數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)IIR數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)及仿真

1、燕 山 大 學(xué) 課 程 設(shè) 計(jì) 說(shuō) 明 書 摘要數(shù)字濾波器上是一個(gè)時(shí)域離散的線性時(shí)不變（lti）系統(tǒng) ，它的濾波作用就是將輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)某種運(yùn)算（或變換）轉(zhuǎn)變成為滿足特定需要的輸出信號(hào)。數(shù)字濾波器根據(jù)單位沖激響應(yīng)h（n）的長(zhǎng)度可分為兩類。分別稱為無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)（infinite impulse response，iir）濾波器和有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)（finite impulse response，fir）濾波器。 其中無(wú)限沖激響應(yīng)（iir）濾波器具有無(wú)限長(zhǎng)持續(xù)時(shí)間脈沖響應(yīng)h（n），。在設(shè)計(jì)iir濾波器時(shí)，常用的方法是利用模擬濾波器來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。廣泛采取這種設(shè)計(jì)方法的主要因素有：1）模擬濾波器的設(shè)計(jì)

2、技術(shù)已非常成熟；2）可得閉合性式的解；3）關(guān)于模擬濾波器設(shè)計(jì)有完整的設(shè)計(jì)公式和圖表可以利用和查詢。隨著matlab軟件尤其是matlab的信號(hào)處理工作箱的不斷完善，不僅數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)有了可能，而且還可以使設(shè)計(jì)達(dá)到最優(yōu)化。本文以matlab6. 5為設(shè)計(jì)平臺(tái)，利用matlab完全工具函數(shù)ellip與sptool工具進(jìn)行iir數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)，并加以仿真。第一章 濾波器基礎(chǔ) 1.1 模擬濾波器基礎(chǔ)模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(butterworth)濾波器、切比雪夫(chebyshev)濾波器、橢圓(cauer)濾波器、

3、貝塞爾(bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。 1.1.1模擬濾波器概述模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有p, p,s和s。其中p和s分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，p是通帶(=0p)中的最大衰減系數(shù)，s是阻帶s的最小衰減系數(shù)，p和s一般用db數(shù)表示。對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：如果=0處幅度已歸一化到1，即|ha(j0)|=1,p和s表示為： 以上技術(shù)指標(biāo)用圖表示。圖中c稱為3db截止頻率，因 濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)p和s，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此2.巴特沃斯低通濾

4、波器的設(shè)計(jì)方法 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|ha(j)|2用下式表示： 巴特沃斯幅度特性和n的關(guān)系低通巴特沃斯設(shè)計(jì)步驟如下:(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p,p,s和s，求出濾波器的階數(shù)n。(2)求出歸一化極點(diǎn)pk，得到歸一化傳輸函數(shù)ha(p)。 (3)將ha(p)去歸一化。將p=s/c代入ha(p)，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)ha(s)。 1.2 數(shù)字濾波器基礎(chǔ) 1.2.1數(shù)字濾波器概述若濾波器的輸入、輸出都是離散時(shí)間信號(hào)，那么該濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)也必然是離散的，這種濾波器稱為數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波是數(shù)字信號(hào)分析中最重要的組成部分之一，與模擬濾波相比，它具有精度和穩(wěn)定性高、系統(tǒng)函數(shù)容易改變、

5、靈活性強(qiáng)、便于大規(guī)模集成和可實(shí)現(xiàn)多維濾波等優(yōu)點(diǎn)。在信號(hào)的過(guò)濾、檢測(cè)和參數(shù)的估計(jì)等方面，經(jīng)典數(shù)字濾波器是使用最廣泛的一種線性系統(tǒng)。和模擬濾波器一樣，一般數(shù)字濾波器從功能上分類，可以分為低通、高通帶通和帶阻等濾波器。理想濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樗鼈兊膯挝幻}沖響應(yīng)均是非因果、無(wú)限長(zhǎng)的，我們只能按照某些準(zhǔn)則設(shè)計(jì)濾波器，使之盡可能逼近它，這些理想濾波器可作為逼近的標(biāo)準(zhǔn)。另外，需要注意的是數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)都是以2為周期的，濾波器的低通頻帶處于2的整數(shù)倍處，而高頻頻帶處于的奇數(shù)倍附近，這一點(diǎn)和模擬濾波器是有區(qū)別的。數(shù)字濾波器的作用是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波，就如同信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)一樣。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，其時(shí)域

6、輸入輸出關(guān)系是：y(n)=x(n)*h(n)若y(n)、x(n)的傅里葉變化存在，則輸入輸出的頻域關(guān)系是：當(dāng)輸入信號(hào)x(n)通過(guò)濾波器h(n)后，其輸出y(n)中不再含有的頻率成分，僅使的信號(hào)成分通過(guò)，其中是濾波器的轉(zhuǎn)折頻率。 理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性 1.2.2數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器按照單位取樣響應(yīng)h(n)的時(shí)域特性可分為無(wú)限沖激響應(yīng)(iir，infinite impulse response)系統(tǒng)和有限沖激響應(yīng)(fir，finite impulse response)系統(tǒng)。如果單位取樣響應(yīng)是時(shí)寬無(wú)限的h(n)，則稱之為iir系統(tǒng)；而如果單位取樣響應(yīng)是時(shí)寬有限的h(n)，

7、則稱之為fir系統(tǒng)。數(shù)字濾波器按照實(shí)現(xiàn)的方法和結(jié)構(gòu)形式分為遞歸型或非遞歸型兩類。遞歸型數(shù)字濾波器的當(dāng)前輸出y(n)是輸入x(n)的當(dāng)前值和以前各輸入值x(n)，x(n1)，.，及以前各輸出值y(n)，y(n1)，.的函數(shù)。遞歸系統(tǒng)的傳遞函數(shù)h(z)在z平面上不僅有零點(diǎn)，而且有極點(diǎn)。非遞歸型數(shù)字濾波器當(dāng)前的輸出值y(n)僅為當(dāng)前及以前的輸入序列的函數(shù)，而與以前的各個(gè)輸出值無(wú)關(guān)，因此從結(jié)構(gòu)上看非遞歸系統(tǒng)沒(méi)有反饋環(huán)路。fir濾波器可以對(duì)給定的頻率特性直接進(jìn)行設(shè)計(jì)，而iir濾波器目前最通用的方法是利用已經(jīng)很成熟的模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)。6. 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的步驟 不論是iir濾波器還是fir濾

8、波器的設(shè)計(jì)都包括三個(gè)步驟：(1) 按照實(shí)際任務(wù)的要求，確定濾波器的性能指標(biāo)。(2) 用一個(gè)因果、穩(wěn)定的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能指標(biāo)。根據(jù)不同的要求可以用iir系統(tǒng)函數(shù)，也可以用fir系統(tǒng)函數(shù)去逼近。(3) 利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)，包括結(jié)構(gòu)選擇、字長(zhǎng)選擇等。iir數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。模擬濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)有一套相當(dāng)成熟的方法，它不但有完整的設(shè)計(jì)公式，而且還有較為完整的圖表以供查詢，因此充分利用這些已有的資源將會(huì)給數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)帶來(lái)很大的方便。1.3 模擬-數(shù)字濾波器變換1.3.1脈沖響應(yīng)不變法利用模擬濾波器來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字

9、濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，即將ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足h(n)=ha(nt)式中,t是采樣周期。轉(zhuǎn)換步驟如下：ha(s)拉氏逆變換 ha（t）等間隔采樣 ha（nt）=h（n） z變換 h（z）脈沖響應(yīng)不變法主要用于設(shè)計(jì)某些要求在時(shí)域上能模仿模擬濾波器功能的數(shù)字濾波器。這種變換法的主要特點(diǎn)是：頻率坐標(biāo)的變換是線性的，即=t；具有頻譜的周期延拓效應(yīng)，只能用于限帶的頻響特性。脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系1.3.2

10、.雙線性變換法脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因?yàn)閺膕平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/t/t之間，再用z=est轉(zhuǎn)換到z平面上。也就是說(shuō)，第一步先將整個(gè)s平面壓縮映射到s1平面的-/t/t一條橫帶里；第二步再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z(mì)=es1t將此橫帶變換到整個(gè)z平面上去。這樣就使s平面與z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。 圖2-4雙線性變換法的映射關(guān)系第二章 matlab的iir濾波器實(shí)現(xiàn) 在matlab中設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器的步驟如下：把給出的數(shù)字濾波器

11、的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的性能指標(biāo)；根據(jù)轉(zhuǎn)換后的性能指標(biāo)，通過(guò)濾波器階數(shù)選擇函數(shù)，來(lái)確定濾波器的最小階數(shù)n和固有頻率wn；有最小階數(shù)n得到低通濾波器原型；由固有頻率wn把模擬低通濾波器原型轉(zhuǎn)換為模擬低通、高通、帶通或帶阻濾波器；運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。2.1butterworth低通濾波器:(1) butterworth低通數(shù)字濾波器wp=100*2*pi; %通帶截止頻率ws=150*2*pi; %阻帶截止頻率rp=0.5; %通帶衰減rs=30; %阻帶衰減fs=2000; %采樣頻率 n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s); %

12、計(jì)算階數(shù)，與截止頻率 z,p,k=buttap(n); %建立巴特沃斯數(shù)字濾波器 a,b,c,d=zp2ss(z,p,k); %零極點(diǎn)轉(zhuǎn)換到空間狀態(tài)表達(dá)式 at1,bt1,ct1,dt1=lp2lp(a,b,c,d,wn); %低通轉(zhuǎn)換到低通 at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs); %雙線性變換%空間狀態(tài)表達(dá)式轉(zhuǎn)換到傳遞函數(shù)num,den=ss2tf(at2,bt2,ct2,dt2)%繪制幅頻、相頻圖（頻率響應(yīng)特性圖）figure(1);freqz(num,den,128,fs);grid on;%繪制脈沖響應(yīng)特性圖figure(2);t=l

13、inspace(0,0.06,400);x=zeros(1,400);x(1)=1;y=filter(num,den,x);plot(t,y);axis(0 0.06 -0.06 0.12);xlabel(nt(second);ylabel(amplitude); title(impulze response);grid;實(shí)驗(yàn)結(jié)果：低通濾波器階數(shù)n=3直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖系數(shù)分子num=-0.0000 0.5816 0.2114 0分母den=1.0000 -0.3979 0.2473 -0.0432(2) butterworth高通濾波器wp=.5*pi; ws=.4*pi;rp=3; rs=1

14、0;fs=20;omegap=cot(wp/2);omegas=cot(ws/2);%低通濾波器的通帶和阻帶截止頻率 n,wn=buttord(omegap,omegas,rp,rs,s); z,p,k=buttap(n); a,b,c,d=zp2ss(z,p,k); at1,bt1,ct1,dt1=lp2hp(a,b,c,d,wn); at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs); num,den=ss2tf(at2,bt2,ct2,dt2);figure(1);freqz(num,den,128,fs);grid on;figure(2);t=l

15、inspace(0,0.06,400);x=zeros(1,400);x(1)=1;y=filter(num,den,x);plot(t,y);axis(0 0.02 -0.4 1);xlabel(nt(second);ylabel(amplitude); title(impulze response);grid;實(shí)驗(yàn)結(jié)果：高通濾波器階數(shù) n=4直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖系數(shù) num 分子= 0.9340 -3.7359 5.6038 -3.7359 0.9340 den 分母= 1.0000 -3.8634 5.5994 -3.6083 0.8723(3) butterworth帶通濾波器%數(shù)字帶通濾

16、波器技術(shù)指標(biāo)wp1=0.4*pi;wp2=0.6*pi;ap=1;ws1=0.3*pi;t=0.5;as=10; ws2=0.7*pi;%頻率預(yù)畸變wc1=wp1/t;wc2=wp2/t;wr1=ws1/t;wr2=ws2/t;w0=(sqrt(wp1*wp2)/t;b=wc2-wc1;%將指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化模擬低通濾波器的指標(biāo)normwr1=(wr12)-(w02)/(b*wr1);normwr2=(wr22)-(w02)/(b*wr2);%設(shè)計(jì)歸一化的模擬低通濾波器if(abs(normwr1)-abs(normwr2)0;normwr=abs(normwr2);elsenormwr=abs

17、(normwr1);endnormwp=1;n,wn=buttord(normwp,normwr,ap,as,s);blp,alp=butter(n,wn,s);bbp,abp=lp2bp(blp,alp,w0,b);%用雙線性變換法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器fs= 1/t;b,a=impinvar(bbp,abp,fs);w=linspace(0,2*pi,500);figure(1);freqz(b,a,128,fs);grid on;figure(2);x=zeros(1,400)x(1)=1;t=linspace(0,0.06,400);y=filter(b,a,x);plot(t,y);axi

18、s(0 0.01 -0.4 0.4)grid;實(shí)驗(yàn)結(jié)果：帶阻濾波器階數(shù) n=4直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖系數(shù)分子num= 0.6746 -4.9858 16.5164 -31.9777 39.5453 -31.9777 16.5164 -4.9858 0.6746分母den = 1.0000 -6.6678 19.9429 -34.9061 39.0833 -28.6606 13.4460 -3.6925 0.4551(4) butterworth帶阻濾波器程序如下：wp1=0.15*pi;wp2=0.45*pi;ws1=0.2*pi;ws2=0.4*pi;rp=.5rs=20;fs=10;omegas

19、1=ws1*fsomegas2=ws2*fsomegap1=wp1*fsomegap2=wp2*fsomegas1=2*fs*tan(ws1)/2)omegas2=2*fs*tan(ws2)/2)omegap1=2*fs*tan(wp1)/2)omegap2=2*fs*tan(wp2)/2)omegao=sqrt(omegap1*omegap2)bw=omegap1-omegap2%將指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化模擬低通濾波器的指標(biāo)normwr1=(omegas12)-(omegao2)/(bw*omegas1)normwr2=(omegas22)-(omegao2)/(bw*omegas2)%設(shè)計(jì)歸一化

20、的模擬低通濾波器%組帶截至頻率if(abs(normwr1)-abs(normwr2)0;omegas=abs(normwr2)elseomegas=abs(normwr1);end%計(jì)算階數(shù)n，與截止頻率wnn,wn=buttord(1,omegas,rp,rs,s);%建立巴特沃斯數(shù)字濾波器z,p,k=buttap(n);%零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)換到空間狀態(tài)模型n1,d1=zp2tf(z,p,k);%低通轉(zhuǎn)換到高通n2,d2=lp2bs(n1,d1,omegao,fs);%用雙線性變換法實(shí)現(xiàn)模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換num,den=bilinear(n2,d2,fs);%空間狀態(tài)模型轉(zhuǎn)換到傳遞函數(shù)

21、模型%繪制幅頻、相頻圖（頻率響應(yīng)特性圖）figure(1);freqz(num,den,128,fs);grid on;%繪制脈沖響應(yīng)特性圖figure(2);t=linspace(0,0.06,400);x=zeros(1,400);x(1)=1;y=filter(num,den,x);plot(t,y);axis(0 .01 -0.6 0.6);xlabel(nt(second);ylabel(amplitude); title(impulze response);grid;實(shí)驗(yàn)結(jié)果：帶阻濾波器階數(shù) n=4直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖系數(shù) num（分子） = 0.2684 -1.7703 6.0132 -13.2445 20.7636 -24.0214 20.7636 -13.2445 6.0132 -1.7703 0.2684den （分母）= 1.0000 -4.9282 12.3434 -20.2480 23.9520 -21.1989 14.1840 -7.0806 2.5389 -0.5953 0.0720頻率響應(yīng)特性圖低通高通帶通帶阻脈沖響應(yīng)特性圖低通高通帶通帶阻網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖低通濾波器高通濾波器帶通濾波器帶阻濾波器課程設(shè)計(jì)心得體會(huì)通過(guò)這兩周的課程設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)，過(guò)程曲折