再談勾股定理的理解與思考

1、再談勾股定理的理解與思考 【摘 要】本文通過對勾股定理證明的學習，由此引出一個猜想：以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正多邊形的面積和等于以斜邊為邊長的正多邊形的面積。并對此進行了論證，由此得出了四個定理及一個猜想。 【關鍵詞】勾股定理 正多邊形 直角三角形 面積 在無限攀登的學習過程中，我接觸到了勾股定理，并對其證明產(chǎn)生了濃厚的興趣，由此產(chǎn)生了一個大膽的想法：既然以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，那么以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正多邊形的面積和會等于以斜邊為邊長的正多邊形的面積嗎？帶著這個想法，在老師的指導下，我嘗試著做了以下的論證： 勾股

2、定理：在一個直角三角形中，若兩直角邊分別為a、b， 斜邊為c，則a2+b2=c2。 正三角形的面積：如圖2，一個正三角形的邊長為a，則 由勾股定理可得其高可表示為： ， 則面積為： 。 正六邊形的面積：如圖3，一個正六邊形的邊長為a，作它的三條對角線，則正六邊形被分成了六個邊長為a的正三角形，故面積為： 正八邊形的面積：如圖4，一個正八邊形的邊長為a，作它的兩條對角線，則正八邊形被分成了兩個全等的等腰梯形和一個矩形，故面積為： 定理一：以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正三角形的面積和等于以斜邊為邊長的正三角形的面積。 證明：一個直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，以這三邊為邊長所作的

3、正三角形的面積分別為： ， ， 。 則： 即：以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正三角形的面積和等于以斜邊為邊長的正三角形的面積。 定理二：以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正四邊形的面積和等于以斜邊為邊長的正四邊形的面積。 證明：一個直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，以這三邊為邊長所作的正四邊形的面積分別為：a2，b2，c2。 則：a2+b2=c2。 即：以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正四邊形的面積和等于以斜邊為邊長的正四邊形的面積。 定理三：以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正六邊形的面積和等于以斜邊為邊長的正六邊形的面積。 證明：一個直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為

4、c，以這三邊為邊長所作的正六邊形的面積分別為： ， ， 。 則： 即：以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正六邊形的面積和等于以斜邊為邊長的正六邊形的面積。 定理四：以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正八邊形的面積和等于以斜邊為邊長的正八邊形的面積。 證明：一個直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，以這三邊為邊長所作的正八邊形的面積分別為： ， ， 。 則： 即：以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正八邊形的面積和等于以斜邊為邊長的正八邊形的面積。 通過以上的論證，我說明了分別以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正三角形、正四邊形、正六邊形、正八邊形的面積和等于以斜邊為邊長的正三角形、正四邊形、正六邊形、正八邊形的面積，并由此得到了以下的猜想。當然，鑒于目前我的認知水平，我只能做到這一個深度，但是，隨著學習的深入，我相信我會努