幾何學(xué)發(fā)展簡況

1、幾何學(xué)發(fā)展簡況 “幾何”這個詞在漢語里是“多少？”的意思，但在數(shù)學(xué)里“幾何”的涵義就完全不同了?！皫缀巍边@個詞的詞義來源于希臘文，原意是土地測量，或叫測地術(shù)。 幾何學(xué)和算術(shù)一樣產(chǎn)生于實(shí)踐，也可以說幾何產(chǎn)生的歷史和算術(shù)是相似的。在遠(yuǎn)古時代，人們在實(shí)踐中積累了十分豐富的各種平面、直線、方、圓、長、短、款、窄、厚、薄等概念，并且逐步認(rèn)識了這些概念之間、它們以及它們之間位置關(guān)系跟數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，這些后來就成了幾何學(xué)的基本概念。 正是生產(chǎn)實(shí)踐的需要，原始的幾何概念便逐步形成了比較粗淺的幾何知識。雖然這些知識是零散的，而且大多數(shù)是經(jīng)驗性的，但是幾何學(xué)就是建立在這些零散、經(jīng)驗性的、粗淺的幾何知識之上的。

2、 幾何學(xué)是數(shù)學(xué)中最古老的分支之一，也是在數(shù)學(xué)這個領(lǐng)域里最基礎(chǔ)的分支之一。古代中國、古巴比倫、古埃及、古印度、古希臘都是幾何學(xué)的重要發(fā)源地。 大量出土文物證明，在我國的史前時期，人們已經(jīng)掌握了許多幾何的基本知識，看一看遠(yuǎn)古時期人們使用過的物品中那許許多多精巧的、對稱的圖案的繪制，一些簡單設(shè)計但是講究體積和容積比例的器皿，都足以說明當(dāng)時人們掌握的幾何知識是多么豐富了。 幾何之所以能成為一門系統(tǒng)的學(xué)科，希臘學(xué)者的工作曾起了十分關(guān)鍵的作用。兩千多年前的古希臘商業(yè)繁榮，生產(chǎn)比較發(fā)達(dá)，一批學(xué)者熱心追求科學(xué)知識，研究幾何就是最感興趣的內(nèi)容，在這里應(yīng)當(dāng)提及的是哲學(xué)家、幾何學(xué)家柏拉圖和哲學(xué)家亞里士多德對發(fā)展幾何

3、學(xué)的貢獻(xiàn)。 柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法引入了幾何，使原始的幾何知識受邏輯學(xué)的指導(dǎo)逐步趨向于系統(tǒng)和嚴(yán)密的方向發(fā)展。柏拉圖在雅典給他的學(xué)生講授幾何學(xué)，已經(jīng)運(yùn)用邏輯推理的方法對幾何中的一些命題作了論證。亞里士多德被公認(rèn)是邏輯學(xué)的創(chuàng)始人，他所提出的“三段論”的演繹推理的方法，對于幾何學(xué)的發(fā)展，影響更是巨大的。到今天，在初等幾何學(xué)中，仍是運(yùn)用三段論的形式來進(jìn)行推理。 但是，盡管那時候已經(jīng)有了十分豐富的幾何知識，這些知識仍然是零散的、孤立的、不系統(tǒng)的。真正把幾何總結(jié)成一門具有比較嚴(yán)密理論的學(xué)科的，是希臘杰出的數(shù)學(xué)家歐幾里得。 歐幾里得在公元前300年左右，曾經(jīng)到亞歷山大城教學(xué)，是一位受人尊敬的、溫良敦厚的教

4、育家。他酷愛數(shù)學(xué)，深知柏拉圖的一些幾何原理。他非常詳盡的搜集了當(dāng)時所能知道的一切幾何事實(shí)，按照柏拉圖和亞里士多德提出的關(guān)于邏輯推理的方法，整理成一門有著嚴(yán)密系統(tǒng)的理論，寫成了數(shù)學(xué)史上早期的巨著幾何原本。 幾何原本的偉大歷史意義在于，它是用公理法建立起演繹的數(shù)學(xué)體系的最早典范。在這部著作里，全部幾何知識都是從最初的幾個假設(shè)除法、運(yùn)用邏輯推理的方法展開和敘述的。也就是說，從幾何原本發(fā)表開始，幾何才真正成為了一個有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。歐幾里得的幾何原本 歐幾里得的幾何原本共有十三卷，其中第一卷講三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關(guān)系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條

5、件；第二卷講如何把三角形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內(nèi)接和外切多邊形；第六卷講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十卷講述比例和算術(shù)得里論；最后講述立體幾何的內(nèi)容。 從這些內(nèi)容可以看出，目前屬于中學(xué)課程里的初等幾何的主要內(nèi)容已經(jīng)完全包含在幾何原本里了。因此長期以來，人們都認(rèn)為幾何原本是兩千多年來傳播幾何知識的標(biāo)準(zhǔn)教科書。屬于幾何原本內(nèi)容的幾何學(xué)，人們把它叫做歐幾里得幾何學(xué)，或簡稱為歐式幾何。 幾何原本最主要的特色是建立了比較嚴(yán)格的幾何體系，在這個體系中有四方面主要內(nèi)容，定義、公理、公設(shè)、命題（包括作圖和定理）。幾何原本第一卷列有23個定義，5條公理，5條公設(shè)。（其中最后一條公

6、設(shè)就是著名的平行公設(shè)，或者叫做第五公設(shè)。它引發(fā)了幾何史上最著名的長達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論，并最終誕生了非歐幾何。） 這些定義、公理、公設(shè)就是幾何原本全書的基礎(chǔ)。全書以這些定義、公理、公設(shè)為依據(jù)邏輯地展開他的各個部分的。比如后面出現(xiàn)的每一個定理都寫明什么是已知、什么是求證。都要根據(jù)前面的定義、公理、定理進(jìn)行邏輯推理給予仔細(xì)證明。 關(guān)于幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設(shè)所要求的已經(jīng)得到了，分析這時候成立的條件，由此達(dá)到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實(shí)開始，逐步的導(dǎo)出要證明的事項；歸謬法是在保留命題的假設(shè)下，否定結(jié)論，從結(jié)論的反面出發(fā)，由此

7、導(dǎo)出和已證明過的事實(shí)相矛盾或和已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證實(shí)原來命題的結(jié)論是正確的，也稱作反證法。 歐幾里得幾何原本的誕生在幾何學(xué)發(fā)展的歷史中具有重要意義。它標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一個有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。 從歐幾里得發(fā)表幾何原本到現(xiàn)在，已經(jīng)過去了兩千多年，盡管科學(xué)技術(shù)日新月異，但是歐幾里得幾何學(xué)仍舊是中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的好教材。 由于歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴(yán)密的邏輯演繹方法相結(jié)合的特點(diǎn)，在長期的實(shí)踐中表明，它巳成為培養(yǎng)、提高青、少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學(xué)家從學(xué)習(xí)幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻(xiàn)。 少年時代的牛頓在劍橋大學(xué)附近的夜店里買了一本幾

8、何原本，開始他認(rèn)為這本書的內(nèi)容沒有超出常識范圍，因而并沒有認(rèn)真地去讀它，而對笛卡兒的“坐標(biāo)幾何”很感興趣而專心攻讀。后來，牛頓于1664年4月在參加特列臺獎學(xué)金考試的時候遭到落選，當(dāng)時的考官巴羅博士對他說：“因為你的幾何基礎(chǔ)知識太貧乏，無論怎樣用功也是不行的?！边@席談話對牛頓的震動很大。于是，牛頓又重新把幾何原本從頭到尾地反復(fù)進(jìn)行了深入鉆研，為以后的科學(xué)工作打下了堅實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 近代物理學(xué)的科學(xué)巨星愛因斯坦也是精通幾何學(xué)，并且應(yīng)用幾何學(xué)的思想方法，開創(chuàng)自己研究工作的一位科學(xué)家。愛因斯坦在回憶自己曾走過的道路時，特別提到在十二歲的時候“幾何學(xué)的這種明晰性和可靠性給我留下了一種難以形容的印象”。

9、后來，幾何學(xué)的思想方法對他的研究工作確實(shí)有很大的啟示。他多次提出在物理學(xué)研究工作中也應(yīng)當(dāng)在邏輯上從少數(shù)幾個所謂公理的基本假定開始。在狹義相對論中，愛因斯坦就是運(yùn)用這種思想方法，把整個理論建立在兩條公理上：相對原理和光速不變原理。 在幾何學(xué)發(fā)展的歷史中，歐幾里得的幾何原本起了重大的歷史作用。這種作用歸結(jié)到一點(diǎn)，就是提出了幾何學(xué)的“根據(jù)”和它的邏輯結(jié)構(gòu)的問題。在他寫的幾何原本中，就是用邏輯的鏈子由此及彼的展開全部幾何學(xué)，這項工作，前人未曾作到。 但是，在人類認(rèn)識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家，都不可能把問題全部解決。由于歷史條件的限制，歐幾里得在幾何原本中提出幾何學(xué)的“根據(jù)”問題并沒有得到徹底

10、的解決，他的理論體系并不是完美無缺的。比如，對直線的定義實(shí)際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什么作用。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了“連續(xù)”的概念，但是在幾何原本中從未提到過這個概念?，F(xiàn)代幾何公理體系 人們對幾何原本中在邏輯結(jié)果方面存在的一些漏洞、破綻的發(fā)現(xiàn)，正是推動幾何學(xué)不斷向前發(fā)展的契機(jī)。最后德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，在他1899年發(fā)表的幾何基礎(chǔ)一書中提出了一個比較完善的幾何學(xué)的公理體系。這個公理體系就被叫做希爾伯特公理體。 希爾伯特不僅提出了個完善的幾何體系，并且還提出了建立一個公理系統(tǒng)的原則。就是在一個幾何公理系統(tǒng)中，采取哪些

11、公理，應(yīng)該包含多少條公理，應(yīng)當(dāng)考慮如下三個方面的問題： 第一，共存性(和諧性)，就是在一個公理系統(tǒng)中，各條公理應(yīng)該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統(tǒng)中。 第二，獨(dú)立性，公理體系中的每條公理應(yīng)該是各自獨(dú)立而互不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。 第三，完備性，公理體系中所包含的公理應(yīng)該是足夠能證明本學(xué)科的任何新命題。 這種用公理系統(tǒng)來定義幾何學(xué)中的基本對象和它的關(guān)系的研究方法，成了數(shù)學(xué)中所謂的“公理化方法”，而把歐幾里得在幾何原本提出的體系叫做古典公理法。 公理化的方法給幾何學(xué)的研究帶來了一個新穎的觀點(diǎn)，在公理法理論中，由于基本對象不予定義，因此就不必探究對象的直觀形象是什么，只

12、專門研究抽象的對象之間的關(guān)系、性質(zhì)。從公理法的角度看，我們可以任意地用點(diǎn)、線、面代表具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系、合同關(guān)系等，使這些關(guān)系滿足公理系統(tǒng)中所規(guī)定的要求，這就構(gòu)成了幾何學(xué)。 因此，凡是符合公理系統(tǒng)的元素都能構(gòu)成幾何學(xué)，每一個幾何學(xué)的直觀形象不止只有個，而是可能有無窮多個，每一種直觀形象我們把它叫做幾何學(xué)的解釋，或者叫做某種幾何學(xué)的模型。平常我們所熟悉的幾何圖形，在研究幾何學(xué)的時候，并不是必須的，它不過是一種直觀形象而已。 就此，幾何學(xué)研究的對象更加廣泛了，幾何學(xué)的含義比歐幾里得時代更為抽象。這些，都對近代幾何學(xué)的發(fā)展帶來了深遠(yuǎn)的影響。非歐幾何的來源

13、非歐幾何學(xué)是一門大的數(shù)學(xué)分支，一般來講 ，他有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里的幾何學(xué)不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅式幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅式幾何和黎曼幾何這兩種幾何。 歐幾里得的幾何原本提出了五條公設(shè)，長期以來，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)和前四個公設(shè)比較起來，顯得文字?jǐn)⑹鋈唛L，而且也不那么顯而易見。 有些數(shù)學(xué)家還注意到歐幾里得在幾何原本一書中直到第二十九個命題中才用到，而且以后再也沒有使用。也就是說，在幾何原本中可以不依靠第五公設(shè)而推出前二十八個命題。 因此，一些數(shù)學(xué)家提出，第五公設(shè)能不能不作為公設(shè)，而作為定理？能不能依靠前四個公設(shè)來

14、證明第五公設(shè)？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭論了長達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論。 由于證明第五公設(shè)的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對？第五公設(shè)到底能不能證明？ 到了十九世紀(jì)二十年代，俄國喀山大學(xué)教授羅巴切夫斯基在證明第五公設(shè)的過程中，他走了另一條路子。他提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設(shè)，然后與歐式幾何的前四個公設(shè)結(jié)合成一個公理系統(tǒng)，展開一系列的推理。他認(rèn)為如果這個系統(tǒng)為基礎(chǔ)的推理中出現(xiàn)矛盾，就等于證明了第五公設(shè)。我們知道，這其實(shí)就是數(shù)學(xué)中的反證法。 但是，在他極為細(xì)致深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題

15、。最后，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結(jié)論： 第一，第五公設(shè)不能被證明。 第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴(yán)密的幾何學(xué)。 這種幾何學(xué)被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學(xué)。 從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學(xué)中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結(jié)論：邏輯上互不矛盾的一組假設(shè)都有可能提供一種幾何學(xué)。 幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學(xué)的同時，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶雅諾什也發(fā)現(xiàn)了第五公設(shè)不可證明和非歐幾何學(xué)的存在。鮑耶在研究非歐幾何學(xué)的過程中也遭到了家庭、社會的冷漠對待。他的父親數(shù)學(xué)家

16、鮑耶法爾卡什認(rèn)為研究第五公設(shè)是耗費(fèi)精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶雅諾什堅持為發(fā)展新的幾何學(xué)而辛勤工作。終于在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發(fā)表了研究結(jié)果。 那個時代被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯也發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)不能證明，并且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到當(dāng)時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發(fā)表自己的研究成果，只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。羅式幾何 羅式幾何學(xué)的公理系統(tǒng)和歐式幾何學(xué)不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“從直線外一點(diǎn)，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。由于平行

17、公理不同，經(jīng)過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內(nèi)容不同的新的幾何命題。 我們知道，羅式幾何除了一個平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅式幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，再羅式幾何中都不成立，他們都相應(yīng)地含有新的意義。下面舉幾個例子加以說明： 歐式幾何 同一直線的垂線和斜線相交。 垂直于同一直線的兩條直線或向平行。 存在相似的多邊形。 過不在同一直線上的三點(diǎn)可以做且僅能做一個圓。 羅式幾何 同一直線的垂線和斜線不一定相交。 垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長的時候，離散到無窮。 不存在相似的多邊形

18、。 過不在同一直線上的三點(diǎn)，不一定能做一個圓。 從上面所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習(xí)慣的直觀形象有矛盾。所以羅式幾何中的一些幾何事實(shí)沒有象歐式幾何那樣容易被接受。但是，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過研究，提出可以用我們習(xí)慣的歐式幾何中的事實(shí)作一個直觀“模型”來解釋羅式幾何是正確的。 1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文非歐幾何解釋的嘗試，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實(shí)現(xiàn)。這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。 人們既然承認(rèn)歐幾里是沒有矛盾的，所以也就自然承認(rèn)非歐幾何沒有矛盾了

19、。直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也就由此得到學(xué)術(shù)界的高度評價和一致贊美，他本人則被人們贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。 黎曼幾何 歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”。羅氏幾何講“過直線外一點(diǎn)至少存在兩條直線和已知直線平行”。那么是否存在這樣的幾何“過直線外一點(diǎn)，不能做直線和已知直線平行”？黎曼幾何就回答了這個問題。 黎曼幾何是德國數(shù)學(xué)家黎曼創(chuàng)立的。他在1851年所作的一篇論文論幾何學(xué)作為基礎(chǔ)的假設(shè)中明確的提出另一種幾何學(xué)

20、的存在，開創(chuàng)了幾何學(xué)的一片新的廣闊領(lǐng)域。 黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無限演唱，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經(jīng)過適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。 近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應(yīng)用。在物理學(xué)家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關(guān)于時空均勻性的觀念，他認(rèn)為時空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學(xué)中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。 此外，黎曼幾何在數(shù)學(xué)中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎(chǔ)

21、，也應(yīng)用在微分方程、變分法和復(fù)變函數(shù)論等方面。三種幾何的關(guān)系 歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因此這三種幾何都是正確的。 在我們這個不大不小、不遠(yuǎn)不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。解析幾何的產(chǎn)生 十六世紀(jì)以后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文、力學(xué)、航海等方面都對幾何學(xué)提出了新的需要。比如，德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽處在這個橢

22、圓的一個焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗著拋物線運(yùn)動的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就導(dǎo)致了解析幾何的出現(xiàn)。 1637年，法國的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)表了他的著作方法論，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫折光學(xué)，一篇叫流星學(xué)，一篇叫幾何學(xué)。當(dāng)時的這個“幾何學(xué)”實(shí)際上指的是數(shù)學(xué)，就像我國古代“算術(shù)”和“數(shù)學(xué)”是一個意思一樣。 笛卡爾的幾何學(xué)共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線的性質(zhì)；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實(shí)際是代數(shù)問題，探討方程的根的性質(zhì)。后世的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家都把笛卡爾的幾何學(xué)作為解析幾何的起點(diǎn)。 從笛卡爾的

23、幾何學(xué)中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他設(shè)想，把任何數(shù)學(xué)問題化為一個代數(shù)問題，在把任何代數(shù)問題歸結(jié)到去解一個方程式。 為了實(shí)現(xiàn)上述的設(shè)想，笛卡爾茨從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(x,y)的對應(yīng)關(guān)系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點(diǎn)，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。 具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點(diǎn)：第一，在平面建立坐標(biāo)系，一點(diǎn)的坐標(biāo)與一組有序的實(shí)數(shù)對相對應(yīng)；第二，在平面上建立了坐標(biāo)系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數(shù)的一個代數(shù)方程來表示了。從這里可以看到，運(yùn)用坐標(biāo)法不僅

24、可以把幾何問題通過代數(shù)的方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來。 解析幾何的產(chǎn)生并不是偶然的。在笛卡爾寫幾何學(xué)以前，就有許多學(xué)者研究過用兩條相交直線作為一種坐標(biāo)系；也有人在研究天文、地理的時候，提出了一點(diǎn)位置可由兩個“坐標(biāo)”（經(jīng)度和緯度）來確定。這些都對解析幾何的創(chuàng)建產(chǎn)生了很大的影響。 在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為和笛卡爾同時代的法國業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬也是解析幾何的創(chuàng)建者之一，應(yīng)該分享這門學(xué)科創(chuàng)建的榮譽(yù)。 費(fèi)爾馬是一個業(yè)余從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)者，對數(shù)論、解析幾何、概率論三個方面都有重要貢獻(xiàn)。他性情謙和，好靜成癖，對自己所寫的“書”無意發(fā)表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發(fā)表幾何學(xué)以

25、前，就已寫了關(guān)于解析幾何的小文，就已經(jīng)有了解析幾何的思想。只是直到1679年，費(fèi)爾馬死后，他的思想和著述才從給友人的通信中公開發(fā)表。 笛卡爾的幾何學(xué)，作為一本解析幾何的書來看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，為開辟數(shù)學(xué)新園地做出了貢獻(xiàn)。解析幾何的基本內(nèi)容 在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系。如上圖，取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個直角坐標(biāo)系oxy。利用坐標(biāo)系可以把平面內(nèi)的點(diǎn)和一對實(shí)數(shù)(x,y)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系。除了直角坐標(biāo)系外，還有斜坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系等等。在空間坐標(biāo)系中還有球坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)。 坐標(biāo)系將幾何對象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了

26、密切的聯(lián)系，這樣就可以對空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。用這種方法研究幾何學(xué)，通常就叫做解析法。這種解析法不但對于解析幾何是重要的，就是對于幾何學(xué)的各個分支的研究也是十分重要的。 解析幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學(xué)概念，特別是將變量引入數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個新的發(fā)展時期，這就是變量數(shù)學(xué)的時期。解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中起了推動作用。恩格斯對此曾經(jīng)作過評價“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變書，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，”解析幾何的應(yīng)用 解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。 在平面解析幾何中，除了研究直線的

27、有關(guān)直線的性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關(guān)性質(zhì)。 在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面。 橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質(zhì)，在生產(chǎn)或生活中被廣泛應(yīng)用。比如電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個焦點(diǎn)上，影片門在另一個焦點(diǎn)上；探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達(dá)天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠(yuǎn)鏡等都是利用拋物線的原理制成的。 總的來說，解析幾何運(yùn)用坐標(biāo)法可以解決兩類基本問題：一類是滿足給定條件點(diǎn)的軌跡，通過坐標(biāo)系建立它的方程；另一類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質(zhì)。 運(yùn)用坐標(biāo)法解決問題的步驟是：首先在平面上建立坐標(biāo)系，把已知點(diǎn)

28、的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后運(yùn)用代數(shù)工具對方程進(jìn)行研究；最后把代數(shù)方程的性質(zhì)用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題的答案。坐標(biāo)法的思想促使人們運(yùn)用各種代數(shù)的方法解決幾何問題。先前被看作幾何學(xué)中的難題，一旦運(yùn)用代數(shù)方法后就變得平淡無奇了。坐標(biāo)法對近代數(shù)學(xué)的機(jī)械化證明也提供了有力的工具。 微分幾何學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論研究曲線或曲面在它一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，換句話說，微分幾何是研究一般的曲線和曲面在“小范圍”上的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。微分幾何的產(chǎn)生 微分幾何學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展是和數(shù)學(xué)分析密切相連的。在這方面第一個做出貢獻(xiàn)的是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉。1736年他首先引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)這一概念，即以曲線弧

29、長這以幾何量作為曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，從而開始了曲線的內(nèi)在幾何的研究。 十八世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家蒙日首先把微積分應(yīng)用到曲線和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的分析在幾何學(xué)上的應(yīng)用一書，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學(xué)、物理學(xué)與工業(yè)的日益增長的要求是促進(jìn)微分幾何發(fā)展的因素。 1827年，高斯發(fā)表了關(guān)于曲面的一般研究的著作，這在微分幾何的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了現(xiàn)代形式曲面論的基礎(chǔ)。微分幾何發(fā)展經(jīng)歷了150年之后，高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和帶根本性的內(nèi)容，建立了曲面的內(nèi)在幾何學(xué)。其主要思想是強(qiáng)調(diào)了曲面上只依賴于第一基本形式的一些性質(zhì)，例如曲面上曲面的長度、兩條

30、曲線的夾角、曲面上的一區(qū)域的面積、測地線、測地線曲率和總曲率等等。他的理論奠定了近代形式曲面論的基礎(chǔ)。 1872年克萊因在德國埃爾朗根大學(xué)作就職演講時，闡述了埃爾朗根綱領(lǐng)，用變換群對已有的幾何學(xué)進(jìn)行了分類。在埃爾朗根綱領(lǐng)發(fā)表后的半個世紀(jì)內(nèi)，它成了幾何學(xué)的指導(dǎo)原理，推動了幾何學(xué)的發(fā)展，導(dǎo)致了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特別是射影微分幾何起始于1878年阿爾方的學(xué)位論文，后來1906年起經(jīng)以威爾辛斯基為代表的美國學(xué)派所發(fā)展，1916年起又經(jīng)以富比尼為首的意大利學(xué)派所發(fā)展。 隨后，由于黎曼幾何的發(fā)展和愛因斯坦廣義相對論的建立，微分幾何在黎曼幾何學(xué)和廣義相對論中的得到了廣泛的應(yīng)用，

31、逐漸在數(shù)學(xué)中成為獨(dú)具特色、應(yīng)用廣泛的獨(dú)立學(xué)科。微分幾何學(xué)的基本內(nèi)容 微分幾何學(xué)以光滑曲線(曲面)作為研究對象，所以整個微分幾何學(xué)是由曲線的弧線長、曲線上一點(diǎn)的切線等概念展開的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關(guān)性質(zhì)，則平面曲線在一點(diǎn)的曲率和空間的曲線在一點(diǎn)的曲率等，就是微分幾何中重要的討論內(nèi)容，而要計算曲線或曲面上每一點(diǎn)的曲率就要用到微分的方法。 在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上由一點(diǎn)到另一點(diǎn)的路徑是無數(shù)的，但這兩點(diǎn)間最短的路徑只有一條，叫做從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的測地線。在微分幾何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線是這個曲面的一條測地線，還要討論測地線的性質(zhì)等。另外

32、，討論曲面在每一點(diǎn)的曲率也是微分幾何的重要內(nèi)容。 在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，常常用所謂“活動標(biāo)形的方法”。對任意曲線的“小范圍”性質(zhì)的研究，還可以用拓?fù)渥儞Q把這條曲線“轉(zhuǎn)化”成初等曲線進(jìn)行研究。 在微分幾何中，由于運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論，就可以在無限小的范圍內(nèi)略去高階無窮小，一些復(fù)雜的依賴關(guān)系可以變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。 近代由于對高維空間的微分幾何和對曲線、曲面整體性質(zhì)的研究，使微分幾何學(xué)同黎曼幾何、拓?fù)鋵W(xué)、變分學(xué)、李群代數(shù)等有了密切的關(guān)系，這些數(shù)學(xué)部門和微分幾何互相滲透，已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的中心問題之一。 微分幾何在力學(xué)和一

33、些工程技術(shù)問題方面有廣泛的應(yīng)用，比如，在彈性薄殼結(jié)構(gòu)方面，在機(jī)械的齒輪嚙合理論應(yīng)用方面，都充分應(yīng)用了微分幾何學(xué)的理論。幾何空間 空間的概念復(fù)我們來說是熟悉的。我們生活的空間是包含在上下、前后、左右之中的。如果需要描述我們所處的空間中的某一位置，就需要用三個方向來表示，這個意思也就是說空間是“三維”的。 在數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到“空間”這個概念，它指的范圍很廣，一般指某種對象（現(xiàn)象、狀況、圖形、函數(shù)等）的任意集合，只要其中說明了“距離”或“鄰域”的概念就可以了。而所謂“維”的概念，如果我們所談到的只是簡單的幾何圖形，如點(diǎn)、線、三角形和多邊形，那么理解維的概念并不困難：點(diǎn)的維數(shù)是零；一條線段的維數(shù)是一；一

34、個三角形的維數(shù)是二；一個立方體內(nèi)所有點(diǎn)的集合的是三維的。 如果把維度的概念擴(kuò)充到任意點(diǎn)集合上去的時候，維的概念就不那么容易理解了。比如，什么是四維空間呢？關(guān)于四維空間，我國古代有一些說法是很有意思的。最典型的就是對于“宇宙”兩字的解釋，古人的說法是“四方上下曰宇，古往今來曰宙”，用現(xiàn)在的話說就是，四維空間是在三維空間的基礎(chǔ)上再加上時間維作為并列的第四個坐標(biāo)。 愛因斯坦認(rèn)為每一瞬間三維空間中的所有實(shí)物在占有一定的位置就是四維的。比如我們所住的房子，就是由長度、寬度、高度、和時間制約的。所謂時間制約就是從蓋房的時候算起，直到最后房子倒塌為止。 根據(jù)上邊的說法，幾何學(xué)和其它科學(xué)研究的 n維空間的概念

35、，就可以理解成由空間的點(diǎn)的 n個坐標(biāo)決定。這個空間的圖形就定義成滿足這個或那個條件的點(diǎn)的軌跡。一般來說，某個圖形由 n個條件給出，那么這個圖形就是某個 n維的點(diǎn)。至于這個圖形到底是什么形象，我們是否能想象得出來，對數(shù)學(xué)來說是無關(guān)緊要的。 幾何學(xué)中的“維”的概念，實(shí)際上就是構(gòu)成空間的基本元素，也就是點(diǎn)的活動的自由度，或者說是點(diǎn)的坐標(biāo)。所謂 n維空間，經(jīng)常是用來表示超出通常的幾何直觀范圍的數(shù)學(xué)概念的一種幾何語言。 從上面的介紹可以看出，幾何中的元素可用代數(shù)中的是數(shù)來表示，代數(shù)問題如果通過幾何的語言給與直觀的描述，有時候可以給代數(shù)問題提示適當(dāng)?shù)慕夥?。比如解三元一次方程組，就可以認(rèn)為是求解三個平面的交

36、點(diǎn)問題。代數(shù)幾何學(xué)的內(nèi)容 用代數(shù)的方法研究幾何的思想，在繼出現(xiàn)解析幾何之后，又發(fā)展為幾何學(xué)的另一個分支，這就是代數(shù)幾何。代數(shù)幾何學(xué)研究的對象是平面的代數(shù)曲線、空間的代數(shù)曲線和代數(shù)曲面。 代數(shù)幾何學(xué)的興起，主要是源于求解一般的多項式方程組，開展了由這種方程組的解答所構(gòu)成的空間，也就是所謂代數(shù)簇的研究。解析幾何學(xué)的出發(fā)點(diǎn)是引進(jìn)了坐標(biāo)系來表示點(diǎn)的位置，同樣，對于任何一種代數(shù)簇也可以引進(jìn)坐標(biāo)，因此，坐標(biāo)法就成為研究代數(shù)幾何學(xué)的一個有力的工具。 代數(shù)幾何的研究是從19世紀(jì)上半葉關(guān)于三次或更高次的平面曲線的研究開始的。例如，阿貝爾在關(guān)于橢圓積分的研究中，發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的雙周期性，從而奠定了橢圓曲線理論基礎(chǔ)

37、。 黎曼1857年引入并發(fā)展了代數(shù)函數(shù)論，從而使代數(shù)曲線的研究獲得了一個關(guān)鍵性的突破。黎曼把他的函數(shù)定義在復(fù)數(shù)平面的某種多層復(fù)迭平面上，從而引入了所謂黎曼曲面的概念。運(yùn)用這個概念，黎曼定義了代數(shù)曲線的一個最重要的數(shù)值不變量：虧格。這也是代數(shù)幾何歷史上出現(xiàn)的第一個絕對不變量。 在黎曼之后，德國數(shù)學(xué)家諾特等人用幾何方法獲得了代數(shù)曲線的許多深刻的性質(zhì)。諾特還對代數(shù)曲面的性質(zhì)進(jìn)行了研究。他的成果給以后意大利學(xué)派的工作建立了基礎(chǔ)。 從19世紀(jì)末開始，出現(xiàn)了以卡斯特爾諾沃、恩里奎斯和塞維里為代表的意大利學(xué)派以及以龐加萊、皮卡和萊夫謝茨為代表的法國學(xué)派。他們對復(fù)數(shù)域上的低維代數(shù)簇的分類作了許多非常重要的工作

38、，特別是建立了被認(rèn)為是代數(shù)幾何中最漂亮的理論之一的代數(shù)曲面分類理論。但是由于早期的代數(shù)幾何研究缺乏一個嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，這些工作中存在不少漏洞和錯誤，其中個別漏洞直到目前還沒有得到彌補(bǔ)。 20世紀(jì)以來代數(shù)幾何最重要的進(jìn)展之一是它在最一般情形下的理論基礎(chǔ)的建立。20世紀(jì)30年代，扎里斯基和范德瓦爾登等首先在代數(shù)幾何研究中引進(jìn)了交換代數(shù)的方法。在此基礎(chǔ)上，韋伊在40年代利用抽象代數(shù)的方法建立了抽象域上的代數(shù)幾何理論，然后20世紀(jì)50年代中期，法國數(shù)學(xué)家塞爾把代數(shù)簇的理論建立在層的概念上，并建立了凝聚層的上同調(diào)理論，這個為格羅騰迪克隨后建立概型理論奠定了基礎(chǔ)。概型理論的建立使代數(shù)幾何的研究進(jìn)入了一個全

39、新的階段。 代數(shù)幾何學(xué)中要證明的定理多半是純幾何的，在論證中雖然使用坐標(biāo)法，但是采用坐標(biāo)法多建立在射影坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上。 在解析幾何中，主要是研究一次曲線和曲面、二次曲線和曲面。而在代數(shù)幾何中主要是研究三次、四次的曲線和曲面以及它們的分類，繼而過渡到研究任意的代數(shù)流形。 代數(shù)幾何與數(shù)學(xué)的許多分支學(xué)科有著廣泛的聯(lián)系，如數(shù)論、解析幾何、微分幾何、交換代數(shù)、代數(shù)群、拓?fù)鋵W(xué)等。代數(shù)幾何的發(fā)展和這些學(xué)科的發(fā)展起著相互促進(jìn)的作用。同時，作為一門理論學(xué)科，代數(shù)幾何的應(yīng)用前景也開始受到人們的注意，其中的一個顯著的例子是代數(shù)幾何在控制論中的應(yīng)用。 近年來，人們在現(xiàn)代粒子物理的最新的超弦理論中已廣泛應(yīng)用代數(shù)幾何工具

40、，這預(yù)示著抽象的代數(shù)幾何學(xué)將對現(xiàn)代物理學(xué)的發(fā)展發(fā)揮重要的作用。 射影幾何是研究圖形的射影性質(zhì)，即它們經(jīng)過射影變換后，依然保持不變的圖形性質(zhì)的幾何學(xué)分支學(xué)科。一度也叫做投影幾何學(xué)，在經(jīng)典幾何學(xué)中，射影幾何處于一種特殊的地位，通過它可以把其他一些幾何學(xué)聯(lián)系起來。射影幾何的發(fā)展簡況 十七世紀(jì)，當(dāng)?shù)芽▋汉唾M(fèi)爾馬創(chuàng)立的解析幾何問世的時候，還有一門幾何學(xué)同時出現(xiàn)在人們的面前。這門幾何學(xué)和畫圖有很密切的關(guān)系，它的某些概念早在古希臘時期就曾經(jīng)引起一些學(xué)者的注意，歐洲文藝復(fù)興時期透視學(xué)的興起，給這門幾何學(xué)的產(chǎn)生和成長準(zhǔn)備了充分的條件。這門幾何學(xué)就是射影幾何學(xué)。 基于繪圖學(xué)和建筑學(xué)的需要，古希臘幾何學(xué)家就開始研究

41、透視法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波羅尼奧斯就曾把二次曲線作為正圓錐面的截線來研究。在4世紀(jì)帕普斯的著作中，出現(xiàn)了帕普斯定理。 在文藝復(fù)興時期，人們在繪畫和建筑藝術(shù)方面非常注意和大力研究如何在平面上表現(xiàn)實(shí)物的圖形。那時候，人們發(fā)現(xiàn)，一個畫家要把一個事物畫在一塊畫布上就好比是用自己的眼睛當(dāng)作投影中心，把實(shí)物的影子影射到畫布上去，然后再描繪出來。在這個過程中，被描繪下來的像中的各個元素的相對大小和位置關(guān)系，有的變化了，有的卻保持不變。這樣就促使了數(shù)學(xué)家對圖形在中心投影下的性質(zhì)進(jìn)行研究，因而就逐漸產(chǎn)生了許多過去沒有的新的概念和理論，形成了射影幾何這門學(xué)科。 射影幾何真正成為獨(dú)立的學(xué)

42、科、成為幾何學(xué)的一個重要分支，主要是在十七世紀(jì)。在17世紀(jì)初期，開普勒最早引進(jìn)了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)概念。稍后，為這門學(xué)科建立而做出了重要貢獻(xiàn)的是兩位法國數(shù)學(xué)家笛沙格和帕斯卡。 笛沙格是一個自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家，他年輕的時候當(dāng)過陸軍軍官，后來鉆研工程技術(shù)，成了一名工程師和建筑師，他很不贊成為理論而搞理論，決心用新的方法來證明圓錐曲線的定理。1639年，他出版了主要著作試論圓錐曲線和平面的相交所得結(jié)果的初稿，書中他引入了許多幾何學(xué)的新概念。他的朋友笛卡爾、帕斯卡、費(fèi)爾馬都很推崇他的著作，費(fèi)爾馬甚至認(rèn)為他是圓錐曲線理論的真正奠基人。 迪沙格在他的著作中，把直線看作是具有無窮大半徑的圓，而曲線的切線被看作是割線的極

43、限，這些概念都是射影幾何學(xué)的基礎(chǔ)。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果兩個三角形對應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)，那么對應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，反之也成立”，就是射影幾何的基本定理。 帕斯卡也為射影幾何學(xué)的早期工作做出了重要的貢獻(xiàn)，1641年，他發(fā)現(xiàn)了一條定理：“內(nèi)接于二次曲線的六邊形的三雙對邊的交點(diǎn)共線?！边@條定理叫做帕斯卡六邊形定理，也是射影幾何學(xué)中的一條重要定理。1658年，他寫了圓錐曲線論一書，書中很多定理都是射影幾何方面的內(nèi)容。迪沙格和他是朋友，曾經(jīng)敦促他搞透視學(xué)方面的研究，并且建議他要把圓錐曲線的許多性質(zhì)簡化成少數(shù)幾個基本命題作為目標(biāo)。帕斯卡接受了這些建議。后來他寫了許多有關(guān)射影幾何方面的小冊子。 不過迪沙

44、格和帕斯卡的這些定理，只涉及關(guān)聯(lián)性質(zhì)而不涉及度量性質(zhì)(長度、角度、面積)。但他們在證明中卻用到了長度概念，而不是用嚴(yán)格的射影方法，他們也沒有意識到，自己的研究方向會導(dǎo)致產(chǎn)生一個新的幾何體系射影幾何。他們所用的是綜合法，隨著解析幾何和微積分的創(chuàng)立，綜合法讓位于解析法，射影幾何的探討也中斷了。 射影幾何的主要奠基人是19世紀(jì)的彭賽列。他是畫法幾何的創(chuàng)始人蒙日的學(xué)生。蒙日帶動了他的許多學(xué)生用綜合法研究幾何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被長期忽視了，前人的許多工作他們不了解，不得不重新再做。 1822年，彭賽列發(fā)表了射影幾何的第一部系統(tǒng)著作。他是認(rèn)識到射影幾何是一個新的數(shù)學(xué)分支的第一個數(shù)學(xué)家。他通過幾何

45、方法引進(jìn)無窮遠(yuǎn)虛圓點(diǎn)，研究了配極對應(yīng)并用它來確立對偶原理。稍后，施泰納研究了利用簡單圖形產(chǎn)生較復(fù)雜圖形的方法，線素二次曲線概念也是他引進(jìn)的。為了擺脫坐標(biāo)系對度量概念的依賴，施陶特通過幾何作圖來建立直線上的點(diǎn)坐標(biāo)系，進(jìn)而使交比也不依賴于長度概念。由于忽視了連續(xù)公理的必要性，他建立坐標(biāo)系的做法還不完善，但卻邁出了決定性的一步。 另方面，運(yùn)用解析法來研究射影幾何也有長足進(jìn)展。首先是莫比烏斯創(chuàng)建一種齊次坐標(biāo)系，把變換分為全等，相似，仿射，直射等類型，給出線束中四條線交比的度量公式等。接著，普呂克引進(jìn)丁另一種齊次坐標(biāo)系，得到了平面上無窮遠(yuǎn)線的方程，無窮遠(yuǎn)圓點(diǎn)的坐標(biāo)。他還引進(jìn)了線坐標(biāo)概念，于是從代數(shù)觀點(diǎn)就

46、自然得到了對偶原理，并得到了關(guān)于一般線素曲線的一些概念。 在19世紀(jì)前半葉的幾何研究中，綜合法和解析法的爭論異常激烈；有些數(shù)學(xué)家完全否定綜合法，認(rèn)為它沒有前途，而一些幾何學(xué)家，如沙勒，施圖迪和施泰納等，則堅持用綜合法而排斥解析法。還有一些人，如彭賽列，雖然承認(rèn)綜合法有其局限性，在研究過程中也難免借助于代數(shù)，但在著作中總是用綜合法來論證。他們的努力使綜合射影幾何形成一個優(yōu)美的體系，而且用綜合法也確實(shí)形象鮮明，有些問題論證直接而簡潔。1882年帕施建成第一個嚴(yán)格的射影幾何演繹體系。 射影幾何學(xué)的發(fā)展和其他數(shù)學(xué)分支的發(fā)展有密切的關(guān)系，特別是“群”的概念產(chǎn)生以后，也被引進(jìn)了射影幾何學(xué)，對這門幾何學(xué)的研

47、究起了促進(jìn)作用。 把各種幾何和變換群相聯(lián)系的是克萊因，他在埃爾朗根綱領(lǐng)中提出了這個觀點(diǎn)，并把幾種經(jīng)典幾何看作射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關(guān)系變得十分明朗。這個綱領(lǐng)產(chǎn)生了巨大影響。但有些幾何，如黎曼幾何，不能納入這個分類法。后來嘉當(dāng)?shù)仍谕貜V幾何分類的方法中作出了新的貢獻(xiàn)。 射影幾何學(xué)的內(nèi)容 概括的說，射影幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個重要分支學(xué)科，它是專門研究圖形的位置關(guān)系的，也是專門用來討論在把點(diǎn)投影到直線或者平面上的時候，圖形的不變性質(zhì)的科學(xué)。 在射影幾何學(xué)中，把無窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作是“理想點(diǎn)”。通常的直線再加上一個無窮點(diǎn)就是無窮遠(yuǎn)直線，如果一個平面內(nèi)兩條直線平行，那么這兩條直線就交于這兩條直線共有的無

48、窮遠(yuǎn)點(diǎn)。通過同一無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有直線平行。 在引入無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)直線后，原來普通點(diǎn)和普通直線的結(jié)合關(guān)系依然成立，而過去只有兩條直線不平行的時候才能求交點(diǎn)的限制就消失了。 由于經(jīng)過同一個無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的直線都平行，因此中心射影和平行射影兩者就可以統(tǒng)一了。平行射影可以看作是經(jīng)過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的中心投影了。這樣凡是利用中心投影或者平行投影把一個圖形映成另一個圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。 射影變換有兩個重要的性質(zhì)：首先，射影變換使點(diǎn)列變點(diǎn)列，直線變直線，線束變線束，點(diǎn)和直線的結(jié)合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說明兩個平面點(diǎn)之間的射影對應(yīng)。 在射影幾何

49、里，把點(diǎn)和直線叫做對偶元素，把“過一點(diǎn)作一直線”和“在一直線上取一點(diǎn)”叫做對偶運(yùn)算。在兩個圖形中，它們?nèi)绻际怯牲c(diǎn)和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對偶元素，各運(yùn)算改為它的對偶運(yùn)算，結(jié)果就得到另一個圖形。這兩個圖形叫做對偶圖形。在一個命題中敘述的內(nèi)容只是關(guān)于點(diǎn)、直線和平面的位置，可把各元素改為它的對偶元素，各運(yùn)算改為它的對偶運(yùn)算的時候，結(jié)果就得到另一個命題。這兩個命題叫做對偶命題。 這就是射影幾何學(xué)所特有的對偶原則。在射影平面上，如果一個命題成立，那么它的對偶命題也成立，這叫做平面對偶原則。同樣，在射影空間里，如果一個命題成立，那么它的對偶命題也成立，叫做空間對偶原則。 研究在射影變換

50、下二次曲線的不變性質(zhì)，也是射影幾何學(xué)的一項重要內(nèi)容。 如果就幾何學(xué)內(nèi)容的多少來說，射影幾何學(xué) 仿射幾何學(xué) 歐氏幾何學(xué)，這就是說歐氏幾何學(xué)的內(nèi)容最豐富，而射影幾何學(xué)的內(nèi)容最貧乏。比如在歐氏幾何學(xué)里可以討論仿射幾何學(xué)的對象(如簡比、平行性等)和射影幾何學(xué)的對象(如四點(diǎn)的交比等)，反過來，在射影幾何學(xué)里不能討論圖形的仿射性質(zhì)，而在仿射幾何學(xué)里也不能討論圖形的度量性質(zhì)。 1872年，德國數(shù)學(xué)家克萊因在愛爾朗根大學(xué)提出著名的愛爾朗根計劃書中提出用變換群對幾何學(xué)進(jìn)行分類，就是凡是一種變換，它的全體能組成“群”，就有相應(yīng)的幾何學(xué)，而在每一種幾何學(xué)里，主要研究在相應(yīng)的變換下的不變量和不變性。普通幾何學(xué)研究的對

51、象，一般都具有整數(shù)的維數(shù)。比如，零維的點(diǎn)、一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時空。最近十幾年的，產(chǎn)生了新興的分形幾何學(xué)，空間具有不一定是整數(shù)的維，而存在一個分?jǐn)?shù)維數(shù)，這是幾何學(xué)的新突破，引起了數(shù)學(xué)家和自然科學(xué)者的極大關(guān)注。分形幾何的產(chǎn)生 客觀自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結(jié)構(gòu)，在理想情況下，甚至具有無窮層次。適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)并不改變。不少復(fù)雜的物理現(xiàn)象，背后就是反映著這類層次結(jié)構(gòu)的分形幾何學(xué)。 客觀事物有它自己的特征長度，要用恰當(dāng)?shù)某叨热y量。用尺來測量萬里長城，嫌太短；用尺來測量大腸桿菌，又嫌太長。從而產(chǎn)生了特征長度。還有的事物沒有特征尺度，就必須同時考慮從

52、小到大的許許多多尺度（或者叫標(biāo)度），這叫做“無標(biāo)度性”的問題。 如物理學(xué)中的湍流，湍流是自然界中普遍現(xiàn)象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運(yùn)動。流體宏觀運(yùn)動的能量，經(jīng)過大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最后轉(zhuǎn)化成分子尺度上的熱運(yùn)動，同時涉及大量不同尺度上的運(yùn)動狀態(tài)，就要借助“無標(biāo)度性”解決問題，湍流中高漩渦區(qū)域，就需要用分形幾何學(xué)。 在二十世紀(jì)七十年代，法國數(shù)學(xué)家曼德爾勃羅特在他的著作中探討了英國的海岸線有多長？這個問題這依賴于測量時所使用的尺度。 如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會增加，但是一些厘米量級以下

53、的就不能反映出來。由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規(guī)則性。海岸線在大小兩個方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個突出的點(diǎn)，用直線把它們連起來，得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個自然限度之間，存在著可以變化許多個數(shù)量級的“無標(biāo)度”區(qū)，長度不是海岸線的定量特征，就要用分維。 數(shù)學(xué)家寇赫從一個正方形的“島”出發(fā)，始終保持面積不變，把它的“海岸線”變成無限曲線，其長度也不斷增加，并趨向于無窮大。以后可以看到，分維才是“寇赫島”海岸線的確切特征量，即海岸線的分維均介于1到2之間。 這些自然現(xiàn)

54、象，特別是物理現(xiàn)象和分形有著密切的關(guān)系，銀河系中的若斷若續(xù)的星體分布，就具有分維的吸引子。多孔介質(zhì)中的流體運(yùn)動和它產(chǎn)生的滲流模型，都是分形的研究對象。這些促使數(shù)學(xué)家進(jìn)一步的研究，從而產(chǎn)生了分形幾何學(xué)。 電子計算機(jī)圖形顯示協(xié)助了人們推開分形幾何的大門。這座具有無窮層次結(jié)構(gòu)的宏偉建筑，每一個角落里都存在無限嵌套的迷宮和回廊，促使數(shù)學(xué)家和科學(xué)家深入研究。 法國數(shù)學(xué)家曼德爾勃羅特這位計算機(jī)和數(shù)學(xué)兼通的人物，對分形幾何產(chǎn)生了重大的推動作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本書，特別是分形形、機(jī)遇和維數(shù)以及自然界中的分形幾何學(xué)，開創(chuàng)了新的數(shù)學(xué)分支分形幾何學(xué)。分形幾何的內(nèi)容 分形幾

55、何學(xué)的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時間、空間等方面具有統(tǒng)計意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)不變。 維數(shù)是幾何對象的一個重要特征量，它是幾何對象中一個點(diǎn)的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。在歐氏空間中，人們習(xí)慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認(rèn)為點(diǎn)是零維的，還可以引入高維空間，對于更抽象或更復(fù)雜的對象，只要每個局部可以和歐氏空間對應(yīng)，也容易確定維數(shù)。但通常人們習(xí)慣

56、于整數(shù)的維數(shù)。 分形理論認(rèn)為維數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)，這類維數(shù)是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數(shù)學(xué)家從測度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)，從而突破了一般拓?fù)浼S數(shù)為整數(shù)的界限。 維數(shù)和測量有著密切的關(guān)系，下面我們舉例說明一下分維的概念。 當(dāng)我們畫一根直線，如果我們用 0維的點(diǎn)來量它，其結(jié)果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點(diǎn)；如果我們用一塊平面來量它，其結(jié)果是 0，因為直線中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值哪？看來只有用與其同維數(shù)的小線段來量它才會得到有限值，而這里直線的維數(shù)為 1(大于0、小于2)。 對于我們上面提到的“寇赫島”曲線，其整體是一條無限長的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結(jié)果是無窮大，而用平面量，其結(jié)果是 0(此曲線中不包含平面)，那么只有找一個與“寇赫島”曲線維數(shù)相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數(shù)顯然大于 1、小于 2，那么只能是小數(shù)了，所以存在分維。經(jīng)過計算“寇赫島”曲線的維數(shù)是1.2618。分形幾何學(xué)的應(yīng)用 分形幾何學(xué)已在自然界與物理學(xué)中得到了應(yīng)用。如在顯微鏡下觀