在等式性質(zhì)與逆運算中架起一座橋

1、 在等式性質(zhì)與逆運算中架起一座橋 方程是“數(shù)與代數(shù)”中的一塊重要內(nèi)容，在中小學(xué)中都有所涉及，也是義務(wù)教育階段學(xué)生較難掌握、錯誤率較高的數(shù)學(xué)內(nèi)容之一。北師大小學(xué)數(shù)學(xué)教材嚴格按照數(shù)學(xué)課程標準的要求，將解方程的原理定位為等式的性質(zhì)，以期加強中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接。一、我的困惑隨著課程改革的深入推進，教材在不斷的更新和變化，對于方程這塊內(nèi)容的處理也發(fā)生了巨大的變化。大綱教材下小學(xué)對解方程的原理是逆運算；課標教材下小學(xué)將解方程的原理與初中進行銜接，其原理也是等式的性質(zhì)，如方程x-5=3，在等式兩邊同時加上5，得5+x-5=3+5，進而得到x=8。可是我們發(fā)現(xiàn)運用等式的性質(zhì)解方程教學(xué)效果并不是特別理想，特別

2、是形如5-x=3，4x=0.5這樣的方程，雖然教材根據(jù)數(shù)學(xué)課程標準的要求，回避了這兩種形式的方程，但這樣的方程在解決問題中卻難以避免。面對這兩類的方程，我們該如何處理呢？若用等式的性質(zhì)解方程，則涉及到方程兩邊同時加上一個字母（式），這超出了小學(xué)的要求（小學(xué)所學(xué)的等式的性質(zhì)只要求等式兩邊同時加上一個數(shù)）。在解形如4x=0.5這樣的方程時，若按等式的性質(zhì)，則需將等式兩邊同乘以x，其實質(zhì)是將分式方程化為一元一次方程，這是一個容易產(chǎn)生增根的變形，因此初中強調(diào)，解分式方程最后一定要驗根，這就更加超出了小學(xué)的要求。二、我的思考（一）產(chǎn)生原因首先，等式的性質(zhì)對小學(xué)生來說是一個全新的內(nèi)容，沒有一定的知識基礎(chǔ)和

3、生活經(jīng)驗。教材通過天平操作的確可以幫助學(xué)生獲得基本性質(zhì)的初步認識，但要運用這些性質(zhì)去解方程仍有一定的難度。其次，學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)，但涉及到方程兩邊同時加上一個字母（式），方程仍然相等的理解還不到位，也超出了學(xué)生的認知能力。小學(xué)和初中都是運用天平探索出等式的性質(zhì)。對照兩幅圖，會發(fā)現(xiàn)小學(xué)教材中天平的兩側(cè)是有具體數(shù)量的物品，而初中教材中天平兩側(cè)的物品是用字母來代替的，這也是兩者之間最大的差別。對學(xué)生來說，是一個很大的跨越，從數(shù)的范圍擴展到字母的認識和理解。相比小學(xué)的等式性質(zhì)，初中所學(xué)的等式性質(zhì)更為全面與系統(tǒng)。最后，從學(xué)生內(nèi)隱學(xué)習(xí)的角度來看，學(xué)生在解形如a-x=b這類方程時，容易受到x-a=

4、b這類方程的負遷移，容易產(chǎn)生將方程兩邊同時+a的做法，得到a-x+a=b+a的式子。因此，我們認為，在小學(xué)要求學(xué)生利用等式性質(zhì)解形如5-x=3，4x=0.5這類方程，超出了學(xué)生的認知能力，有悖循序漸進的原則。（二）存在現(xiàn)狀北師大版教材根據(jù)數(shù)學(xué)課程標準的教學(xué)目標，在解方程中并沒有涉及形如5-x=3，4x=0.5的方程。這種做法表面上似乎回避了形如5-x=3，4x=0.5的方程，可是實際上，在許多練習(xí)題的解答過程中，無法回避這樣的方程。例如配套作業(yè)本第54頁第4題：王老師從書店買來6本數(shù)學(xué)手冊，付出50元，找回0.8元。每本數(shù)學(xué)手冊要多少元？編者的意圖是讓學(xué)生列出的方程是6x+0.8=50，可不少

5、學(xué)生列出的方程是50-6x=0.8，很明顯，學(xué)生列出的方程是完全正確的，但解答時發(fā)生了困難。此時，教師不能視學(xué)生的正確思路而不顧，否定學(xué)生列出的方程，強制他們列出6x+0.8=50，否則會使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走入機械僵化的誤區(qū)，從而制約學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，我們只能順著學(xué)生的思路，將解方程的方法進行引導(dǎo)：方程兩邊同時加上6x, 得50-6x+6x=0.8+6x，進而得到50=0.8+6x,再將方程兩邊同時減去0.8，得到6x=41.8，最后將方程兩邊同時除以6，得到x=8.2，這樣的解題過程十分繁瑣且不好理解。再如配套作業(yè)本第52頁第3題，根據(jù)題意，幾乎所有同學(xué)列出的方程都是x+16=3x，如果按照課標要

6、求，利用等式的性質(zhì)解這個方程時，必須涉及到方程的兩邊同時減去相同的字母，才能保證等式的兩邊仍然相等。但這種解題思路對小學(xué)生來說，要求過高。（三）解決策略數(shù)學(xué)課程標準對小學(xué)方程教學(xué)有兩點要求：能用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系（如3x+2=5，2x-x=3），了解方程的作用；了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡單的方程。但在實際教學(xué)中遇到形如5-x=3，4x=0.5時，如果教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生利用等式的解方程時，教學(xué)效果并不好，學(xué)生難以理解。面對這種兩難境地，解方程的教學(xué)難點是否就不能突破了？不是，我們認為，可以靈活運用“等式性質(zhì)”與“互逆關(guān)系”兩種方法，引導(dǎo)學(xué)生解方程。學(xué)生在小學(xué)一年級上冊10以內(nèi)加減

7、法中就已經(jīng)接觸了形如5-=3，2+=5的題目，初步體會了加減法的互逆關(guān)系。在二年級上冊除法的認識中，通過飛行表演的情境，體會到從一個具體情境出發(fā)，如果能提出乘法問題，那么一定也能提出除法問題，初步感知乘法與除法之間是存在互逆的關(guān)系的。因此，當(dāng)學(xué)生遇到形如5-x=3，4x=0.5這類方程時，是有一定的知識基礎(chǔ)的。學(xué)生可以很容易的從逆運算的關(guān)系上遷移到形如5-x=3，4x=0.5這類方程的做法。在教學(xué)中，我們可以從四則運算的互逆關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生解方程。比如在出現(xiàn)4x=0.5這類方程時，我們可以先引導(dǎo)學(xué)生把x看做括號，得到4（）=0.5，再引導(dǎo)學(xué)生表示出（）=40.5的等式并作出解答。此時，教師還可以

8、追問學(xué)生解答的依據(jù)是什么，幫助學(xué)生理清做題思路。在學(xué)生解答形如5-x=3，4x=0.5這類方程遇到困難時，我們先讓學(xué)生獨立思考，再通過交流反饋的教學(xué)方式，和學(xué)生一起探討解題的方法。在交流反饋的過程中，可以促進學(xué)生對問題的多方面理解，這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗將促使他們從多個角度思考問題，形成多樣化的問題解決意識。同時，運用互逆關(guān)系解答形如5-x=3，4x=0.5這類方程，還可以幫助學(xué)生將新舊知識進行聯(lián)系，使學(xué)生思維，知識能順利的銜接起來，及時在自己頭腦中形成一個知識網(wǎng)絡(luò)。但是這種教學(xué)方式不利于與初中數(shù)學(xué)相銜接，因此，教師在教學(xué)過程中，可以考慮把運用互逆關(guān)系的解題方式與利用等式性質(zhì)的解題方式相整合，最終達到靈活運用的目的。一方面，我們需要加強基本類型方程式的練習(xí)，讓學(xué)生能夠用等式的性質(zhì)解方程，把握方程的實質(zhì)。另一方面，可以根據(jù)題意，對方程進行形式上的變化，培養(yǎng)學(xué)生多角度看問題的思想。通過形式多樣的練習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會用遷移的方法解決問題。在解決問題的過程中，還可以幫助學(xué)生