高中數(shù)學(xué)案例：“函數(shù)的奇偶性”教學(xué)案例

1、高中數(shù)學(xué)案例淺談啟發(fā)式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用“函數(shù)的奇偶性”教學(xué)案例一、案例背景葉圣陶先生說(shuō)：“教者，蓋在于引導(dǎo)、啟發(fā)?！?新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施也要求教師從傳統(tǒng)的“填鴨式”教學(xué)方法向“啟發(fā)式”教學(xué)方法轉(zhuǎn)變。教師把自己視為教學(xué)的指導(dǎo)者、促進(jìn)者和幫助者，是“帶著學(xué)生走向知識(shí)”而不是“帶著知識(shí)走向?qū)W生”?；诖耍n堂上教師可以精心組織教材，恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)提問(wèn)，引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生自主地去尋找，歸納，掌握知識(shí)。下面就以函數(shù)的奇偶性為例講講啟發(fā)式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂上的應(yīng)用。二 、情景再現(xiàn)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中學(xué)生首次接觸的較為抽象的概念，而函數(shù)的奇偶性又是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì) , 它有助于培養(yǎng)學(xué)生的理解能力，推理論證能力

2、和探索精神，在高中數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)課研究的主要知識(shí)點(diǎn)有： 1 、函數(shù)奇偶性的定義。2 、利用奇、偶函數(shù)的定義判斷某些簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性。3 、若 f1(x) 為 r上的奇函數(shù)， f2(x) 為 r 上的奇函數(shù)， g(x) 為 r 上的偶函數(shù)， h(x) 為 r 上的偶函數(shù)，探究 f1(x).h(x),f1(x)f2(x),g(x)h(x) 的奇偶性。4 、奇函數(shù)，偶函數(shù)的圖像的特點(diǎn) 探究一 : 師：根據(jù)課本上函數(shù)奇偶性的定義：一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域d內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù);如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域d內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x

3、)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。若d是函數(shù)的定義域，如果對(duì) d 內(nèi)的任意一個(gè) x, 必有一個(gè) -x 也在 d 內(nèi)，這可以得到什么啟示？ 生：這說(shuō)明如果這個(gè)函數(shù)具有奇偶性，那么首先它的定義域一定關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。 師：回答得很好！請(qǐng)同學(xué)們?cè)偎伎家幌?，如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)還會(huì)是奇函數(shù)或偶函數(shù)嗎？ 生：一定不會(huì)，因?yàn)槭紫榷x域沒(méi)有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，失去了是奇函數(shù)或偶函數(shù)成立的前提條件。這個(gè)函數(shù)肯定既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。師：非常正確！探究二：師：下面同學(xué)們根據(jù)奇函數(shù)，偶函數(shù)的定義判斷下列函數(shù)的奇偶性： （ 1 ） f（x） = 3x （2）f（x） =-x

4、 2+2（3）f（x）= x+1（4）f（x）= x(x2 +1) 師：這四道題目中的定義域是什么？生：這四小題中的定義域都是xr，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。師：如何根據(jù)奇函數(shù)，偶函數(shù)的定義去判斷函數(shù)的奇偶性？生一： f（x） = 3x是奇函數(shù); 是偶函數(shù) ;生三：同理，(3) 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) （4）是奇函數(shù) . 師：完全正確！如果我將（2 ）f（x） = -x 2+2加上條件x ,那么（2）中的f（x） 還是偶函數(shù)嗎？生：不是，因?yàn)槎x域x沒(méi)有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。師：所以判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)該先看什么？生：定義域有沒(méi)有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)！師：很好。以上的四個(gè)函數(shù)都是較為簡(jiǎn)單的函數(shù)，而且定義域都是能夠直接得到

5、的，若我們把（1）改成：，（2）改成 判斷它們的奇偶性有什么變化？生：先求定義域生一：（1）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，因?yàn)樗亩x域變成了，沒(méi)有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以不具有奇偶性。生二：（2）仍然是偶函數(shù)，因?yàn)樗亩x域變成了，還關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，一樣是偶函數(shù)。師：由此，請(qǐng)同學(xué)們自己歸納一下：判斷函數(shù)的奇偶性可以分成幾個(gè)步驟？生：可以分成三個(gè)步驟：第一步先看定義域（沒(méi)有直接給出的要先求出定義域）有沒(méi)有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，第二步，代入-x，求出f(-x),第三步，把f(-x)和f(x)比較得出結(jié)論。師：很好。學(xué)習(xí)了用定義法去判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)奇偶性的步驟后，請(qǐng)同學(xué)們思考一下一次函數(shù)f(x)=kx+b(k 0)

6、 的奇偶性？請(qǐng)同桌之間展開(kāi)討論。 生 1一：有可能是奇函數(shù)，如當(dāng) b=0 時(shí)， f(x)=kx(k 0) 滿(mǎn)足 f(-x)=-f(x) 。 生 二 ：他說(shuō)的正確，但我認(rèn)為 f(x)=kx+b(k 0) 一定不是偶函數(shù)，因?yàn)?f(-x) f(x). 師：你們總結(jié)的很好，當(dāng) b=0 時(shí)， f(x)=kx(k 0) 滿(mǎn)足 f(-x)=-f(x) ；當(dāng) b 0 時(shí)， f(-x) f(x) ， f(-x) -f(x),f(x)=kx+b(k 0) 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。 那同學(xué)們?cè)偎伎级魏瘮?shù) f(x)=ax2 +bx+c(a 0) 是否具有奇偶性呢？ 生三：可能具有也可能不具有，特別的當(dāng) b=0

7、 時(shí)， f(x) 是偶函數(shù)； b 0 時(shí)既不是奇函數(shù)，也不偶函數(shù)。 師：好。對(duì)于我們熟悉的一次函數(shù) f(x)=kx+b（k 0）, 當(dāng) b=0 時(shí)為奇函數(shù)，否則既不是奇函數(shù)，也不偶函數(shù)；二次函數(shù) f(x)=ax2 +bx+c(a 0), 當(dāng) b=0 時(shí)為偶函數(shù)，否則既不是奇函數(shù)，也不偶函數(shù)，希望同學(xué)們理解并記住。 探究三：師：下面同學(xué)們根據(jù)以上例題，再想一想 f(x)=x(x 2 +1) 可看成一個(gè)函數(shù)g(x)=x和函數(shù)h(x)= x 2 +1 的乘積，函數(shù)g(x)=x是什么函數(shù)？，函數(shù)h(x)= x 2 +1是什么函數(shù)？函數(shù)f(x)=x(x 2 +1)又是什么函數(shù)？生：函數(shù)g(x)=x是奇函

8、數(shù)，函數(shù)h(x)= x 2 +1是偶函數(shù)，函數(shù)f(x)=x(x 2 +1)是奇函數(shù)。師：這三者之間有什么聯(lián)系？生：這說(shuō)明若f(x)是一個(gè)奇函數(shù) g(x) 和一個(gè)偶函數(shù) h(x) 的乘積，即f(x)=g(x).h(x) 則f(x)為奇函數(shù)。師：好，那么如果 g(x) 和 h(x) 同為偶函數(shù)或奇函數(shù)呢？ 生一： f(x) 為偶函數(shù)。因?yàn)楫?dāng)g(x) 和 h(x) 同為偶函數(shù)f(-x)=g(-x).h(-x)=g(x).h(x)=f(x)；當(dāng)g(x) 和 h(x) 同為奇函數(shù)時(shí)，f(-x)= g(-x).h(-x)=-g(x).-h(x)=g(x).h(x)= f(x) 生二：也就是說(shuō)奇函數(shù)乘以偶函

9、數(shù)結(jié)果為奇函數(shù)。同奇同偶的兩個(gè)函數(shù)相乘仍然是偶函數(shù) 師：同學(xué)們總結(jié)的非常好，如果我們將這個(gè)問(wèn)題再深入分析下去，想一想，奇函數(shù)加上或減去奇函數(shù)會(huì)是什么函數(shù)？偶函數(shù)加上或減去偶函數(shù)會(huì)是什么函數(shù)？請(qǐng)同學(xué)們按照剛才的方法自己在紙上舉例推斷一下。生（推算）：奇函數(shù)加上或減去奇函數(shù)仍是奇函數(shù)，偶函數(shù)加上或減去偶函數(shù)仍是偶函數(shù)。師：同學(xué)們能不能把這些性質(zhì)歸納一下？生：偶函數(shù)的和、差、積仍為偶函數(shù)，奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)。一奇一偶的函數(shù)相乘為奇函數(shù)，同奇同偶的函數(shù)相乘為偶函數(shù)。師：很好！得到了這些性質(zhì)，那么我們以后在解題中除了用定義法，還可以用性質(zhì)法去判斷函數(shù)的奇偶性。遇到多個(gè)函數(shù)相乘時(shí)，就可以分析每一個(gè)函

10、數(shù)的奇偶性來(lái)判斷整個(gè)函數(shù)的奇偶性，但同時(shí)不要忘記，判斷函數(shù)奇偶性，首先要看定義域有沒(méi)有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。如果定義域沒(méi)有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則不論f(-x)= -f(x)或者f(-x)= f(x)是否成立此函數(shù)都不是奇函數(shù)或者偶函數(shù)。探究四： 師：接下來(lái)我們一起來(lái)研究奇函數(shù)或偶函數(shù)的圖象有何特點(diǎn)？請(qǐng)同學(xué)們分別作出 y =-2x 和 y=x2 的圖象，并觀察有何特點(diǎn)？ 生一：奇函數(shù) y=-2x 的圖象是一條過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，并且關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形；生二：偶函數(shù) y=x2+1 的圖象是一條拋物線(xiàn)，頂點(diǎn)是（ 0 ，0 ）、開(kāi)口方向向上，且關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)。 師：回答得太棒了！大家再作出 y=3x 和 y=-x2

11、 +1的圖象，觀察是否有類(lèi)似的規(guī)律？ 生： y=3x和y=-2x 的圖象一樣也是關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形； y=-x2 +1 與 y=x 2 的圖象一樣也關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)。 師：那么我們可以猜想：奇函數(shù)的圖象有什么特點(diǎn)？偶函數(shù)的圖象有什么特點(diǎn)？生：奇函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，偶函數(shù)的圖象是以 y 軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，師：對(duì)極了。反之亦然。如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)。如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)。生：噢，原來(lái)如此。 師：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)請(qǐng)同學(xué)們思考如何作出函數(shù) y=1/x2 的圖象？ 生一 ：該函數(shù)的定義域?yàn)椋?0 ， +

12、 ）（ - ， 0 ），又是偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，只需作出 y=1/x2 在（ 0 ， + ）上的圖象，然后對(duì)稱(chēng)過(guò)去就好了。但我不知該怎樣做？ 生 二 ：用描點(diǎn)法。（主動(dòng)到黑板上做圖，并根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)做出（ - ， 0 ）的圖象。 生（全體）：對(duì)了！ 師：好。若將題目改成作出函數(shù)y=x3的圖象，又將如何操作？生（全體）：先用描點(diǎn)法作出函數(shù)y=x3在 0 ，+ ）上的圖象，再根據(jù)函數(shù)y=x3是一個(gè)奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，作出（ - ， 0 ）部分的圖象。師：回答的都很正確。奇函數(shù)，偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)不僅可以幫助我們解決相關(guān)類(lèi)型的題目，而且我們還可以圖像法去判斷函數(shù)的奇偶性。因?yàn)?/p>

13、一個(gè)奇（偶）函數(shù)的充要條件就是它的圖像關(guān)于原點(diǎn)（y軸）對(duì)稱(chēng)。課堂總結(jié)：師：同學(xué)們，這節(jié)我們要掌握的就是奇函數(shù)，偶函數(shù)的概念，判斷函數(shù)的奇偶性可以用定義法、性質(zhì)法、圖像法等去判斷。特別要注意的是，不管用哪一種方法判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性，首先要看這個(gè)函數(shù)的定義域有沒(méi)有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，還要學(xué)會(huì)并牢記奇函數(shù)，偶函數(shù)圖象的特征并能夠靈活應(yīng)用。此外給大家留一個(gè)思考題：運(yùn)用函數(shù)奇偶性的定義及步驟去判斷分段函數(shù)的奇偶性，并寫(xiě)出證明過(guò)程。三、案例反思：學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)的概念抽象，內(nèi)容枯燥，往往對(duì)數(shù)學(xué)心生厭煩，沒(méi)有好感。所以教師在傳授新課時(shí)，就可以結(jié)合教材的特點(diǎn)，由淺入深的設(shè)計(jì)課堂提問(wèn)去吸引學(xué)生，使學(xué)生一聽(tīng)到問(wèn)題，就都想一試鋒芒。促使學(xué)生自己去動(dòng)腦筋解決，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，達(dá)到教而不教的目的。本節(jié)課就是通過(guò)設(shè)置一系列有層次的問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)“函數(shù)奇偶性”的教學(xué)，不僅突破了教學(xué)難點(diǎn)，而且讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中明白了奇偶性定義形式化的必要性，深化了對(duì)于奇偶性本質(zhì)的深刻理解全國(guó)特