律制詳解(五度相生律-十二平均律-純律)

1、律制詳解 （五度相生律 十二平均律純律 ）音律是指音高的決定方式。現(xiàn)代樂器的音律主要有三種：（1） 純律：純律中任何兩個(gè)音的頻率都成整數(shù)比，這種音律源于號(hào)角， 因?yàn)樗梢源党龃笳{(diào)音階中的三和弦（簡譜中的 1 3 5） ， 它們的頻率之比為 4:5:6 。 大調(diào)音階中的其它三和弦也可以用這種方法得到，例如簡譜中的 4 6 1 和 5 7 2 。這種音律在演奏和聲時(shí)很有優(yōu)勢(shì)，因?yàn)轭l率的整數(shù)比可以產(chǎn)生最好的結(jié)合。銅管樂器指法不變時(shí)遵循純律，所以在演奏和聲時(shí)，要盡可能地使用同樣的指法。由于小調(diào)以小三和弦為主 （簡譜中的 6 1 3） ，所以頻率之比正好與大調(diào)相反，為1/6:1/5:1/4 ，即 10:

2、12:15 ，然而沒有一種樂器是按照這種音律定音的。（2） 五度相生律：事實(shí)上它是純律的一部分，它規(guī)定五度音的頻率之比為 2:3 ，其他音程都由若干個(gè)五度產(chǎn)生，五聲音階宮商角徵羽（簡譜中的1 2 3 5 6）按照五度相生律定音，順序是：宮-徵-商-羽-角。實(shí)踐表明，按照五度相生律的音高演奏的旋律是最優(yōu)美的，弦樂器就是典型的按照五度相生律定音的樂器。五度相生律根據(jù)復(fù)合音的第二分音和第三分音的純五度關(guān)系，即由某一音開始向上推一純五度，產(chǎn)生次一律，再由次 一律向上推一純五度，產(chǎn)生再次一律，如此繼續(xù)相生年定出 的音律叫做五度，產(chǎn)生再次一律，如此繼續(xù)相生所定由的音 律叫做五度相生律。 例如五度相生律所訂

3、出的七個(gè)基本音級(jí)間的音高關(guān)系，和十二平均律中七個(gè)基本音級(jí)的音高關(guān)系 是不同的。雖然 ef 、 bc 之間亦為半音，但比十二平均律中的半音要小。其余相鄰兩音級(jí)之間雖然亦為全音，但比十二平均律中的全音要大。這種音高的差異就是由于定律方法的不同而 產(chǎn)生的。（3） 十二平均律：簡稱平均律，它是根據(jù)對(duì)數(shù)關(guān)系確定音的頻率的，然而在八度上，頻率的比值卻是嚴(yán)格的 1:2 ，所以更完整的說法應(yīng)該是 “八度的十二平均律”。 計(jì)算頻率時(shí)，只要對(duì) 2 開 12 次方根， 就可以確定兩個(gè)半音頻率的比值了。十二平均律是由巴赫首先倡導(dǎo)在鋼琴上使用的，鋼琴上每個(gè)半音具有同等地位，因此這種音律在轉(zhuǎn)調(diào)頻繁的作品中很有優(yōu)勢(shì)。十二平

4、均律是由明朝律擘家朱戴培所提由，早於西方五百年由他招三分損益法所崖生的五度相生律 瓢法遢原的 陶題解決了，其1t五度相生律是 觸律的物理和音皆倍10射系， 每彳固飄性都曾衍生不同的 頻率差累音p皆，卷了醇飄的k用 性，平均律的由現(xiàn)雖隹然解決了傅飄陶飄,郤也崖生另一彳固和音不別完美的詞言十二平均律 符八度(倍),刻割成平均的十二彳固音 p皆，以12根虢2卷基數(shù)(1.059463094)卷音p皆格，道檬完 整的十二彳固平均音p皆就可以h 1 2彳固飄性圄滿醇換，每彳固音 p皆都可以吻合 鷹用，琴是十二平均律的典型 架器，西洋音 架之父巴哈就以此十二平均律ow 了十二 槿飄性的古典b曲，懸十二平均律

5、完整 架曲之始。一般認(rèn)為，沒有受過音樂訓(xùn)練的人，無法辨別 20 音分 以內(nèi)的音調(diào)差別，而對(duì)音準(zhǔn)非常敏感的人，例如小提琴家或鋼琴調(diào)音師，可以辨別 5 音分以內(nèi)的音差。表5-2 就以音分為單位比較了三種音律的差別，歸納起來有以下兩點(diǎn)：(1) 純律的五度音和五度相生律是一樣的，但三度音差別很大，大三度音程偏小，小三度音程偏大，即大調(diào)的第三級(jí)音明顯偏低， 這種現(xiàn)象在銅管樂器上很突出 (詳見第七章) 。(2) 五度相生律和十二平均律差別不大，就全音而言，前者比后者多 4 音分，就半音而言，前者比后者少10 音分，這就是五度相生律所謂的 “大全音 ”和 “小半音 ”。 對(duì)人的聽覺來說，小半音是最舒適的半音

6、，而平均律的半音略顯得大些，這是平均律唯一的缺陷。要介紹十二平均律曲集，就得先介紹什么是 十二平均律 而要介紹 十二平均律”，就得先介紹什么是 律”。律，即音律（intonation ）,指為了使音樂規(guī)范化，人們 有意選擇的一組高低不同的音符所組成的體系，以及這些音 符之間的相互關(guān)系。 比如大家都知道的 do、re、mi、fa、so、 la、si,這7個(gè)音符就組成了一組音律。研究音律的學(xué)問叫 做 律學(xué)”。也就是研究為什么要選擇do、re、mi這7個(gè)音（當(dāng)然也可以選擇其它音）作為規(guī)范、這些被當(dāng)成標(biāo)尺的音是怎么產(chǎn)生的、以及它們之間到底是什么關(guān)系的學(xué)問。對(duì)于任何民族來說，只要他們有著豐富的音樂體驗(yàn)，

7、只要 他們想積累起關(guān)于音樂的知識(shí)，遲早都會(huì)遇到關(guān)于律學(xué)的問 題。令人驚訝的是，古今不同民族，雖然各自鐘愛的音樂形 式可謂萬紫千紅、百花爭艷，彼此也沒有互相借鑒，但大家 的律學(xué)的基礎(chǔ)概念卻由奇地相似。這也許是音樂本身超文 化、超地域的魅力所致吧。（btw:現(xiàn)代人學(xué)習(xí)的 do、re、mi、fa、so、la、si,這 些好像沒有意義的單詞，其實(shí)都是中世紀(jì)時(shí)西方教會(huì)中很流 行的一些拉丁文圣詠 （chant）的首音節(jié)。這些圣詠是西方現(xiàn) 代音樂的源頭。）學(xué)過高中物理的都知道，聲音的本質(zhì)是空氣的振動(dòng)。而空氣的振動(dòng)是以波的形式傳播的，也就是所謂的聲波。所有的波（包括聲波、電磁波等等）都有三個(gè)最本質(zhì)的特性：頻率

8、波長、振幅、相位。對(duì)于聲音來說，聲波的頻率（聲學(xué)中一般不考慮波長）決定了這個(gè)聲音有多 “高 ”，聲波的振幅決定了這個(gè)聲音有多 “響 ”，而人耳對(duì)于聲波的相位不敏感，所以研究音樂時(shí)一般不考慮聲波的相位問題。律學(xué)當(dāng)然不考慮聲音有多 “響 ” ， 所以律學(xué)研究的重點(diǎn)就是聲波的頻率。一般來說，人耳能聽到的聲波頻率范圍是 20hz（每秒振動(dòng) 20 次） 到 20000hz （每秒振動(dòng)20000 次） 之間。聲波的頻率越大（每秒振動(dòng)的次數(shù)越多） ，聽起來就越 “高 ”。頻率低于 20hz 的叫 “次聲波 ”， 高于 20000hz 的叫 “超聲波 ” 。（ btw ： 人耳能分辨的最小頻率差是2hz 。

9、舉例而言就是，人能聽出 100hz 和 102hz 的聲音是不同的，但聽不出100hz 和 101hz 的聲音有什么不同。另外，人耳在高音區(qū)的分辨能力迅速下降，原因見后。 ）需要特別指出的是，人耳對(duì)于聲波的頻率是指數(shù)敏感的。打比方說，100hz、 200hz、 300hz、400hz這些聲音，人聽起來并不覺得它們是 “等距離 ”的，而是覺得越到后面，各個(gè)音之間 的 “距離”越近 。 100hz 、 200hz 、 400hz 、800hz 這些聲音，人聽起來才覺得是 等距離”的（為什 么會(huì)這樣我也不清楚） 。換句話說，某一組聲音，如果它們的頻率是嚴(yán)格地按照 xi、x2、必、x 8；即按2n的規(guī)

10、律排列的話，它們聽起來才是一個(gè) “等差音高序列 ” 。（比如這里有16 個(gè)音， 它們的頻率分別是110hz 的 1 倍、2倍、3倍16倍。大家可以聽一下，感覺它們是不是音越高就 “距離 ”越近。用音樂術(shù)語來說，這些音都是 110hz 的 “諧波 ”（ harmonics ） ，即這些聲波的頻率都是某一個(gè)頻率的整數(shù)倍。這個(gè)ogg 文件可以用 “暴風(fēng)影音 ”stormcodec 軟件來試聽。 ）由于人耳對(duì)于頻率的指數(shù)敏感，上面提到的 “ x僦意味著 等距離”的關(guān)系是音樂中最基本的關(guān)系。用音樂術(shù)語來說，x2就是一個(gè) “八度音程 ”（ octave ） 。前面提到的 do 、 re 、 mi 中 的

11、do ，以及 so 、 la 、 si 后面的那個(gè)高音do ，這兩個(gè) do 之間就是八度音程的關(guān)系。 也就是說， 高音 do 的頻率是 do 的兩 倍。同樣的， re 和高音 re 之間也是八度音程的關(guān)系，高音re 的頻率是 re 的兩倍。而高音do 上面的那個(gè)更高音的 do ，其頻率就是do 的 4 倍。也可以說，它們之間隔了兩個(gè) “八度音程 ”。顯然，一個(gè)音的所有 “八度音程 ”都是它的 “諧波 ”，但 不是它的所有 “諧波 ”都是自己的 “八度音程 ” 。很自然，用 do 、 re、 mi 寫的歌，如果換用高音do 、高音re 、 高音 mi 來寫， 聽眾只會(huì)覺得音變高了， 旋律本身不會(huì)

12、有變化。這種等效性，其實(shí)就是 “等差音高序列 ”的直接結(jié)果?！鞍硕纫舫?”的重要性， 世界各地的人們都發(fā)現(xiàn)了。 比如我國浙江的河姆渡遺址， 曾經(jīng)出土了一管距今9000 年的笛子 （是用鶴的腿骨做的） ，它能演奏8 個(gè)音符，其中就包含了一個(gè)八度音程。當(dāng)然這個(gè)八度音程不會(huì)是 do 到高音 do ，因?yàn)橹灰且粋€(gè)音的頻率是另一個(gè)的兩倍，它們就是八度音程的關(guān)系，和具體某一個(gè)音有多高沒有關(guān)系。明白了八度音程的重要性，下面來介紹在一個(gè)八度音程之內(nèi)，還有那些音是重要的。這其實(shí)是律學(xué)的中心問題。也就是說，如果某一個(gè)音的頻率是f ，那么我們要尋找f 和 2f之間還有那些重要的頻率。如果大家有學(xué)習(xí)弦樂器（比如吉它

13、、古琴、小提琴）的經(jīng)驗(yàn)的話，都明白它們能發(fā)聲是因?yàn)榍傧业恼駝?dòng)。而琴弦的振動(dòng)是和琴弦的長度有關(guān)系的。如果在一根弦振動(dòng)的時(shí)候，用手指按住弦的中點(diǎn)， 即讓原來全部振動(dòng)的弦， 變成兩根以 1/2長度振動(dòng)的弦，我們會(huì)聽到一個(gè)比較高的音。這個(gè)音和原來的音之間就是八度音程的關(guān)系。因?yàn)樵谖锢砩?，弦的振?dòng)頻率和其長度是成反比的。由于弦樂器是世界各地發(fā)展得最早的樂器種類之一，所以這種現(xiàn)象古人早已熟悉。 他們自然會(huì)想： 如果八度音程的 2:1的關(guān)系在弦樂器上用這么簡單一按中點(diǎn)的方式就能實(shí)現(xiàn)，那么試試按其它的位置會(huì)怎么樣呢？數(shù)學(xué)上 2:1 是最簡單的比例關(guān)系了，簡單性僅次于它的就是3:1 。那么，我們?nèi)绻醋∠业?1

14、/3 點(diǎn)，會(huì)怎么樣呢？其結(jié)果是弦發(fā)出了兩個(gè)高一些的音。一個(gè)音的頻率是原來的 3 倍（因?yàn)橄议L變成了原來的1/3 ） ，另一個(gè)音是原來的 3/2 倍（因?yàn)橄议L變成了原來的2/3 ） 。這兩個(gè)音彼此也是八度音程的關(guān)系（因?yàn)樗鼈儽舜说南议L比是2:1）。這樣，在我們要尋找的f2f的范圍內(nèi)，出現(xiàn)了第一個(gè)重要的頻率， 即 3/2f 。（那個(gè) 3f 的頻率正好處于下一個(gè)八度，即2f4f中的同樣位置。）接著再試， 數(shù)學(xué)上簡單性僅次于 3:1 的是 4:1 ， 我們?cè)囋嚢聪业?1/4 點(diǎn)會(huì)怎樣？又出現(xiàn)了兩個(gè)音。一個(gè)音的頻率是原來的 4 倍（因?yàn)橄议L變成了原來的 1/4 ） ，這和原來的音（術(shù)語叫 “主音 ”）是

15、兩個(gè)八度音程的關(guān)系，可以不去管它。另一個(gè)音的頻率是主音的 4/3 倍（因?yàn)橄议L是原來的 3/4 ） ?，F(xiàn)在我們又得到了一個(gè)重要的頻率， 4/3f 。同一根弦，在不同的情況下振動(dòng)，可以發(fā)出很多頻率的聲音。在聽覺上，與主音f 最和諧的就是3/2f 和 4/3f （除了主音的各個(gè)八度之外） 。這個(gè)現(xiàn)象也被很多民族分別發(fā)現(xiàn)了。比如最早從數(shù)學(xué)上研究弦的振動(dòng)問題的古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（ pythagoras ，約公元前 6 世紀(jì)） 。我國先秦時(shí)期的管子地員篇、呂氏春秋音律篇也記載了所謂三分損益律 ”。 具體說來是取一段弦， “三分損一 ”， 即均分弦為三段，舍一留二，便得到 3/2f 。如果 “三分益一

16、 ” ，即弦均分三段后再加一段，便得到 4/3f得到這兩個(gè)頻率之后， 是否繼續(xù)找1/5 點(diǎn)、 1/6 點(diǎn)等等繼續(xù)試下去呢？不行，因?yàn)槁犛X上這些音與主音的和諧程度遠(yuǎn)不及 3/2f 、 4/3f 。 實(shí)際上 4/3f 已經(jīng)比 3/2f 的和諧程度要低不少了。古人于是換了一種方法。與主音f 最和諧的 3/2f 已經(jīng)找到了，他們轉(zhuǎn)而找3/2f 的 3/2f ，即與最和諧的那個(gè)音最和諧的音，這樣就得到了（ 3/2 ） 2f 即 9/4f ?？墒沁@已經(jīng)超出了 2f 的范圍，進(jìn)入了下一個(gè)八度。沒關(guān)系，不是有 “等差音高序列” 嗎？在下一個(gè)八度中的音，在這一個(gè)八度中當(dāng)然有與它等價(jià)的一個(gè)音，于是把9/4f 的頻

17、率減半，便得到了9/8f 。接著把這個(gè)過程循環(huán)一遍，找3/2 的 3 次方，于是就有了27/8f ， 這也在下一個(gè)八度中， 再次頻率減半， 得到了 27/16f 。就這樣一直循環(huán)找下去嗎？不行，因?yàn)檫@樣循環(huán)下去會(huì)沒完沒了的。我們最理想的情況是某一次循環(huán)之后，會(huì)得到主音的某一個(gè)八度，這樣就算是 “回到 ”了主音上，不用繼續(xù)找下去了?？墒牵?3/2 ） n ，只要 n 是自然數(shù)，其結(jié)果都不會(huì)是整數(shù)，更不用說是2 的某次方。律學(xué)所有的麻煩就此開始。數(shù)學(xué)上不可能的事，只能從數(shù)學(xué)上想辦法。古人的對(duì)策就是 取近似值”。他們注意到（3/2） 5弋7.59和23 = 8很接近，于是決定這個(gè)音就是他們要找的最后

18、一個(gè)音，比這個(gè)音再高一點(diǎn)就是主音的第三個(gè)八度了。這樣，從主音 f 開始，我們只需把 “按 3/2 比例尋找最和諧音”這個(gè)過程循環(huán)5 次，得到了 5 個(gè)音， 加上主音和4/3f ， 一共是 7 個(gè)音。 這就是為什么音律上要取do 、 re、 mi 等等 7 個(gè)音符而不是6 個(gè)音符或者8個(gè)音符的原因。這 7 個(gè)音符的頻率，從小到大分別是f 、 9/8f 、 81/64f 、4/3f 、 3/2f 、 27/16f 、 243/128f 。如果這里的 f 是 do ，那么 9/8f 就是 re、 81/64f 就是mi，這7個(gè)頻率組成了 7聲音階。這7個(gè)音都有各自正 式的名字， 在西方音樂術(shù)語中，

19、它們分別被叫做主音 ( tonic ) 、 上 主 音 ( supertonic ) 、 中 音 ( mediant ) 、 下 屬 音( subdominant ) 、 屬音 ( dominant ) 、 下中音 ( submediant ) 、 導(dǎo)音 ( leading tone ) 。 其中和主音關(guān)系最密切的是第 5 個(gè) “屬 音” so第4個(gè)下屬音” fa原因前面已經(jīng)說過了， 因?yàn)樗鼈?和主音的和諧程度分別是第一高和第二高的。由于這個(gè)音律主要是從 屬音 so3/2f推導(dǎo)由來的，而3/2這個(gè)比例在西 方音樂術(shù)語中叫 “純五度” ，所以這種音律叫做 “五度相生律” 。西方最早提出 “五度相

20、生律” 的是古希臘的畢達(dá)哥拉斯(所以西方把按 3/2 比例定音律的做法叫做pythagorean tuning ) ，東方是管子一書的作者(不一定是管仲本人) 。我國歷代的各種音律，大部分也都是從 “三分損益律”發(fā)展出來的，也可以認(rèn)為它們都是 “五度相生律” 。仔細(xì)看上面 “五度相生律 ”7 聲音階的頻率， 可以發(fā)現(xiàn)它們彼 此的關(guān)系很簡單： dore、remi、faso、sola、lasi 之間的頻率比都是 9:8,這個(gè)比例被稱為全音(tone); mi fa、sido之間的頻率比都是 256:243 ,這個(gè)比例被稱為半 音( semitone ) ?！拔宥认嗌伞碑a(chǎn)生的 7 聲音階，自誕生之

21、日起就不斷被批評(píng)。 原因之一就是它太復(fù)雜了。 前面說過， 如果按住弦的 1/5點(diǎn)或者 1/6 點(diǎn)，得到的音已經(jīng)和主音不怎么和諧了，現(xiàn)在居然出現(xiàn)了 81/64 和 243/128 這樣的比例， 這不會(huì)太好聽吧？于是有人開始對(duì)這7 個(gè)音的頻率做點(diǎn)調(diào)整， 于是就出現(xiàn)了 “純律 ” ( just intonation ) ?！凹兟?”的重點(diǎn)是讓各個(gè)音盡量與主音和諧起來， 也就是說讓各個(gè)音和主音的頻率比盡量簡單。 “純律 ” 的發(fā)明人是古希臘學(xué)者塔壬同(今意大利南部的塔蘭托城)的亞理斯托森努斯(aristoxenus of tarentum)。 (東方似乎沒有人獨(dú)立提出“純律 ” 的概念。 )此人是亞理

22、士多德的學(xué)生，約生活在公元前 3世紀(jì)。他的學(xué)說的重點(diǎn)就是要靠耳朵，而不是靠數(shù)學(xué)來主導(dǎo)音樂。他的書籍現(xiàn)在留下來的只有殘篇，不過可以證實(shí)的是他最先提出了所謂 “自然音階 ”。自然音階也有7 個(gè)音，但和 “五度相生律”的 7 聲音階有不小差別。 7 個(gè)自然音階的頻率分別是： f、 9/8f 、 5/4f 、 4/3f 、3/2f 、 5/3f 、 15/8f 。確實(shí)簡單多了吧？也確實(shí)好聽多了。這么簡單的比例，就是 “純律 ”?？梢钥闯?“純律 ”不光用到了 3/2 的比例， 還用到了 5/4 的比例。新的7個(gè)頻率中和原來不同的就是5/4f、5/3（ = 5/4 4/3）f、15/8 （= 5/4 3

23、/2） f。雖然 “純律 ”的 7 聲音階比 “五度相生律”的 7 聲音階要好聽，數(shù)學(xué)上也簡單，但它本身也有很大的問題。雖然各個(gè)音和主音的比例變簡單了， 但各音之間的關(guān)系變復(fù)雜了。 原來 “五度相生律 ”7 聲音階之間只有 “全音 ”和 “半音 ”2 種比例關(guān)系， 現(xiàn)在則出現(xiàn)了 3 種： 9:8 （被叫做 “大全音 ”， major tone ，就是原來的 “全音 ”）、 10:9 （被叫做 “小全音 ”， minor tone ）、 16:15（新的 “半音 ”） 。 各位把自然音階的頻率互相除一下就能得到這個(gè)結(jié)果。更進(jìn)一步說，如果比較自然音階中的 re 和 fa ，其頻率比是27/32 ，

24、這也不怎么簡單，也不怎么好聽呢！所以說 “純律 ”對(duì) “五度相生律”的修正是不徹底的。事實(shí)上， “純律 ”遠(yuǎn)沒有 “五度相生律”流行。對(duì)于 “五度相生律”的另一種修正是從另一個(gè)方向展開的。 還記得為什么要取 7個(gè)音符嗎？是因?yàn)椋?/2） 5弋7.59和23 =8很接近?？蛇@畢竟是近似值，而不是完全相等。在一個(gè)八度之內(nèi)，這么小的差距也許沒什么，但是如果樂器的音域跨越了好幾個(gè)八度，那么這種近似就顯得不怎么好了。于是人們開始尋找更好的近似值。通過計(jì)算，古人發(fā)現(xiàn)（3/2） 12129.7,和27=128很接近，于是他們把 “五度相生律” 中 “按 3/2 比例尋找最和諧音”的循環(huán)過程重復(fù)12 次，便認(rèn)

25、為已經(jīng)到達(dá)了主音的第 7 個(gè)八度。再加上原來的主音和 4/3f ，現(xiàn)在就有了 12 個(gè)音符。注意，現(xiàn)在的 規(guī)范”音階不是do、re、mi等7個(gè)音符了，而是 12 個(gè)音符。這種經(jīng)過修改的 “五度相生律”推出的12 聲 音 階 ， 其頻 率分別 是 ： f 、 2187/2046f 、 9/8f 、19683/16384f 、 81/64f 、 4/3f 、 729/512f 、 3/2f 、6561/4096f 、 27/16f 、 59049/32768f 、 243/128f 。和前面的 “五度相生律” 的 7 聲音階對(duì)比一下，可以發(fā)現(xiàn)原來的 7 個(gè)音都還在，只是多了 5 個(gè)，分別插在它們之

26、間。用正式的音樂術(shù)語稱呼原來的 7 個(gè)音符， 分別是 c、 d 、 e、 f、g、a、b。新多由來的5個(gè)音符于是被叫做 c# （讀做升c”）、d#、 f#、 g#、 a# 。 12 音階現(xiàn)在不能用 do、 re、 mi 的叫法了，應(yīng)該被叫做： c、 c#、 d、 d# 、 e 、 f、 f#、 g、 g# 、 a、a# 、 b 。把相鄰兩個(gè)音符的頻率互相除一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間的比例只有兩種： 256:243 （就是原來的 “半音 ”，也叫做“自然半音 ”） ， 2187:2048 （這被叫做 “變化半音 ”） 。也就是說，這12 個(gè)音符幾乎可以說又構(gòu)成了一個(gè) “等差音高序列 ”。它們之間的

27、“距離 ”幾乎是相等的。 （當(dāng)然，如果相鄰兩個(gè)音符之間的比例只有一種的話，就是嚴(yán)格的 “距離 ”相 等了。）原來的7聲音階中，cd、de、fg、ga、 ab之間都相隔一個(gè) 全音”，現(xiàn)在則認(rèn)為它們之間相隔了兩 個(gè) “半音 ”。這也就是 “全 ”、 “半 ”這種叫法的根據(jù)。既然c#被認(rèn)為是從 c升”了半音得到的，那么 c#也可以 被認(rèn)為是從d降”了半音得到的，所以c#和db （讀做 降d”） 就被認(rèn)為是等價(jià)的。事實(shí)上， 5 個(gè)新加入的音符也可以被寫做： db 、 eb 、 gb 、 ab 、 bb 。這種 12 聲音階在音樂界的地位， 我只用舉一個(gè)例子就能說明了。鋼琴上的所有白鍵對(duì)應(yīng)的就是原來 7

28、 聲音階中的 c 、db，所有的黑鍵對(duì)應(yīng)的就是12聲音階中新加入的c#、ebbb。從 7 聲音階發(fā)展到 12 聲音階的做法， 在西方和東方都出現(xiàn)得很早。 管子中實(shí)際上已經(jīng)提出了 12 聲音階，后來的中國音律也大多是以“五度相生律” 的 12 聲音階為主。 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派也有提出這12 聲音階的。不過西方要到中世紀(jì)晚期才重新發(fā)現(xiàn)它們。能不能把 “五度相生律” 的 12 聲音階再往前發(fā)展一下呢？可以的。12聲音階的依據(jù)就是（3/2） 12弋129.7和27=128 很接近，按照這個(gè)思路，繼續(xù)找接近的值就可以了嘛。還有人真地找到了， 此人就是我國西漢的著名學(xué)者京房（ 77bc 47 bc ）。他發(fā)現(xiàn)

29、（3/2 ） 532.151 x 109 和231-2.147 x 10也很接近，于是提由了一個(gè) 53音階的新音律。要知道古人并沒有我們現(xiàn)在的計(jì)算器，計(jì)算這樣的高次冪問題對(duì)他們來說是相當(dāng)麻煩的。當(dāng)然， 京房的新律并沒有流行開， 原因就是 53 個(gè)音階也太麻煩了吧！開始學(xué)音樂的時(shí)候要記住這么多音符，誰還會(huì)有興趣哦！但是這種努力是值得肯定的，也說明 12 聲音階也不完美，也確實(shí)需要改進(jìn)?！拔宥认嗌伞?的 12 聲音階中的主要問題是，相鄰音符的頻率比例有兩種（自然半音和變化半音） ，而不是一種。而且兩種半音彼此差距還不小。（2187:2048 ）/（256:243 ）q1.014好像差不多哦？但其

30、實(shí)自然半音本身就是256:2431.053了。如果 12 聲音階是真正的 “等差音高序列 ”的話，每個(gè)半音就應(yīng)該是相等的，各個(gè)音階就應(yīng)該是 “等距離 ”的。也就是說，真正的 12 聲音階可以把一個(gè)八度 “等分 ”成 12 份。為什么這么強(qiáng)調(diào) “等分 ”、 “等距離” 呢？因?yàn)樵谝魳返陌l(fā)展過程中，人們?cè)絹碓接X得有 “轉(zhuǎn)調(diào) ”的必要了。所謂轉(zhuǎn)調(diào)，其實(shí)就是用不同的音高來唱同一個(gè)旋律。比方說，如果奧一個(gè)人的音域是 c高音c （也就是以前的do 高音do）,樂器為了給他伴奏，得在 c高音c之內(nèi)彈奏旋律；如果另一個(gè)人的音域是d高音d （也就是以前的re高音re）,樂器得在d高音d之內(nèi)彈奏旋律?？墒?五度相

31、 生律”的12聲音階根本不是 等差音高序列”，人們會(huì)覺得c 高音c之內(nèi)的旋律和d高音d之內(nèi)的旋律不一樣。特別是 如果旋律涉及到比較多的半音，這種不和諧就會(huì)很明顯。可以說， 如果現(xiàn)在的鋼琴是按 “五度相生律”來決定各鍵的音高，那么只要旋律中涉及到許多黑鍵，彈出來的效果就會(huì)一塌糊涂。這種問題在弦樂器上比較好解決，因?yàn)橄覙菲鞯囊舾呤强渴种傅陌磯簛頉Q定的。演奏者可以根據(jù)不同的音域、旋律的要求，有意地不在規(guī)定的指位上按弦，而是偏移一點(diǎn)按弦，就能解決問題?？墒擎I盤樂器（比如鋼琴、管風(fēng)琴、羽管鍵琴等）的音高是固定的，無法臨時(shí)調(diào)整。所以在西方中世紀(jì)的音樂理論里，就規(guī)定了有些調(diào)、有些音是不能用的，有些旋律是不能

32、寫的。而有些教堂的管風(fēng)琴，為了應(yīng)付可能出現(xiàn)的各種情況，就預(yù)先準(zhǔn)備下許多額外的發(fā)音管。以至于有的管風(fēng)琴的發(fā)音管有幾百甚至上萬根之多。這種音律規(guī)則上的缺陷，導(dǎo)致一方面作曲家覺得受到了限制，一方面演奏家也覺得演奏起來太麻煩。問題的根源還是出在近似值上。 “五度相生律”所依據(jù)的（ 3/2 ） 12 畢竟和 27 并不完全相等。 之所以會(huì)出現(xiàn)兩種半音，就是這個(gè)近似值造成的。對(duì) “五度相生律” 12聲音階的進(jìn)一步修改，東、西方也大致遵循了相似的路線。 比如東晉的何承天（ 370 ad 447 ad ） ，他的做法是把（ 3/2 ） 12 和 27 之間的差距分成 12 份，累加地分散到 12 個(gè)音階上，造

33、成一個(gè)等差數(shù)列。可惜這只是一種修補(bǔ)工作，并沒有從根本上解決問題。西方的做法也是把（ 3/2 ） 12 和 27 之間的差距分散到其它音符上。 但是為了保證主音 c 和屬音 g 的 3/2 的比例關(guān)系（這個(gè) “純五度 ”是一個(gè)音階中最重要的和諧，即使是在12 聲音階中也是如此） ，這種分散注定不是平均的，最好的結(jié)果也是12 音中至少有一個(gè) “不在調(diào)上 ”。 如果把差距全部分散到 12 個(gè)音階上的話， 就必須破壞 c 和 g 之間的 “純五度 ”，以及 c 和 f 之間的 4/3比例（術(shù)語是 “純四度 ”） 。這樣一來，雖然方便了轉(zhuǎn)調(diào)，但代價(jià)就是音階再也沒有以前好聽了。因?yàn)橐粋€(gè)八度之內(nèi)最和諧的兩個(gè)

34、關(guān)系 純五度和純四度 都被破壞了。一直到文藝復(fù)興之前， 西方音樂界通行的律法叫 “平均音調(diào)律 ”（ meantone temperament ） ， 就是在保證純五度和純四度盡量不受影響的前提下， 把 （3/2） 12 和 27 之間的差距盡量分配到 12 個(gè)音上去。這種折衷只是一種無可奈何的妥協(xié)，大家其實(shí)都在等待新的音律出現(xiàn)。終于還是有人想到了徹底的解決辦法。不就是在一個(gè)八度內(nèi)均分 12 份嗎？直接就把2:1 這個(gè)比例關(guān)系開12 次方不就行了？也就是說，真正的半音比例應(yīng)該是21/12 。如果 12音階中第一個(gè)音的頻率是f ，那么第二個(gè)音的頻率就是21/12f ,第三個(gè)音就是 22/12f ,

35、第四個(gè)音是 23/12f ,，第十二個(gè)是211/12f ，第十三個(gè)就是212/12f ，就是 2f ，正好是 f 的八度。這是 “轉(zhuǎn)調(diào) ”問題的完全解決。 有了這個(gè)新的音律， 從任何一個(gè)音彈出的旋律可以復(fù)制到任何一個(gè)其它的音高上，而對(duì)旋律不產(chǎn)生影響。西方巴洛克音樂中，復(fù)調(diào)音樂對(duì)于多重聲部的偏愛，有了這個(gè)新音律之后，可以說不再有任何障礙了。后來的古典主義音樂，也間接地受益匪淺?？梢哉f沒有這個(gè)新的音律的話，后來古典主義者、浪漫主義者對(duì)于各種音樂調(diào)性的探索都是不可能的。這種新的音律就叫 “十二平均律”。 首先發(fā)明它的是一位中國人，叫朱載 培（y。他是明朝的一位皇室后代，生于 1536年， 逝世于 1

36、611 年。 他用珠算開方的辦法 （珠算開 12 次方，難度可想而知） ，首次計(jì)算出了十二平均律的正確半音比例，其成就見于所著的律學(xué)新書一書。很可惜，他的發(fā)明，和中國古代其它一些偉大的發(fā)明一樣，被淹沒在歷史的塵埃之中了，很少被后人所知。西方人提出 “十二平均律”，大約比朱載堉 晚 50 年左右。不過很快就傳播、流行開來了。主要原因是當(dāng)時(shí)西方音樂界對(duì)于解決轉(zhuǎn)調(diào)問題的迫切要求。當(dāng)然，反對(duì) “十二平均律”的聲音也不少。主要的反對(duì)依據(jù)就是 “十二平均律”破壞了純五度 和純四度。不過這種破壞程度并不十分明顯?！笆骄伞钡?12 聲音階的頻率 （近似值） 分別是： f（ c ） 、1.059f （c#

37、db）、 1.122f （d）、 1.189f （d#eb）、 1.260f （e）、 1.335f （f）、 1.414f（f#gb）、 1.498f （g）、 1.587f （g#ab）、 1.682f （a）、 1.782f （a#bb ）、 1.888f （b） 。注意，現(xiàn)在所有的半音都一樣了，都是21/12 ，即 1.059 。以前的自然半音和變化半音的區(qū)別沒有了。另外，原來 “五度相生律”的 12 音階中， c 和 g 的比例是3/2（即純五度） ， 現(xiàn)在 “十二平均律”的 12 音階中， c 和 g 的比例是 1.498 ，和純五度所要求的 3/2 （ 1.5）非常接近。原來 “五度相生律”的 12 音階中， c 和 f 的比例是 4/3 （即純四度） ， 現(xiàn)在 “十二平均律”的 12 音階中， c 和 f 的比例是 1.335 ，和純四度所要求的 4/3 （ 1.33