大學物理授課教案真空中的靜電場

1、第三篇電磁學第七章真空中的靜電場本章只討論真空中的電場，下一章再討論介質(zhì)中靜電場。靜電場：相對于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的電場。 7-1電荷庫侖定律一、電荷1、電荷種類用電荷/負電荷|作用/同性相斥一 異性相吸（一般地說：使物體帶電就是使它獲得多余的電子或從它取出一些電子）2、電荷守恒定律電荷從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，這稱為電荷守恒定律。它是物理學的基本定 律之一。3、電荷量子化在自然界中所觀察到的電荷均為基本電荷 e的整數(shù)倍。這也是自然界中的一條基本 規(guī)律，表明電荷是量子化的。直到現(xiàn)在還沒有足夠的實驗來否定這個規(guī)律。二、庫侖定律點電荷：帶電體本身線度比它到其他帶電體間的距離小得多時，帶電體的

2、大小和形 狀可忽略不計，這個帶電體稱為點電荷。（如同質(zhì)點一樣，是假想模型） 庫侖定律：真空中兩點電荷之間的相互作用力大小與他們電量乘積成正比，與他們之間 距離成反比，方向在他們連線上，同性相斥、異性相吸。這叫做庫侖定律。它構(gòu)成全部靜電學的基礎(chǔ)。數(shù)學表達式：q2受qi的作用力：療療Fi2=kqiq20 斥力（同號）OOri2%M0吸引（異號）采用國際單位制，其中的比例常數(shù) k=9Ml09N m2/c2。 圖7T寫成矢量形式：F12 k 2 I k 3 r12r12 l12 J12令 k =1- , % =8.85X10,2C2/N m24二；01 qq2=F12 = 3-12（7-1）4.1.

3、0 r12說明：F12是q1對q2是作用力，r；2是由q1指到q2的矢量。q2對q1的作用力為：1 q1q2q02_F 21 - -3- r21 - -12 一一124.；0214一；012庫侖定律的形式與萬有引力定律形式相似。但前者包含吸力和斥力，后者只是 引力，這是區(qū)別。 7-2電場 電場強度一、電場1、電荷間作用電荷間作用原有不同看法，在很長的時間內(nèi)，人們認為帶電體之間是超距作用，即 二者直接作用，發(fā)生作用也不用時間傳遞。即-_直接作用兩種看法超距作用：電荷、 電荷 不著得遞時間一4到了上世紀，法拉第提出新的觀點，認為在帶電體周圍存在著電場，具 他帶電體受到的電力是電場給予的，即場觀點：

4、電荷T場T電荷近代物理學證明后者是正確的。2、靜電場的主要表現(xiàn)表現(xiàn)J電場力：放到電場中的電荷要受到電場力。L,電場力作功：電荷在電場中移動時，電場力要作功。、電場強度從靜電場的力的表現(xiàn)出發(fā)，利用試驗電荷來引出電場強度概念來描述電場的性質(zhì)。放入A點，它受的電場力為F,試驗發(fā)現(xiàn)，將q。加倍。試驗電荷qo （點電荷且qo很小）, 則受的電場力也增加為相同的倍數(shù), 實驗電荷：qo2qo3qo nqo受力：F 2F 3FnF 2F 3FnF實驗電荷q0 2q0 3q0nq0可見，這些比值都為 上，該比值與試驗電荷無關(guān)，僅與qo圖7-2A點電場性質(zhì)有關(guān)，因此，可以用F來描述電場的性質(zhì), q。定義:為電荷q

5、的電場在A點處的電場強度。E =單位正電荷受的作用力 Fo三、場強疊加原理試驗電荷放在點電荷系q1、q2、q3 qn所產(chǎn)生電場 中的A點，實驗表明q。在A處受的電場力F是各個點電荷各自對qo作用力_Fi、F2、F3 J Fn的矢量和,即:、F按場強定義：E =二%=EiE2E3qoF =F1F2F3 二 二 F（7-3）上式表明，點電荷系電場中任一點處的總場強等于各個點電荷單獨存在時在該點產(chǎn) 生的場強矢量和，這稱為場強疊加原理。四、場強計算1、點電荷電場的電場強度q在A處產(chǎn)生的場強為：假設(shè) A處有試驗電荷, q受力為F ，有E上qo。羋rqo 4二 or3即 E = q 3 H（7-4）4皿0

6、rr1由q指向A, q0 E與同向（由qT A） +q的矢量I叫做電偶極子 的軸，p = ql叫做電偶極子的電矩。*在一正常分子中有相等的正負電荷，當正、負電荷的中心不重合時，這個分子構(gòu)成了 一個電偶極子。例7-1:已知電偶極子電矩為p,求電偶極子在它軸線的延長線上一點電偶極子在它軸線的中垂線上一點 解：如圖所取坐標，Ea = E . E.q/ I !4兀80 r - IA 的 EA ； B 的 Eb。l 2Jl l ?4n即 r + i24 二；= EaqO4 二；1一lr 一一22lr-i 1 +2r 八 2rJ2P4 二；r3如圖所取坐標Eb=E E_q1n r2q4二；4 二；0r2P

7、4 二；r3（ea p同向）4400 ： E沿x軸正向/0 : E沿x軸負向（x軸上E關(guān)于原點對稱）結(jié)論：E與圓環(huán)平面垂直，環(huán)中心處 E=0,也可用對稱性判斷。q“24 ；0x例7-3:半徑為R的均勻帶電圓盤，電荷面密度為 仃，計算軸線上與盤心相距x的p點 的場強。解：如圖所示，x軸在圓盤軸線上，把圓盤分成一系列的同心圓環(huán)，半徑為r、寬度為dr 的圓環(huán)在p點產(chǎn)生的場強為：dE/ =xdqr （均勻帶電圓環(huán)結(jié)果）4二;0 x2 r2 2x 二 2Fdr二 xrdr， -3 34二；0 x2 r2 20 x2 r2 2二x R rdr廠0320/ t2Wd（x22；0x2 r2 萬2s0 1 xx

8、2 R R20：背離圓盤0, E背向直線；九0背離平面 e = E dSs e = JE dSs在任意電場中通過封閉曲面的電場強度通量中e=4E dSs注意：通常取面元外法向為正。 7-4高斯定理、高斯定理圖 7-16高斯定理是關(guān)于通過電場中任一閉合曲面電通量的定理，現(xiàn)在從一簡單例子講起。1、如圖所示，q為正點電荷，S為以q為中心以任 意r為半徑的球面，S上任一點p處E為：E 二人4二 0r= ： E dS = ： qrs4二；0r2、通過閉合曲面S的電場強度通量為：3 dSn =1： q3 rdSs4 二；0rdS同向)qqqdS 二一dSs 4二；0r4二；0r s ;。結(jié)論：e與r無關(guān)，

9、僅與q有關(guān)（即=const）2、點電荷電場中任意閉合曲面 S的電場強度通量+q在S內(nèi)情形如圖所示，在S內(nèi)做一個以+q為中心， 任意半徑r的閉合球面Si,由1知，通過S 的電場強度通量為 曳。二.通過Si的電力線0必通過S,即此時 =6es, 通過S的電eq場強度通量為：% = = E dS =-q0+q在S外情形。此時，進入S面內(nèi)的電力線必穿出S面，即 穿入與穿出S面的電力黃火相等，：屋=E dS =0s結(jié)論：S外電荷對Ge無貢獻e = q在S內(nèi)% 0時，不能說S內(nèi)只有正電荷一 一 -1 _當中e =qE dS = q J 0時，不能說S內(nèi)只有負電荷s曲S3=0時，不能說S內(nèi)無電荷注意：這些都

10、是S內(nèi)電荷代數(shù)和的結(jié)果和表現(xiàn)。,、 I1圖斯定理說明 3 =4E dS= X q與S內(nèi)電荷有關(guān)而與S外電荷無關(guān)，這并不s-0 S 內(nèi)是說E只與s內(nèi)電荷有關(guān)而與s外電荷無關(guān)。實際上，E是由s內(nèi)、外所有電荷 產(chǎn)生的結(jié)果。高斯面可由我們?nèi)芜x。二、高斯定理應用舉例下面介紹應用高斯定理計算幾種簡單而又有對稱性的場強方法?？梢钥吹剑瑧酶?斯定理求場強比前面介紹的方法更為簡單。例7-6 : 一均勻帶電球面，半徑為 R ,電荷為+q ,求：球面內(nèi)外任一點場強。解：由題意知，電荷分布是球?qū)ΨQ的，產(chǎn)生的電場是球?qū)ΨQ的，場強方向沿半徑向外，以。為球心任意球面上的各點 E值相等。球面內(nèi)任一點P1的場強1以。為圓心，

11、通dPi總做半徑為ri的毯面Si為高斯面，高斯定理為二2E，dS = qE與dS同向，且51上E值不變S1內(nèi)- - / 、，E dS = : E dS = E： dS =E 4二 r12ss1s1：；-荏。=01R）7= E4小。/，/e=0/即均勻帶電球面內(nèi)任一點R場強為零。、一，”注意：1）不是每個面元上電荷在球面內(nèi)產(chǎn)生的場強為零，而是所有面元上電荷在球面內(nèi)產(chǎn)生場強的矢量和=002）非均勻帶電球面在球面內(nèi)任一點產(chǎn)生的場強不可能都為零。（在個別點有可能為零）球面外任一點的場強以。為圓心，通過B點以半徑2做一球面S2作為高斯面，由高斯定理有：2E 4:r2q二 E 二：;24二；0r方向：沿O

12、P.方向（若q父0,則沿PO方向）結(jié)論：均勻帶電球面外任一點的場強，如圖電荷全部集中在 產(chǎn)生的場強一樣。E =0球心處的點電荷在該點0例7-7：有均勻帶電的球體，半徑為 R,電量為+q,求球內(nèi)外場強（8-13）解：由題意知，電荷分布具有球?qū)ΨQ性，電場也具有對稱性，場強方向由球心向外輻 射，在以o為圓心的任意球面上各點的 E相同。（1）球內(nèi)任一點Pi的E =?-1E dS qsi/ Si內(nèi)相等, E與dS同向，且Si上各點E值一一一一2 . E dS = E dS = E . dS = E 4二 risisisii %_ q一q 二4 一% S1內(nèi)樂一用332 q 3二 E 4 二 r1二ri；

13、R3e =q4二 0R3ri以。為球心，過Pi點做半徑為口的高斯球面S,高斯定理為:E沿OP方向。（若q 0,則E沿RO方向）結(jié)論：E二r1注意：不要認為S外任一電荷元在Pi處產(chǎn)生的場強為0,而是Si外所有電荷元在Pi點產(chǎn)生的場強的疊加為0 （2）球外任一點P2的E = ?以O(shè)為球心，過P2點做半徑為2的球形高斯面S2,高斯定理為:一一 1 I E dS 二 一 qs20 S2 內(nèi)由此有：E 4 二 r22 ;2qq2J-4 二；0 r2E沿OP2方向o圖 7-22結(jié)論：均勻帶電球體外任一點的場強，如同電荷 全部集中在球心處的點電荷產(chǎn)生的場強一樣E=- q 3 ri (ri R)工4戒0rE

14、-r曲線如左圖。例7-8: 一無限長均勻帶電直線，設(shè)電荷線密度為十九，求直線外任一點場強 解：由題意知，這里的電場是關(guān)于直線軸對稱的， E的方向垂直直線。在以直線為軸的任P做半徑為r高為h的圓一圓柱面上的各點場強大小是等值的。以直線為軸線，過考察點 柱高斯面，上底為Si、下底為側(cè)面為4。1圖斯定理為：- E 0S qs；0 S在此，有：E dS =: E dS : E dS E dSsSiS2S3在S、&上各面元dS _L E , .前二項積分=0又在&上E與dS方向一致，且E二常數(shù)，E dS = - E dS = EdS = E dS = E 2二rhSS3S3S31，1 h q =1 h；

15、0 S3；01 .二 E 2 二 rh = 1 h；0即 E =2 二；0rE由帶電直線指向考察點。(若九R時，Upq4二；0 Rq .，. 一,環(huán)可視為點電何。4二；0x例7-13: 一均勻帶電球面，半徑為R,電荷為q , 求球面外任一點電勢。解：如圖所取坐標，場強分布為E =0 （球面內(nèi)）q - ，一.，3 一Lr （球面外）4m0r球面外任一點Pi處電勢圖 7-asuPi=E E dr =廠Edr （二,積分與路徑無關(guān)，可沿r1方向t gri二 qri4 二；0rriq2dr =4二；0r結(jié)論：均勻帶電球面外任一點電勢，如同全部電荷都集中在球心的點電荷一樣。球面內(nèi)任一點P2電勢E dr

16、= E dr E drr2r2- Rf .0 q= E dr =2 drRR 4二；0r二 q4二；0R可見，球面內(nèi)任一點電勢與球面上電勢相等。（二.球面內(nèi)任一點E = o, .在球面內(nèi) 移動試驗電荷時，無電場力作功，即電勢差 二o, .有上面結(jié)論）-q ,求二面的電勢差。例7-14:有二個同心球面，半徑為R1、R2 ,電荷為十解：方法一用u內(nèi)-口外=R2 -REdr 解在二球面間，場強為:匚 qE 二3 r4二；0rR2U內(nèi)U外=g E dr積分與路徑無關(guān)，可沿.R2q ,r -2 drRi 4二；0r(0,u內(nèi)u外)方法二用電勢疊加原理解內(nèi)球面在二球面上產(chǎn)生電勢分別為:u-q內(nèi)u-q外q4

17、二；0Rq4二；0R2外球面在二球面上產(chǎn)生電勢分別為:-q4 二；0 R- q4 二；0R2二二球面電勢分別為:颯=u-q內(nèi)u _q內(nèi)u外=u蟲外+u_q外4 二；0 R R20u內(nèi)_U外4n% RR2 /注意電勢計算方法。 7-6等勢面場強與電勢的關(guān)系、等勢面1、等勢面：電勢相等的點連接起來構(gòu)成的曲面稱為等勢面。如：在距點電荷距離相等的點處電勢是相等的，這些點構(gòu)成的曲面是以點電荷為球 心的球面。可見點電荷電場中的等勢面是一系列同心的球面，如左圖所示。2、場中等勢面性質(zhì)1）等勢面上移動電荷時電場力不作功設(shè)：設(shè)點電荷q。沿等勢面從a點運動到b點電場力作功為:Wab - - Epb - Epa -

18、 -q db - da Ob = 02）任何靜電場中電與線打證：如下圖而示代更荷丁瓦自a沿等勢場力作功為:dW =q0E dl q0Edl cosu.在等勢面上運動，. dW=0ft 7-35=q0Edl cos - - 0q =0,E =0,dl =0電力線cose = 0,即日=二2故電力線與等勢面正交，E垂直于等勢面。說明：在相鄰等勢面電勢差為常數(shù)時，等勢面密集地方場強較強。二、場強與電勢關(guān)系Eg描述電場性質(zhì)的物理量，他們應有一定的關(guān)系，*財十小前面已學過E、u之間有一種積分關(guān)系一、Ua =E I （無限遠處U笛=0）廠一；4那么，E、u之間是否還存在著微分關(guān)系呢？這正是下療面要研究的問

19、題。如圖所示，設(shè) a、b為無限接近的二/點，相應所在等勢面分別為u、u+du。單位正電荷從 /圖了-躇a- b過個中上電場力作功二電勢能增量負值，即E dl - -1 u du - u 1= -du = E dl = Exi Eyj Ezk i idxi dyj dzk= Exdx 十 Eydy 十 Ezdz（7-17）u；：u u “又 du =dx dy dz fxZzz.代(7-17)中，有：L,L,.r,.u二 u二 udx -dy -dz = Exdx Eydy Ezdz .:x：:y;zdx、dy、dz是任意的，.上式若成立必有兩邊 dx、dy、dz相應系數(shù)相等，即Ex.:u.x(7-18)Ey-:y(7-19)Ez.:u:z(7-20):xk （矢量式）:z(7-21)d d -白一=i +j +k ):x 二 y 二 z以上是場強E與電勢u的微分關(guān)系。數(shù)學上，型+包；+四k叫做U的梯度，記作： 衣二 y二 z-u：:u：:u, igradu =U =i + j + k (其中算符 exeyez= E = -gradu = -u (7-22)結(jié)論：電