巴斯普定理及其證明.doc

1、.5 物體平衡的種類概念規(guī)律：1、平行力的合成與分解物體所受的幾個力的作用線彼此平行，且不作用于一點，即為平行力（系）。在平行力的合成或分解的過程中，必須同時考慮到力的平動效果和轉動效果， 后者要求合力和分力相對任何一個轉軸的力矩都相同。兩個同向平行力的合力其方向與兩個分力方向相同， 其大小等于分力大小之和。其作用線在兩個分力作用點的連線上。合力作用點到分力作用點的距離與分力的大小成反比。例如：兩個同向平行力 FA 和 FB，其合力的大小 F=FA +FB ，合力作用點 O 滿足 AO FA=BOFB 的關系。兩個反向平行力的合力其方向與較大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。其作用線在兩

2、個分力作用點的連線的延長線上，且在較大的分力的外側。合力作用點到分力作用點的距離與分力的大小成反比。例如：兩個反向平行力FA和 FB的合成其合力的大小 F=FB-F A( 假如 FBFA，則 F 和 FB同向 ) 其合力的作用點滿足 AO FA=BOFB 的關系。1/12.一個力分解成兩個平行力，是平行力合成的逆過程。2、重心和質心重心是重力的作用點。質心是物體 ( 或由多個物體組成的系統(tǒng) ) 質量分布的中心。 物體的重心和質心是兩個不同的概念，當物體遠離地球而不受重力作用時，重心這個概念就失去意義，但質心卻依然存在。對于地球上體積不太大的物體，由于重力與質量成正比，重心與質心的位置是重合的。

3、但當物體的高度和地球半徑比較不能忽略時，兩者就不重合了，如高山的重心比質心要低一些。質心位置的定義表達式是一個矢量表達式， 可以寫成三個分量表達式：其意義可以這樣理解：假定由多質點組成的物體被分成許多小塊，每塊都有相同的質量m，物體總質量等于塊數( 設為 N塊) 乘以每塊質量m，第一式可以改寫成：即等于各小塊的位置Xi 之和除以塊數N。因此，在假定每塊質量相等時XC，就是所有Xi 的平均值。如果其中有一塊( 設2/12.第 i塊 ) 的質量是其它小塊質量的兩倍，則在求和時，相應的Xi 應出現兩次。這可以設想把此兩倍的質量的小塊分成相等的兩塊即可看出。因此，XC是所有質量在X 方向上的平均位置，

4、其中每小塊質量所計算的次數都正比于這個質量自身。這就是人們常說的，質心位置是以質量為權重的加權位置平均值。質心位置的求法：(1) 定義法根據定義式是求質心位置最普遍最基本的方法。首先建立直角坐標，再利用直角坐標下定義式給出質心的位置。對質量連續(xù)分布的物體，計算中通常要用到積分，對于中學生來說暫時還無力求解。因此，此法通常用于質量離散分布或系統(tǒng)可以等效成離散質點情況的處理。(2) 實驗室質量作平面分布的物體用實驗法求質心位置較為簡便。在此平面物體上，選兩點 A 和 B( 設 A、B 和質心不在同一直線上) ，分別作為懸掛點，懸掛在垂直于平面的光滑轉軸上，過懸掛點的兩個鉛垂線的交點即為質心位置。(

5、3) 對稱法如果一個物體質量分布具有軸對稱性，例如質量平面均勻3/12.分布的菱形物體，其質心必處在對角線上，兩對角線的交點即為此菱形的質心位置。這是因為垂直于對稱軸方向上，軸兩旁的正負坐標的質量對應相等。(4) 分割法這種方法把整個物體分割成質心易求的若干部分，再把各部分看成位置在各自質心處、并具有該部分質量的質點，再依質心定義表達式求出整個物體的質心位置。如下左圖的棒錘， 假設勻質球 A 質量為 M 、半徑為 R；勻質棒 B 質量為 m、長度為 l，求它的重心。第一種方法是將它分隔成球和棒兩部分，然后用同向平行力合成的方法找出其重心 C。C 在 AB 連線上，且 AC M=BC m(如下右

6、圖 )。(5) 負質量法容易看出，負質量法本質上是分割法的一種推論，仍然是把整個物體分割成質心易求的幾個部分。不同的是，每一部分既可以是正質量，也可以是負質量。4/12.同樣，將棒錘看成一個對稱的“啞鈴”和一個質量為M的球 A的合成 ( 如下左圖 ) ，用反向平行力合成的方法找出其重心 C，C在 AB連線上，且 BC(2M+m)=ACM不難看出兩種方法的結果都是： BC=M（R+l/2 ）/ （M+m）證明方法與分割法相同。有時，根據質心的定義，我們還可用坐標法求物體系的質心。通常把物體分割成n 個部分，求得這n 個部分的質量分別為 m1， m2， ， mn。所受的重力相應為m1g，m2g，

7、mng。又求得它們的重心 ( 質心 ) 的坐標分別為 (x 1，y1，z1) ，(x 2，y2，z2) ， ，(x n，yn，zn) 。由于這 n 個部分所受的重力Gi=mig(i=1 ，2， ，n) 可看作是平行力，故可用類似于求同向平行力合力的方法，求得這 n 個平行力合力的作用點位置(x C，yC，zC) ，得出整個物體質心 ( 重心 ) 的位置坐標為上例中，以 B 點為原點，水平向右為。軸正方向，則 A、B的合質心的位置為：5/12.即：負號表示質心的位置在B 點左側（如上右圖）。用坐標法求物體的重心是比較方便的。 坐標法與分隔法樣，都是由平行力的合成方法推導出來的，有興趣的讀者可以嘗

8、試推導一下。(6) 巴普斯定理及其推論對于質量連續(xù)分布的物體，求質心的一般方法是利用質心定義的三個分量表達式。但是，有時我們愿意采用處理這類問題的技巧，巴普斯定理提供了一種技巧。巴普斯定理表述為：一個平面物體，質量均勻分布，令其上各質點沿垂直于平面的方向運動，在空間掃過一立體體積，則此體積等于面物體面積乘以物體質心在運動中所經過的路程。當面物體上各質點以相同的速度沿著一條與物平面垂直的直線運動時，在空間掃過的體積是一柱體。顯然，巴普斯定6/12.理成立。一般情況下，平面物體上海一質點運動保持與物平面垂直，而各質點速度并不相等，質心將沿曲線運動，平面物體在空間將掃出一個不規(guī)則體積。 我們要證明巴

9、昔斯定理仍能得到滿足。下面分步給出證明。1) 易知，質心為原點的質心參照系下，質心的位置坐標必為零。對于平面物體情況， 在物平面內建立坐標 OXY(z軸垂直此面) ，坐標原點 O與質心 C重合，因質心 X 坐標 XC0，得2) 我們已經知道， 剛體的一個無限小運動可以由剛體上任一參考點的無限小平動和繞此參考點的無限小轉動疊加而成?，F在我們把平面物體的運動分成無限多個無限小運動。每個無限小運動分解成隨質心的無限小平動和繞質心的無限小轉動。為保證巴普斯定理中對平面物體運動的要求，應滿足：隨質心的無限小平動必須垂直于物平面；繞質心的無限小轉動的瞬時轉動軸必須在物平面上。3) 討論符合巴普斯定理要求的

10、平面物體運動中第 i 個無限小運動。設隨質心的第 i 個無限小平動位移的 Zi ，則平面物體掃過7/12.的體積元為其中 S 為平面物體面積。設繞過質心在物平面上的轉軸為 y 軸，第 i 個無限小轉動產生的角位移為 。利用 XC0，得其中 為平面物體質量面密度，對于質量均勻分布的平面物體， 為常量。Si 為平面物體上面元的面積。設各面元在無限小轉動下轉過的路徑l i 為因平面物體上各質點 相同，所以則此式表示， 由無限小轉動所引起的各面元在空間掃過的體積正好抵消 ( 這只有在坐標原點選在質心上，才有此結論) 。對于整個運動過程，此結論依然成立。因此，在滿足巴普斯定理的運動要求下，面物體在空間掃

11、過的體積為8/12.其中 Zi 為平面物體運動中質心經歷的路程。巴普斯定理得證。例 1：求兩直角邊長分別為 a、b 的直角三角形， 質量均勻分布，求質心的位置。（x=b/3 ，y=a/3 ）例 2：求均勻半圓盤的質心位置。設圓半徑為R。（ x=4R/3）巴普斯定理的一個推論同樣很實用。 此推論表述為一條質量均勻分布的平面曲線，其上各點沿垂直于曲線平面方向運動，在空間掃過一曲面，則此曲面面積等于質心在運動中所經路程與曲線長度的乘積。這個推論的正確性， 只要把此平面曲線看成一非常窄的面即可由巴普斯定理的結論得到。例 3： 求質量均勻分布的半圓形金屬線的質心位置。設圓半徑9/12.為 R。（ x=2

12、R/ ）例 4：如圖 (a) 所示，由勻質金屬絲圍成的封閉圖形，其中曲線部分是半徑為 R的半圓，直線部分是直徑。求此封閉金屬絲的質心位置。（2R/ （2+）3、物體平衡的種類當物體達到平衡以后受到微小擾動而偏離平衡位置時，如果這物體在各力的作用下將繼續(xù)偏離平衡位置而不會再回復到平衡位置，這種平衡叫不穩(wěn)定平衡。如帶正電的小球處在兩個帶等量負電荷小球連線的中點時。如果平衡的物體受外界的微小擾動偏離平衡位置時，這物體在所受各力作用下將回到平衡位置，這種平衡叫穩(wěn)定平衡。如帶正電小球處在兩等量正電荷小球連線的中點時。如果平衡的物體受外界的微小的擾動偏離平衡位置時，這物體所受的合力仍為零，而能在新位置繼續(xù)

13、保持平衡狀態(tài)，這種平10/12.衡叫隨遇平衡。如與液體密度相同的實心物體浸沒在液體內部。4、物體平衡種類的判斷方法（ 1）受力分析法當質點受到外界的擾動稍微偏離平衡位置以后，如果所受合外力指向平衡位置，則此質點的平衡是穩(wěn)定的；如果所受的合外力背離平衡位置，則此質點的平衡是不穩(wěn)定的：如果所受的合外力為零，則質點處于隨遇平衡狀態(tài)。（ 2）力矩比較法對于有支軸的剛性物體，當它受外界擾動而偏離平衡位置時，如果外力會引起一個回復力矩， 此力矩有把物體拉回到原平衡位置的傾向，則稱物體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；如果外力會引起一推斥力矩，它有把物體推離原平衡位置的傾向，則稱物體處于不穩(wěn)定狀態(tài)；如果物體所受合力矩仍為零，則稱物體處于隨遇平衡狀態(tài)。（3）重心升降法對受重力和支持力作用而平衡的物體 （包括質點和剛體兩種） ，判斷其平衡種類時，常可用重心升降法。即若使物體稍微偏離平衡位置，如其重心升高，則為穩(wěn)定平衡；若物體稍微偏離平