新定義數(shù)列求解差策略

1、新定義數(shù)列求解策略1高考考情：以數(shù)列為背景的新定義問題是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，考查頻次較高.2、命題形式：常見的有新定義、新規(guī)則等.3、求解策略：（1）準確轉(zhuǎn)化：解決數(shù)列新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義,將題目 所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求的形式 ,切忌同已有概念或定義相混淆.（2）方法選取：對于數(shù)列新定義問題，搞清定義是關(guān)鍵，仔細認真地從前幾項（特殊處、簡單處）體 會題意，從而找到恰當?shù)慕鉀Q方法.課前預(yù)習(xí)：1 11、若數(shù)列 滿足d （ n ”,d為常數(shù)），則稱數(shù)列：aj為調(diào)和數(shù)列” .已知正項數(shù)列一、為調(diào)和數(shù)列，且d+b2+川+ d=90 =90,則b45的最大值【解析】由已知得b

2、n為等差數(shù)列,且b4+b6=20,又bno,所以b4be1/1m= 2+1+，且 do一 j 且一為整2、已知兩個無窮數(shù)列an , bn)分別滿足| an+i-an|=2 , b, = 4bn,且ai=1, 2=1(1)若數(shù)列an , bn)都為遞增數(shù)列，求數(shù)列an , bn)的通項公式.若數(shù)列cn滿足：存在唯一的正整數(shù)r(r n),使得g+ycr,稱數(shù)列cn)為“夢r數(shù)列”.設(shè)數(shù) 列之 , bn)的前n項和分別為sn, tn.若數(shù)列an)為“夢5數(shù)歹，求sn.若an為“夢ri數(shù)列，bn為“夢2數(shù)列”，是否存在正整數(shù)m,使得sm+i=tm?若存在， 求m 的最大值；若不存在，請說明理由.【思維

3、引導(dǎo)】【規(guī)范解答】因為數(shù)列an , bn都為遞增數(shù)列，所以 an+i-an=2, b2=-2b i, bn+2=2bn+i, n n,-i, n =i,所以 an=2n-i, bn= 2, 0 一 2-因為數(shù)列an滿足:存在唯一的正整數(shù)g5,使得ar+iva，且向+田|=2 ,所以數(shù)列an必為1, 3, 5, 7, 9, 7, 9, 11,-,即前5項為首項為1、公差為2的等差數(shù)列，從第6項開始為首項7、公差為2的等差數(shù)列，n2, n 三 5, 2故 sni 4n 2。n 一 6 8分因為bn 1=4叫 即bn+i= 2bn,所以|加=2.9分而數(shù)列bn為“夢2數(shù)列”且bi=-1,所以數(shù)列bn

4、中有且僅有兩個負項.假設(shè)存在正整數(shù)m,使得sm+i=tm,顯然mml,且tm為奇數(shù)，而(an)中各項均為奇數(shù)，所以m必為偶數(shù)10分首先證明：m 7,在數(shù)列an中，(sm+i)max=1+3+(2m + 1)=(m + 1)2,而在數(shù)列bn中，bm 必然為正,否貝ij tm=-1+b2+(-2入)w-1 +21+-+2m2+(-2m1)=-30(m7),所以%(m7)為遞增數(shù)列，且d70進而cm(m7)為遞增數(shù)列，而c80, 所以(tm)min(sm)max,即 m w 6.當 m=6 時，構(gòu)造：佃為 1, 3, 1, 3, 5, 7, 9,bn為-1, 2, 4, 8, -16, 32, 64

5、,16分3、若數(shù)列a此時 r 1=2, 2=4,所以 mmax=6,對應(yīng)的 n=2, 2=4中不超過f (m)的項數(shù)恰為bm( m n*),則稱數(shù)列fbm?是數(shù)列aj的生 成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)f (m)是數(shù)列生成、bm?的控制函數(shù).(1)(3)列,已知 an = n2,且 f (m)二 m2,寫出 d、b2、bs ；已知an =2n ,且f (m) = m,求 的前m項和sm ；已知 a. =2,且 f (m) = am? ( a 乏 n*),若數(shù)列中，d , b?, 且b3-10,求d的值及a的值.b3是公差為d(d =0)的等差數(shù)解:f1) m =1,則 aim =3,則印=1 ：=1 _

6、14m =2,則 ai =八：4 ,也=4(2) m為偶數(shù)時，則a2 = 4 : : : 9 a3 = 9 9 . ba =3 2n乞m,則bm； m為奇數(shù)時，貝則bm二匹;22_i2(m為奇數(shù))(m為偶數(shù))m為偶數(shù)時,1 1mm2sm 二 s b2 山 bm2(1 2 川 m)一2i 2m為奇數(shù)時,4(m 1) m 1m s=!4mt(3)依題意:-1(m為奇數(shù))的項恰有t項,t+d(m為偶數(shù)) an =2n, f(1 )=a , 設(shè)。所以2乜af(2) =8a , f (5) =125a,，即數(shù)列an中,不超過a 1同理：2蘭8av2t11t d 1 ct+2d,2t:： 2d 1125a

7、c22 蘭 a v2t+d j3即 2 a ：t+2d化修td-2，故t2d 1125t t+d -3 2 max2 ,2t+2d11 t -d j2 2八 a : min2 ,2125t -2d -1)1252t+d%3年三鳳單乞旦旦62適合題意,125125*b3=10.4 乞t 乞 7 ft 為整數(shù) t =4,t =5 t =或 t=7tf=27a,b3=10當t=4時,24當t二5時，當t =6時,26當t=7時,211a ：- 12512乞 a： ： :j12521312514無解無解.64 ja a :213.26 乞 a ： 1, n m+1 1, k 1 1, k m 1.2n

8、-m-1n-m+1_2k-1 _ 2卜6為偶數(shù)，與 22n-m-1+2n-m+1 2k-1 2k-m= 1 矛盾.所以，數(shù)列刖中不存在任何三項，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)歹ij.綜上可得，數(shù)列an不是等比源數(shù)歹10分(2)不妨設(shè)等差數(shù)列an的公差d0.當d二0時，等差數(shù)列an為非零常數(shù)數(shù)列，數(shù)列an為“等比源數(shù)列”.當d。時，因為an z,則d 1,且) z,所以數(shù)列an中必有一項am0.為了使得an為“等比源數(shù)列”，只需要an中存在第n項，第k項(m v nvk),使得am二amak成立.2即am+(n m)d = amam+(k m)d,即(n m) 2am+(n m)d= am(k m)成

9、立.13分當門二am+m, k=2am+amd+m時，上式成立.所以劫中存在am, a*, ak成等比數(shù)列.所以，數(shù)列an為“等比源數(shù)列”.16分當堂反饋：1、已知數(shù)列an的前n項和s=n,若對任意正整數(shù)n, (an+ip)(anp)vo恒成立， 則實數(shù)p的取值范圍是.6. (-1, 3)【解析】當 n=1 時,a=si=-1 ；當 n2 時,an=ssn-i=(-1)n (2n-1),當 n=1 時,a=-i 也符合此式,所以an*i)n(2n-1).當n為奇數(shù)時，anoan+i,由不等式(an+ip)(anp)vo可得，1-2n =anpoan+i,由不等式(an+ip)(an-p)vo可得，-2n-1=an+ipan=2n-1對于任意的n為偶數(shù)恒成立，故-5vpv3,綜上,p (-1, 3).2、若數(shù)列ca,滿足anvni 2an n2,則稱數(shù)列：為凹數(shù)列。已知等差數(shù)列:的公差為d, d=4,且數(shù)列“為凹數(shù)列，貝ud的取值范圍是 。3、設(shè)s為數(shù)列an的前n項和，若覆(n n*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等 比數(shù)列”；若數(shù)列cn是首項為2,公差為d(dmo)的等差數(shù)列，且數(shù)列