用幾何畫板動態(tài)展示圓滾動周數(shù)的問題

1、用幾何畫板動態(tài)展示圓滾動周數(shù)的問題【摘要】在數(shù)學中考題和教科書中我們常常會遇到與圓滾動周數(shù)有關(guān)的問題，由于滾動是一種復合運動，包括滾動圓本身的自轉(zhuǎn)及其沿著另一個幾何圖形的平移或旋轉(zhuǎn)，故此類問題靈活性強，易被表面現(xiàn)象所迷惑，解題時易出現(xiàn)錯誤幾何畫板是動態(tài)教學軟件，它能動態(tài)展現(xiàn)幾何圖形各個元素的內(nèi)在聯(lián)系，特別是一些動態(tài)的生成過程（如軌跡問題）本文針對動圓與定圓外切、內(nèi)切的兩種情況，先給出了一個簡潔明快的分析過程，再介紹利用幾何畫板動態(tài)展示圓滾動的周數(shù)的問題【關(guān)鍵詞】幾何畫板；圓滾動的周數(shù)；外切；內(nèi)切我們常常會遇到一類與圓的滾動有關(guān)的問題，由于此類問題靈活性較強，且易被表面現(xiàn)象所迷惑，解題時極易出現(xiàn)

2、錯誤，有些同學感到難以理解，教師不知道如何解釋。本文針對動圓與定圓外切、內(nèi)切的兩種情況，首先給出了一個簡潔明快的分析過程，再介紹利用幾何畫板動態(tài)展示圓滾動的周數(shù)的問題。我們先引入概念：（1）動圓自轉(zhuǎn)一周；（2）滾動。動圓自轉(zhuǎn)一周，是指圓心移動的同時，圓的任一半徑繞圓心旋轉(zhuǎn)了，半徑終止時的狀態(tài)與起始時的狀態(tài)成同向平行（從圓心出發(fā)指著同一方向）。滾動，是指一個物體（多為球形或圓柱形）在另一個物體上接觸面不斷改變的移動。滾動其實是一種復合運動，包括兩種運動：一是滾動圓本身的自轉(zhuǎn)；另外還有滾動圓沿著另一個幾何圖形的平移或旋轉(zhuǎn)。由于在滾動過程中滾動圓除圓心外，其余各點相對于另一個幾何圖形的運動軌跡是變化

3、的，很難把握其規(guī)律，而圓心相對于另一個幾何圖形的運動軌跡很容易確定，故解決圓的滾動問題，只要知道圓心軌跡的長度和滾圓的半徑, 就可以按公式/求出滾圓自身滾動的圈數(shù)。1. 動圓與定圓外切的情況設(shè)半徑為r的動圓d與半徑為r的定圓a外切且作無滑動的滾動,當動圓繞定圓滾了一圈回到原處時,求動圓自轉(zhuǎn)的周數(shù)。圖1分析 如右圖1：當動圓自轉(zhuǎn)1周，動圓從初始位置點d滾動圓，半徑pd旋到，且，記，顯然= 由于+ ，得 + 即得= 這表明動圓自轉(zhuǎn)1周時，它的圓心描出的弧長恰好是動圓的周長，由此推出動圓自轉(zhuǎn)的周數(shù)。當動圓繞定圓滾了一圈回到原處時，動圓圓心的運動軌跡是以定圓的圓心為圓心,兩圓半徑之和為半徑的圓，其路程

4、是，此時自轉(zhuǎn)的周期。操作步驟（以定圓的半徑r是動圓的半徑 r的3倍為例）（1）新建畫板，用【圓】工具在上繪制一個定圓a，作圓上一點c，依次選擇點a、c，作射線ac，連接線段ac，并用【度量】|【長度】量出ac的長。（2）【數(shù)據(jù)】|【新建參數(shù)】設(shè)置參數(shù)，【數(shù)據(jù)】|【計算】出ac/t的值。（3）用【構(gòu)造】|【以圓心和半徑繪圓】作以點c為圓心、線段ac/t為半徑的圓c，圓c與射線ac的外側(cè)交點d；選中圓c，【顯示】|【隱藏圓】將圓c隱藏，以同樣的方法作以點d為圓心、線段ac/t為半徑的動圓d。（4）在圓a上任取一點e,依次選擇點a、e，作水平線上的射線ae，確定動圓d的初始位置；拖動點c時，將圓d標

5、簽改為圓d1；選中點d1及射線ae，【構(gòu)造】|【平行線】，所得平行線與圓d1左交點為f，連接線段d1f。 （5）依次選擇點c、e和定圓a，用【構(gòu)造】|【圓上的弧】作圓弧ce，【度量】|【弧長】量出ce的弧長；用【數(shù)據(jù)】|【計算】計算（ce的弧長/(ac/t)的長）1弧度，并將計算結(jié)果標記角度；以點d1為中心，標記角度為旋轉(zhuǎn)角，將點c旋轉(zhuǎn)到點e1，作弧ce1。（6）選依次選擇點f、 e1和圓d1，用【構(gòu)造】|【圓上的弧】作圓弧fe1；選中點c、d，【構(gòu)造】|【軌跡】得圓d的圓心軌跡。（7）選擇點c，【編輯】|【操作類按鈕】|【動畫】制作出動圓d運動的按鈕，點擊此按鈕就可以欣賞到動圓是如何旋轉(zhuǎn)4圈

6、的了。（8）度量弧ce、cf和dd1的弧長，并計算度量弧ce與弧cf之和，制成對應(yīng)觀察表；隱藏不需要的對象，美化界面如圖2所示。圖22.動圓與定圓內(nèi)切的情況設(shè)半徑為r的動圓與半徑為r(rr)的定圓內(nèi)切且作無滑動的滾動，當動圓滾動了一周回到原處時，求動圓自轉(zhuǎn)的周數(shù)。圖3分析 如右圖3：當動圓自轉(zhuǎn)1周，動圓從初始位置點d滾動圓，半徑de旋到，且，記由- ，得即得= 這表明動圓自轉(zhuǎn)1周時，它的圓心描出的弧長恰好是 動圓的周長，由此知動圓自轉(zhuǎn)的周數(shù)。當動圓繞定圓滾了一圈回到原處時，動圓圓心的運動軌跡是以定圓的圓心為圓心,兩圓半徑之差為半徑的圓，其路程是，此時自轉(zhuǎn)的周期。操作步驟（以定圓的半徑r是動圓的

7、半徑 r的3倍為例）（1）新建畫板，用【圓】工具在上繪制一個定圓a，作圓上一點c，依次選擇點a、c，作射線ac，連接線段ac，并用【度量】|【長度】量出ac的長。（2）【數(shù)據(jù)】|【新建參數(shù)】設(shè)置參數(shù)，【數(shù)據(jù)】|【計算】出ac/t的值。（3）用【構(gòu)造】|【以圓心和半徑繪圓】作以點c為圓心、線段ac/t為半徑的圓c，圓c與射線ac的內(nèi)側(cè)交點d；選中圓c，【顯示】|【隱藏圓】將圓c隱藏，以同樣的方法作以點d為圓心、線段ac/t為半徑的動圓d。（4）在圓a上任取一點e,依次選擇點a、e，作水平線上的射線ae，確定動圓d的初始位置；拖動點c時，將圓d標簽改為圓d1；選中點d1及射線ae，【構(gòu)造】|【平行

8、線】，所得平行線與圓d1右交點為f，連接線段d1f。 （5）依次選擇點c、e和定圓a，用【構(gòu)造】|【圓上的弧】作圓弧ce，【度量】|【弧長】量出ce的弧長；用【數(shù)據(jù)】|【計算】計算（ce的弧長/(ac/t)的長）1弧度，并將計算結(jié)果標記角度；以點d1為中心，標記角度為旋轉(zhuǎn)角，將點c旋轉(zhuǎn)到點e1，作弧ce1。（6）選依次選擇點f、 e1和圓d1，用【構(gòu)造】|【圓上的弧】作圓弧fe1；選中點c、d，【構(gòu)造】|【軌跡】得圓d的圓心軌跡。（7）選擇點c，【編輯】|【操作類按鈕】|【動畫】制作出動圓d運動的按鈕，點擊此按鈕就可以欣賞到動圓是如何旋轉(zhuǎn)2圈的了。（8）度量弧ce、cf和dd1的弧長，并計算度

9、量弧ce與弧cf之和，制成對應(yīng)觀察表；隱藏不需要的對象，美化界面如圖4所示。圖4結(jié)論綜上所述可得結(jié)論，圓滾動時，圓心移動的路程恰好等于圓上某個確定的點繞圓心轉(zhuǎn)過的弧長，因此動圓自轉(zhuǎn)的周數(shù)。當動圓與定圓外切時，動圓繞定圓滾了一圈回到原處時，動圓圓心的運動軌跡是以定圓的圓心為圓心,兩圓半徑之和為半徑的圓，其路程是，此時自轉(zhuǎn)的周期。當動圓與定圓內(nèi)切時，動圓繞定圓滾了一圈回到原處時，動圓圓心的運動軌跡是以定圓的圓心為圓心,兩圓半徑之差為半徑的圓，其路程是，此時自轉(zhuǎn)的周期。說明 （1）解決圓的滾動問題關(guān)鍵之處是，知道圓心軌跡的長度s和滾圓的半徑r, 就能按公式求出圓滾動的圈數(shù)。（2）圓的滾動問題還可以繼續(xù)延伸，比如圓沿多邊形四周滾動、多邊形在直線上滾動等等，這些都可以借助幾何畫板來解決?！緟⒖嘉墨I】1 胡衛(wèi)華.基于的數(shù)學探究式教學模式