1990年江蘇高考理科數(shù)學(xué)真題及答案_第1頁
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文檔簡介

1、1990年江蘇高考理科數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題(共15小題,每小題4分,滿分60分)1(4分)方程=的解是()Ax=Bx=Cx=Dx=92(4分)把復(fù)數(shù)1+i對應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所得到的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()ABiCD3(4分)如果底面直徑和高相等的圓柱的側(cè)面積是S,那么圓柱的體積等于()ABCD4(4分)方程sin2x=sinx在區(qū)間(0,2)內(nèi)的解的個(gè)數(shù)是()A1B2C3D45(4分)已知如圖是函數(shù)y=2sin(x+)(|)的圖象,那么()A=,=B=,=C=2,=D=2,=6(4分)函數(shù)的值域是()A2,4B2,0,4C2,0,2,4D4,2,0,47(4分)如果直線y=ax+2與直

2、線y=3xb關(guān)于直線y=x對稱,那么()Aa=,b=6Ba=,b=6Ca=3,b=2Da=3,b=68(4分)極坐標(biāo)方程4sin=5表示的曲線是()A圓B橢圓C雙曲線的一支D拋物線9(4分)設(shè)全集I=(x,y)|x,yR,集合M=(x,y)|=1,N=(x,y)|yx+1那么等于()AB(2,3)C(2,3)D(x,y)|y=x+110(4分)(2010建德市模擬)若實(shí)數(shù)x、y滿足(x+2)2+y2=3,則的最大值為()ABCD11(4分)如圖,正三棱錐SABC的側(cè)棱與底面邊長相等,如果E、F分別為SC、AB的中點(diǎn),那么異面直線EF與SA所成的角等于()A90B60C45D3012(4分)已知

3、h0設(shè)命題甲為:兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b滿足|ab|2h;命題乙為:兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b滿足|a1|h且|b1|h那么()A甲是乙的充分條件,但不是乙的必要條件B甲是乙的必要條件,但不是乙的充分條件C甲是乙的充分條件D甲不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件13(4分)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必須站在A的右邊(A,B可以不相鄰),那么不同的排法共有()A24種B60種C90種D120種14(4分)以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有()A70個(gè)B64個(gè)C58個(gè)D52個(gè)15(4分)設(shè)函數(shù)y=arctgx的圖象沿x軸正方向平移2個(gè)單位所得到的圖象為C又設(shè)圖象C與C關(guān)于原點(diǎn)對稱,那么C所對應(yīng)的函數(shù)是

4、()Ay=arctg(x2)By=arctg(x2)Cy=arctg(x+2)Dy=arctg(x+2)二、填空題(共5小題,每小題5分,滿分25分)16(5分)雙曲線的準(zhǔn)線方程是_17(5分)(x1)(x1)2+(x1)3(x1)4+(x1)5的展開式中,x2的系數(shù)等于_18(5分)(2011上海模擬)已知an是公差不為零的等差數(shù)列,如果sn是an的前n項(xiàng)的和,那么等于_19(5分)函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 _20(5分)如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn),平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分,那么V1:V2=_三、

5、解答題(共6小題,滿分65分)21(10分)有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12,求這四個(gè)數(shù)22(10分)已知sina+sinB=,cosa+cosB=,求tg(a+B)的值23(10分)如圖,在三棱錐SABC中,SA底面ABC,ABBCDE垂直平分SC,且分別交AC、SC于D、E又SA=AB,SB=BC求以BD為棱,以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù)24(11分)設(shè)a為實(shí)數(shù),在復(fù)數(shù)集C中解方程:z2+2|z|=a25(12分)設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在x軸上,離心率e=,已知點(diǎn)P(0)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離

6、是求這個(gè)橢圓的方程,并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)26(12分)f(x)=lg,其中a是實(shí)數(shù),n是任意自然數(shù)且n2()如果f(x)當(dāng)x(,1時(shí)有意義,求a的取值范圍;()如果a(0,1,證明2f(x)f(2x)當(dāng)x0時(shí)成立參考答案一、選擇題(共15小題,每小題4分,滿分60分)1考點(diǎn):對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì);指數(shù)式與對數(shù)式的互化 分析:根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化可知,進(jìn)而得到答案解答:解:故選A點(diǎn)評:本題主要考查指數(shù)式與對數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化2考點(diǎn):復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算 分析:把復(fù)數(shù)1+i乘以cos()+isin(),化簡為代數(shù)形式即可解答:解:復(fù)數(shù)1+i對應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所得到的向量:(1+

7、i)cos()+isin()=(1+i)=,故選D點(diǎn)評:復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn),實(shí)際上復(fù)數(shù)乘以一個(gè)模為1的輔角為復(fù)數(shù)三角形式,注意旋轉(zhuǎn)方向,本題是基礎(chǔ)題3考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺) 專題:計(jì)算題分析:設(shè)圓柱高為h,推出底面半徑,求出圓柱的側(cè)面積,然后求出圓柱的體積即可得到選項(xiàng)解答:解:設(shè)圓柱高為h,則底面半徑為由題意知,S=h2,h=,V=()2h=故選D點(diǎn)評:本題是基礎(chǔ)題,考查圓柱的側(cè)面積、體積的計(jì)算及其關(guān)系,考查計(jì)算能力,常考題型4考點(diǎn):正弦函數(shù)的圖象;函數(shù)y=Asin(x+)的圖象變換 專題:計(jì)算題分析:通過二倍角公式化簡的2sinxcosx=sinx,進(jìn)而推斷sinx=0或cosx=,進(jìn)而求出

8、x的值解答:解:sin2x=2sinxcosx=sinxsinx=0或cosx=x(0,2)x=或或故選C點(diǎn)評:本題主要考查了三角函數(shù)的二倍角公式屬基礎(chǔ)題5考點(diǎn):由y=Asin(x+)的部分圖象確定其解析式 專題:計(jì)算題;數(shù)形結(jié)合法分析:由圖象過(0,1)及|,求出的值,函數(shù)圖象過點(diǎn)(,0),據(jù)五點(diǎn)法作圖的過程知+=2,求出解答:解:因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(0,1),所以,1=2sin,sin=,|,=,故函數(shù)y=2sin(x+),又函數(shù)圖象過點(diǎn)(,0),0=2sin(+),由五點(diǎn)法作圖的過程知,+=2,=2,綜上,=,=2,故選C點(diǎn)評:本題考查五點(diǎn)法作圖的方法,在本題圖中的一個(gè)完整的標(biāo)準(zhǔn)周期內(nèi),圖象

9、上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為:0,26考點(diǎn):函數(shù)的值域;三角函數(shù)的化簡求值 專題:計(jì)算題;分類討論分析:根據(jù)正切和余切的定義求出函數(shù)的定義域,分四種情況由三角函數(shù)值的符號,去掉絕對值求解解答:解:由題意知,函數(shù)的定義域是x|x,kZ,下由各個(gè)象限中三角函數(shù)值的符號來確定在各個(gè)象限中函數(shù)的值當(dāng)x是第一象限角時(shí),因所有三角函數(shù)值大于零,故y=4;當(dāng)x是第二象限角時(shí),因?yàn)橹挥姓抑荡笥诹?,故y=1111=2;當(dāng)x是第三象限角時(shí),因?yàn)檎兄岛陀嗲兄荡笥诹悖蕐=11+1+1=0;當(dāng)x是第四象限角時(shí),因?yàn)橹挥杏嘞抑荡笥诹悖蕐=2;所以函數(shù)的值域是2,0,4故選B點(diǎn)評:本題主要考查了三角函數(shù)的定義以及符

10、號,根據(jù)定義求出函數(shù)的定義域,由三角函數(shù)值的符號進(jìn)行化簡求值7考點(diǎn):反函數(shù) 分析:本題考查對互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系、反函數(shù)的求法等相關(guān)知識;本題可有兩種方法,其一,求出y=ax+2的反函數(shù)令其與y=3xb的對應(yīng)系數(shù)相等獲得,其二由互為反函數(shù)圖象上的點(diǎn)之間的對稱關(guān)系,通過在圖象上取特殊點(diǎn)求解解答:解:法一:由題意,函數(shù)y=3xb的反函數(shù)為y=,與y=ax+2對照可得a=,b=6;法二:在y=ax+2上取點(diǎn)(0,2),則點(diǎn)(2,0)在y=3xb上,故得b=6;又y=3x6上有點(diǎn)(0,6),則點(diǎn)(6,0)在y=ax+2上,代入得a=,由此可得a=,b=6答案:a=,b=6點(diǎn)評:本題解題思

11、路清晰,方向明確,運(yùn)算量也小,屬于容易題目這里提供了兩種方法,比較可見各有特點(diǎn),直接求反函數(shù)過程簡捷,較為簡單,特值代入,小巧易行,過程稍繁8考點(diǎn):簡單曲線的極坐標(biāo)方程 分析:先在極坐標(biāo)方程4sin=5的兩邊同乘以,再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系,即利用cos=x,sin=y,2=x2+y2,進(jìn)行代換即得直角坐標(biāo)系,再利用直角坐標(biāo)方程即可進(jìn)行判斷解答:解:將方程4sin=5兩邊都乘以p得:4sin=52,化成直角坐標(biāo)方程為5x2+5y24y=0它表示一個(gè)圓故選A點(diǎn)評:本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置,體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別,能進(jìn)

12、行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化9考點(diǎn):交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 分析:先化簡集合M,再計(jì)算解答:解:M=(x,y)|y=x+1或(x,y)(2,3),又故答案選B點(diǎn)評:本題主要考查了集合間的交,并,補(bǔ)混合運(yùn)算,注意弄清各集合中的元素10考點(diǎn):簡單線性規(guī)劃 專題:計(jì)算題分析:先判斷出方程表示的圖形,再給賦與幾何意義,作出圖象,結(jié)合圖判斷出當(dāng)直線與圓相切時(shí)斜率最大求出最大值解答:解:(x+2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心,以為半徑的圓表示圓上的點(diǎn)與(0,0)連線的斜率,設(shè)為k則y=kx由圖知,當(dāng)過原點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)斜率最大故有解得或由圖知,故選A點(diǎn)評:本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩點(diǎn)連線斜率公式的形式

13、、數(shù)形結(jié)合求最值11考點(diǎn):異面直線及其所成的角 專題:計(jì)算題;壓軸題分析:先通過平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)AC的中點(diǎn)D,得到的銳角或直角就是異面直線所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可解答:解:如圖,取AC的中點(diǎn)D,連接DE、DF,DEF為異面直線EF與SA所成的角設(shè)棱長為2,則DE=1,DF=1,根據(jù)SABC,則EDDFDEF=45,故選C點(diǎn)評:本小題主要考查異面直線所成的角,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題12考點(diǎn):必要條件、充分條件與充要條件的判斷 分析:巧妙運(yùn)用絕對值不等式|a|+|b|a+b|及必要、充分條件,可以解答本題解答:解:由|a1|h且

14、|b1|h 得|ab|=|a1+1b|a1|+|1b|2h,所以甲是乙的必要條件;不妨令h=1,a=0.5,b=0.3,|a1|=0.51,而|b1|=1.31,因而甲不是乙的充分條件故選B點(diǎn)評:|a|+|b|a+b|的合理運(yùn)用,以及巧妙運(yùn)用|a1|+|1b|的使用,是解答甲是乙的必要條件的一個(gè)關(guān)鍵;充分條件的推導(dǎo)用的是特殊值否定法13考點(diǎn):排列、組合的實(shí)際應(yīng)用 專題:轉(zhuǎn)化思想分析:根據(jù)題意,首先計(jì)算五人并排站成一排的情況數(shù)目,進(jìn)而分析可得,B站在A的左邊與B站在A的右邊是等可能的,使用倍分法,計(jì)算可得答案解答:解:根據(jù)題意,使用倍分法,五人并排站成一排,有A55種情況,而其中B站在A的左邊與

15、B站在A的右邊是等可能的,則其情況數(shù)目是相等的,則B站在A的右邊的情況數(shù)目為A55=60,故選B點(diǎn)評:本題考查排列、組合的應(yīng)用,注意使用倍分法時(shí),注意必須保證其各種情況是等可能的14考點(diǎn):棱錐的結(jié)構(gòu)特征 專題:壓軸題;分類討論分析:以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)中任意選4個(gè)除去在同一個(gè)平面上的點(diǎn),可得四面體的個(gè)數(shù)解答:解:正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)共有C84=70個(gè)不能組成四面體的4個(gè)頂點(diǎn)有,已有的6個(gè)面,對角面有6個(gè)所以以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有:7012=58個(gè)故選C點(diǎn)評:本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查邏輯思維能力,是中檔題15考點(diǎn):函數(shù)的圖象與圖象變化 專題:壓軸題分析:根據(jù)平移變換和

16、對稱變換引起的解析式變化規(guī)律依次求出C、C對應(yīng)的解析式即可解答:解:將函數(shù)y=arctgx的圖象沿x軸正方向平移2個(gè)單位所得到的圖象為C則C對應(yīng)的解析式為y=arctg(x2)又圖象C與C關(guān)于原點(diǎn)對稱則C對應(yīng)的解析式為y=arctg(x2)=arctg(x+2)故選D點(diǎn)評:平移變換的口決是“左加右減,上加下減”對稱變換的口決是“關(guān)于Y軸負(fù)里面,關(guān)于X軸負(fù)外面,關(guān)于原點(diǎn),既負(fù)里面,又負(fù)外面”二、填空題(共5小題,每小題5分,滿分25分)16考點(diǎn):雙曲線的簡單性質(zhì) 專題:計(jì)算題分析:由焦點(diǎn)在y軸的雙曲線的準(zhǔn)線方程公式進(jìn)行求解解答:解:a=4,b=3,則c=5,雙曲線的準(zhǔn)線方程是,故答案是點(diǎn)評:本題

17、比較簡單,解題時(shí)要注意雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上17考點(diǎn):二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 專題:計(jì)算題分析:多項(xiàng)式展開式的含x2項(xiàng)的系數(shù)等于各個(gè)二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和,利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出各個(gè)系數(shù)解答:解:展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為1C32C42C52=13610=20故答案為20點(diǎn)評:本題考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用18考點(diǎn):等差數(shù)列的性質(zhì);極限及其運(yùn)算;等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 分析:設(shè)an=a1+(n1)d,sn=na1+d,代入求出極限即可解答:解:設(shè)an=a1+(n1)d,sn=na1+d,代入得=2故答案為2點(diǎn)評:考查學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)的能力,運(yùn)用等差數(shù)列求和公式的能力,會求極限及運(yùn)算

18、極限的能力19考點(diǎn):三角函數(shù)的最值 專題:計(jì)算題;壓軸題分析:利用sinx與cosx的平方關(guān)系,令sinx+cosx=t,通過換元,將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),求出對稱軸,利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出最值解答:解:令t=sinx+cosx=則sinxcosx=y=()對稱軸t=1當(dāng)t=時(shí),y有最大值故答案為點(diǎn)評:本題考查三角函數(shù)中利用平方關(guān)系sinx+cosx與2sinxcosx兩者是可以相互轉(zhuǎn)化的、二次函數(shù)的最值的求法20考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺的體積 專題:計(jì)算題;壓軸題分析:設(shè)AEF面積為s1,ABC和A1B1C1的面積為s,三棱柱高位h;VAEFA1B1C1=V1;VBCFEB1C1=V2;總

19、體積為:V,根據(jù)棱臺體積公式求V1;V2=VV1以及面積關(guān)系,求出體積之比解答:解:由題:設(shè)AEF面積為s1,ABC和A1B1C1的面積為s,三棱柱高位h;VAEFA1B1C1=V1;VBCFEB1C1=V2;總體積為:V計(jì)算體積:V1=h(s1+s+)V=sh V2=VV1由題意可知,s1=根據(jù)解方程可得:V1=sh,V2=sh;則故答案為:點(diǎn)評:本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積,考查計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化思想,考查空間想象能力,是基礎(chǔ)題三、解答題(共6小題,滿分65分)21考點(diǎn):數(shù)列的應(yīng)用 專題:計(jì)算題分析:設(shè)四個(gè)數(shù)依次為x,y,12y,16x根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)知,由此能求出這四個(gè)數(shù)解答:

20、解:設(shè)四個(gè)數(shù)依次為x,y,12y,16x依題意,有由式得x=3y12將式代入式得y(163y+12)=(12y)2,整理得y213y+36=0解得y1=4,y2=9代入式得x1=0,x2=15從而得所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用22考點(diǎn):兩角和與差的正弦函數(shù);同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用 分析:和差化積,兩已知等式出現(xiàn)相同的因式,兩式相除,約分得角的正切,用二倍角公式代入即求的結(jié)果,注意二倍角公式的符號解答:解法一:由已知得sin+sin=2sincos=,cos,兩式相除得tan=,tan(+)=點(diǎn)評:數(shù)學(xué)課本中常見的三

21、角函數(shù)恒等式的變換,既是重點(diǎn),又是難點(diǎn)其主要難于三角公式多,難記憶,角度變化、函數(shù)名稱變化,運(yùn)算符號復(fù)雜、難掌握,解題時(shí)抓住題目本質(zhì),熟記公式,才不會出錯23考點(diǎn):平面與平面之間的位置關(guān)系 專題:計(jì)算題分析:欲證BDDE,BDDC,先證BD面SAC,從而得到EDC是所求的二面角的平面角,利用RtSAC與RtEDC相似求出EDC即可解答:解:由于SB=BC,且E是SC的中點(diǎn),因此BE是等腰三角形SBC的底邊SC的中線,所以SCBE又已知SCDE,BEDE=E,SC面BDE,SCBD又SA底面ABC,BD在底面ABC上,SABD而SCSA=S,BD面SACDE=面SAC面BDE,DC=面SAC面B

22、DC,BDDE,BDDCEDC是所求的二面角的平面角SA底面ABC,SAAB,SAAC設(shè)SA=a,則AB=a,BC=SB=aABBC,AC=,在RtSAC中tanACS=ACS=30又已知DESC,所以EDC=60,即所求的二面角等于60點(diǎn)評:本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題24考點(diǎn):復(fù)數(shù)的基本概念;復(fù)數(shù)相等的充要條件 專題:壓軸題;分類討論分析:由于z2=a2|z|為實(shí)數(shù),故z為純虛數(shù)或?qū)崝?shù),因而需分情況進(jìn)行討論當(dāng)z是實(shí)數(shù)時(shí),本題是一個(gè)關(guān)于z的一元二次方程組,解方程組即可;當(dāng)z是一個(gè)純虛數(shù)時(shí),按照實(shí)數(shù)方程求解得到z的虛部,寫出純虛數(shù)

23、即可解答:解:設(shè)|z|=r若a0,則z2=a2|z|0,于是z為純虛數(shù),從而r2=2ra由于z2=a2|z|為實(shí)數(shù),故z為純虛數(shù)或?qū)崝?shù),因而需分情況進(jìn)行討論解得r=(r=0,不合,舍去)故z=()i若a0,對r作如下討論:(1)若ra,則z2=a2|z|0,于是z為實(shí)數(shù)解方程r2=a2r,得r=(r=0,不合,舍去)故z=()(2)若ra,則z2=a2|z|0,于是z為純虛數(shù)解方程r2=2ra,得r=或r=(a1)故z=()i(a1)綜上所述,原方程的解的情況如下:當(dāng)a0時(shí),解為:z=()i;當(dāng)0a1時(shí),解為:z=(),z=()i;當(dāng)a1時(shí),解為:z=()點(diǎn)評:本題還可以令z=x+yi(x、yR)代入原方程后,由復(fù)數(shù)相等的條件將復(fù)數(shù)方程化歸為關(guān)于x,y的實(shí)系數(shù)的二元方程組來求解25考點(diǎn):橢圓的應(yīng)用 專題:計(jì)算題;壓軸題分析:由題設(shè)條件取橢圓的參數(shù)方程,其中02,根據(jù)已知條件和橢圓的性質(zhì)能夠推出b=1,a=2從而求出這個(gè)橢圓的方程和橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)解答:解:根據(jù)題設(shè)條件,可取橢圓的參數(shù)方程是,其中02,由可得,即a=2b設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)P的距離為d,則=如果,即,則當(dāng)sin=1時(shí),d2有最大值,由題設(shè)得,由此得,與矛盾因此必有成立,于是當(dāng)時(shí),d2有最大值,由題設(shè)得

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