ _u

10、ii1R1+ +_ _u1+ +_ _u2i2i32V4V- - 2狀態(tài)(D1D2)計算式由D1求定義域由D2求定義域DP圖(0，0)i1=0，i2=0，i3iu=i+4，i=4-uu1=u-i-20，-4+u+u-20，u3u2=i-u=(4-u)-u=4-2u，u20，4-2u0，u2i=4-u，2u0u3u2=- 2u202-u0，u2i=u，u2(S，S)u1=0，u2=0，u2=-2，無解無解4321 1 2 3 4 ui相應(yīng)的相應(yīng)的DP圖圖+ +_ _uii1R1+ +_ _u1+ +_ _u2i2i32V4V- - 2“假定狀態(tài)法假定狀態(tài)法”的方法步驟的方法步驟（1 1）假定假定

11、理想二極管的工作理想二極管的工作狀態(tài)狀態(tài)，截止，截止（open）為為O，導(dǎo)通，導(dǎo)通（short）為為S（2 2）根據(jù)）根據(jù)假定假定的工作的工作狀態(tài)狀態(tài)，求出（寫出），求出（寫出）待求待求的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)式（3 3）根據(jù)）根據(jù)截止管（截止管（ O ）的的電壓電壓表達(dá)式表達(dá)式和和導(dǎo)通管導(dǎo)通管（S）的的電流電流表達(dá)式，確定表達(dá)式，確定“（2 2）中）中待求待求表達(dá)式表達(dá)式”的的定義域定義域。4. 非線性電阻電路方程的數(shù)值求解方法非線性電阻電路方程的數(shù)值求解方法 牛牛頓頓拉夫遜拉夫遜法法（a）具有）具有一個未知量一個未知量的的非線非線性性代數(shù)方代數(shù)方程程求求解解0 xf(x) x設(shè)方程設(shè)方程 f

12、(x) = 0 解為解為x*則則f(x *) = 0 x*為為 f(x) 與與 x 軸交點(diǎn)。軸交點(diǎn)。跳過！跳過！利用牛頓利用牛頓拉夫遜法求拉夫遜法求x* 步驟如下：步驟如下： (1) 選取一個合理值選取一個合理值x0，稱為，稱為 f(x) = 0 的初值。此時的初值。此時x0 一般一般與與 x* 不等。不等。(2) 迭代迭代 取取x1 =x0+ x0 作為第一次修正值，作為第一次修正值， x0 充分小。充分小。 將將 f ( x0+ x0 ) 在在 x0 附近展開成臺勞級數(shù)：附近展開成臺勞級數(shù)：.xdxfd!xdxdf)x(f)xx(fxx 202200000021取線性部分，并令取線性部分，

13、并令)()()(0)(00000000 xfxfdxdfxfxxdxdfxfxx 將將 f(x) 在在 x0 處線性化處線性化跳過！跳過！)()(000001xfxfxxxx (3) xk+ +1 xk xk+ +1 就是方程的解就是方程的解 x* , 3 , 2 , 1 , 0k)()(kkk1k xfxfxx迭代公式迭代公式)()()(0)(00000000 xfxfdxdfxfxxdxdfxfxx )()(kkk1kxfxfxx xk+ +1 xk 0,0diutidtiu11234122120PQ1P2P3P4P0(2)求各段的響應(yīng)10PP iuui1,1+_ui+_1H ) 1(V1

14、sAii111,111)(,0)0(tteeiiiti1)()0()()(設(shè)t1到達(dá)P1點(diǎn)，則112testet1 . 13ln3113221)(PPPPiuui212,42+_ui+_1H21V)2(sAiti25 . 01,4)(,2)(1)(5 . 01164)()()()(ttteeitiiti)(5 . 0164)()0()()(ttteeiiiti設(shè)t2時i(t2)=0，則)(5 . 012640ttestt81. 023ln212iu11234122120PQ1P2P3P4P0設(shè)t3到達(dá)P3點(diǎn)，則)(5 . 013642ttestt2 . 23ln2131443)(PPPPiuu

15、i214,82+_ui+_1H21V4sAiti25 . 01,8)(,2)(3)(5 . 033108)()()()(ttteeitiiti設(shè)t4時i(t4)=0，則)(5 . 03410680ttestt45. 045ln234設(shè)t5到達(dá)P1點(diǎn)，則)(5 . 0351082ttestt02. 135ln23511.1tst1t1P2P3P4Pi24240P02t3t4t5t1P2P3P4P到達(dá)到達(dá)P P1 1點(diǎn)后將點(diǎn)后將重復(fù)重復(fù)上述過程，從而形成上述過程，從而形成周期周期性性振蕩振蕩。sttttttT22. 32 . 202. 113351510PPtet i1)(3221)(PPPP)(

16、5 . 0164)(tteti1443)(PPPP)( 5 . 03108)(tteti電感電流為5.5.非線非線性性動態(tài)動態(tài)（元件）電路的（元件）電路的小信號小信號分析分析自治自治電路的電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為平衡點(diǎn)，稱為平衡點(diǎn)，平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)是電路的是電路的一個解一個解。對自治電。對自治電路，在平衡點(diǎn)路，在平衡點(diǎn)相當(dāng)于直流穩(wěn)態(tài)相當(dāng)于直流穩(wěn)態(tài)：電：電容開容開路，電路，電感短感短路，則路，則平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)就是就是直流電阻直流電阻電路分析。電路分析。（）（）自治自治電路的電路的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn))(tuS )(tuS3 3）解：）解：直直流解流解小信號小信號解。解。（）（）非線性動態(tài)電路非線性動態(tài)電路的

17、小信號分析的小信號分析P87P87圖圖2-3-102-3-10，P88P88例例2-3-42-3-4請看懂請看懂! !SSUtu)(當(dāng)滿足當(dāng)滿足 可用小信號分法可用小信號分法2 2）小信號小信號等效電路；等效電路；QdQdQddtduCdtdLdtduR，1 1）靜靜工作點(diǎn)（直流）工作點(diǎn)（直流） 開，開，短，短，直流電阻電路；直流電阻電路；)(QQUIQ，小信號分析法僅在小信號分析法僅在自治電路自治電路（網(wǎng)絡(luò)）受（網(wǎng)絡(luò)）受小信號小信號作用時才能作用時才能采用。這里的采用。這里的小信號響應(yīng)小信號響應(yīng)是一是一種種零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)。注意。注意: :這與二階這與二階（自治或非自治）系統(tǒng)（自治或非自

18、治）系統(tǒng)平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)處的處的線性化線性化模型有區(qū)別！模型有區(qū)別！l注意事項(xiàng)（注意事項(xiàng)（P88P88）2-4 2-4 二階自治電路的二階自治電路的定性定性分析（分析（P88P88）定量分析定量分析大學(xué)本科的電路里大學(xué)本科的電路里講過，這里的講過，這里的定性分析定性分析就是就是根據(jù)方程的解答在坐標(biāo)平面根據(jù)方程的解答在坐標(biāo)平面的的幾何圖象幾何圖象獲得電路的獲得電路的全局全局動態(tài)動態(tài)行為行為。這是研究系統(tǒng)或電路狀態(tài)的一這是研究系統(tǒng)或電路狀態(tài)的一種方法它既可了解系統(tǒng)的種方法它既可了解系統(tǒng)的全局全局性質(zhì)性質(zhì)，又能，又能確定振幅的近似值確定振幅的近似值，實(shí)際為半定性、半定量；實(shí)際為半定性、半定量；更重更重要

19、的是要的是對對非線性非線性( (二階二階) )系統(tǒng)的系統(tǒng)的分類、診斷、預(yù)報分類、診斷、預(yù)報等都具有重等都具有重要意義。要意義。具有具有幾何直觀性幾何直觀性，可以把系統(tǒng)，可以把系統(tǒng)的的平衡態(tài)過渡過程平衡態(tài)過渡過程和和周期解周期解同同時展示出來，可推廣應(yīng)用于時展示出來，可推廣應(yīng)用于非非線性二階自治系統(tǒng)線性二階自治系統(tǒng)和高階系統(tǒng)，和高階系統(tǒng)，對二階非線性自治系統(tǒng)對二階非線性自治系統(tǒng)很有效，很有效，是分析是分析二階非線性系統(tǒng)全局二階非線性系統(tǒng)全局動動態(tài)行為的態(tài)行為的有效有效工具。工具。該方法的主要該方法的主要優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)0( )(0 )( )ttetedAAxxBu從從0_到到t積分，得積分，得ttdee

20、dt AAxBu0( )(0 )( )tttteeedAAAxxBu 零輸入零輸入響應(yīng)響應(yīng)零狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)l非齊次非齊次狀態(tài)方程的解（第五章）狀態(tài)方程的解（第五章）xAxBu1.1.線性線性二階電路的二階電路的定性定性分析分析化化A A為為對角陣（或?qū)顷嚕ɑ騄ordan陣）陣）1APP1P AP有有相似相似變換變換1tteeAPP1tePP121,ntttdiag eee PP零輸入零輸入響應(yīng)為響應(yīng)為( )(0 )tteAxx對對二階二階系統(tǒng)系統(tǒng)112( )( )(0 )( )tx ttPe Px txx對對二階二階系統(tǒng)系統(tǒng)112( )( )(0 )( )tx ttPe Px txx12

21、11122(0 )0(0 )0ttxePxe可以可以證證明明11122(0 )(0 )xkPxk12111222( )( )（）（）ttx tk ek ex t可可表示表示為為212221121121xxaaaaxxAXX，：設(shè)其相應(yīng)的狀態(tài)方程為0det00eXA 設(shè)其平衡點(diǎn)為（ ），是點(diǎn)唯唯一一平平衡衡）（）（000021222221211212axdtdxTdtxdaxdtdxTdtxd211222112211aaaaAAtraaT），（可把可把狀狀態(tài)態(tài)方方程改程改寫成寫成標(biāo)量方程標(biāo)量方程對對二階二階系統(tǒng)（自治系統(tǒng)）系統(tǒng)（自治系統(tǒng)）統(tǒng)。為無耦合的兩個一階系若02112 aa11112222

22、00 xaxxax11112222dxaxdtdxaxdt（1 1）輸）輸入入輸輸出出（單變）方程（單變）方程）（tuydtdydtydS202220)(022220ydtdyTdtydtuTs，）（，令：02T其其特征特征方程為方程為20222124TT，其其特征方程特征方程的的根根稱為稱為固有頻率固有頻率（2 2）零輸入零輸入響應(yīng)響應(yīng)得：，方程由（狀態(tài)方程的）特征002TA1202221442TT，則對應(yīng)的齊次狀方的通解12111222ttx tX tk ek ext（ ）（ ）（）（）（ ）（）（顯然txtx21的特征向量，對應(yīng)112111kk的特征向量，為對應(yīng)222212kk121 1

23、22m mmm設(shè)：為任意常數(shù)，。為仍仍特特征征向向量量，）（）（002112121xxkk為狀態(tài)平面上的為狀態(tài)平面上的一個點(diǎn)一個點(diǎn)，可，可以看成以看成從原點(diǎn)到該點(diǎn)從原點(diǎn)到該點(diǎn)的向量的向量01x2222ekt111ekt12xP12111222ttx tX tk ek ext（ ）（ ）（）（）（ ）（）（顯然txtx21，）（）（002112121xxkk為狀態(tài)平面上的為狀態(tài)平面上的一個點(diǎn)一個點(diǎn)，可，可以看成以看成從原點(diǎn)到該點(diǎn)從原點(diǎn)到該點(diǎn)的向量的向量由其右端項(xiàng)可知由其右端項(xiàng)可知，在21xxt，可以看成是其右端兩個向量之和，所謂可以看成是其右端兩個向量之和，所謂定性分定性分析析就是考察就是考察P

24、 P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡點(diǎn)的運(yùn)動軌跡與與相應(yīng)響應(yīng)相應(yīng)響應(yīng)的關(guān)系。的關(guān)系。01x2222ekt111ekt12xP相反。）與（相同，）與（相反；）與（相同，）與（222222222211111111000011ttttekkekkekkekk22112121ekektxtxtXtt）（）（）（）（）（01x2222ekt111ekt12xP這種構(gòu)造這種構(gòu)造兩個矢量兩個矢量并用并用兩個矢量和兩個矢量和表示表示相點(diǎn)相點(diǎn)的處理方法，很有效。它可以方便的處理方法，很有效。它可以方便地繪出與地繪出與各種初始狀態(tài)各種初始狀態(tài)對應(yīng)的一族狀態(tài)對應(yīng)的一族狀態(tài)軌跡（線），以便軌跡（線），以便形象、直觀形象、直觀地考察系地考

25、察系統(tǒng)的統(tǒng)的全局動態(tài)行為全局動態(tài)行為。l若干術(shù)語（若干術(shù)語（P90P90）a a）相平面：）相平面：x1 1- -x2 2的平面；的平面；b b）相點(diǎn)：相平面上的點(diǎn)）相點(diǎn)：相平面上的點(diǎn)P P（ x1 1，x2 2 ） ；c c）相軌跡：）相軌跡：相點(diǎn)相點(diǎn)隨時間隨時間移動移動形成的形成的軌跡，稱為軌跡，稱為相軌跡相軌跡，簡稱，簡稱相軌相軌；d d）相平面圖：相平面上）相平面圖：相平面上發(fā)自發(fā)自一系列一系列適當(dāng)選擇適當(dāng)選擇的的初始狀態(tài)初始狀態(tài)的的軌線族軌線族，稱為相平面圖，簡稱稱為相平面圖，簡稱相圖相圖。（3 3）相圖分類：）相圖分類：P99P992221 20424TT ，)0(0412022T

26、1 1）1 1，2 2為兩個為兩個非零不等實(shí)根非零不等實(shí)根此時，此時，1 1 、為兩個為兩個線性無關(guān)線性無關(guān)的的實(shí)向量實(shí)向量。(a)(a)穩(wěn)定穩(wěn)定結(jié)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)，212100，）（221121ttekektX），（）（）（2211212keketXtt，00221121ttekekt121122ttk ek e比慢，12所以稱為慢特征向量，為快特征向量。）（）（）（2211121ttekketX111tatk e ）當(dāng)時：起主導(dǎo)作用222tbtK e ）當(dāng)時：起主導(dǎo)作用1所有軌跡在趨近于零時與，相相切切2所有軌跡在趨近于無窮遠(yuǎn)處與。平平行行你你從那里來！從那里來！曲線的起點(diǎn)曲線的起點(diǎn)！你你到那里去！

27、到那里去！曲線的終點(diǎn)曲線的終點(diǎn)！01x2x21圖圖2-4-22-4-2P90P90( (圖圖2-4-22-4-2) )若可能的若可能的初始值初始值位于該區(qū)域位于該區(qū)域若可能的若可能的初始值初始值位于該區(qū)域位于該區(qū)域(b)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)：)0(,212211212）（）（）（keketXtt，212100，）（221121ttekektX），（）（）（2211212keketXtt，221121ttekekt。為慢特征向量為快特征向量，快，所以稱比21221121ttekek平行，在趨近于無窮時與起主導(dǎo)作用，所有軌跡時：）當(dāng)1111tekta相切。在趨近于零處與起主導(dǎo)作用，所有軌跡時：）當(dāng)2222t

28、eKtb01x2x21圖圖2-4-32-4-3P91P91( (圖圖2-4-32-4-3) )若可能的初始值位于該區(qū)域若可能的初始值位于該區(qū)域若可能的初始值位于該區(qū)域若可能的初始值位于該區(qū)域（c c）鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)（平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的（平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的) )。趨于無窮遠(yuǎn)并趨近于起主導(dǎo)作用，所有軌跡時：）當(dāng)2222teKtb，)0(001221，）（221121ttekektX，趨近于無窮并趨近于起主導(dǎo)作用，所有軌跡時：）當(dāng)1111tekta圖圖2-4-42-4-4P91P91( (圖圖2-4-42-4-4) )若可能的若可能的初始初始值值位于該區(qū)域位于該區(qū)域若可能的若可能的初始初始值值位于該區(qū)域位于該

29、區(qū)域若可能的若可能的初始初始值值位于該區(qū)域位于該區(qū)域若可能的若可能的初始初始值值位于該區(qū)域位于該區(qū)域01x2x21l對于鞍點(diǎn)向量 是相軌的漸近線，把相平面分成不同的區(qū)域。 )0()0(2211與01x2x21X X（0 0）X X（0 0）X X（0 0）X X（0 0）2)91 92)pp兩個相等實(shí)根(，不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。，穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；00P92P92圖圖2-4-52-4-5圖圖2-4-72-4-7（？?。?？?。㎎ordarn標(biāo)準(zhǔn)型對應(yīng)的變換陣標(biāo)準(zhǔn)型對應(yīng)的變換陣( (矩陣?yán)砭仃嚴(yán)碚摷捌鋺?yīng)用論及其應(yīng)用P83(1)P83(1)(4)(4) )ttexex txtxtxtX)0()0()0()()()(

30、22121這種情況下的這種情況下的相圖做法相圖做法）（）（tAXtX)0()0(021xxX）（0 AI21011AJAPP做線性變換，令)()(,)()(1tXPtXtXPtX)0()0()0()0(211xxXPX代入原式得)()()()()(1tXAPPtXtXAPtXP)()(tXAtX)0()0()0()0(211xxXPX)()(tXAtX)0()0()0()0(211xxXPX解這個方程，有解這個方程，有ttttAeteee0)0()(XetXtA)0()0(0)()()(2121xxeteetxtxtXtttttexex txtxtxtX)0()0()0()()()(22121

31、這就是我們熟悉的這就是我們熟悉的二階二階系統(tǒng)的臨界阻尼（系統(tǒng)的臨界阻尼（臨界臨界非振蕩）；非振蕩）；00是是穩(wěn)定穩(wěn)定的（的（結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)）； 是是不穩(wěn)定不穩(wěn)定的（的（結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)）。）。下面我們做出其下面我們做出其相圖相圖。(1)0若可能的若可能的初始值初始值在第一象限在第一象限（quadrant）（）（I）)(0)0()0(21tex tx0)0(,0)0(21xx與 軸的交點(diǎn)為)(2tx)0()0(21xxt)(0)0(2text)()(21txtx)0(0)0()0(21tex tx)0(0)0(2text)()(21txtx（ I I ）象限與上相同。）象限與上相同。01 x2 xttexex

32、 txtxtxtX)0()0()0()()()(22121若可能的若可能的初始值初始值在第四象限（在第四象限（quadrantquadrant）（）（IV）)(0)0()0(21tex tx0)0(,0)0(21xx與 軸的交點(diǎn)為)(2tx)0()0(21xxt)(0)0(2text)()(21txtx)0(0)0()0(21tex tx)0(0)0(2text)()(21txtx（ I I I ）象限與上相同。）象限與上相同。01 x2 x1 x02 x顯然，經(jīng)過從所有可能的初始值的相圖均匯聚于平衡點(diǎn)，平衡點(diǎn)，稱為（穩(wěn)定）稱為（穩(wěn)定）結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)。(2)0若可能的初始值初始值在第一象限（quad

33、rant）（I）)0(0)0()0(21tex tx0)0(,0)0(21xx與 軸的交點(diǎn)為)(2tx)0()0(21xxt)0(0)0(2text)()(21txtx)(0)0()0(21tex tx)(0)0(2text)()(21txtx（ I I ）象限于上相同。）象限于上相同。01 x2 xttexex txtxtxtX)0()0()0()()()(22121(2)0若可能的初始值初始值在第四象限（quadrant）（I）)0(0)0()0(21tex tx0)0(,0)0(21xx與 軸的交點(diǎn)為)(2tx)0()0(21xxt)0(0)0(2text)()(21txtx)(0)0(

34、)0(21tex tx)(0)0(2text)()(21txtx（ I I I ）象限與上相同。）象限與上相同。01 x2 xttexex txtxtxtX)0()0()0()()()(2212101 x2 x顯然，從平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)發(fā)散的發(fā)散的相圖（軌線族）可以經(jīng)過所有可能的初始值，所有可能的初始值，稱為稱為（不穩(wěn)定）（不穩(wěn)定）結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)。（3） 返回 平面)()(tXPtX21 xx)0()(XetXAt21PtAtJtAeePeP1ttttAtJeteeee0110ttAtAtteteePe PPPe112( )(0)(0)0ttAtteteX te XP Xe1120tttetePe1121

35、(0)01tteP X令令)0(121XPkk2121121101)0(101)(kkteXPtetXtttektkktX22121)()(則處理方法與前面的一致！則處理方法與前面的一致！112( )(0)(0)0ttAtteteX te XP Xe1121(0)01tteP XtektkktX22121)()()0(121XPkk若 （負(fù)實(shí)根負(fù)實(shí)根）0tt起主要作用,10時與 相切；1起主要作用,1時與 平行。11x02x21設(shè) 和 的取值如圖所示。21同理可得 （正實(shí)根正實(shí)根）的相圖。03 3）兩個共軛復(fù)根（屬）兩個共軛復(fù)根（屬單根單根情況）情況）P93P93（2-4-52-4-5）圖）圖

36、2-4-8 2-4-8 圖圖2-4-9 2-4-9 圖圖2-4-10 2-4-10 圖圖2-4-112-4-11)442(202221TT，)0(0412022T此時，此時，1 、為兩個線性無關(guān)的為兩個線性無關(guān)的復(fù)向量復(fù)向量。且。且ddj21220，令：ddjj*121，irirjj*121，可證可證jjirMekkMejkkk*121，令：1AtAtePe P*1100tAtAtteePe PPPe1( )(0)AtX tPe P X*111*112210( )(0)( )(0)0ttex txx txe*1*111E 1PPE*1 111E 1111*221(0)(0)(0)(0)xxPx

37、x1112111*221112(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)xxxxPxxxx112*11*1122112(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)xxxxxxxx111*21(0)(0)kxPxkirirjj*121，*11112211)(1121ekekekektXtttt）（jjirMekkMejkkk*121，令：idtrdttMetMetX)sin(2)cos(2）（)()(irtjtjirtjtjjeeMejeeMeddjeeeeMetjtjitjtjrtdddd2222)()()()(2221 20424TT ，2201 2ddj，*121ddjj，2co

38、s()2sin()ttdrdiX tMetMet（）令若取可以按自己的習(xí)慣自由選擇自由選擇！（a）中心：ddj2100，周期性等幅振蕩idrdtMtMtX)sin(2)cos(2）（02si n(0)0dM eawq-+設(shè)：01x2xri圖2-4-9P93(圖2-4-2)若可能的初始值位于該點(diǎn)2cos(0)drM 2sin(0)diM 0q（b）穩(wěn)定焦點(diǎn)：*1210，dj螺旋線指向焦點(diǎn)12cos0MkidtrdttMetMetX)sin(2)cos(2）（01x2xri圖2-4-10P94(圖2-4-10)若可能的初始值位于該點(diǎn)02cos(0)drMe 02sin(0)diMe 22sin0M

39、k設(shè)曲線的繞向由曲線的繞向由k k1 1和和k k2 2共同確定！共同確定！0()0dt曲線先過曲線先過r01x2xri圖2-4-10P94(圖2-4-10)若可能的初始值位于該點(diǎn)02cos(0)drMe 02sin(0)diMe 曲線的繞向由曲線的繞向由k k1 1和和k k2 2共同確定！共同確定！（C）不穩(wěn)定焦點(diǎn)：*1210，dj螺旋線離開焦點(diǎn)02sin(0)0diMe idtrdttMetMetX)sin(2)cos(2）（01x2xri圖2-4-11P94(圖2-4-11)若可能的初始值位于該點(diǎn)02cos(0)drMe 02sin(0)diMe 01x2xri圖2-4-10P94(圖

40、2-4-10)該圖需要修改！若可能的初始值位于該點(diǎn)02cos(0)drMe 02sin(0)diMe 曲線的繞向由曲線的繞向由k k1 1和和k k2 2共同確定！共同確定！上述分析表明 結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)附近的相軌相交于附近的相軌相交于平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)，在，在平衡點(diǎn)上平衡點(diǎn)上 “打結(jié)打結(jié)”，因而得名。，因而得名。它們一般是它們一般是變形的拋物線變形的拋物線（重實(shí)根重實(shí)根情況除外），且有分界線。情況除外），且有分界線。二階網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)可以分成四種（二階網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)可以分成四種（P94P94）：）：焦點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)、鞍點(diǎn)和中心點(diǎn)焦點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)、鞍點(diǎn)和中心點(diǎn)；它們鄰域；它們鄰域內(nèi)的相軌在系形狀上各有明顯的特征。內(nèi)的相軌在系形

41、狀上各有明顯的特征。鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)附近的相軌一般是附近的相軌一般是變形的變形的雙曲線雙曲線且不經(jīng)過平衡點(diǎn)；但有且不經(jīng)過平衡點(diǎn)；但有四條特殊相軌（四條特殊相軌（漸近線漸近線）。）。焦點(diǎn)焦點(diǎn)鄰域的相軌是鄰域的相軌是螺旋螺旋形的。形的。中心中心鄰域的相軌是鄰域的相軌是橢圓橢圓形的。形的。實(shí)部均不為零實(shí)部均不為零的特征值對應(yīng)的平的特征值對應(yīng)的平衡（態(tài)）點(diǎn)稱為衡（態(tài)）點(diǎn)稱為雙曲平衡點(diǎn)雙曲平衡點(diǎn)( (Hyperbolic Equilibrium ) )。結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)和鞍點(diǎn)均為結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)和鞍點(diǎn)均為雙曲平衡點(diǎn)雙曲平衡點(diǎn)；特征值中至少有一個實(shí)部為零特征值中至少有一個實(shí)部為零的平衡的平衡點(diǎn)稱為點(diǎn)稱為非雙曲非雙曲( (No

42、n-hyperbolic) )平衡平衡點(diǎn)，中心和點(diǎn)，中心和=det(A)=0=det(A)=0的平衡點(diǎn)，的平衡點(diǎn)，稱為稱為非雙曲平衡點(diǎn)非雙曲平衡點(diǎn)。12112212( )( )nnnntr Aaaadet A 除平衡點(diǎn)外除平衡點(diǎn)外相平面上各相平面上各軌線不相交軌線不相交。(4)(4)平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)的類別的類別P94-P95P94-P95表表2-4-122-4-12作業(yè)作業(yè)4-24-2，4-74-7，4-84-8（a a）、（）、（c c）歸納歸納121122ttX tk ek e（）12122( )()tX tkk tke*121ddjj，2cos()2sin()ttdrdiX tMetMet（

43、）12122cos()2sin()tdrtdiX tMetMet（）2.非線非線性二階電路的定性定性分析(P96P97)l 前述前述相圖相圖分析的意義就在于它能在一分析的意義就在于它能在一個平面上顯示二階網(wǎng)絡(luò)（電路、系統(tǒng)）個平面上顯示二階網(wǎng)絡(luò)（電路、系統(tǒng)）所有可能所有可能的的全局運(yùn)動行為全局運(yùn)動行為。線性二階。線性二階自治系統(tǒng)相圖分析的意義就在于用于自治系統(tǒng)相圖分析的意義就在于用于分析分析非線性二階自治系統(tǒng)。非線性二階自治系統(tǒng)。非線性二非線性二階自治系統(tǒng)在階自治系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的線性化模型平衡點(diǎn)處的線性化模型可以揭示非線性二階自治系統(tǒng)在可以揭示非線性二階自治系統(tǒng)在平衡平衡點(diǎn)點(diǎn)（附近）（附近）鄰域

44、內(nèi)鄰域內(nèi)的的動態(tài)特性動態(tài)特性。（1 1）非線性非線性二階二階自治自治系統(tǒng)的狀態(tài)方程系統(tǒng)的狀態(tài)方程),(),(212211xxQdtdxxxPdtdx（2 2）非線性非線性二階自治系統(tǒng)的二階自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)），（的相點(diǎn)同時使eexxxxQxxxPx21212211),(,),(Xe00稱為稱為非線非線性二階自治系統(tǒng)的性二階自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)。由于在由于在平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)上上00),(),(21211212xxPxxQdtdxdtdxdxdx所以平衡點(diǎn)），（eexx21Xe是相平面上靜止不動的相點(diǎn)；在該點(diǎn)上是相平面上靜止不動的相點(diǎn)；在該點(diǎn)上相軌可以相交，可能有無窮多條相軌進(jìn)入或離開這個相軌可

45、以相交，可能有無窮多條相軌進(jìn)入或離開這個特殊的相點(diǎn)特殊的相點(diǎn)。一般情況下一般情況下平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)就是（數(shù)學(xué)上的）就是（數(shù)學(xué)上的）奇點(diǎn)，二者不加區(qū)分。奇點(diǎn)，二者不加區(qū)分。附錄數(shù)學(xué)上附錄數(shù)學(xué)上奇點(diǎn)奇點(diǎn)的定義（數(shù)學(xué)的定義（數(shù)學(xué)P239)P239)：設(shè) 是 曲線 上的點(diǎn)),(000yxP0),(yxF在0),(yxF設(shè)),(000yxP點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足條件：0),(,0),(0000yxFyxFyx則稱 是曲線 的一個奇點(diǎn)。 ),(000yxP0),(yxF0),(yxF如果函數(shù)在點(diǎn)),(000yxP的 二階偏導(dǎo)數(shù)不全為零則稱),(000yxP為曲線的一個二重點(diǎn)二重點(diǎn)。 設(shè)：),(, ),(, )

46、,(0000002yxFcyxFbyxFayxxyx 則根據(jù)acb2的符號在二重點(diǎn)中又可分成結(jié)點(diǎn)、尖點(diǎn)和孤立點(diǎn)結(jié)點(diǎn)、尖點(diǎn)和孤立點(diǎn)。（3）非線非線性二階自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)的變換變換),(),(21yxfdtdyyxfdtdx若平衡點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)，為便于分析可作變換：eexxyxxx2211把平衡點(diǎn)變換為坐標(biāo)原點(diǎn)平衡點(diǎn)變換為坐標(biāo)原點(diǎn)。則：（4）非非線性二階自治系統(tǒng)二階自治系統(tǒng)在平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)附近的線性線性化模型模型yaxadtdyyaxadtdx22211211在平衡點(diǎn)處做泰勒展開泰勒展開保留一次項(xiàng)得：0111xfa0112yfa0221xfa0222yfa式中：簡記為：yxAyxaaaayx22

47、2112111111222212(,)(,)dxxf xxdtdxxfxxdt或在或在平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)處處直接處理直接處理12xx012(,)QQQ xx在平衡點(diǎn)處在平衡點(diǎn)處任給增量任給增量1122QQxxxx11122212(,)(,)QQQQQQxf xxxfxx1122QQxxxx112212(,)0(,)0f xxfxx在平衡點(diǎn)處做泰勒展開在平衡點(diǎn)處做泰勒展開111211221112222212112212(,)(,)(,)(,)QQQQQQQQQQffxxxxxxxxxxxxffxxxxxxxx 因?yàn)橐驗(yàn)?1122212(,)(,)QQQQQQxf xxxfxx所以所以111212112

48、12222121212(,)(,)(,)(,)QQQQQQQQffxxxxxxxxxffxxxxxxx 112212(,)(,)QQQQf xxfxx（5 5）非線非線性二階自治系統(tǒng)在性二階自治系統(tǒng)在平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)附近附近的的動態(tài)特性動態(tài)特性與線性化模型的與線性化模型的等價性等價性若非線性二階自治系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附若非線性二階自治系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的近的線性化線性化模型的模型的系數(shù)陣為系數(shù)陣為A A， A A的的所有所有特征根的特征根的實(shí)部不為零實(shí)部不為零（稱為（稱為雙曲型雙曲型平衡點(diǎn)，否則稱為非雙曲平平衡點(diǎn)，否則稱為非雙曲平衡點(diǎn)），則其衡點(diǎn)），則其線性化模型線性化模型可以表征可以表征非線非線性性二階

49、二階自治系統(tǒng)在自治系統(tǒng)在平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)（附（附近）鄰域的近）鄰域的動態(tài)特性。動態(tài)特性。請看請看P97P97表表2-4-22-4-2二階自治網(wǎng)絡(luò)的二階自治網(wǎng)絡(luò)的平衡點(diǎn)類型平衡點(diǎn)類型求平衡點(diǎn)（求平衡點(diǎn)（平衡態(tài)平衡態(tài)）；）；(1)(1)解析解析法法(2)(2)求求電阻電路電阻電路的工作點(diǎn)的工作點(diǎn)( (電感電感開路，電容短路開路，電容短路) )平衡點(diǎn)處的近似平衡點(diǎn)處的近似線性化模型線性化模型，相當(dāng)，相當(dāng)于非線性動態(tài)電路的于非線性動態(tài)電路的 “小信號分小信號分析析”中的工作點(diǎn)處的中的工作點(diǎn)處的線性化等效電線性化等效電路路，它是用來求，它是用來求平衡點(diǎn)附近平衡點(diǎn)附近的的、“小信號解小信號解” 的。的。本章結(jié)

50、束！本章結(jié)束！例例 2-11 做出做出222268xxyyxy 的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)和和平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)附近的相量圖。附近的相量圖。解：求平衡點(diǎn)解：求平衡點(diǎn)A）解析法（如此例）。）解析法（如此例）。B）求電阻電路的工作點(diǎn)（電）求電阻電路的工作點(diǎn)（電感短，電容開）。感短，電容開）。00 xy22226800 xyxy222340 xyyx（1）（2）由（2）得：yx 代入（1）得，當(dāng)y=x2340 xx410 xx114,4,xy2211xy 。當(dāng)yx 時，234 0 xx 41 0 xx 34344,14,1xxyy 所以共有四個平衡點(diǎn)所以共有四個平衡點(diǎn)124,4,1, 1QQ 344,4,1, 1QQ把平衡點(diǎn)變換為新坐標(biāo)的原點(diǎn)把平衡點(diǎn)變換為新坐標(biāo)的原點(diǎn)令：QQxxxyyyQQxxxyyy228166248xxxy22(4)(4)yxy 2288yxxyy 22166xxxy在14, 4Q點(diǎn)：21222,2166,88fxyxxxyfxyxxyyy在21, 1Q 點(diǎn)： 221618xxy2221668yxxy22221122yxyxxyy 2246xxxy22224622xxxyxxyyy 34,4Q 14,4Q在點(diǎn)與類比得：222216688xxxyxxyyy 41, 1Q21, 1Q 在點(diǎn)與類比得：22224622xxxyxxyyy