多元微分中值定理及其應(yīng)用

1、第一章 緒論1.1 研究意義微分中值定理是一系列定理的總稱.這一系列定理是研究函數(shù)、函數(shù)的微分、函數(shù)與其微分之間關(guān)系,不等式等數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)理論和有力工具；是微分學(xué)理論的重要組成部分,在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中起著橋梁作用,也是研究函數(shù)變化形態(tài)的紐帶,因而在經(jīng)典分析學(xué)中占有很重要的地位.通過(guò)本論文主要討論多元微分中值定理的存在形式及其在數(shù)學(xué)理論證明和實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述與求解中的應(yīng)用.因而使多元實(shí)值函數(shù)、多元向量值函數(shù)的各微分中值定理的存在形式數(shù)學(xué)形式化、具體化是具有數(shù)學(xué)理論價(jià)值和數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的.1.2研究現(xiàn)狀對(duì)微分中值定理的研究,是伴隨著微積分建立就開(kāi)始了.1637年,著名法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在求最大值和最小值的

2、方法中給出費(fèi)馬定理.教科書中通常將它稱為費(fèi)馬定理.1691年,法國(guó)數(shù)學(xué)家羅爾在方程的解法一文中給出多項(xiàng)式形式的羅爾定理.797年,法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日在解析函數(shù)論一書中給出拉格朗日定理,并給出最初的證明.以羅爾定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個(gè)微分學(xué)的理論基礎(chǔ),它們建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系,中值定理的主要作用在于理論分析和證明.我們國(guó)內(nèi)對(duì)中值定理也有一定的研究,如唐偉國(guó),唐仁獻(xiàn)在文1中通過(guò)以微分多項(xiàng)式表達(dá)式作為其應(yīng)用,導(dǎo)出了拉格朗日中值定理與柯西中值定理的一種新的推廣形式.黨艷霞在文2中從多角度闡述微分中值定理及其三個(gè)定理之間的關(guān)系,并舉例說(shuō)明了微分中值定理的

3、應(yīng)用.邱召友在文3中通過(guò)討論微分中值定理在 維歐氏空間中的推廣,將一元函數(shù)的微分中值定理推廣到了多元函數(shù)及向量值函數(shù).1.3研究?jī)?nèi)容本論文主要是對(duì)微分中值定理的證明方法進(jìn)行研究,同時(shí)給出多元微分中值定理的數(shù)學(xué)證明形式,在文章中我們給出了微分中值定理的一種統(tǒng)一的證法和微分中值定理的一種逆向分析證法.多元微分中值定理的數(shù)學(xué)證明形式中我們給出了多元實(shí)值函數(shù)的微分中值定理形式的推導(dǎo)與證明以及多元向量值函數(shù)的微分中值定理形式的推導(dǎo)和證明,討論四個(gè)定理的推廣形式,并給出其簡(jiǎn)單的證明.同時(shí)本文還討論了微分中值定理的內(nèi)在聯(lián)系；討論定理的推廣形式；討論加強(qiáng)條件之后的深層闡述.為了完成研究?jī)?nèi)容,實(shí)現(xiàn)研究目標(biāo),本論

4、文共分五章闡述了整個(gè)研究工作,具體如下,第一章中將本論文的研究意義、研究現(xiàn)狀以及研究?jī)?nèi)容進(jìn)行整體的闡述.第二章中主要闡述了一元微分中值定理的研究,其中包括對(duì)rolle定理、lagrange中值定理、cauchy中值定理的闡述,以及taylor公式的定義. 同時(shí)將各定理之間的關(guān)系進(jìn)一步進(jìn)行研究.第三章主要是對(duì)多元微分中值定理的研究,其中包括多元實(shí)值函數(shù)微分中值定理和多元向量值微分中值定理.第四章主要是一些多元微分中值定理的應(yīng)用實(shí)例.第五章主要是對(duì)本文研究?jī)?nèi)容的一個(gè)總結(jié).第二章 一元微分中值定理2. 1 微分中值定理的基本內(nèi)容微分中值定理是反映導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間聯(lián)系的三個(gè)定理,它們分別是羅爾定理、

5、拉格朗日定理和柯西中值定理.具體內(nèi)容如下:定理2.1.14（羅爾定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo),且,則至少存在一點(diǎn),使得定理2.1.24（拉格朗日定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn),使得定理2.1.34（柯西中值定理）設(shè)和都在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo),且對(duì)于任意,.則至少存在一點(diǎn),使得定理2.1.44（taylor 微分中值定理）設(shè)在處有階導(dǎo)數(shù),則存在的一個(gè)鄰域,對(duì)于該鄰域中任意一點(diǎn),成立 （1）其中余項(xiàng)滿足 ( peano余項(xiàng) ) （2） (lagrange 余項(xiàng)) （3）2. 2 三個(gè)定理之間的關(guān)系在拉格朗日中值定理中,如果,則變成羅爾定理;在柯西中

6、值定理中,如果,則由得變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ?因此,拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣,柯西中值定理是拉格朗日定理的推廣.反之,拉格朗日定理是柯西中值定理的特例,羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例.2. 3 幾何解釋羅爾定理的幾何解釋是：在曲線上存在這樣的點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)的切線平行于過(guò)曲線兩端點(diǎn)的弦(或x軸) .拉格朗日定理的幾何解釋是：在曲線上存在這樣的點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)的切線平行于過(guò)曲線兩端點(diǎn)的弦.柯西中值定理的幾何解釋是：在曲線(其中為參數(shù), ) 存在一點(diǎn),使曲線過(guò)該點(diǎn)的切線平行于過(guò)曲線兩端點(diǎn) , 的弦.綜上所述,這三個(gè)中值定理歸納起來(lái),用幾何解釋為:在區(qū)間 a , b 上連續(xù)且除端點(diǎn)外每一點(diǎn)都存在不垂直于

7、x 軸的切線的曲線,它們有個(gè)共同的特征即在曲線上至少存在一點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)的切線平行于曲線端點(diǎn)的連線.2. 4 一元微分中值定理的深層闡述2. 4. 1 羅爾定理（i） 羅爾定理的證明是借用最值定理及費(fèi)馬定理5從羅爾定理的證明中我們可得到:(1)符合羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)必存在最大值或最小值.(2)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)使的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).例如函數(shù)在閉區(qū)間上滿足羅爾定理的三個(gè)條件,由,顯然,有成立,但不是的極值點(diǎn).但加強(qiáng)條件,可得如下定理:定理2.4.1.16 若函數(shù)在閉區(qū)間上滿足羅爾定理的三個(gè)條件,且在開(kāi)區(qū)間內(nèi)只有唯一的一個(gè)點(diǎn),使成立,則點(diǎn)必是的極值點(diǎn).完全按照羅爾定理的證法,即可證得使成立的唯一點(diǎn)就

8、是在內(nèi)的最值點(diǎn),當(dāng)然是極值點(diǎn).（ii） 羅爾定理的逆命題不成立7設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),若在點(diǎn)處,有,則存在,使得例函數(shù),顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),但是不存在,使得.但如果加強(qiáng)條件,下述定理成立:定理2.4.1.2 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),則在點(diǎn)處,有的充分必要條件是存在,使得 .證明首先, 由羅爾定理可以保證充分性成立.下面證必要性成立.設(shè)在點(diǎn)處,有,不妨設(shè)導(dǎo)函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)減少的函數(shù)(否則,討論即可).因?yàn)?故當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), .因而函數(shù)在點(diǎn)處取的極大值.根據(jù)極大值的定義,可取點(diǎn)的鄰域,使得在此鄰域內(nèi)有,當(dāng)時(shí), ,則取,就有. 若,則作輔助函數(shù)

9、 ,于是,.根據(jù)介值定理,至少存在一,使得,即,則取,就有.若,作輔助函數(shù),采用上述方法,同理可證,故原命題成立.2. 4. 2 拉格朗日中值定理拉格朗日定理結(jié)論中的點(diǎn)不是任意的請(qǐng)看下例:問(wèn)題“若函數(shù)在(為任意實(shí)數(shù))上可導(dǎo),且(為常數(shù)) ,則”這一命題正確嗎?證明設(shè)x 為任意正數(shù),由題設(shè)知 在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),由拉格朗日定理知,至少存在一點(diǎn) ,使得,又因?yàn)?,故由于夾在與之間,當(dāng)時(shí), 也趨于于是上述證明是錯(cuò)誤的,原因在于是隨著的變化而變化,即,但當(dāng)時(shí),未必連續(xù)地趨于,可能以某種跳躍方式趨于,而這時(shí)就不能由趨于0推出了.例函數(shù)滿足,且在內(nèi)存在,但并不存在,當(dāng)然 不會(huì)成立.定理2.4.

10、2.1 8若函數(shù)在 (為任意實(shí)數(shù))上可導(dǎo),且 存在,若(為常數(shù)) ,則定理2.4.2.2 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),則對(duì)任意,一定存在使得證明不妨設(shè)導(dǎo)函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù),取點(diǎn)的鄰域 ,則取,就有 若,則作輔助函數(shù)于是根據(jù)介值定理, 存在, 使得 ,取,就得到 ,采用上述方法,同理可證,故原命題成立. 2. 4. 3 柯西中值定理討論我們?cè)诮虒W(xué)中常見(jiàn)的cauchy中值定理是“若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),開(kāi)區(qū)內(nèi)可導(dǎo),且 ,則至少存在一點(diǎn)使,在學(xué)習(xí)中我們特別強(qiáng)調(diào)條件,事實(shí)上cauchy中值定理的條件是充分的而不是必要的,條件可放松一些,將cauchy中值定理改為定

11、理2.4.3.1 如函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),開(kāi)區(qū)內(nèi)可導(dǎo),且有不同時(shí)為0,則至少存在一點(diǎn),使證明：考慮函數(shù)不難驗(yàn)證在閉區(qū)間上連續(xù),開(kāi)區(qū)內(nèi)可導(dǎo),且,由rolle定理知,至少存在一點(diǎn)使即即這里一定有,因若,則與不同時(shí)為0矛盾,所以有證畢.定理2.4.3.2(一元實(shí)值函數(shù)cauchy中值定理推廣) 若在上連續(xù), 在 內(nèi) 階可導(dǎo),且均不為零,則使 (4)證明 當(dāng)時(shí),（4）式顯然成立,它就是cauchy中值定理,設(shè)當(dāng)時(shí),（4）式成立,即 (5)當(dāng)時(shí),若能證明（4）式也成立,則有歸納法可得定理3.4是正確的.為此,作輔助函數(shù)： （6）在（6）式中,令 ,得： （7）當(dāng)時(shí),由（6）式可得到而,由此可得,這樣符合羅爾

12、定理的條件,所以使,即由此解出 （8）對(duì)于上函數(shù)和使用歸納法假設(shè)（5）可得： （9）其中,由（7）和（9）可得 （10）由（10）可得當(dāng)時(shí),（4）式也成立,證畢.第三章 多元微分中值定理3.1 多元實(shí)值函數(shù)微分中值定理定義3.1 多元實(shí)值函數(shù)：設(shè)函數(shù)滿足則稱為多元實(shí)值函數(shù).定理3.1.19 (多元實(shí)值函數(shù)的taylor定理)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域,上具有階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),那么對(duì)于內(nèi)每一點(diǎn)都成立其中 稱為lagrange余項(xiàng).定理3.1.2（多元實(shí)值函數(shù)rolle定理） 假設(shè),在有界閉區(qū)域d上可微,且在上處處相等.則：,其中是的邊界.證明 因?yàn)樵谟薪玳]區(qū)域d上可微, 故在d上連續(xù),所以在d上有最大和最小

13、值.又在上處處相等,即,因此最值至少有一個(gè)在上,設(shè)在處取得最值,則對(duì)于任意的,從而,證畢.定理3.1.3（多元實(shí)值函數(shù)lagrange中值定理） 假設(shè),在有界閉區(qū)域d上可微,則：,其中是的邊界.證明 因?yàn)樵谟薪玳]區(qū)域d上可微,則可根據(jù)定理3.1.1,當(dāng)時(shí), （11）又 所以證畢.上述（11）式中,若,且連續(xù),則可得到一元函數(shù)lagrange中值定理.3.2 多元向量值函數(shù)微分中值定理定義3.2 10-11 多元向量值函數(shù)：設(shè)函數(shù)滿足：,則稱為多元向量值函數(shù).滿足內(nèi)階可微.就是滿足內(nèi)階可微.有,定理3.2.1（多元向量值函數(shù)的taylor定理） 設(shè)在內(nèi)階可微,則對(duì)有證明 因?yàn)樵趦?nèi)階可微所以在內(nèi)階

14、可微,對(duì)有，從而得即 定理3.2.2 （多元向量值函數(shù)的rolle定理） 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可微,存在向量,對(duì)任意,使得,即與正交,則存在,使得,其中證明 設(shè)令因?yàn)閷?duì)任意得到設(shè)在上有最大值且在內(nèi)的一點(diǎn)達(dá)到,即則因?yàn)閷?duì)有于是即證畢.定理3.2.3（多元向量值函數(shù)的lagrange中值定理） 設(shè),在上可導(dǎo),則存在, 使得證明 因?yàn)樵谏峡蓪?dǎo),所以對(duì)由定理3.1.3可得: 使得證畢.第四章 多元微分中值定理的應(yīng)用例1對(duì)函數(shù)應(yīng)用中值定理證明：存在,使得證明 設(shè),對(duì)函數(shù)應(yīng)用微分中值定理（即時(shí)的公式）,可知存在,使得證畢例2 12-14 例證明在曲面上至少存在一點(diǎn)具有水平的切平面.證明: 設(shè),則.由 元隱

15、函數(shù)的唯一存在與連續(xù)可微性定理知: 可以唯一確定的二元函數(shù),且函數(shù)的定義域?yàn)?在曲面方程中令,得到,為笛卡爾葉形線,該曲線中有一段封閉的曲線段,從而由定理3.2知在曲面上至少存在一點(diǎn),該點(diǎn)有水平的切平面.例3 由隱函數(shù)確定的函數(shù)在上連續(xù),證明：對(duì)于任意一點(diǎn)都有證明 設(shè)為上任意一點(diǎn),取充分小的使得：記,且,則有：應(yīng)用多元微分中值定理得到：其中,因?yàn)?故有：當(dāng)時(shí),有從而得到即證畢.參考文獻(xiàn)1 唐偉國(guó),唐仁獻(xiàn).羅爾中值定理的微分多項(xiàng)式表示及其應(yīng)用j .湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,06.2黨艷霞.淺談微分中值定理及其應(yīng)用j.廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2010,02.3邱少友.微分中值定理在維歐氏空間中的推廣j.(自然科學(xué)版).1999,06.4陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析.上冊(cè).北京高等教育出版社,2004.05.5 錢昌本.高等數(shù)學(xué)范例剖析m.西安:西安交通大學(xué)出版社, 2004.6 同濟(jì)大學(xué)編.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè)) m .北京:高等教育出版社, 1981. 162.7 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析m.北京:高等教育出版社,1987. 8 李德本,楊旭,倪寶漢.數(shù)學(xué)分析方法及例題m.長(zhǎng)春:吉林教育出版社, 198